ガロア理論を理解したい

>>329
>（到達不能基数は、その定義からして ZFC内での証明を拒否しているから 証明できると思う人皆無だ）
ZFCから強到達不能基数κの存在は証明不可能。
ZFCが無矛盾との前提で、仮にZFCからκの存在証明が可能なら、ZFCのモデルであるVκの存在をZFCから証明できることになり、完全性定理よりZFCの無矛盾性をZFCから証明できることになるが、それは不完全性定理に反する。

>>331
(引用開始)
>（到達不能基数は、その定義からして ZFC内での証明を拒否しているから 証明できると思う人皆無だ）
ZFCから強到達不能基数κの存在は証明不可能。
ZFCが無矛盾との前提で、仮にZFCからκの存在証明が可能なら、ZFCのモデルであるVκの存在をZFCから証明できることになり、完全性定理よりZFCの無矛盾性をZFCから証明できることになるが、それは不完全性定理に反する。
(引用終り)

うむ いま Terence Tao“big picture”として 宇宙の包含関係を考える
Vo⊂Vk⊂Vk+1⊂・・・
ここで
・k,k+1・・などは到達不能基数で この順に大きくなり Vkなどはkを含む宇宙で 到達不能基数kもまた集合である
・Voは、到達不能基数を全く含まない 通常基数の宇宙

これより
・Vk+1が無矛盾ならば それより左のVo、Vkが無矛盾（∵ 包含関係で Vo、Vkが矛盾なら Vk+1が矛盾を含むので 背理法成立）
・κの存在証明が不可能は、良いだろう
以上

(参考)
＜“big picture”＞
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
There’s more to mathematics than rigour and proofs Terence Tao

(google検索)
ZFC 無矛盾の強さ 到達不能基数
＜AI による概要＞
ZFCに到達不能基数の存在を加えた理論は、ZFC単体よりも厳密に無矛盾性が強い（consistency strengthが高い）
到達不能基数とZFCの無矛盾性の関係
・無矛盾性の強さの順序
　＊ZFC の無矛盾性を Con(ZFC) と表す。
　＊ZFC + Con(ZFC) は、到達不能基数の存在を仮定した理論と等価。
　＊したがって、到達不能基数が存在すれば Con(ZFC) が成り立つ。
・📉 ゲーデルの不完全性定理からの制約
　*ZFC が無矛盾である限り、 ZFC の中から到達不能基数の存在を証明することはできない。
　*同様に、 ZFC が無矛盾なら「到達不能基数が存在しない」という仮定も無矛盾である。
・📌 巨大基数階層における位置づけ
　*到達不能基数は、数ある「巨大基数」のなかで最も小さい（最も弱い）部類に属する。
　*これより上位には、可測基数やラッセル基数など、さらに無矛盾性の強い巨大基数が存在する。

さらに詳細な証明の概略や、他の巨大基数（マーロ基数や可測基数など）との関係について知りたい場合はお知らせください。

https://eurekagap.ｓｅsaa.net/category/23564817-1.html
GAPのブログ
巨大基数入門〜可測基数を巡って〜
2016年3月に関西すうがくとのつどいで発表する機会がありました。
そのときに作ったスライドを公開します。
このブログ記事で3回に分けてだらだら説明していた巨大基数とは何かということが、可測基数を例にあげて説明しています。
「一応」self-containedな書き方をしています。
https://eurekagap.up.ｓｅesaa.net/image/measurable_intro.pdf
巨大基数入門〜可測基数を巡って〜
Eureka GAP May 17, 2017

>>332
>Vo⊂Vk⊂Vk+1⊂・・・
>ここで
>・k,k+1・・などは到達不能基数
>・Voは、到達不能基数を全く含まない 通常基数の宇宙

Vo(oは順序数)は正確にはZFCの宇宙ではなく累積的階層ね

で、kが到達不可能基数の場合　VkはZFCの宇宙

さらにkが到達不可能基数でも、k+1はそうではないよ

到達不可能基数は正則な極限基数だから

>>332
>うむ いま Terence Tao“big picture”として 宇宙の包含関係を考える
考えるのはいいけど、君、包含関係の列になる理由を分かってる？　ただの受け売り？　それは勉強とは言わないよ

>Vo⊂Vk⊂Vk+1⊂・・・
>ここで
>・k,k+1・・などは到達不能基数で
だから間違いだと何度言わせるの？　間違いと指摘されてるんだから最低でも指摘が正しいかくらい確認しなよ　君の性格からして俺様数学やりたいんだろうけどさ

>この順に大きくなり
包含関係の列になる理由を理解してる？

>Vkなどはkを含む宇宙で 到達不能基数kもまた集合である
Vκはκを含まないよ。Vκ:=∪[λ<κ]Vλ だから仮にそうでないとするとλ<κであるようなVλのいずれかがκを持っていることになる。
何も考えずに妄想語るのは数学とは呼べないよ。

>・Voは、到達不能基数を全く含まない 通常基数の宇宙
ある到達不能基数κに対して、一般に「o<κであるような到達不能基数oは無い」は言えない。それが言えるのはκが最小の到達不能基数のときだけ。
「通常」なる馬鹿語は使わない方が良い。君の中の「通常」が他人にとっても「通常」である根拠は1ミリも無い。
Vの階層は階層であって宇宙とは呼ばない。宇宙とは全体という意味だから。

>これより
>・Vk+1が無矛盾ならば それより左のVo、Vkが無矛盾（∵ 包含関係で Vo、Vkが矛盾なら Vk+1が矛盾を含むので 背理法成立）
まずVk+1は集合であって、集合単体に矛盾も無矛盾も無い。
Vk+1が、ある理論のモデルである場合もモデル単体に矛盾も無矛盾も無いが、モデルが存在する理論は完全性定理により無矛盾。
君がどういう意味で「Vk+1が無矛盾」と言ってるのか不明なので主張全体としても何を言ってるのか不明。

>・κの存在証明が不可能は、良いだろう
良くない。
何の仮定も無しにはいかなる命題も証明できないことは理解できる？
ある命題の証明可能性を語るときどんな仮定（公理）からかを言わなければ意味を為さない。君の発言はナンセンス。

もう初歩の初歩の初歩からダメ。一から勉強してください。数学を手っ取り早く理解する近道なんてありません。

>>333
>さらにkが到達不可能基数でも、k+1はそうではないよ
>到達不可能基数は正則な極限基数だから
それもう10回くらい指摘してるのに完全シカトで俺様数学をやりたいらしい。
是が非でも到達不能基数の定義を確認したくないらしい。
じゃあ数学やめなよと言いたくなる。

>>335
確認すると自我が崩壊してしまうのかも？
あるいは既に確認しているが
箱入り無数目と同様
間違っていたと思いつつそれを認めたくないのかも

>>283
>関孝和研究所 上野健爾氏

上野健爾先生の本が、有ったので下記紹介します
良い本ですが、ちょっとレベル高い。
アマゾン 雑学家氏レビューのyou tube紹介などが役立つだろう
https://www.gensu.jp/product/%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E3%82%92%E8%A7%A3%E3%81%8F-%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96/
—方程式を解く— ガロアによるガロア理論
上野健爾 著 現代数学社 : ‎ 2024/7/21
　本書は方程式のガロア理論への入門書であり，それと共にガロアの原論文を読むための入門書
でもある．ガロアの論文に書かれている内容だけでなく，生まれようとしている概念をガロアがど
のように考え，どのように記述し，定式化しようとして苦労していたかを味わうために，翻訳は
できる限りガロアの時代に相応しい言葉を用いることに努めた．
1．3 次• 4 次方程式の古典的な解法からラグランジュに始まる置換群による古典的な解法の
群論的な解釈
2．体論を使った3 次・4 次方程式に関するガロア理論
3．ガウスによる円分体の理論の簡単な紹介
4．ガロア理論の現代的な観点，ガロアによるガロア群の定義からガロアの第一論文に記され
た理論をできるだけガロアの原論文に即し，現代的な体論の観点から記述
5．ガロアが方程式に関して残した主要な著作，いわゆる第一論文，第二論文および，決闘の
前夜に記したシュヴァリエ宛の手紙の邦訳を解説．

つづく

つづき
＜アマゾン＞
雑学家
星5つ中4つ
ガロア理論現代的な解説と原論文に沿っての解説です。
2024年12月15日
代数学の教科書でガロア理論は一般的、抽象的な群の定義から始まって、体の定義、体の拡大、体の自己同型写像、正規部分群の定義と話が続いて行きますが大学生でも途中で挫折するようです。
【完全版】天才ガロアの発想力―対称性と群が明かす方程式の秘密―,小島 寛之でも解らずに卒業した
と述懐。「数学で何が重要か」志村五郎のｐ．58には米国ではガロア理論は大学院でのコースとのこと。
若い頃に理解できない無味乾燥な本に当たって途方に暮れてしまう経験をしたレヴューアです。
評者は「なっとくする群・環・体」野崎と「図解と実例と論理で、今度こそわかるガロア理論 」鈴木 智秀著の併読が
最高に分かりやすかった。
「体」は拡大していくのに反して、対称性（ガロア群）が縮小していくのが一対一に対応するのを発見した。要するに３つのものの入れ替えが作る群は良い性質を持っているので3次方程式は解けるが５つのものの入れ替えである5次対称群（方程式）はその性質を持っていないために可解群（解けない）でない。
いきなりでは難しいので
you tube：【ガロア理論】分解体の定義と構成方法
：【超入門】五次方程式が代数的に解けない仕組み【ガロア理論】
：【第9回 ガロア理論への道】 拡大体
：「3-2. 五次方程式が代数的に解けないわけ – 2015/5/22」
：図解と実例と論理で、今度こそわかるガロア理論（正五胞体群を用いた証明）
：【位相幾何】被覆変換群の定義とその作用【ガロア理論】
の動画と「群論への第一歩　集合、写像から準同型定理まで」結城 浩
「数学ガール/ガロア理論」結城 浩
「数,方程式とユークリッド幾何: ガロア理論から折り紙の数学まで 」西田 吾郎 (著)
「数学者的思考トレーニング　ダイスウヘン」同じ著者
などを手元によめば本書の第4章までは理解できますね。
円分体に関しては
『近世数学史談』高木 貞治：定規とコンパスで描ける正17角形とガウスの話で感動したのを
想起しました。
第5章からはガロアの原論文に沿っての解説です。
YouTube:三角関数の周辺「楕円編」と
：350年間解かれなかった難問フェルマーの最終定理【なぜ1994年に解けたのか？数学的に背景ときっかけを解説】はすごい動画ですね。
私にはかなり難しい楕円関数論なども登場で未踏の世界が広がっています。
願わくは小平スクールの高弟であられた著者に小平先生とのエピソ‐ドを含む代数幾何ワールド
「輓近代数学の展望」の魅力を是非とも披瀝した内容の本を期待しています。
(引用終り)
以上

Aは自然数m,nを選び2枚のカードに書いて箱に入れる
選び方はAの自由
ここで
Bは箱の中からランダムにカードを取り出し
Aは残った方を取る
大きい方が勝ち
A,Bの勝つ確率は？

>>333-334
ふっ
笑える
おれはさ
場末の便所板５ｃｈで
どこの馬の骨とも知れぬ
ばかサルと
倒錯 (ですね)人と
論争しなければ成らない義務はない

要するに
Vo⊂Vk⊂Vk+1⊂・・・ という包含関係
一番左 Voは ZFCで普通に構築できる基数＝到達可能基数＝可算Nのべき2^N さらにべき2^2^N これを超限回繰り返してできる基数をすべて含む宇宙
その右が、可算Nのべきの超限回繰り返しで到達できない 到達不能基数の存在を導入した宇宙
その右には ずっと巨大基数の導入した宇宙が並ぶ
入れ子状
ゆえに、左側の宇宙が無矛盾ならば それより右も無矛盾
（∵ 包含関係があるから 右が無矛盾でないならば 左も無矛盾でない）
逆に、右側の無矛盾から左側の無矛盾は言えない
言えるとそれは、不完全性定理に反する
だから、Voからは 到達不能基数の存在証明や それより大きい巨大基数の存在は証明できない■

そういうこと

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Von Neumann universe
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe#/media/File:Von_Neumann_Hierarchy.svg
An initial segment of the von Neumann universe. Ordinal multiplication is reversed from our usual convention; see Ordinal arithmetic.
(google検索)
集合論のモデルとしてのVの応用
κが到達不可能な基数である場合、V κはツェルメロ・フレンケル集合論(ZFC) 自体のモデルであり、V κ +1はモース・ケリー集合論のモデルである。[ 9 ] [ 10 ] (すべての ZFC モデルは ZF モデルでもあり、すべての ZF モデルは Z モデルでもあることに注意してください。)

https://en.wikipedia.org/wiki/Inaccessible_cardinal
Inaccessible cardinal
In particular, inaccessible cardinals need not exist at all. That is, it is believed that there are models of Zermelo-Fraenkel set theory, even with the axiom of choice (ZFC), for which no inaccessible cardinals exist.[2] On the other hand, it is also believed that there are models of ZFC for which even strongly inaccessible cardinals do exist. That ZFC can accommodate these large sets, but does not necessitate them, provides an introduction to the large cardinal axioms. See also Models and consistency.

The existence of a strongly inaccessible cardinal is equivalent to the existence of a Grothendieck universe. If κ is a strongly inaccessible cardinal then the von Neumann stage
Vκ is a Grothendieck universe. Conversely, if U is a Grothendieck universe then there is a strongly inaccessible cardinal κ such that Vκ=U. As expected from their correspondence with strongly inaccessible cardinals, Grothendieck universes are very well-closed under set-theoretic operations.

ピヨピヨ、ヒヨコだよ🐣

>>340
>宇宙が無矛盾
の定義を書いてみて

>右側の無矛盾から左側の無矛盾は言えない
>言えるとそれは、不完全性定理に反する
間違い１
ある理論が無矛盾ならそのことをその理論からは証明できない、それが不完全性定理
その理論のメタ理論から証明できても不完全性定理と矛盾しない

間違い２
V階層は理論でないことは分かる？
理論でないものが矛盾や無矛盾ってどういう意味？

>だから、Voからは 到達不能基数の存在証明や それより大きい巨大基数の存在は証明できない■
>そういうこと
どういうこと？

君、理論とモデルの区別がついてないって指摘を幾度となく受けてるんだけど、なぜ勉強しないの？　そんなに勉強が嫌い？

>>337-338

もし、対称群S5が以下のような組成列をもてば、
任意の5次方程式はラグランジュの方法で解ける
(A5は交代群、V4はクラインの四元群、Cnは位数nの巡回群）

S5→A5→？→C5→{e}

S5/A5＝C2
A5/？＝C3
？/C5＝V4(=C2×C2)
C5/{e}＝C5

しかし、残念ながらA5にはA5自身と{e}以外の正規部分群が存在しなかった
なので、5次方程式は根号ではとけませーん

ざんねーん

一方、円分方程式はいくら次数が高くても、その解はべき根で表せる
円分方程式の解の実部だけを解をする方程式も同様

なぜなら、そのような方程式の解は、
そのうちの１つから、有理関数を施すことで得られるから
解を巡回置換する有理関数が分かってしまえば解ける

（彼の人は当然定義を検索あるいはAIに聞いていて自分がおかしなことを書いたと認識はしてるでしょうね）

1のべき根がべき根であらわせるのは当然では？

>>334
>Vの階層は階層であって宇宙とは呼ばない。宇宙とは全体という意味だから。
ノイマン宇宙の文脈では上記の通り。
一方、モデルの議論領域のことを宇宙と呼ぶことがあり、その意味でZFCモデルの議論領域としてのVκ（κ＝強到達不能基数）を宇宙と呼ぶことがある。グロタン宇宙もそのような意図での呼称だろう。
いずれにせよ「宇宙」だけでは何の宇宙かを特定できず意味が通じない。おサルさんが「宇宙宇宙」と言ってるのを見て、「ああこいつ何も分かってねーなー」と思う。

>>346
³√1 は (-1±√(-3))/2 と書くべし
ということ

1の7乗根をその形でかける？

>>349
>1の7乗根をその形でかける？

下記が分かりやすい
”wolframalphaで聞いてみると”な
（解の式が画像になっているので 原文サイトみて）

https://jp.quora.com/%E8%AA%9E%E5%B0%BE%E3%81%8C%E6%8B%99%E3%81%8F%E3%81%A6%E3%81%99%E3%81%BF%E3%81%BE%E3%81%9B%E3%82%93-1%E3%81%AE%E5%8E%9F%E5%A7%8B7%E4%B9%97%E6%A0%B9%E3%82%92%E5%86%AA%E6%A0%B9%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E3%81%97%E3%81%9F
quora.com
Q
語尾が拙くてすみません… 1の原始7乗根を冪根表示したものを求めていただけますか？
A
桂 英治 3年前
[概略だけ]wolframalphaで聞いてみると、
略
https://qph.cf2.quoracdn.net/main-qimg-8bec3284be89f44ef3a4d9feadcdc647
ここで、
cos(2π/7)
は、1の7乗根を
ω
としたときに、
(ω+ω6)/2
(下図参照のこと)。
ω
の実数部分と同じ。
https://qph.cf2.quoracdn.net/main-qimg-2fe5d6200b17803a17e71a0fd0cfc145
ω
は
ω6+ω5+ω4+ω3+ω2+ω+1=0
の解なので、
z=ω+ω−1
と置いて上の式を書き換えると、元の式が6次式なので、半分の次数の(つまり3次の)方程式を解くことに帰着する。
それを解くとwolframalphaの結果がでてくる。
虚数部分は
sin(2π/7)
で計算してもよいけれど、
cos
の値からも求められる。

>>347
(引用開始)
>>334
>Vの階層は階層であって宇宙とは呼ばない。宇宙とは全体という意味だから。
ノイマン宇宙の文脈では上記の通り。
一方、モデルの議論領域のことを宇宙と呼ぶことがあり、その意味でZFCモデルの議論領域としてのVκ（κ＝強到達不能基数）を宇宙と呼ぶことがある。グロタン宇宙もそのような意図での呼称だろう。
いずれにせよ「宇宙」だけでは何の宇宙かを特定できず意味が通じない。おサルさんが「宇宙宇宙」と言ってるのを見て、「ああこいつ何も分かってねーなー」と思う。
(引用終り)

なるほど 中々いい議論だ

>Vの階層は階層であって宇宙とは呼ばない。宇宙とは全体という意味だから

ここらの”宇宙”は、結構多義で 文脈でも 人によっても 微妙に意味違う
（巨大基数の宇宙と 強制法での宇宙も 微妙にニュアンスが違う）

ちょっと、定義を列記する
https://en.wikipedia.org/wiki/Universe_(mathematics)
Universe (mathematics)
In mathematics, and particularly in set theory, category theory, type theory, and the foundations of mathematics, a universe is a collection that contains all the entities one wishes to consider in a given situation.
https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
巨大数研究 Wiki
宇宙 (数学)
数学において宇宙 (universe) とは議論領域を指す言葉であり、しばしば特定の集合ないしより巨大な構成物を指す。
(引用終り)

さて、下記 グロタンディーク宇宙と到達不能基数 での 宇宙
いくつか下記から注意点をひろうと
・グロタンディーク宇宙の文脈では、宇宙は集合である
・和文で 巨大な強到達不能基数λと表現して 巨大基数の公理 (C) とうたう 即ち ” 巨大な強到達不能基数λ”は 厳密な意味での 強到達不能基数ではない（巨大基数の一つ）
・英文”Furthermore, u(|U|)=U, and |u(κ)|=κ.”で、 ここも 重要ポイント。（|U|は、集合Uの濃度）
　つまり、グロタンディーク宇宙の文脈では |u(κ)|=κ つまり 集合|u(κ)|の濃度κ
　（余談 和文”すべての遺伝的有限集合 の集合 Vω”では、Vω中にはωは含まれない。無碍公理が無ければ 自然数Nの存在証明がない。ωは集合ではない。
　が、無碍公理があれば ωは集合である。同様に 強到達不能基数λが公理として与えられたということは λもまた集合だということ）

つづく

つづき

さて、最後の余談で ノイマン宇宙Vで Vは 強到達不能基数を公理として認めない立場では クラス（類）だ。∵ ZFCだけでは集合ではない
が、強到達不能基数λ （それは 巨大基数でもある）を 認めるいうことは、グロタンディーク宇宙Uという巨大ものを 集合として 扱うことを許すということ
グロタンディーク宇宙Uは、ZFCのありとあらゆる集合操作をしても グロタンディーク宇宙Uの中
そして、グロタンディーク宇宙Uの中の存在は 全て集合。ゆえに 通常のノイマン宇宙V内に存在する集合は すべて グロタンディーク宇宙Uの中■
V ⊂U これが結論

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙と到達不能基数
グロタンディーク宇宙の2つの簡単な例がある:
・空集合∅
・すべての遺伝的有限集合 の集合 Vω 。
他の例は構成がより困難である。大まかに言うと、これはグロタンディーク宇宙が到達不能基数と同値なためである。より形式的に言えば、次の2つの公理が同値である:
(U) 任意の集合x に対して、x∈Uとなるグロタンディーク宇宙 Uが存在する。
(C) 任意の基数 κ に対して、κよりも巨大な強到達不能基数λが存在する。
この事実を証明するために、関数c(U)を以下のように定義する:
略
巨大基数の公理 (C) から宇宙の公理 (U) が導かれることを示すため集合 x を選ぶ
略
宇宙の公理 (U) から巨大基数の公理 (C) が導かれることを示すために κ を基数とする。
κ は集合なのでグロタンディーク宇宙 Uの元である。
Uの濃度は κ より大きな強到達不能基数となる。

つづく

つづき

ここ 分かり難いので 補足 英文より
https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe
Then the set u(κ) of all sets strictly of type κ is a Grothendieck universe of cardinality κ.
For details, again refer to Bourbaki's article, listed in the references.
Let u(κ) be the universe of the previous paragraph. Then
x is strictly of type κ, so x∈u(κ).
To show that the universe axiom (U) implies the large cardinal axiom (C), choose a cardinal κ.
κ is a set, so it is an element of a Grothendieck universe U.
The cardinality of U is strongly inaccessible and strictly larger than that of κ.
In fact, any Grothendieck universe is of the form u(κ) for some κ.
This gives another form of the equivalence between Grothendieck universes and strongly inaccessible cardinals:
For any Grothendieck universe
U, |U| is either zero, ℵ0, or a strongly inaccessible cardinal.
And if κ is zero, ℵ0, or a strongly inaccessible cardinal, then there is a Grothendieck universe u(κ).
Furthermore, u(|U|)=U, and |u(κ)|=κ.
Since the existence of strongly inaccessible cardinals cannot be proved from the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory (ZFC), the existence of universes other than the empty set and Vω cannot be proved from ZFC either. However, strongly inaccessible cardinals are on the lower end of the list of large cardinals; thus, most set theories that use large cardinals (such as "ZFC plus there is a measurable cardinal", "ZFC plus there are infinitely many Woodin cardinals") will prove that Grothendieck universes exist.
(引用終り)
以上

>>346
>1のべき根がべき根であらわせるのは当然では？

１のｎ乗根は１にｎ乗根号つければいい、という安直な話ではないんですよ

例えば１の３乗根は、1/2±√3i/2と、(2乗)根号で表せますよね
さらに１の５乗根は、(2乗)根号を2回使って表せる
また、１の７乗根は、１の３乗根と、(2乗)根号、３乗根号で表せる

一般に１のｎ乗根は、ｎ＞ｍとなる１のｍ乗根とｍ乗根号を使って表せる

１のｍ乗根をさらに、ｍ＞ｌとなる１のｌ乗根とｌ乗根号を使って表すとすると
最終的にはｋ＞２となる１のｋ乗根は表に現れない表記にできる
そういうことです

そこまでわかっていて「当然」というなら
流石ですね、というしかありませんが

3次方程式
(x-cos(1/7*2π))(x-cos(2/7*2π))(x-cos(3/7*2π))
を考える

倍角の公式を使えば
cos(2/7*2π)＝2cos(1/7*2π)^2-1
cos(3/7*2π)＝cos(4/7*2π)＝2cos(2/7*2π)^2-1
cos(1/7*2π)＝cos(6/7*2π)＝2cos(3/7*2π)^2-1
となることが分かる

つまり３つの根rはσ(r)＝2x^2-1で循環置換する

このとき、>>315で述べたように
(cos(1/7*2π)+ωcos(2/7*2π)+ω^2cos(3/7*2π))^3
はcosと名の付く数が消えるので
３つの根が、有理数と１の３乗根と３乗根号を使った式で表せる

やってみ　私は以前計算したから正しいとわかってるけど

sinのほうは√1‐cos^2で表せるから、結局全部、根号で表せる

>>351-352
＞ノイマン宇宙Vで Vは 強到達不能基数を公理として認めない立場では クラス（類）だ

ノイマン宇宙Vを、集合論の宇宙というなら、
そこでは、強到達不能基数をみとめようがみとめまいがクラス

認めた場合は、別の集合論宇宙となりうる集合がある
認めない場合は、そういう集合が存在しない
そういう違い

ノイマン宇宙Vを、
最小の強到達不能基数κによるVκと、
勝手に決めつけるのが、誤り

さっき本屋に行ったら
「ゲーデルの不完全性定理の頂を踏む」
なんて本が出てた

ガロア理論の頂を踏んだ次はこれか

まあ、どっちも大学３年レベルだけどな

ζ=e^(2πi/7)とおき、α=ζ+ζ^2+ζ^4 , β=ζ^3+ζ^5+ζ^6 とすると、
(x−α)(x−β)=x^2+x+2 となる。

>>351
まだやるの？　初歩から分かってないから無理なのに

>・グロタンディーク宇宙の文脈では、宇宙は集合である
グロタンディーク宇宙は集合である　言葉は正確に

>・和文で 巨大な強到達不能基数λと表現して 巨大基数の公理 (C) とうたう 即ち ” 巨大な強到達不能基数λ”は 厳密な意味での 強到達不能基数ではない（巨大基数の一つ）
また勝手読みして妄想に走ってる。定義や公理の主張内容を確認しないからそうなる。
正しくは、
・強到達不能基数とは強極限基数かつ正則基数。
　κが強到達不能基数なら基数κ+1は強到達不能基数ではない。実際、後続基数は強極限基数でない。
・巨大基数公理は、任意の基数より大きい強到達不能基数の存在を主張。
　この公理より、任意の基数λに対して強到達不能基数の無限上昇列 λ<κ0<κ1<・・・ の存在が帰結される。

>・英文”Furthermore, u(|U|)=U, and |u(κ)|=κ.”で、 ここも 重要ポイント。（|U|は、集合Uの濃度）
>　つまり、グロタンディーク宇宙の文脈では |u(κ)|=κ つまり 集合|u(κ)|の濃度κ
違う。
ここで何を言ってるかというと、任意の濃度xに対してx=|U|を満たすグロタン宇宙Uはたかだかひとつ、と言っている。

>　（余談 和文”すべての遺伝的有限集合 の集合 Vω”では、Vω中にはωは含まれない。
だからそう言ってるじゃん。もし含まれてたらいずれかの有限階層Vnに含まれてることになり矛盾だと。

>無碍公理が無ければ 自然数Nの存在証明がない。
それはまた別の話。理論とモデルをごっちゃにしちゃダメ。
存在証明が無いことと、モデルにωが存在することは矛盾しない。なぜかわかる？　モデルの定義を読めば分かる。勝手読みしたら分からない。

>ωは集合ではない。
これも大嘘。
公理から存在証明できないことと存在反証できることを混同している。
公理から存在証明できないことは非集合の根拠にならない。存在反証できてないから。
集合と仮定して矛盾が導けるなら非集合の根拠になる。存在反証できてるから。

>　が、無碍公理があれば ωは集合である。同様に 強到達不能基数λが公理として与えられたということは λもまた集合だということ）
いわずもがな。

>>358　へぇ、ほぅ😏

>>356
>ノイマン宇宙Vを、集合論の宇宙というなら、
>そこでは、強到達不能基数をみとめようがみとめまいがクラス

正直 その議論は 大して意味がないと思う
つまり、「鶏が先か卵が先か」 みたいなことだね

ポイントは下記二つ
１）”The existence of a nontrivial Grothendieck universe goes beyond the usual axioms of Zermelo–Fraenkel set theory; in particular it would imply the existence of strongly inaccessible cardinals.”
　つまり、ZFCを超えるグロタンディーク宇宙を考えて ZFCでの”真のクラスを回避する方法として導入した”
２）グロタンディーク宇宙の考えは 基礎論屋さん”the existence of strongly inaccessible cardinals”と結びついた

繰返すが 普通の (strongly inaccessible cardinals が存在しない) ノイマン宇宙Vの中の集合を 全て含み かつ
Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）。

https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe
A Grothendieck universe is meant to provide a set in which all of mathematics can be performed. In fact, uncountable Grothendieck universes provide models of set theory with the natural ∈-relation, natural power set operation, etc. Elements of a Grothendieck universe are sometimes called small sets. The idea of universes is due to Alexander Grothendieck, who used them as a way of avoiding proper classes in algebraic geometry. Grothendieck’s original proposal was to add the following axiom of universes to the usual axioms of set theory:
For every set
s, there exists a universe
U that contains s, i.e.,
s∈U.

The existence of a nontrivial Grothendieck universe goes beyond the usual axioms of Zermelo–Fraenkel set theory; in particular it would imply the existence of strongly inaccessible cardinals.
Tarski–Grothendieck set theory is an axiomatic treatment of set theory, used in some automatic proof systems, in which every set belongs to a Grothendieck universe.
The concept of a Grothendieck universe can also be defined in an elementary topos.[1]

（ついで）
>>351 タイポ訂正

無碍公理
　↓
無限公理

>>358
6次の巡回群を考えたとき、偶置換と奇置換で分けたらこうなるのだろう。（指数2の部分群）

指数3の部分群を考えれば、3次方程式が考えられるだろう。

>>359
つー >>361な ｗ（＾＾

>ここで何を言ってるかというと、任意の濃度xに対してx=|U|を満たすグロタン宇宙Uはたかだかひとつ、と言っている。

中高生も来るから
赤ペンするよ

・グロタン宇宙Uの オリジナルの グロタンの最初のアイデアは
　巨大基数ｋと結びついては いなかった
・基礎論の 巨大基数ｋの視点から見ると、
　巨大基数の何も存在しない 通常のノイマン宇宙Vよりも 大きくとれる 巨大基数を何かとってくればいいってこと
　その一つが”強到達不能基数”で 多分 それより大きい分には 構わないってことだ■

>>363 追加

https://en.wikipedia.org/wiki/Large_cardinal
Large cardinal
https://en.wikipedia.org/wiki/Large_cardinal#/media/File:Large_Cardinals.jpg
Large cardinal hierarchy, ordered from bottom to top in terms of strength.
（注；measurable cardinal（可測基数）が 中段あたり 厳密な意味の inaccessible cardinal は最下段
　なお、本文より 引用
”Typically, models in which large cardinal axioms fail can be seen in some natural way as submodels of those in which the axioms hold. For example, if there is an inaccessible cardinal, then "cutting the universe off" at the height of the first such cardinal yields a universe in which there is no inaccessible cardinal.”）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E5%9F%BA%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%80%A7%E8%B3%AA%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7
巨大基数的性質の一覧
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_large_cardinal_properties
List of large cardinal properties

ζ=e^(2πi/7)とおくと、
(x-ζ−ζ^6)(x−ζ^3−ζ^4)(x−ζ^2-ζ^5)
=x^3+x^2-2x−1
となるだろう、多分。

これは6次の巡回群の指数3の部分群の、剰余類分解に関係しているのだろう。

>>352
>さて、最後の余談で ノイマン宇宙Vで Vは 強到達不能基数を公理として認めない立場では クラス（類）だ。∵ ZFCだけでは集合ではない
大間違い。>>297
人から間違いを指摘されなくても理解するのが利口者
人から間違いを指摘されて理解するのが普通のバカ
人から間違いを指摘されても理解できない君は希代のバカ

>が、強到達不能基数λ （それは 巨大基数でもある）を 認めるいうことは、グロタンディーク宇宙Uという巨大ものを 集合として 扱うことを許すということ
Uじゃなくu(λ)。
あれだけ教えてあげたのにまだ一般名詞と固有名詞の区別ができてない。頭悪すぎ。

>グロタンディーク宇宙Uは、ZFCのありとあらゆる集合操作をしても グロタンディーク宇宙Uの中
UがZFCモデル（の議論領域）という意味ならその通り。
。。。と言いたいところだが、例外あり。{}とVω。

>そして、グロタンディーク宇宙Uの中の存在は 全て集合。
「中の存在」とかいう馬鹿語は使わない方が良い。元なり部分集合なりと言え。元も部分集合も集合であることはいわずもがな。

>ゆえに 通常のノイマン宇宙V内に存在する集合は すべて グロタンディーク宇宙Uの中■
「通常の」とかいう馬鹿語は使わない方が良い。通常じゃないVってどんなV？　君、答えられるの？　答えられないってことは自分が何を言ってるか自分で分かってないってことだよ。それは馬鹿の極み。
反例：κ0<κ1を強到達不能基数の列とする。(u(κ0)=Vκ0⊂u(κ1)=Vκ1⊂V)∧(u(κ0)=Vκ0≠u(κ1)=Vκ1≠V) つまりu(κ1)はV内に存在するがu(κ0)内に存在しない。残念！

>V ⊂U これが結論
大間違い。
そもそも真クラスは集合の元にも集合の部分クラスにもなれない。

無駄な抵抗はやめた方がいいよ。君、初歩の初歩から分かってないから。
君がやるべきは口を閉じて一から地道に勉強すること。それが嫌なら数学やめな。

>>364 追加

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_large_cardinal_properties
List of large cardinal properties
Existence of a cardinal number κ of a given type implies the existence of cardinals of most of the types listed above that type, and for most listed cardinal descriptions φ of lesser consistency strength, Vκ satisfies "there is an unbounded class of cardinals satisfying φ".

ここの ”Vκ”のリンクが
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
で、下記な
抜粋：a collection of sets Vα indexed by the class of ordinal numbers; in particular, Vα is the set of all sets having ranks less than α. Thus there is one set Vα for each ordinal number α. Vα may be defined by transfinite recursion as follows:

https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Definition
The cumulative hierarchy is a collection of sets Vα indexed by the class of ordinal numbers; in particular, Vα is the set of all sets having ranks less than α. Thus there is one set Vα for each ordinal number α. Vα may be defined by transfinite recursion as follows:
略

（注：Von_Neumann_universe中のαは、普通のordinal number αであって 巨大基数は 含まない。
　が、その延長上に large cardinalがあり ”Vκ”は それにならうということ ）

>>367
ふっ
　>>368な

あと
>大間違い。
>そもそも真クラスは集合の元にも集合の部分クラスにもなれない。

言葉のあやだな
　>>361
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）。
(引用終り)

『宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）』

ZFCままだと 真のクラスになるべきところ
グロタンディーク宇宙さま だと 真のクラスを回避！
それを どう表現しようが 数学外の 文学表現にすぎない
まあ、サルがタイプを叩けば 好きな言葉が叩けるさｗ（＾＾

セタが尊敬しそうな昭和の社長。令和になって鍍金が剥がれた。
ちなみに「御大」とも呼ばれていたらしい。
https://www.youtube.com/watch?v=6NmvoJCzRu8

>>369 補足
>ZFCままだと 真のクラスになるべきところ
>グロタンディーク宇宙さま だと 真のクラスを回避！
>それを どう表現しようが 数学外の 文学表現にすぎない

まあ、中高生向けに説明すると
１）ZFCは、ラッセルパラドックスが生じないように 厳しく 厳しく集合の範囲を制限した
２）が、その後 「ちょっと狭すぎない？」と思う数学者たちがいた
３）その一人が グロタン で 「代数幾何の圏論やりたいから ZFC広げちゃうね」と
４）それを見た 基礎論屋さん「それって 俺たちが考えていた 巨大基数論に乗るっぺよ」といった
そして いまに至る （＾＾

>>358
それがガウス周期と呼ばれるものの一例ですね。
ガウスD.A.にはガウス周期の理論も含まれている。
現代的には、部分体とか基底の理論に相当するが
より詳しい積公式なども成立するのが特徴的。

なお、α-βは2次のガウス和であり、√7 i に等しい。

ガウスは素数p、p-1が3で割れるときに、3次の
ガウス周期がみたすQ上の3次方程式を一般的に求めているが
その際に、問題が有限体上の楕円曲線の点の個数の
数え上げと関係することを発見している。
Wikipediaの記述より
「また、第7章第358条は、有限体上の楕円曲線の点の個数に関する、
ハッセの定理の評価が非自明に成り立つ（歴史的に）最初の例を与えている」

>>350
わかりにくい
とかいうか何が問題になってるかわかりますか？

>>370
>セタが尊敬しそうな昭和の社長。令和になって鍍金が剥がれた。
>ちなみに「御大」とも呼ばれていたらしい。
>https://www.youtube.com/watch?v=6NmvoJCzRu8

うん 永守重信氏さんね
実話を二つ
１）ちょっと後輩で 「日本電産（いまのニデック）に 移ることにした」と挨拶に来た人がいた
　聞くと 神戸から京都に通うのだが
　相手の会社の人事から「うちの会社は 厳しいから 京都まで通えますか 」みたく言われたという
　（要するに ２４時間働けますか？ みたくね）
　（その後は 聞いていないが 果たしてどうなったか？）
２）ずっと後で ご近所の人で 大手銀行から ヨーロッパの支店勤務だったところ
　”日本電産に移る”という 井戸端会議の情報を聞いた
　上記の後輩の話を連想した。
　（日本電産は、表向き華やかだが 内実はブラックだろうと思っていたので）
　そして その人は２〜３年で別の会社へ移ったという（長続きしなかったというか ブラックでやめて正解だったか）

まあ、永守重信氏さんみたいなやり方は
うまく行くときは良いが 逆回転になると
内部から崩壊する（粉飾の横行）という典型例だろう

https://ja.wikipedia.org/wiki/24%E6%99%82%E9%96%93%E6%88%A6%E3%81%88%E3%81%BE%E3%81%99%E3%81%8B
24時間戦えますか（にじゅうよじかんたたかえますか）は、三共の栄養ドリンク『リゲイン』がかつて使用していたキャッチコピーである[1]

>>361
>>ノイマン宇宙Vを、集合論の宇宙というなら、
>>そこでは、強到達不能基数をみとめようがみとめまいがクラス
その通り。>>297

>正直 その議論は 大して意味がないと思う
真クラスか集合かは大問題。そもそもグロタンがグロタン宇宙を考えた最大の動機。

>つまり、「鶏が先か卵が先か」 みたいなことだね
まったくトンチンカン。

>ポイントは下記二つ
初歩の初歩から分かってない君に何がポイントか分かるはずが無い。

>１）”The existence of a nontrivial Grothendieck universe goes beyond the usual axioms of Zermelo–Fraenkel set theory; in particular it would imply the existence of strongly inaccessible cardinals.”
>　つまり、ZFCを超えるグロタンディーク宇宙を考えて ZFCでの”真のクラスを回避する方法として導入した”
集合としてのZFCモデルが欲しいのなら強到達不能基数κの存在の仮定とVκで十分。Vκはグロタン宇宙だが、グロタン宇宙はVκに限らない。つまりグロタン宇宙を考える動機は「集合としてのZFCモデルが欲しい」を超えている。
そもそも英文と君の文はぜんぜん違うことを言っていて「つまり」で結ぶのは甚だ不適当。

>２）グロタンディーク宇宙の考えは 基礎論屋さん”the existence of strongly inaccessible cardinals”と結びついた
こちらの方がむしろ英文に近い。たいぶ違うけど。
で？　だから何だと君は言ってるの？

>繰返すが 普通の (strongly inaccessible cardinals が存在しない) ノイマン宇宙Vの中の集合を 全て含み かつ
>Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ■
いくら繰り返しても間違いが正しくなることは無い。
Vはすべての強到達不能基数を持つ。一方どんなに大きなグロタン宇宙を考えてもすべての強到達不能基数を持つことは決して無い。集合であるとの定義に反するから。

>>363
>　巨大基数の何も存在しない 通常のノイマン宇宙V
そんなものはありません。Vはすべての基数を持っており、そうでないVはありません。
君、なんでVの定義を確認しないの？　検索は得意なんじゃなかったっけ？

>>368
>注：Von_Neumann_universe中のαは、普通のordinal number αであって 巨大基数は 含まない。
嘘注乙。
君の引用にこんなことは一言も書かれてない。君、息するように嘘つくね。

>>369
>言葉のあやだな
ごまかしてもダメ

>ZFCままだと 真のクラスになるべきところ
>グロタンディーク宇宙さま だと 真のクラスを回避！
誤読にもとづく妄想

Q(√√2)のガロア群は、4次の二面体群。

>>380
Q（√√2）を含む最小のガロア拡大のガロア群の間違い。

>>371
>まあ、中高生向けに説明すると
君の説明を真に受ける中高生はいないと思うよ　君よりは賢いから

>１）ZFCは、ラッセルパラドックスが生じないように 厳しく 厳しく集合の範囲を制限した
>２）が、その後 「ちょっと狭すぎない？」と思う数学者たちがいた
>３）その一人が グロタン で 「代数幾何の圏論やりたいから ZFC広げちゃうね」と
>４）それを見た 基礎論屋さん「それって 俺たちが考えていた 巨大基数論に乗るっぺよ」といった
>そして いまに至る （＾＾
妄想乙

そもそも理解し損なってるからな
別に通常のZFCの中だけで代数幾何議論するのに不足はない
「代数幾何やるためにZFCを拡張した」というのはそんなわけない

中高生の時に騙されて、同じような人が出ないためにここに居て、いま中高生を騙そうとしている

>>383
そうね
単純に小さな圏に持ち込む面倒を
避ける方便に使うのがグロタンディク宇宙

>>374
>わかりにくい

"わかりにくい" "分らない"に、属人性がある
ある人には分かり ある人には分らない

>とかいうか何が問題になってるかわかりますか？

しらない
　>>349「1の7乗根をその形でかける？」と書かれているね
指示語 「その形」が あいまいではあるね
そもそも、私への質問ではなかった
おそらくその直前の >>348への質問だろ？
ただ、”1の7乗根”のべき根表示で検索して
ヒットしたのを貼っただけさ

そして その後に>> 354-355に追加投稿あるよ
質問は そちらへ

>>376-385
>そもそも理解し損なってるからな
>別に通常のZFCの中だけで代数幾何議論するのに不足はない
>「代数幾何やるためにZFCを拡張した」というのはそんなわけない
>そうね
>単純に小さな圏に持ち込む面倒を
>避ける方便に使うのがグロタンディク宇宙

みんな なんで思いつきの ウソを書くのかな？ｗ
ちゃんと 発言の裏取り検索をしなよｗｗ
数学では、その態度は通用しない！
大学ゼミでは、黒板ハリツケの刑だよ（＾＾

さて下記 引用
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%82%AD%EF%BC%9D%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
タルスキ＝グロタンディーク集合論
ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）の非保存的拡大
タルスキの公理は到達不能基数の存在を含意し、ZFC より豊かな存在論を与える。例えば、この公理を追加することで圏論を支えることができる。
https://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%E2%80%93Grothendieck_set_theory
Tarski–Grothendieck set theory
(google訳)
タルスキの公理は、無限、選択、[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]および冪集合の公理も含意します。[ 4 ] [ 5 ]また、到達不可能な基数の存在も含意しており、そのおかげでTGの存在論はZFCなどの従来の集合論の存在論よりもはるかに豊かです。
タルスキ宇宙が推移的であれば、それはグロタンディーク宇宙でもあります。[ 7 ]逆に、選択公理を仮定すると、すべてのグロタンディーク宇宙はタルスキ宇宙です（つまり、タルスキの公理を満たします）。[ 8 ]
タルスキの公理は、ZFCよりもはるかに多くの集合を保証する公理である。
(引用終り)

まとめ
１）ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）の非保存的拡大
２）タルスキの公理は到達不能基数の存在を含意し、ZFC より豊かな存在論を与える。例えば、この公理を追加することで圏論を支えることができる。
３）選択公理を仮定すると、すべてのグロタンディーク宇宙はタルスキ宇宙です（つまり、タルスキの公理を満たします）
タルスキの公理は、ZFCよりもはるかに多くの集合を保証する公理である。
以上

な、やっぱりわかってないやろ
お前に代数幾何なんて到底無理だよ

（彼の人のカキコミは支離滅裂）

>>367,376,383
ですね

理論が拡大すると証明できることは増えるかもしれないが
（保存拡大なら増えない・非保存拡大なら増える）
逆に
集合論の宇宙に存在するものは増えない
最も拡大された理論は人（矛盾）
これは全てを証明できるが
そのモデルは空

空じゃなく無い
あるなら無矛盾
それが完全性定理

重要なのは
Vの中で全ての操作を行っているということ
彼の人が良く引用するのはこれだったかな？
https://konn-san.com/math/boolean-valued-model-and-forcing.html
ここで行っている全ての操作はVの中でのモノ
そこでVBを作りそれがV[G]と見なせることおよび
その「中」にVがあると見ても良いことが示されているが
ここでいう「中」にあるというのは
実数体が超実数体に埋め込まれているというのと同様
Vをその部分クラスであるVBの「中」に埋め込んで
同一視をしているだけのこと
VB（V[G]）の中でもOrdはVのものと同じ
つまり
当然なことだが到達不能基数もVのOrdの「中」にある
ZFCではそれが到達不能基数であると証明できないだけ
（証明できたらZFCが自分自身の無矛盾性を証明したことになってゲーデルの第二不完全性定理に反してしまう）

>>361
(引用開始)
ポイントは下記二つ
１）”The existence of a nontrivial Grothendieck universe goes beyond the usual axioms of Zermelo–Fraenkel set theory; in particular it would imply the existence of strongly inaccessible cardinals.”
　つまり、ZFCを超えるグロタンディーク宇宙を考えて ZFCでの”真のクラスを回避する方法として導入した”
２）グロタンディーク宇宙の考えは 基礎論屋さん”the existence of strongly inaccessible cardinals”と結びついた
繰返すが 普通の (strongly inaccessible cardinals が存在しない) ノイマン宇宙Vの中の集合を 全て含み かつ
Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ■
(引用終り)

下記 Class (set theory) en.wikipedia だ

記述修正
Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ
　↓
Vでは”クラスが扱えないことを回避する”ものだということ

つまり 下記記述
”Because classes do not have any formal status in the theory of ZF, the axioms of ZF do not immediately apply to classes.
However, if an inaccessible cardinal κ is assumed, then the sets of smaller rank form a model of ZF (a Grothendieck universe), and its subsets can be thought of as "classes".”
＜補足＞
１）そもそも、ZF中では ”classes do not have any formal status” つまり、クラスという言葉さえない
２）そこで、”an inaccessible cardinal κ”（不定冠詞anな）でもって、”a Grothendieck universe”（不定冠詞aな）を導入して
　”its subsets”とする it＝a Grothendieck universe こいつを ”can be thought of as "classes"”、つまり "classes"として考えることができるよと

これで、”a Grothendieck universe”の”subsets”として、クラス"classes"（複数形）を考えることが出来 そして扱える■
（余談：”すべての順序数のクラス”とかは、煮ても焼いても集合にはできないかも）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Class_(set_theory)
Class (set theory)
A class that is not a set (informally in Zermelo–Fraenkel) is called a proper class, and a class that is a set is sometimes called a small class. For instance, the class of all ordinal numbers, and the class of all sets, are proper classes in many formal systems.
(google訳)
（ツェルメロ・フレンケル集合論などの文脈において）集合ではないクラスは「真のクラス」と呼ばれ、集合であるクラスは「小さなクラス」と呼ばれることがあります。例えば、すべての順序数のクラスや、すべての集合のクラスは、多くの形式的体系において真のクラスとなります。
Classes in formal set theories
Because classes do not have any formal status in the theory of ZF, the axioms of ZF do not immediately apply to classes.
However, if an inaccessible cardinal κ is assumed, then the sets of smaller rank form a model of ZF (a Grothendieck universe), and its subsets can be thought of as "classes".

>>392
ゴメン

>>393
(引用開始)
彼の人が良く引用するのはこれだったかな？
https://konn-san.com/math/boolean-valued-model-and-forcing.html
ここで行っている全ての操作はVの中でのモノ
そこでVBを作りそれがV[G]と見なせることおよび
(引用終り)

それ、強制法の宇宙Vだよ
到達不能基数の宇宙の議論とは微妙に違う

強制法の宇宙は、例えて言えば 宇宙を横に広げる話
到達不能基数の宇宙の議論は、宇宙を縦（高さ方向）に広げる話だ

なお
（この人はめちゃ優秀です。むかしっから資料の参照をさせてもらっています。分かり易い）
https://konn-san.com/profile.html
自己紹介(石井大海)
2019/03 筑波大学大学院 数理物質科学研究科 数学専攻 博士後期課程修了
2017/04〜2019/03 日本学術振興会特別研究員（DC2）
2016/04〜 筑波大学大学院 数理物質科学研究科 数学専攻 博士後期課程
2016/03 筑波大学大学院 数理物質科学研究科 数学専攻 博士前期課程修了
2014/04 筑波大学大学院 数理物質科学研究科 数学専攻入学
2014/03 同卒業（基幹理工学部総代）
2011/04 早稲田大学基幹理工学部 数学科配属

>>394
>However, if an inaccessible cardinal κ is assumed, then the sets of smaller rank form a model of ZF (a Grothendieck universe), and its subsets can be thought of as "classes".
このクラスは相対化されたクラス。
集合全体の集まりは集合ではない。実際、仮に集合と仮定するとカントールの定理と矛盾する。
UをU内部から見ると集合全体の集まりだから真クラスに見える。一方宇宙全体Vから見ると無数にある集合のうちのひとつに見える。集合か真クラスかは視点に依存する。
U内部で真クラスに見えるものを数学者は外部の視点から集合として安心して取り扱うことができる。

>繰返すが 普通の (strongly inaccessible cardinals が存在しない) ノイマン宇宙Vの中の集合を 全て含み かつ
>Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ■
まったく見当違い。

>>396
>到達不能基数の宇宙の議論は、宇宙を縦（高さ方向）に広げる話だ
大嘘。
ノイマン宇宙はすべての順序数（従ってすべての基数）を最初から持っており、縦に広げることはできません。

なにをどんだけ引用しようとそれから得た結論がめっちゃくちゃ。
Grothendieck が Universe の話をもちだしたのを「代数幾何に必要不可欠なもの」とかアンポンタンな結論にもっていってしまう。
もちろん代数幾何なんて勉強したことないんだからそういうミスをしてしまうのはしょうがないとして、そのミスを他人から指摘されてまったく反省なくなぜだか「お前がまちがってる」とおもってしまう。
素頭以前に人間性が学問にむいてない。頭もわるいが心もだめ。なにもかも学問に向いてない

ガロア理論を諦めて
集合論の下らん話題を駄弁る
このスレは終了ってことで
オナシャス

集合論の話も終わりでよい。
一匹ｖｓその他になってるし、その一匹はレベルが低すぎて会話が成立してない。これ以上続けても無駄。

¬CHを仮定すれば実数の中に|N|=ℵ0<|A|=ℵ1<|R|=|P(N)|となるAが「存在」することになる
NもP(N)もZFで既に定義されているが
¬CHを仮定することでAが新たに生まれたと考えるのが彼の人
正しくは写像が「減る」（存在が許されなくなる）ため
N⊂∃A⊂R:¬∃f:N→A:iso∧¬∃g:A→R:iso
となる

>>397-402
ここは、中高生もくるので 厳しく赤ペンするよ

>>繰返すが 普通の (strongly inaccessible cardinals が存在しない) ノイマン宇宙Vの中の集合を 全て含み かつ
>>Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ■
>まったく見当違い。

それあんた

まず 記述修正を入れている>>394より
Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ
　↓
Vでは”クラスが扱えないことを回避する”ものだということ
（追加：真のクラスの厳密な定義が面倒なのでそれを回避した）

さて >> 387 タルスキ＝グロタンディーク集合論
『ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）の非保存的拡大
タルスキの公理は到達不能基数の存在を含意し、ZFC より豊かな存在論を与える。例えば、この公理を追加することで圏論を支えることができる』
百回音読してね
つまり、非保存的拡大＝ZFCを包含して 真にそれ以上■

>¬CHを仮定すれば実数の中に|N|=ℵ0<|A|=ℵ1<|R|=|P(N)|となるAが「存在」することになる

１）¬CHを仮定しても
　一方で 日常のわれわれ純ZFC内では、無関係
　『|N|=ℵ0<|A|=ℵ1<|R|=|P(N)|となるAが「存在」する』は 証明できないから
２）つまり、われわれの日常は、空集合Φから順に有限自然数を構成し、無限集合Nを構成し べき集合から実数Rを構成し、実関数を考えて 2^Rを構成する・・
　この道筋上には 上記集合Aは登場しない（∵証明： 背理法による。集合Aが証明可能なら 集合AがZFCで証明できたことになり CHは独立に反する）

ゆえに CHがZFCから独立で 否定も肯定もできないなら
われわれの日常の数学には 普通は無関係■

と同様に 到達不能基数κの存在が ZFCから独立で 否定も肯定もできないなら
われわれの日常の数学では 普通無関係

但し、あったら便利と グロタンディーク
ゆえに タルスキ＝グロタンディーク集合論登場
これが到達不能基数κと関連していると 後代に分かった
グロタンディーク宇宙Uは、非保存的拡大＝ZFCを包含して 真にそれ以上■

>>403
>ここは、中高生もくるので

それどころか小学生とか幼稚園児とか🐵も来る
そいつらが数学者面して赤ペン採点とかいって悪戯書きする
そして自分に勝手に💯つける　🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣

2進法で100点
な～んちゃって(^^)
ただ、冗談が言いたいだけのおにぃw

ガロア理論に殆ど関係ないw
基礎論スレあるのに。
基礎論なのか知らんが。

>>403
>Vでは”クラスが扱えないことを回避する”ものだということ
まったく見当違い。
κを強到達不能基数として、VκはZFCのモデル（の議論領域）であるが、それはZFCとしては真クラス（Vκを集合と仮定すると矛盾し存在反証できるから）、ZFC+(κの存在)としては集合（公理から存在証明できるから）。
クラスを扱えないのはZFCもZFC+(κの存在)も同じ。

>（追加：真のクラスの厳密な定義が面倒なのでそれを回避した）
真クラスとは集合でないクラス。

>ここは、中高生もくるので 厳しく赤ペンするよ
君、自分が赤ペンされる側って認識無いんだね。呆けてるね。

>それあんた
脊椎反射はダメ。君の悪い癖。

>>406
全く関係ない
要するに根号つかって解ける理屈が
全然分かってないから逃げたんでしょ
分かってないことを認めたがらない
だからいつまでウソ分かりのまま

理論とモデルの違いも分からない、理論とメタ理論の違いも分からない、証明不可能と反証可能の違いも分からない
そんなおサルさんには無理だから諦めよう

>>403
>１）¬CHを仮定しても
>　一方で 日常のわれわれ純ZFC内では、無関係
>　『|N|=ℵ0<|A|=ℵ1<|R|=|P(N)|となるAが「存在」する』は 証明できないから
証明できます。
CHとは ℵ1=|P(N)| なる主張
¬CHとは ℵ1≠|P(N)| なる主張
¬CHから ℵ1<|P(N)|=|R|が言え、濃度の大小関係の定義より単射 f:ℵ1→R が存在して、|N|<|f(ℵ1)|<|R|。

本来は基礎論スレですべき話なんじゃないの？
まあ、別に双方が合意していれば良いが。

>>410
ですね

（理論が拡大するとモデルは縮小するのにね）

>>411
＞本来は基礎論スレですべき話なんじゃないの？

それほど大層な内容もない

そうすか。

>>403 補足
(引用開始)
ゆえに CHがZFCから独立で 否定も肯定もできないなら
われわれの日常の数学には 普通は無関係■
と同様に 到達不能基数κの存在が ZFCから独立で 否定も肯定もできないなら
われわれの日常の数学では 普通無関係
但し、あったら便利と グロタンディーク
ゆえに タルスキ＝グロタンディーク集合論登場
これが到達不能基数κと関連していると 後代に分かった
グロタンディーク宇宙Uは、非保存的拡大＝ZFCを包含して 真にそれ以上■
(引用終り)

さて、到達不能基数κが、ノイマン宇宙V(ここにV内はノイマンの定義した通常の基数のみからなる)で
果たしてVのどこに位置づけられるべきか？を考察しよう

１）前振り（レベル合わせ）
・Von Neumann universe https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
　ここで、下記のポンチ絵が 参考になる
　i) https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe#/media/File:Von_Neumann_Hierarchy.svg
　An initial segment of the von Neumann universe. Ordinal multiplication is reversed from our usual convention; see Ordinal arithmetic.
　ii)https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe#/media/File:Von_Neumann_universe_4.png
　First 5 von Neumann stages V0〜V4
　（This sequence exhibits tetrational growth. The set V5 contains 2^16 = 65536 elements; the set V6 contains 2^65536 elements, which very substantially exceeds the number of atoms in the observable universe;
　The set Vω has the same cardinality as ω. The set Vω+1 has the same cardinality as the set of real numbers.）
２）要するに 普通各ステージで Vn→Vn+1 は
　直前の基数の集合の冪を繰返し取ることで成り立つ
３）いま、到達不能基数κが ノイマン宇宙Vの内部だと考えると
　それは、V内部の如何なる基数とも 一致してはならない。（∵一致したら 新しい基数を加えたことにならない）
　次に V内部の基数αを考えてVαとVα+1の間だとすると これは 一般連続体仮説の否定になる（Vω未満が連続体仮説の否定でその一般化）
　だが、おそらく「一般連続体仮説ウンヌンカンヌン」は、否定される（それでは 何の面白みもない。一般連続体仮説とは 到達不能基数κは峻別されるべき）
４）結局 消去法で 到達不能基数κの居場所は、Vの外で 基数ゆえ 上記Vのポンチ絵の上■（下は正則性公理に反する）
QED （＾＾；

>>416 タイポ訂正

（Vω未満が連続体仮説の否定でその一般化）
　↓
（VωとVω+1間が連続体仮説の否定でその一般化）

Vω未満は、論外だったな（＾＾

>>416
>通常の基数
ってなに？

>いま、到達不能基数κが ノイマン宇宙Vの内部だと考えると
考えなくても定義からκ∈V

>一致したら 新しい基数を加えたことにならない
加えなくてよい　最初から全部入ってる

>Vω未満が連続体仮説の否定
意味不明な妄想

>一般連続体仮説とは 到達不能基数κは峻別されるべき
馬鹿の妄言

>結局 消去法で 到達不能基数κの居場所は、Vの外
結局 消去法で馬鹿の居場所は数学板の外

>基数ゆえ 上記Vのポンチ絵の上■（下は正則性公理に反する）
基地外ゆえポンチ絵で分かった気になる■（The class V is defined to be the union of all the V-stagesは読めない）

代数幾何の議論など到底自分にはむりというのは理解できたんかもな。まだギリギリ代数幾何ならがロア理論のスレで話題にのぼって不思議ないんだけどな

>>415
ニコ君か
ありがとね
ところで
私が この数学板に来たとき
"Kummer"というコテハンの人が
黙々と 整数論のKummer絡みの数論の証明を
毎日毎日貼付けていた
それを思い出したので 書いてみた
2012年ころ
過去ログあると思うよ
スレのタイトルは忘れたが（＾＾

>>420
クンマー理論は良く知らないんですよね(汗)
ガロア理論は難しいですから。

（αが極限順序数の時のVαは冪じゃ無いのにね）

>>418
(ガウスDA)くんか

>>通常の基数
>ってなに？

通常の基数の定義：ZFCで存在が証明できる基数 例 ω、R(=2^ω)など 可算無限ωから始めて 冪を超限回とって実現できる基数（超限回とは 全ての順序数を尽くすこと）

>>いま、到達不能基数κが ノイマン宇宙Vの内部だと考えると
>考えなくても定義からκ∈V

違うよ
上記の通り 到達不能基数κは、ZFCで存在が証明できない基数
数学者は、存在が証明できない場合は 存在するとは言わない
その場合、存在を言いたいとき 公理を立てる（無限公理で無限集合を実現するのと同じ）

>>一致したら 新しい基数を加えたことにならない
>加えなくてよい　最初から全部入ってる

いいや
上記の通り 無限集合の存在は 無限公理を おかないと証明できない

>>422
>（αが極限順序数の時のVαは冪じゃ無いのにね）

いいや！（＾＾
Vαは冪です！！
極限順序数でない順序数を作るのは 和集合による演算（下記）

おお、Inaccessible cardinalのen.wikipedia記事に
”Existence of a proper class of inaccessibles”
「到達不能基数の公理はグロタンディーク・ヴェルディエの宇宙の公理（任意の集合がグロタンディーク宇宙に含まれるというもの）と同値になります」
「この公理系は、例えば任意の圏が適切な米田埋め込みを持つことを証明する際などに有用です」
なるほど・・・ メモメモｗ（＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number
Ordinal number
Von Neumann definition of ordinals
Thus the finite von Neumann ordinals are defined recursively as ⁠
0=∅ and ⁠
n+1=n∪{n}⁠.
That is, ⁠1={0}⁠, ⁠2={0,1}⁠, ⁠3={0,1,2}, etc.
The first infinite ordinal ⁠ω⁠ is represented by the set of all finite ordinals, i.e., the set of von Neumann natural numbers ⁠
N={0,1,2,…}. Then ⁠ω+1={0,1,2,…,ω}=N∪{ω}⁠, and so on.

https://en.wikipedia.org/wiki/Inaccessible_cardinal
Inaccessible cardinal
The two notions of an inaccessible cardinal
κ describe a cardinality
κ which can not be obtained as the cardinality of a result of typical set-theoretic operations involving only sets of cardinality less than κ. Hence the word "inaccessible". By mandating that inaccessible cardinals are uncountable, they turn out to be very large.

The existence of a strongly inaccessible cardinal is equivalent to the existence of a Grothendieck universe. If
κ is a strongly inaccessible cardinal then the von Neumann stage
Vκ is a Grothendieck universe. Conversely, if
U is a Grothendieck universe then there is a strongly inaccessible cardinal
κ such that Vκ=U. As expected from their correspondence with strongly inaccessible cardinals, Grothendieck universes are very well-closed under set-theoretic operations.

つづく

つづき

Existence of a proper class of inaccessibles
As is the case for the existence of any inaccessible cardinal, the inaccessible cardinal axiom is unprovable from the axioms of ZFC. Assuming ZFC, the inaccessible cardinal axiom is equivalent to the universe axiom of Grothendieck and Verdier: every set is contained in a Grothendieck universe. The axioms of ZFC along with the universe axiom (or equivalently the inaccessible cardinal axiom) are denoted ZFCU (not to be confused with ZFC with urelements). This axiomatic system is useful[clarification needed] to prove for example that every category has an appropriate Yoneda embedding.
(google訳)
到達不能基数の真のクラスの存在
任意の到達不能基数の存在と同様に、到達不能基数の公理はZFCの公理系からは証明できません。ZFCを前提とすると、到達不能基数の公理はグロタンディーク・ヴェルディエの宇宙の公理（任意の集合がグロタンディーク宇宙に含まれるというもの）と同値になります。ZFCの公理系に宇宙の公理（あるいは同値な到達不能基数の公理）を加えたものはZFCUと表記されます（ウアエレメントを含むZFCと混同しないよう注意が必要です）。この公理系は、例えば任意の圏が適切な米田埋め込みを持つことを証明する際などに有用です。
(引用終り)
以上

>>421
>クンマー理論は良く知らないんですよね(汗)
>ガロア理論は難しいですから。

ニコ君か
いや、クンマー理論は 本来は クンマーさんが フェルマー最終定理の
部分解決に 理想数（現在のイデアル論）を導入したときから始るんだよ

それを後世の人が ガロア理論に
取り込んだんだよ

クンマー理論自身が何を意味するか？
現代数学では いろいろ発展があるから
多義だね（人によって意味が違う）

>>423
君も諦めが悪いね

>通常の基数の定義：ZFCで存在が証明できる基数 例 ω、R(=2^ω)など 可算無限ωから始めて 冪を超限回とって実現できる基数（超限回とは 全ての順序数を尽くすこと）
全ての順序数には強到達不能基数も入ってますけど？
強到達不能基数の存在はZFCで証明できませんけど？　不完全性定理に反しますから。
ちょっと何言ってるか分かりません

>>>いま、到達不能基数κが ノイマン宇宙Vの内部だと考えると
>>考えなくても定義からκ∈V
>違うよ
違わないよ

>上記の通り 到達不能基数κは、ZFCで存在が証明できない基数
>数学者は、存在が証明できない場合は 存在するとは言わない
数学者はZFCからVの存在証明が可能なんて言ってませんけど？　あなたの妄想です。

>その場合、存在を言いたいとき 公理を立てる（無限公理で無限集合を実現するのと同じ）
じゃあVが存在するという公理を立てれば解決
まあ実際にはVが存在するための必要条件を満足する別の形の公理でしょうけど

>>>一致したら 新しい基数を加えたことにならない
>>加えなくてよい　最初から全部入ってる
>いいや
>上記の通り 無限集合の存在は 無限公理を おかないと証明できない
公理を置いていいならVの存在も証明できますけど？

>>424
>>（αが極限順序数の時のVαは冪じゃ無いのにね）
>いいや！（＾＾
>Vαは冪です！！
大嘘。
αが極限順序数のとき Vα:=[β<α]Vβ。つまり和集合。

>極限順序数でない順序数を作るのは 和集合による演算（下記）
大嘘。
αが後続順序数のとき Vα:=2^(Vα-1)。つまりべき集合。

このレベルの定義も確認できないとか、君、池沼？

>おお、Inaccessible cardinalのen.wikipedia記事に
>”Existence of a proper class of inaccessibles”
>「到達不能基数の公理はグロタンディーク・ヴェルディエの宇宙の公理（任意の集合がグロタンディーク宇宙に含まれるというもの）と同値になります」
>「この公理系は、例えば任意の圏が適切な米田埋め込みを持つことを証明する際などに有用です」
>なるほど・・・ メモメモｗ（＾＾
いくらメモしても誤読してるから無意味。
「任意の集合がある一つのグロタンディーク宇宙に含まれる」は大誤読。
「任意の集合xに対してx∈Uを満たすグロタン宇宙Uが存在する」が正読。

>「任意の集合がある一つのグロタンディーク宇宙に含まれる」は大誤読。
こういうアホ誤読してるから V⊂U とか妄想口走っちゃうんですね？分かります

>「任意の集合がある一つのグロタンディーク宇宙に含まれる」
が本当ならたちまち矛盾します。「集合全体の集まりは集合」と言ってることになりますから。
こんな簡単なことに気付けない絶望的数学センスじゃ数学は無理なので諦めましょう

>αが極限順序数のとき Vα:=[β<α]Vβ。つまり和集合。
αが極限順序数のとき Vα:=∪[β<α]Vβ。つまり和集合。

なげーよ