>>306
>”公理を加えても存在するとして良い元（集合）は増えない”
>の反例を挙げよう
>　１）無限公理がないと 最初の可算無限集合ω＝N が作れない
反例になってない。
ZF-(無限公理)からωの存在を証明できないことと、そのモデルにωが存在してよいことは矛盾しない。
以前から何度も指摘されてるが、君、理論とモデルがまったく分かってない。

>　２）選択公理の場合
>　可算選択公理＜従属選択公理＜（フルパワー）選択公理
>　ここに 記号＜は 強さの順
>　いま、各選択公理の強さが、出力できる列長さで測れるとする
>　つまり、可算選択公理は、可算長ω長さの列
>　（フルパワー）選択公理は、無制限（非可算長も可）
>　従属選択公理は、ωより長く 非可算長には届かない
大嘘。
「従属選択公理 ― 任意の空でない集合Xとその上の全域二項関係 Rに対して、列 (xn)n∈N を全ての n∈N に対して xnRxn+1 であるように取れる。」
だから、従属選択公理が出力する列は可算長。

>　この場合において 可算長有理コーシー列で 実数Rの定義で 完備距離空間Rを作ることを考えると
>　（フルパワー）選択公理なら可。従属選択公理も 可
>　だが、可算選択公理だと ”完備”が証明できない（？）
大嘘。
有理コーシー列を用いた実数の構成に選択公理は不要。完備性証明にも不要。

>　まったく なんらの 選択公理を仮定しないなら？ そもそも 可算長有理コーシー列が 作れないだろう
大嘘。
有理数全体の集合Qまでを構成済みなら、有理数列全体の集合Q^Nが存在し、有理コーシー列全体の集合はその部分集合。

>まとめると、
嘘をまとめても嘘だから無駄。

>公理には積極的に公理を作るためのもの（上記）もあれば、
>抑制するものもある
>抑制する公理の代表例が 正則性公理だろう
はい、大嘘。
公理とは仮定に過ぎない。何かを作るための道具ではない。