ガロア理論を理解したい

>>346
³√1 は (-1±√(-3))/2 と書くべし
ということ

1の7乗根をその形でかける？

>>349
>1の7乗根をその形でかける？

下記が分かりやすい
”wolframalphaで聞いてみると”な
（解の式が画像になっているので 原文サイトみて）

https://jp.quora.com/%E8%AA%9E%E5%B0%BE%E3%81%8C%E6%8B%99%E3%81%8F%E3%81%A6%E3%81%99%E3%81%BF%E3%81%BE%E3%81%9B%E3%82%93-1%E3%81%AE%E5%8E%9F%E5%A7%8B7%E4%B9%97%E6%A0%B9%E3%82%92%E5%86%AA%E6%A0%B9%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E3%81%97%E3%81%9F
quora.com
Q
語尾が拙くてすみません… 1の原始7乗根を冪根表示したものを求めていただけますか？
A
桂 英治 3年前
[概略だけ]wolframalphaで聞いてみると、
略
https://qph.cf2.quoracdn.net/main-qimg-8bec3284be89f44ef3a4d9feadcdc647
ここで、
cos(2π/7)
は、1の7乗根を
ω
としたときに、
(ω+ω6)/2
(下図参照のこと)。
ω
の実数部分と同じ。
https://qph.cf2.quoracdn.net/main-qimg-2fe5d6200b17803a17e71a0fd0cfc145
ω
は
ω6+ω5+ω4+ω3+ω2+ω+1=0
の解なので、
z=ω+ω−1
と置いて上の式を書き換えると、元の式が6次式なので、半分の次数の(つまり3次の)方程式を解くことに帰着する。
それを解くとwolframalphaの結果がでてくる。
虚数部分は
sin(2π/7)
で計算してもよいけれど、
cos
の値からも求められる。

>>347
(引用開始)
>>334
>Vの階層は階層であって宇宙とは呼ばない。宇宙とは全体という意味だから。
ノイマン宇宙の文脈では上記の通り。
一方、モデルの議論領域のことを宇宙と呼ぶことがあり、その意味でZFCモデルの議論領域としてのVκ（κ＝強到達不能基数）を宇宙と呼ぶことがある。グロタン宇宙もそのような意図での呼称だろう。
いずれにせよ「宇宙」だけでは何の宇宙かを特定できず意味が通じない。おサルさんが「宇宙宇宙」と言ってるのを見て、「ああこいつ何も分かってねーなー」と思う。
(引用終り)

なるほど 中々いい議論だ

>Vの階層は階層であって宇宙とは呼ばない。宇宙とは全体という意味だから

ここらの”宇宙”は、結構多義で 文脈でも 人によっても 微妙に意味違う
（巨大基数の宇宙と 強制法での宇宙も 微妙にニュアンスが違う）

ちょっと、定義を列記する
https://en.wikipedia.org/wiki/Universe_(mathematics)
Universe (mathematics)
In mathematics, and particularly in set theory, category theory, type theory, and the foundations of mathematics, a universe is a collection that contains all the entities one wishes to consider in a given situation.
https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
巨大数研究 Wiki
宇宙 (数学)
数学において宇宙 (universe) とは議論領域を指す言葉であり、しばしば特定の集合ないしより巨大な構成物を指す。
(引用終り)

さて、下記 グロタンディーク宇宙と到達不能基数 での 宇宙
いくつか下記から注意点をひろうと
・グロタンディーク宇宙の文脈では、宇宙は集合である
・和文で 巨大な強到達不能基数λと表現して 巨大基数の公理 (C) とうたう 即ち ” 巨大な強到達不能基数λ”は 厳密な意味での 強到達不能基数ではない（巨大基数の一つ）
・英文”Furthermore, u(|U|)=U, and |u(κ)|=κ.”で、 ここも 重要ポイント。（|U|は、集合Uの濃度）
　つまり、グロタンディーク宇宙の文脈では |u(κ)|=κ つまり 集合|u(κ)|の濃度κ
　（余談 和文”すべての遺伝的有限集合 の集合 Vω”では、Vω中にはωは含まれない。無碍公理が無ければ 自然数Nの存在証明がない。ωは集合ではない。
　が、無碍公理があれば ωは集合である。同様に 強到達不能基数λが公理として与えられたということは λもまた集合だということ）

つづく

つづき

さて、最後の余談で ノイマン宇宙Vで Vは 強到達不能基数を公理として認めない立場では クラス（類）だ。∵ ZFCだけでは集合ではない
が、強到達不能基数λ （それは 巨大基数でもある）を 認めるいうことは、グロタンディーク宇宙Uという巨大ものを 集合として 扱うことを許すということ
グロタンディーク宇宙Uは、ZFCのありとあらゆる集合操作をしても グロタンディーク宇宙Uの中
そして、グロタンディーク宇宙Uの中の存在は 全て集合。ゆえに 通常のノイマン宇宙V内に存在する集合は すべて グロタンディーク宇宙Uの中■
V ⊂U これが結論

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙と到達不能基数
グロタンディーク宇宙の2つの簡単な例がある:
・空集合∅
・すべての遺伝的有限集合 の集合 Vω 。
他の例は構成がより困難である。大まかに言うと、これはグロタンディーク宇宙が到達不能基数と同値なためである。より形式的に言えば、次の2つの公理が同値である:
(U) 任意の集合x に対して、x∈Uとなるグロタンディーク宇宙 Uが存在する。
(C) 任意の基数 κ に対して、κよりも巨大な強到達不能基数λが存在する。
この事実を証明するために、関数c(U)を以下のように定義する:
略
巨大基数の公理 (C) から宇宙の公理 (U) が導かれることを示すため集合 x を選ぶ
略
宇宙の公理 (U) から巨大基数の公理 (C) が導かれることを示すために κ を基数とする。
κ は集合なのでグロタンディーク宇宙 Uの元である。
Uの濃度は κ より大きな強到達不能基数となる。

つづく

つづき

ここ 分かり難いので 補足 英文より
https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe
Then the set u(κ) of all sets strictly of type κ is a Grothendieck universe of cardinality κ.
For details, again refer to Bourbaki's article, listed in the references.
Let u(κ) be the universe of the previous paragraph. Then
x is strictly of type κ, so x∈u(κ).
To show that the universe axiom (U) implies the large cardinal axiom (C), choose a cardinal κ.
κ is a set, so it is an element of a Grothendieck universe U.
The cardinality of U is strongly inaccessible and strictly larger than that of κ.
In fact, any Grothendieck universe is of the form u(κ) for some κ.
This gives another form of the equivalence between Grothendieck universes and strongly inaccessible cardinals:
For any Grothendieck universe
U, |U| is either zero, ℵ0, or a strongly inaccessible cardinal.
And if κ is zero, ℵ0, or a strongly inaccessible cardinal, then there is a Grothendieck universe u(κ).
Furthermore, u(|U|)=U, and |u(κ)|=κ.
Since the existence of strongly inaccessible cardinals cannot be proved from the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory (ZFC), the existence of universes other than the empty set and Vω cannot be proved from ZFC either. However, strongly inaccessible cardinals are on the lower end of the list of large cardinals; thus, most set theories that use large cardinals (such as "ZFC plus there is a measurable cardinal", "ZFC plus there are infinitely many Woodin cardinals") will prove that Grothendieck universes exist.
(引用終り)
以上

>>346
>1のべき根がべき根であらわせるのは当然では？

１のｎ乗根は１にｎ乗根号つければいい、という安直な話ではないんですよ

例えば１の３乗根は、1/2±√3i/2と、(2乗)根号で表せますよね
さらに１の５乗根は、(2乗)根号を2回使って表せる
また、１の７乗根は、１の３乗根と、(2乗)根号、３乗根号で表せる

一般に１のｎ乗根は、ｎ＞ｍとなる１のｍ乗根とｍ乗根号を使って表せる

１のｍ乗根をさらに、ｍ＞ｌとなる１のｌ乗根とｌ乗根号を使って表すとすると
最終的にはｋ＞２となる１のｋ乗根は表に現れない表記にできる
そういうことです

そこまでわかっていて「当然」というなら
流石ですね、というしかありませんが

3次方程式
(x-cos(1/7*2π))(x-cos(2/7*2π))(x-cos(3/7*2π))
を考える

倍角の公式を使えば
cos(2/7*2π)＝2cos(1/7*2π)^2-1
cos(3/7*2π)＝cos(4/7*2π)＝2cos(2/7*2π)^2-1
cos(1/7*2π)＝cos(6/7*2π)＝2cos(3/7*2π)^2-1
となることが分かる

つまり３つの根rはσ(r)＝2x^2-1で循環置換する

このとき、>>315で述べたように
(cos(1/7*2π)+ωcos(2/7*2π)+ω^2cos(3/7*2π))^3
はcosと名の付く数が消えるので
３つの根が、有理数と１の３乗根と３乗根号を使った式で表せる

やってみ　私は以前計算したから正しいとわかってるけど

sinのほうは√1‐cos^2で表せるから、結局全部、根号で表せる

>>351-352
＞ノイマン宇宙Vで Vは 強到達不能基数を公理として認めない立場では クラス（類）だ

ノイマン宇宙Vを、集合論の宇宙というなら、
そこでは、強到達不能基数をみとめようがみとめまいがクラス

認めた場合は、別の集合論宇宙となりうる集合がある
認めない場合は、そういう集合が存在しない
そういう違い

ノイマン宇宙Vを、
最小の強到達不能基数κによるVκと、
勝手に決めつけるのが、誤り

さっき本屋に行ったら
「ゲーデルの不完全性定理の頂を踏む」
なんて本が出てた

ガロア理論の頂を踏んだ次はこれか

まあ、どっちも大学３年レベルだけどな

ζ=e^(2πi/7)とおき、α=ζ+ζ^2+ζ^4 , β=ζ^3+ζ^5+ζ^6 とすると、
(x−α)(x−β)=x^2+x+2 となる。

>>351
まだやるの？　初歩から分かってないから無理なのに

>・グロタンディーク宇宙の文脈では、宇宙は集合である
グロタンディーク宇宙は集合である　言葉は正確に

>・和文で 巨大な強到達不能基数λと表現して 巨大基数の公理 (C) とうたう 即ち ” 巨大な強到達不能基数λ”は 厳密な意味での 強到達不能基数ではない（巨大基数の一つ）
また勝手読みして妄想に走ってる。定義や公理の主張内容を確認しないからそうなる。
正しくは、
・強到達不能基数とは強極限基数かつ正則基数。
　κが強到達不能基数なら基数κ+1は強到達不能基数ではない。実際、後続基数は強極限基数でない。
・巨大基数公理は、任意の基数より大きい強到達不能基数の存在を主張。
　この公理より、任意の基数λに対して強到達不能基数の無限上昇列 λ<κ0<κ1<・・・ の存在が帰結される。

>・英文”Furthermore, u(|U|)=U, and |u(κ)|=κ.”で、 ここも 重要ポイント。（|U|は、集合Uの濃度）
>　つまり、グロタンディーク宇宙の文脈では |u(κ)|=κ つまり 集合|u(κ)|の濃度κ
違う。
ここで何を言ってるかというと、任意の濃度xに対してx=|U|を満たすグロタン宇宙Uはたかだかひとつ、と言っている。

>　（余談 和文”すべての遺伝的有限集合 の集合 Vω”では、Vω中にはωは含まれない。
だからそう言ってるじゃん。もし含まれてたらいずれかの有限階層Vnに含まれてることになり矛盾だと。

>無碍公理が無ければ 自然数Nの存在証明がない。
それはまた別の話。理論とモデルをごっちゃにしちゃダメ。
存在証明が無いことと、モデルにωが存在することは矛盾しない。なぜかわかる？　モデルの定義を読めば分かる。勝手読みしたら分からない。

>ωは集合ではない。
これも大嘘。
公理から存在証明できないことと存在反証できることを混同している。
公理から存在証明できないことは非集合の根拠にならない。存在反証できてないから。
集合と仮定して矛盾が導けるなら非集合の根拠になる。存在反証できてるから。

>　が、無碍公理があれば ωは集合である。同様に 強到達不能基数λが公理として与えられたということは λもまた集合だということ）
いわずもがな。

>>358　へぇ、ほぅ😏

>>356
>ノイマン宇宙Vを、集合論の宇宙というなら、
>そこでは、強到達不能基数をみとめようがみとめまいがクラス

正直 その議論は 大して意味がないと思う
つまり、「鶏が先か卵が先か」 みたいなことだね

ポイントは下記二つ
１）”The existence of a nontrivial Grothendieck universe goes beyond the usual axioms of Zermelo–Fraenkel set theory; in particular it would imply the existence of strongly inaccessible cardinals.”
　つまり、ZFCを超えるグロタンディーク宇宙を考えて ZFCでの”真のクラスを回避する方法として導入した”
２）グロタンディーク宇宙の考えは 基礎論屋さん”the existence of strongly inaccessible cardinals”と結びついた

繰返すが 普通の (strongly inaccessible cardinals が存在しない) ノイマン宇宙Vの中の集合を 全て含み かつ
Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）。

https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe
A Grothendieck universe is meant to provide a set in which all of mathematics can be performed. In fact, uncountable Grothendieck universes provide models of set theory with the natural ∈-relation, natural power set operation, etc. Elements of a Grothendieck universe are sometimes called small sets. The idea of universes is due to Alexander Grothendieck, who used them as a way of avoiding proper classes in algebraic geometry. Grothendieck’s original proposal was to add the following axiom of universes to the usual axioms of set theory:
For every set
s, there exists a universe
U that contains s, i.e.,
s∈U.

The existence of a nontrivial Grothendieck universe goes beyond the usual axioms of Zermelo–Fraenkel set theory; in particular it would imply the existence of strongly inaccessible cardinals.
Tarski–Grothendieck set theory is an axiomatic treatment of set theory, used in some automatic proof systems, in which every set belongs to a Grothendieck universe.
The concept of a Grothendieck universe can also be defined in an elementary topos.[1]

（ついで）
>>351 タイポ訂正

無碍公理
　↓
無限公理

>>358
6次の巡回群を考えたとき、偶置換と奇置換で分けたらこうなるのだろう。（指数2の部分群）

指数3の部分群を考えれば、3次方程式が考えられるだろう。

>>359
つー >>361な ｗ（＾＾

>ここで何を言ってるかというと、任意の濃度xに対してx=|U|を満たすグロタン宇宙Uはたかだかひとつ、と言っている。

中高生も来るから
赤ペンするよ

・グロタン宇宙Uの オリジナルの グロタンの最初のアイデアは
　巨大基数ｋと結びついては いなかった
・基礎論の 巨大基数ｋの視点から見ると、
　巨大基数の何も存在しない 通常のノイマン宇宙Vよりも 大きくとれる 巨大基数を何かとってくればいいってこと
　その一つが”強到達不能基数”で 多分 それより大きい分には 構わないってことだ■

>>363 追加

https://en.wikipedia.org/wiki/Large_cardinal
Large cardinal
https://en.wikipedia.org/wiki/Large_cardinal#/media/File:Large_Cardinals.jpg
Large cardinal hierarchy, ordered from bottom to top in terms of strength.
（注；measurable cardinal（可測基数）が 中段あたり 厳密な意味の inaccessible cardinal は最下段
　なお、本文より 引用
”Typically, models in which large cardinal axioms fail can be seen in some natural way as submodels of those in which the axioms hold. For example, if there is an inaccessible cardinal, then "cutting the universe off" at the height of the first such cardinal yields a universe in which there is no inaccessible cardinal.”）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E5%9F%BA%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%80%A7%E8%B3%AA%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7
巨大基数的性質の一覧
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_large_cardinal_properties
List of large cardinal properties

ζ=e^(2πi/7)とおくと、
(x-ζ−ζ^6)(x−ζ^3−ζ^4)(x−ζ^2-ζ^5)
=x^3+x^2-2x−1
となるだろう、多分。

これは6次の巡回群の指数3の部分群の、剰余類分解に関係しているのだろう。

>>352
>さて、最後の余談で ノイマン宇宙Vで Vは 強到達不能基数を公理として認めない立場では クラス（類）だ。∵ ZFCだけでは集合ではない
大間違い。>>297
人から間違いを指摘されなくても理解するのが利口者
人から間違いを指摘されて理解するのが普通のバカ
人から間違いを指摘されても理解できない君は希代のバカ

>が、強到達不能基数λ （それは 巨大基数でもある）を 認めるいうことは、グロタンディーク宇宙Uという巨大ものを 集合として 扱うことを許すということ
Uじゃなくu(λ)。
あれだけ教えてあげたのにまだ一般名詞と固有名詞の区別ができてない。頭悪すぎ。

>グロタンディーク宇宙Uは、ZFCのありとあらゆる集合操作をしても グロタンディーク宇宙Uの中
UがZFCモデル（の議論領域）という意味ならその通り。
。。。と言いたいところだが、例外あり。{}とVω。

>そして、グロタンディーク宇宙Uの中の存在は 全て集合。
「中の存在」とかいう馬鹿語は使わない方が良い。元なり部分集合なりと言え。元も部分集合も集合であることはいわずもがな。

>ゆえに 通常のノイマン宇宙V内に存在する集合は すべて グロタンディーク宇宙Uの中■
「通常の」とかいう馬鹿語は使わない方が良い。通常じゃないVってどんなV？　君、答えられるの？　答えられないってことは自分が何を言ってるか自分で分かってないってことだよ。それは馬鹿の極み。
反例：κ0<κ1を強到達不能基数の列とする。(u(κ0)=Vκ0⊂u(κ1)=Vκ1⊂V)∧(u(κ0)=Vκ0≠u(κ1)=Vκ1≠V) つまりu(κ1)はV内に存在するがu(κ0)内に存在しない。残念！

>V ⊂U これが結論
大間違い。
そもそも真クラスは集合の元にも集合の部分クラスにもなれない。

無駄な抵抗はやめた方がいいよ。君、初歩の初歩から分かってないから。
君がやるべきは口を閉じて一から地道に勉強すること。それが嫌なら数学やめな。

>>364 追加

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_large_cardinal_properties
List of large cardinal properties
Existence of a cardinal number κ of a given type implies the existence of cardinals of most of the types listed above that type, and for most listed cardinal descriptions φ of lesser consistency strength, Vκ satisfies "there is an unbounded class of cardinals satisfying φ".

ここの ”Vκ”のリンクが
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
で、下記な
抜粋：a collection of sets Vα indexed by the class of ordinal numbers; in particular, Vα is the set of all sets having ranks less than α. Thus there is one set Vα for each ordinal number α. Vα may be defined by transfinite recursion as follows:

https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Definition
The cumulative hierarchy is a collection of sets Vα indexed by the class of ordinal numbers; in particular, Vα is the set of all sets having ranks less than α. Thus there is one set Vα for each ordinal number α. Vα may be defined by transfinite recursion as follows:
略

（注：Von_Neumann_universe中のαは、普通のordinal number αであって 巨大基数は 含まない。
　が、その延長上に large cardinalがあり ”Vκ”は それにならうということ ）

>>367
ふっ
　>>368な

あと
>大間違い。
>そもそも真クラスは集合の元にも集合の部分クラスにもなれない。

言葉のあやだな
　>>361
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）。
(引用終り)

『宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）』

ZFCままだと 真のクラスになるべきところ
グロタンディーク宇宙さま だと 真のクラスを回避！
それを どう表現しようが 数学外の 文学表現にすぎない
まあ、サルがタイプを叩けば 好きな言葉が叩けるさｗ（＾＾

セタが尊敬しそうな昭和の社長。令和になって鍍金が剥がれた。
ちなみに「御大」とも呼ばれていたらしい。
https://www.youtube.com/watch?v=6NmvoJCzRu8

>>369 補足
>ZFCままだと 真のクラスになるべきところ
>グロタンディーク宇宙さま だと 真のクラスを回避！
>それを どう表現しようが 数学外の 文学表現にすぎない

まあ、中高生向けに説明すると
１）ZFCは、ラッセルパラドックスが生じないように 厳しく 厳しく集合の範囲を制限した
２）が、その後 「ちょっと狭すぎない？」と思う数学者たちがいた
３）その一人が グロタン で 「代数幾何の圏論やりたいから ZFC広げちゃうね」と
４）それを見た 基礎論屋さん「それって 俺たちが考えていた 巨大基数論に乗るっぺよ」といった
そして いまに至る （＾＾

>>358
それがガウス周期と呼ばれるものの一例ですね。
ガウスD.A.にはガウス周期の理論も含まれている。
現代的には、部分体とか基底の理論に相当するが
より詳しい積公式なども成立するのが特徴的。

なお、α-βは2次のガウス和であり、√7 i に等しい。

ガウスは素数p、p-1が3で割れるときに、3次の
ガウス周期がみたすQ上の3次方程式を一般的に求めているが
その際に、問題が有限体上の楕円曲線の点の個数の
数え上げと関係することを発見している。
Wikipediaの記述より
「また、第7章第358条は、有限体上の楕円曲線の点の個数に関する、
ハッセの定理の評価が非自明に成り立つ（歴史的に）最初の例を与えている」

>>350
わかりにくい
とかいうか何が問題になってるかわかりますか？

>>370
>セタが尊敬しそうな昭和の社長。令和になって鍍金が剥がれた。
>ちなみに「御大」とも呼ばれていたらしい。
>https://www.youtube.com/watch?v=6NmvoJCzRu8

うん 永守重信氏さんね
実話を二つ
１）ちょっと後輩で 「日本電産（いまのニデック）に 移ることにした」と挨拶に来た人がいた
　聞くと 神戸から京都に通うのだが
　相手の会社の人事から「うちの会社は 厳しいから 京都まで通えますか 」みたく言われたという
　（要するに ２４時間働けますか？ みたくね）
　（その後は 聞いていないが 果たしてどうなったか？）
２）ずっと後で ご近所の人で 大手銀行から ヨーロッパの支店勤務だったところ
　”日本電産に移る”という 井戸端会議の情報を聞いた
　上記の後輩の話を連想した。
　（日本電産は、表向き華やかだが 内実はブラックだろうと思っていたので）
　そして その人は２〜３年で別の会社へ移ったという（長続きしなかったというか ブラックでやめて正解だったか）

まあ、永守重信氏さんみたいなやり方は
うまく行くときは良いが 逆回転になると
内部から崩壊する（粉飾の横行）という典型例だろう

https://ja.wikipedia.org/wiki/24%E6%99%82%E9%96%93%E6%88%A6%E3%81%88%E3%81%BE%E3%81%99%E3%81%8B
24時間戦えますか（にじゅうよじかんたたかえますか）は、三共の栄養ドリンク『リゲイン』がかつて使用していたキャッチコピーである[1]

>>361
>>ノイマン宇宙Vを、集合論の宇宙というなら、
>>そこでは、強到達不能基数をみとめようがみとめまいがクラス
その通り。>>297

>正直 その議論は 大して意味がないと思う
真クラスか集合かは大問題。そもそもグロタンがグロタン宇宙を考えた最大の動機。

>つまり、「鶏が先か卵が先か」 みたいなことだね
まったくトンチンカン。

>ポイントは下記二つ
初歩の初歩から分かってない君に何がポイントか分かるはずが無い。

>１）”The existence of a nontrivial Grothendieck universe goes beyond the usual axioms of Zermelo–Fraenkel set theory; in particular it would imply the existence of strongly inaccessible cardinals.”
>　つまり、ZFCを超えるグロタンディーク宇宙を考えて ZFCでの”真のクラスを回避する方法として導入した”
集合としてのZFCモデルが欲しいのなら強到達不能基数κの存在の仮定とVκで十分。Vκはグロタン宇宙だが、グロタン宇宙はVκに限らない。つまりグロタン宇宙を考える動機は「集合としてのZFCモデルが欲しい」を超えている。
そもそも英文と君の文はぜんぜん違うことを言っていて「つまり」で結ぶのは甚だ不適当。

>２）グロタンディーク宇宙の考えは 基礎論屋さん”the existence of strongly inaccessible cardinals”と結びついた
こちらの方がむしろ英文に近い。たいぶ違うけど。
で？　だから何だと君は言ってるの？

>繰返すが 普通の (strongly inaccessible cardinals が存在しない) ノイマン宇宙Vの中の集合を 全て含み かつ
>Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ■
いくら繰り返しても間違いが正しくなることは無い。
Vはすべての強到達不能基数を持つ。一方どんなに大きなグロタン宇宙を考えてもすべての強到達不能基数を持つことは決して無い。集合であるとの定義に反するから。

>>363
>　巨大基数の何も存在しない 通常のノイマン宇宙V
そんなものはありません。Vはすべての基数を持っており、そうでないVはありません。
君、なんでVの定義を確認しないの？　検索は得意なんじゃなかったっけ？

>>368
>注：Von_Neumann_universe中のαは、普通のordinal number αであって 巨大基数は 含まない。
嘘注乙。
君の引用にこんなことは一言も書かれてない。君、息するように嘘つくね。

>>369
>言葉のあやだな
ごまかしてもダメ

>ZFCままだと 真のクラスになるべきところ
>グロタンディーク宇宙さま だと 真のクラスを回避！
誤読にもとづく妄想

Q(√√2)のガロア群は、4次の二面体群。

>>380
Q（√√2）を含む最小のガロア拡大のガロア群の間違い。

>>371
>まあ、中高生向けに説明すると
君の説明を真に受ける中高生はいないと思うよ　君よりは賢いから

>１）ZFCは、ラッセルパラドックスが生じないように 厳しく 厳しく集合の範囲を制限した
>２）が、その後 「ちょっと狭すぎない？」と思う数学者たちがいた
>３）その一人が グロタン で 「代数幾何の圏論やりたいから ZFC広げちゃうね」と
>４）それを見た 基礎論屋さん「それって 俺たちが考えていた 巨大基数論に乗るっぺよ」といった
>そして いまに至る （＾＾
妄想乙

そもそも理解し損なってるからな
別に通常のZFCの中だけで代数幾何議論するのに不足はない
「代数幾何やるためにZFCを拡張した」というのはそんなわけない

中高生の時に騙されて、同じような人が出ないためにここに居て、いま中高生を騙そうとしている

>>383
そうね
単純に小さな圏に持ち込む面倒を
避ける方便に使うのがグロタンディク宇宙

>>374
>わかりにくい

"わかりにくい" "分らない"に、属人性がある
ある人には分かり ある人には分らない

>とかいうか何が問題になってるかわかりますか？

しらない
　>>349「1の7乗根をその形でかける？」と書かれているね
指示語 「その形」が あいまいではあるね
そもそも、私への質問ではなかった
おそらくその直前の >>348への質問だろ？
ただ、”1の7乗根”のべき根表示で検索して
ヒットしたのを貼っただけさ

そして その後に>> 354-355に追加投稿あるよ
質問は そちらへ

>>376-385
>そもそも理解し損なってるからな
>別に通常のZFCの中だけで代数幾何議論するのに不足はない
>「代数幾何やるためにZFCを拡張した」というのはそんなわけない
>そうね
>単純に小さな圏に持ち込む面倒を
>避ける方便に使うのがグロタンディク宇宙

みんな なんで思いつきの ウソを書くのかな？ｗ
ちゃんと 発言の裏取り検索をしなよｗｗ
数学では、その態度は通用しない！
大学ゼミでは、黒板ハリツケの刑だよ（＾＾

さて下記 引用
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%82%AD%EF%BC%9D%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
タルスキ＝グロタンディーク集合論
ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）の非保存的拡大
タルスキの公理は到達不能基数の存在を含意し、ZFC より豊かな存在論を与える。例えば、この公理を追加することで圏論を支えることができる。
https://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%E2%80%93Grothendieck_set_theory
Tarski–Grothendieck set theory
(google訳)
タルスキの公理は、無限、選択、[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]および冪集合の公理も含意します。[ 4 ] [ 5 ]また、到達不可能な基数の存在も含意しており、そのおかげでTGの存在論はZFCなどの従来の集合論の存在論よりもはるかに豊かです。
タルスキ宇宙が推移的であれば、それはグロタンディーク宇宙でもあります。[ 7 ]逆に、選択公理を仮定すると、すべてのグロタンディーク宇宙はタルスキ宇宙です（つまり、タルスキの公理を満たします）。[ 8 ]
タルスキの公理は、ZFCよりもはるかに多くの集合を保証する公理である。
(引用終り)

まとめ
１）ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）の非保存的拡大
２）タルスキの公理は到達不能基数の存在を含意し、ZFC より豊かな存在論を与える。例えば、この公理を追加することで圏論を支えることができる。
３）選択公理を仮定すると、すべてのグロタンディーク宇宙はタルスキ宇宙です（つまり、タルスキの公理を満たします）
タルスキの公理は、ZFCよりもはるかに多くの集合を保証する公理である。
以上

な、やっぱりわかってないやろ
お前に代数幾何なんて到底無理だよ

（彼の人のカキコミは支離滅裂）

>>367,376,383
ですね

理論が拡大すると証明できることは増えるかもしれないが
（保存拡大なら増えない・非保存拡大なら増える）
逆に
集合論の宇宙に存在するものは増えない
最も拡大された理論は人（矛盾）
これは全てを証明できるが
そのモデルは空

空じゃなく無い
あるなら無矛盾
それが完全性定理

重要なのは
Vの中で全ての操作を行っているということ
彼の人が良く引用するのはこれだったかな？
https://konn-san.com/math/boolean-valued-model-and-forcing.html
ここで行っている全ての操作はVの中でのモノ
そこでVBを作りそれがV[G]と見なせることおよび
その「中」にVがあると見ても良いことが示されているが
ここでいう「中」にあるというのは
実数体が超実数体に埋め込まれているというのと同様
Vをその部分クラスであるVBの「中」に埋め込んで
同一視をしているだけのこと
VB（V[G]）の中でもOrdはVのものと同じ
つまり
当然なことだが到達不能基数もVのOrdの「中」にある
ZFCではそれが到達不能基数であると証明できないだけ
（証明できたらZFCが自分自身の無矛盾性を証明したことになってゲーデルの第二不完全性定理に反してしまう）

>>361
(引用開始)
ポイントは下記二つ
１）”The existence of a nontrivial Grothendieck universe goes beyond the usual axioms of Zermelo–Fraenkel set theory; in particular it would imply the existence of strongly inaccessible cardinals.”
　つまり、ZFCを超えるグロタンディーク宇宙を考えて ZFCでの”真のクラスを回避する方法として導入した”
２）グロタンディーク宇宙の考えは 基礎論屋さん”the existence of strongly inaccessible cardinals”と結びついた
繰返すが 普通の (strongly inaccessible cardinals が存在しない) ノイマン宇宙Vの中の集合を 全て含み かつ
Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ■
(引用終り)

下記 Class (set theory) en.wikipedia だ

記述修正
Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ
　↓
Vでは”クラスが扱えないことを回避する”ものだということ

つまり 下記記述
”Because classes do not have any formal status in the theory of ZF, the axioms of ZF do not immediately apply to classes.
However, if an inaccessible cardinal κ is assumed, then the sets of smaller rank form a model of ZF (a Grothendieck universe), and its subsets can be thought of as "classes".”
＜補足＞
１）そもそも、ZF中では ”classes do not have any formal status” つまり、クラスという言葉さえない
２）そこで、”an inaccessible cardinal κ”（不定冠詞anな）でもって、”a Grothendieck universe”（不定冠詞aな）を導入して
　”its subsets”とする it＝a Grothendieck universe こいつを ”can be thought of as "classes"”、つまり "classes"として考えることができるよと

これで、”a Grothendieck universe”の”subsets”として、クラス"classes"（複数形）を考えることが出来 そして扱える■
（余談：”すべての順序数のクラス”とかは、煮ても焼いても集合にはできないかも）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Class_(set_theory)
Class (set theory)
A class that is not a set (informally in Zermelo–Fraenkel) is called a proper class, and a class that is a set is sometimes called a small class. For instance, the class of all ordinal numbers, and the class of all sets, are proper classes in many formal systems.
(google訳)
（ツェルメロ・フレンケル集合論などの文脈において）集合ではないクラスは「真のクラス」と呼ばれ、集合であるクラスは「小さなクラス」と呼ばれることがあります。例えば、すべての順序数のクラスや、すべての集合のクラスは、多くの形式的体系において真のクラスとなります。
Classes in formal set theories
Because classes do not have any formal status in the theory of ZF, the axioms of ZF do not immediately apply to classes.
However, if an inaccessible cardinal κ is assumed, then the sets of smaller rank form a model of ZF (a Grothendieck universe), and its subsets can be thought of as "classes".

>>392
ゴメン

>>393
(引用開始)
彼の人が良く引用するのはこれだったかな？
https://konn-san.com/math/boolean-valued-model-and-forcing.html
ここで行っている全ての操作はVの中でのモノ
そこでVBを作りそれがV[G]と見なせることおよび
(引用終り)

それ、強制法の宇宙Vだよ
到達不能基数の宇宙の議論とは微妙に違う

強制法の宇宙は、例えて言えば 宇宙を横に広げる話
到達不能基数の宇宙の議論は、宇宙を縦（高さ方向）に広げる話だ

なお
（この人はめちゃ優秀です。むかしっから資料の参照をさせてもらっています。分かり易い）
https://konn-san.com/profile.html
自己紹介(石井大海)
2019/03 筑波大学大学院 数理物質科学研究科 数学専攻 博士後期課程修了
2017/04〜2019/03 日本学術振興会特別研究員（DC2）
2016/04〜 筑波大学大学院 数理物質科学研究科 数学専攻 博士後期課程
2016/03 筑波大学大学院 数理物質科学研究科 数学専攻 博士前期課程修了
2014/04 筑波大学大学院 数理物質科学研究科 数学専攻入学
2014/03 同卒業（基幹理工学部総代）
2011/04 早稲田大学基幹理工学部 数学科配属

>>394
>However, if an inaccessible cardinal κ is assumed, then the sets of smaller rank form a model of ZF (a Grothendieck universe), and its subsets can be thought of as "classes".
このクラスは相対化されたクラス。
集合全体の集まりは集合ではない。実際、仮に集合と仮定するとカントールの定理と矛盾する。
UをU内部から見ると集合全体の集まりだから真クラスに見える。一方宇宙全体Vから見ると無数にある集合のうちのひとつに見える。集合か真クラスかは視点に依存する。
U内部で真クラスに見えるものを数学者は外部の視点から集合として安心して取り扱うことができる。

>繰返すが 普通の (strongly inaccessible cardinals が存在しない) ノイマン宇宙Vの中の集合を 全て含み かつ
>Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ■
まったく見当違い。

>>396
>到達不能基数の宇宙の議論は、宇宙を縦（高さ方向）に広げる話だ
大嘘。
ノイマン宇宙はすべての順序数（従ってすべての基数）を最初から持っており、縦に広げることはできません。

なにをどんだけ引用しようとそれから得た結論がめっちゃくちゃ。
Grothendieck が Universe の話をもちだしたのを「代数幾何に必要不可欠なもの」とかアンポンタンな結論にもっていってしまう。
もちろん代数幾何なんて勉強したことないんだからそういうミスをしてしまうのはしょうがないとして、そのミスを他人から指摘されてまったく反省なくなぜだか「お前がまちがってる」とおもってしまう。
素頭以前に人間性が学問にむいてない。頭もわるいが心もだめ。なにもかも学問に向いてない

ガロア理論を諦めて
集合論の下らん話題を駄弁る
このスレは終了ってことで
オナシャス

集合論の話も終わりでよい。
一匹ｖｓその他になってるし、その一匹はレベルが低すぎて会話が成立してない。これ以上続けても無駄。

¬CHを仮定すれば実数の中に|N|=ℵ0<|A|=ℵ1<|R|=|P(N)|となるAが「存在」することになる
NもP(N)もZFで既に定義されているが
¬CHを仮定することでAが新たに生まれたと考えるのが彼の人
正しくは写像が「減る」（存在が許されなくなる）ため
N⊂∃A⊂R:¬∃f:N→A:iso∧¬∃g:A→R:iso
となる

>>397-402
ここは、中高生もくるので 厳しく赤ペンするよ

>>繰返すが 普通の (strongly inaccessible cardinals が存在しない) ノイマン宇宙Vの中の集合を 全て含み かつ
>>Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ■
>まったく見当違い。

それあんた

まず 記述修正を入れている>>394より
Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ
　↓
Vでは”クラスが扱えないことを回避する”ものだということ
（追加：真のクラスの厳密な定義が面倒なのでそれを回避した）

さて >> 387 タルスキ＝グロタンディーク集合論
『ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）の非保存的拡大
タルスキの公理は到達不能基数の存在を含意し、ZFC より豊かな存在論を与える。例えば、この公理を追加することで圏論を支えることができる』
百回音読してね
つまり、非保存的拡大＝ZFCを包含して 真にそれ以上■

>¬CHを仮定すれば実数の中に|N|=ℵ0<|A|=ℵ1<|R|=|P(N)|となるAが「存在」することになる

１）¬CHを仮定しても
　一方で 日常のわれわれ純ZFC内では、無関係
　『|N|=ℵ0<|A|=ℵ1<|R|=|P(N)|となるAが「存在」する』は 証明できないから
２）つまり、われわれの日常は、空集合Φから順に有限自然数を構成し、無限集合Nを構成し べき集合から実数Rを構成し、実関数を考えて 2^Rを構成する・・
　この道筋上には 上記集合Aは登場しない（∵証明： 背理法による。集合Aが証明可能なら 集合AがZFCで証明できたことになり CHは独立に反する）

ゆえに CHがZFCから独立で 否定も肯定もできないなら
われわれの日常の数学には 普通は無関係■

と同様に 到達不能基数κの存在が ZFCから独立で 否定も肯定もできないなら
われわれの日常の数学では 普通無関係

但し、あったら便利と グロタンディーク
ゆえに タルスキ＝グロタンディーク集合論登場
これが到達不能基数κと関連していると 後代に分かった
グロタンディーク宇宙Uは、非保存的拡大＝ZFCを包含して 真にそれ以上■

>>403
>ここは、中高生もくるので

それどころか小学生とか幼稚園児とか🐵も来る
そいつらが数学者面して赤ペン採点とかいって悪戯書きする
そして自分に勝手に💯つける　🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣

2進法で100点
な～んちゃって(^^)
ただ、冗談が言いたいだけのおにぃw

ガロア理論に殆ど関係ないw
基礎論スレあるのに。
基礎論なのか知らんが。

>>403
>Vでは”クラスが扱えないことを回避する”ものだということ
まったく見当違い。
κを強到達不能基数として、VκはZFCのモデル（の議論領域）であるが、それはZFCとしては真クラス（Vκを集合と仮定すると矛盾し存在反証できるから）、ZFC+(κの存在)としては集合（公理から存在証明できるから）。
クラスを扱えないのはZFCもZFC+(κの存在)も同じ。

>（追加：真のクラスの厳密な定義が面倒なのでそれを回避した）
真クラスとは集合でないクラス。

>ここは、中高生もくるので 厳しく赤ペンするよ
君、自分が赤ペンされる側って認識無いんだね。呆けてるね。

>それあんた
脊椎反射はダメ。君の悪い癖。

>>406
全く関係ない
要するに根号つかって解ける理屈が
全然分かってないから逃げたんでしょ
分かってないことを認めたがらない
だからいつまでウソ分かりのまま

理論とモデルの違いも分からない、理論とメタ理論の違いも分からない、証明不可能と反証可能の違いも分からない
そんなおサルさんには無理だから諦めよう

>>403
>１）¬CHを仮定しても
>　一方で 日常のわれわれ純ZFC内では、無関係
>　『|N|=ℵ0<|A|=ℵ1<|R|=|P(N)|となるAが「存在」する』は 証明できないから
証明できます。
CHとは ℵ1=|P(N)| なる主張
¬CHとは ℵ1≠|P(N)| なる主張
¬CHから ℵ1<|P(N)|=|R|が言え、濃度の大小関係の定義より単射 f:ℵ1→R が存在して、|N|<|f(ℵ1)|<|R|。

本来は基礎論スレですべき話なんじゃないの？
まあ、別に双方が合意していれば良いが。

>>410
ですね

（理論が拡大するとモデルは縮小するのにね）

>>411
＞本来は基礎論スレですべき話なんじゃないの？

それほど大層な内容もない

そうすか。

>>403 補足
(引用開始)
ゆえに CHがZFCから独立で 否定も肯定もできないなら
われわれの日常の数学には 普通は無関係■
と同様に 到達不能基数κの存在が ZFCから独立で 否定も肯定もできないなら
われわれの日常の数学では 普通無関係
但し、あったら便利と グロタンディーク
ゆえに タルスキ＝グロタンディーク集合論登場
これが到達不能基数κと関連していると 後代に分かった
グロタンディーク宇宙Uは、非保存的拡大＝ZFCを包含して 真にそれ以上■
(引用終り)

さて、到達不能基数κが、ノイマン宇宙V(ここにV内はノイマンの定義した通常の基数のみからなる)で
果たしてVのどこに位置づけられるべきか？を考察しよう

１）前振り（レベル合わせ）
・Von Neumann universe https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
　ここで、下記のポンチ絵が 参考になる
　i) https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe#/media/File:Von_Neumann_Hierarchy.svg
　An initial segment of the von Neumann universe. Ordinal multiplication is reversed from our usual convention; see Ordinal arithmetic.
　ii)https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe#/media/File:Von_Neumann_universe_4.png
　First 5 von Neumann stages V0〜V4
　（This sequence exhibits tetrational growth. The set V5 contains 2^16 = 65536 elements; the set V6 contains 2^65536 elements, which very substantially exceeds the number of atoms in the observable universe;
　The set Vω has the same cardinality as ω. The set Vω+1 has the same cardinality as the set of real numbers.）
２）要するに 普通各ステージで Vn→Vn+1 は
　直前の基数の集合の冪を繰返し取ることで成り立つ
３）いま、到達不能基数κが ノイマン宇宙Vの内部だと考えると
　それは、V内部の如何なる基数とも 一致してはならない。（∵一致したら 新しい基数を加えたことにならない）
　次に V内部の基数αを考えてVαとVα+1の間だとすると これは 一般連続体仮説の否定になる（Vω未満が連続体仮説の否定でその一般化）
　だが、おそらく「一般連続体仮説ウンヌンカンヌン」は、否定される（それでは 何の面白みもない。一般連続体仮説とは 到達不能基数κは峻別されるべき）
４）結局 消去法で 到達不能基数κの居場所は、Vの外で 基数ゆえ 上記Vのポンチ絵の上■（下は正則性公理に反する）
QED （＾＾；

>>416 タイポ訂正

（Vω未満が連続体仮説の否定でその一般化）
　↓
（VωとVω+1間が連続体仮説の否定でその一般化）

Vω未満は、論外だったな（＾＾

>>416
>通常の基数
ってなに？

>いま、到達不能基数κが ノイマン宇宙Vの内部だと考えると
考えなくても定義からκ∈V

>一致したら 新しい基数を加えたことにならない
加えなくてよい　最初から全部入ってる

>Vω未満が連続体仮説の否定
意味不明な妄想

>一般連続体仮説とは 到達不能基数κは峻別されるべき
馬鹿の妄言

>結局 消去法で 到達不能基数κの居場所は、Vの外
結局 消去法で馬鹿の居場所は数学板の外

>基数ゆえ 上記Vのポンチ絵の上■（下は正則性公理に反する）
基地外ゆえポンチ絵で分かった気になる■（The class V is defined to be the union of all the V-stagesは読めない）

代数幾何の議論など到底自分にはむりというのは理解できたんかもな。まだギリギリ代数幾何ならがロア理論のスレで話題にのぼって不思議ないんだけどな

>>415
ニコ君か
ありがとね
ところで
私が この数学板に来たとき
"Kummer"というコテハンの人が
黙々と 整数論のKummer絡みの数論の証明を
毎日毎日貼付けていた
それを思い出したので 書いてみた
2012年ころ
過去ログあると思うよ
スレのタイトルは忘れたが（＾＾

>>420
クンマー理論は良く知らないんですよね(汗)
ガロア理論は難しいですから。

（αが極限順序数の時のVαは冪じゃ無いのにね）

>>418
(ガウスDA)くんか

>>通常の基数
>ってなに？

通常の基数の定義：ZFCで存在が証明できる基数 例 ω、R(=2^ω)など 可算無限ωから始めて 冪を超限回とって実現できる基数（超限回とは 全ての順序数を尽くすこと）

>>いま、到達不能基数κが ノイマン宇宙Vの内部だと考えると
>考えなくても定義からκ∈V

違うよ
上記の通り 到達不能基数κは、ZFCで存在が証明できない基数
数学者は、存在が証明できない場合は 存在するとは言わない
その場合、存在を言いたいとき 公理を立てる（無限公理で無限集合を実現するのと同じ）

>>一致したら 新しい基数を加えたことにならない
>加えなくてよい　最初から全部入ってる

いいや
上記の通り 無限集合の存在は 無限公理を おかないと証明できない

>>422
>（αが極限順序数の時のVαは冪じゃ無いのにね）

いいや！（＾＾
Vαは冪です！！
極限順序数でない順序数を作るのは 和集合による演算（下記）

おお、Inaccessible cardinalのen.wikipedia記事に
”Existence of a proper class of inaccessibles”
「到達不能基数の公理はグロタンディーク・ヴェルディエの宇宙の公理（任意の集合がグロタンディーク宇宙に含まれるというもの）と同値になります」
「この公理系は、例えば任意の圏が適切な米田埋め込みを持つことを証明する際などに有用です」
なるほど・・・ メモメモｗ（＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number
Ordinal number
Von Neumann definition of ordinals
Thus the finite von Neumann ordinals are defined recursively as ⁠
0=∅ and ⁠
n+1=n∪{n}⁠.
That is, ⁠1={0}⁠, ⁠2={0,1}⁠, ⁠3={0,1,2}, etc.
The first infinite ordinal ⁠ω⁠ is represented by the set of all finite ordinals, i.e., the set of von Neumann natural numbers ⁠
N={0,1,2,…}. Then ⁠ω+1={0,1,2,…,ω}=N∪{ω}⁠, and so on.

https://en.wikipedia.org/wiki/Inaccessible_cardinal
Inaccessible cardinal
The two notions of an inaccessible cardinal
κ describe a cardinality
κ which can not be obtained as the cardinality of a result of typical set-theoretic operations involving only sets of cardinality less than κ. Hence the word "inaccessible". By mandating that inaccessible cardinals are uncountable, they turn out to be very large.

The existence of a strongly inaccessible cardinal is equivalent to the existence of a Grothendieck universe. If
κ is a strongly inaccessible cardinal then the von Neumann stage
Vκ is a Grothendieck universe. Conversely, if
U is a Grothendieck universe then there is a strongly inaccessible cardinal
κ such that Vκ=U. As expected from their correspondence with strongly inaccessible cardinals, Grothendieck universes are very well-closed under set-theoretic operations.

つづく

つづき

Existence of a proper class of inaccessibles
As is the case for the existence of any inaccessible cardinal, the inaccessible cardinal axiom is unprovable from the axioms of ZFC. Assuming ZFC, the inaccessible cardinal axiom is equivalent to the universe axiom of Grothendieck and Verdier: every set is contained in a Grothendieck universe. The axioms of ZFC along with the universe axiom (or equivalently the inaccessible cardinal axiom) are denoted ZFCU (not to be confused with ZFC with urelements). This axiomatic system is useful[clarification needed] to prove for example that every category has an appropriate Yoneda embedding.
(google訳)
到達不能基数の真のクラスの存在
任意の到達不能基数の存在と同様に、到達不能基数の公理はZFCの公理系からは証明できません。ZFCを前提とすると、到達不能基数の公理はグロタンディーク・ヴェルディエの宇宙の公理（任意の集合がグロタンディーク宇宙に含まれるというもの）と同値になります。ZFCの公理系に宇宙の公理（あるいは同値な到達不能基数の公理）を加えたものはZFCUと表記されます（ウアエレメントを含むZFCと混同しないよう注意が必要です）。この公理系は、例えば任意の圏が適切な米田埋め込みを持つことを証明する際などに有用です。
(引用終り)
以上

>>421
>クンマー理論は良く知らないんですよね(汗)
>ガロア理論は難しいですから。

ニコ君か
いや、クンマー理論は 本来は クンマーさんが フェルマー最終定理の
部分解決に 理想数（現在のイデアル論）を導入したときから始るんだよ

それを後世の人が ガロア理論に
取り込んだんだよ

クンマー理論自身が何を意味するか？
現代数学では いろいろ発展があるから
多義だね（人によって意味が違う）

>>423
君も諦めが悪いね

>通常の基数の定義：ZFCで存在が証明できる基数 例 ω、R(=2^ω)など 可算無限ωから始めて 冪を超限回とって実現できる基数（超限回とは 全ての順序数を尽くすこと）
全ての順序数には強到達不能基数も入ってますけど？
強到達不能基数の存在はZFCで証明できませんけど？　不完全性定理に反しますから。
ちょっと何言ってるか分かりません

>>>いま、到達不能基数κが ノイマン宇宙Vの内部だと考えると
>>考えなくても定義からκ∈V
>違うよ
違わないよ

>上記の通り 到達不能基数κは、ZFCで存在が証明できない基数
>数学者は、存在が証明できない場合は 存在するとは言わない
数学者はZFCからVの存在証明が可能なんて言ってませんけど？　あなたの妄想です。

>その場合、存在を言いたいとき 公理を立てる（無限公理で無限集合を実現するのと同じ）
じゃあVが存在するという公理を立てれば解決
まあ実際にはVが存在するための必要条件を満足する別の形の公理でしょうけど

>>>一致したら 新しい基数を加えたことにならない
>>加えなくてよい　最初から全部入ってる
>いいや
>上記の通り 無限集合の存在は 無限公理を おかないと証明できない
公理を置いていいならVの存在も証明できますけど？

>>424
>>（αが極限順序数の時のVαは冪じゃ無いのにね）
>いいや！（＾＾
>Vαは冪です！！
大嘘。
αが極限順序数のとき Vα:=[β<α]Vβ。つまり和集合。

>極限順序数でない順序数を作るのは 和集合による演算（下記）
大嘘。
αが後続順序数のとき Vα:=2^(Vα-1)。つまりべき集合。

このレベルの定義も確認できないとか、君、池沼？

>おお、Inaccessible cardinalのen.wikipedia記事に
>”Existence of a proper class of inaccessibles”
>「到達不能基数の公理はグロタンディーク・ヴェルディエの宇宙の公理（任意の集合がグロタンディーク宇宙に含まれるというもの）と同値になります」
>「この公理系は、例えば任意の圏が適切な米田埋め込みを持つことを証明する際などに有用です」
>なるほど・・・ メモメモｗ（＾＾
いくらメモしても誤読してるから無意味。
「任意の集合がある一つのグロタンディーク宇宙に含まれる」は大誤読。
「任意の集合xに対してx∈Uを満たすグロタン宇宙Uが存在する」が正読。

>「任意の集合がある一つのグロタンディーク宇宙に含まれる」は大誤読。
こういうアホ誤読してるから V⊂U とか妄想口走っちゃうんですね？分かります

>「任意の集合がある一つのグロタンディーク宇宙に含まれる」
が本当ならたちまち矛盾します。「集合全体の集まりは集合」と言ってることになりますから。
こんな簡単なことに気付けない絶望的数学センスじゃ数学は無理なので諦めましょう

>αが極限順序数のとき Vα:=[β<α]Vβ。つまり和集合。
αが極限順序数のとき Vα:=∪[β<α]Vβ。つまり和集合。

なげーよ

>>428
ですね
彼の人はVωは何の冪だと思ってるのかな？

（超限回も定義を正しく認識してないかも）

５次方程式の解は冪根√ で書けない（MatheqQ)
https://www.youtube.com/watch?v=5QxIvMB1JjU

×　∃U.∀x:(x∈U)
〇　∀x.∃U:(x∈U)
論理が分からぬ馬鹿に数学は無理

(ε∀ε)　(εωε)

>×　∃U.∀x:(x∈U)
仮にこれが正しいなら、U∈Uも2^U⊂Uも言える。
数学センスゼロなので諦めましょう。

>>426
＞クンマー理論自身が何を意味するか？

ん？wikipediaを丸コピペしないの？ｗ

ーーー
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%B3%E3%83%9E%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
抽象代数学や数論で、クンマー理論(Kummer theory)は、
基礎体の元の n 乗根の添加が関わっている、
あるタイプの体の拡大を記述する理論である。

クンマー拡大(Kummer extension)とは、
ある与えられた整数 n > 1 に対し
次の条件を満たすような体の拡大 L/K のことを言う。

・K は、n 個の異なる1のn乗根（つまり、Xn−1 の根）を含む。
・L/K はexponent n の可換ガロア群を持つ。

より一般的に、K が n 個の異なる 1 の n 乗根を含むとき、
K の任意の元 a の n 乗根をK に添加するとクンマー拡大をなす。

ここでできる体は多項式 X^n − a の分解体であるため、
クンマー拡大は必然的にガロア拡大となり、ガロア群は巡回群となる。

クンマー理論(Kummer theory)は上記の逆の命題をもたらす。
K が n 個の異なる 1 の n 乗根を持っているとすると、
exponent が n を割るような K の任意のアーベル拡大は、
K の元の冪根をとることにより作られる。

さらに、K× で K のゼロではない元全体のなす乗法群を表すとすると、
exponent が n である K のアーベル拡大は、
K×/(K×)^n、つまり K× の元を n 乗して得られる部分群による剰余群
の部分群に全単射で対応する。

（つづく）

>>439のつづき
対応関係は次のように明確に記述することができる。

部分群 Δ⊆K×/(K×)^n が与えられると、
対応する体の拡大は K(Δ^(1/n)) で与えられる。ここで、
Δ^(1/n)={n√a:a∈K×,a⋅(K×)^n∈Δ}　とする。
実際には、群 Δ の任意の生成集合について、
それぞれの元から代表をひとつとって、
その n 乗根を添加すれば十分である。

逆に、L を K のクンマー拡大とすると、Δ は
Δ=K×∩(L×)^n
という規則により復元される。

この場合には、クンマー・ペアリング(Kummer pairing)と呼ばれる同型
Δ≅Hom c(Gal⁡(L/K),μn) が、
a↦(σ↦σ(α)/α)
により与えられる。
ここに、α は L の元 a の n 乗根である。
また μn は 1 の n 乗根がなす乗法群であり、 K に含まれる。

もし拡大 L/K が有限次拡大であれば、
Gal⁡(L/K) は有限離散群であり、同型
Δ ≅ Hom(Gal⁡(L/K),μn) ≅ Gal(L/K)
が得られる。

ここで、最後の同型は自然ではない。

方程式f(x)=0に対して、その根の巡回置換σが分かれば
あるaが存在して、aのn乗根αが等式
σ(α)/α＝ω　(原始ωは1のn乗根）
を満たし、根はすべてαを使った式で表せる

αは実は方程式の根の一つをrとすれば
α=r+ω^(-1)σ(r)+…+ω^(-n+1)σ^(n-1)(r)
で表せる

σ(α) = σ(r)+ω^(-1)σ^2(r)+…+ω^(-n+1)r = ωα

>>431-433 訂正
(引用開始)
>αが極限順序数のとき Vα:=[β<α]Vβ。つまり和集合。
αが極限順序数のとき Vα:=∪[β<α]Vβ。つまり和集合。
(引用終り)

スマンかった >>424-425が
中途半端で間違っていた
やっぱ コピペが正確だったよ（＾＾；

あらためて下記コピペな
要するに
１）Von Neumann universe Vは、”ふつう”の順序数αに関すること！！
２）後者をもつ順序数β+1では 直前のVβのべきVβ+1:=P(Vβ)
３）limit ordinal λ（つまりは基数λ）では、それ未満の全ての和 Vλ:=⋃ β<λ Vβ
４）そして Von Neumann universe Vは class V で V:=⋃ α Vα つまりは ふつうの順序数αを渡る Vαの和（これはclassでっせと）

さて、到達不能基数κは ふつうの順序数αの仲間ではありませんね
到達不能基数κは ふつうの順序数αよりも大
ゆえに、到達不能基数κは Von Neumann universe Vの外！！！

これをご確認願いますｗ　（＾＾
おわったなｗｗ


(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Von Neumann universe
Definition
The cumulative hierarchy is a collection of sets Vα indexed by the class of ordinal numbers; in particular, Vα is the set of all sets having ranks less than α. Thus there is one set Vα for each ordinal number α. Vα may be defined by transfinite recursion as follows:

・Let V0 be the empty set:
V0:=∅.
・For any ordinal number β, let Vβ+1 be the power set of Vβ:
Vβ+1:=P(Vβ).
・For any limit ordinal λ, let Vλ be the union of all the V-stages so far:
Vλ:=⋃ β<λ Vβ.
A crucial fact about this definition is that there is a single formula φ(α,x) in the language of ZFC that states "(α is an ordinal and) the set x is in Vα".
The sets Vα are called stages or ranks.

The class V is defined to be the union of all the V-stages:
V:=⋃ α Vα.

>>442
(引用開始)
３）limit ordinal λ（つまりは基数λ）では、それ未満の全ての和 Vλ:=⋃ β<λ Vβ
到達不能基数κは ふつうの順序数αよりも大
(引用終り)

補足すると
１）到達不能基数κは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
２）基数なので κは 集合

１）２）を合わせると
到達不能基数κは、
全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む 集合なり〜！！ｗ

基礎論屋さんは、面白いことを考えるね
想像力豊かな人たちなのだろうよ （＾＾

>>443 訂正

１）到達不能基数κは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
　↓
１）到達不能基数κのVκは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む


到達不能基数κは、
　↓
到達不能基数κのVκは、

（＾＾

AIに聞いたら、フォンノイマン宇宙の中に入れ子構造を作る話だって
言ってたぞ？ だから、当然フォンノイマン宇宙に含まれる。
なんで入れ子構造にするかというと、ラッセルのパラドックスを避けるため。
しかし、通常の集合の演算では閉じているくらいには大きい必要
があるため、到達不能基数が登場する。あるグロタン宇宙の集合の全体を
取ると、それは外側の宇宙の集合として捉えられるというわけ。

>>442
>１）Von Neumann universe Vは、”ふつう”の順序数αに関すること！！
大嘘。
君の言うふつう＝ZFCで存在証明可能　でしょ？
ZFCで存在証明できるVαがZFCのモデルなら完全性定理＋不完全性定理に反します。初歩から分かってない。

>２）後者をもつ順序数β+1では 直前のVβのべきVβ+1:=P(Vβ)
だからそう言ってるじゃん
「後者をもつ順序数」じゃなく「後続順序数」。自分が誰かの後者。いかなる順序数も後者を持つから意味・正誤がまったく違ってくるよ。言葉は正確に。

>３）limit ordinal λ（つまりは基数λ）では、それ未満の全ての和 Vλ:=⋃ β<λ Vβ
極限順序数は一般に基数じゃないよ。一方、基数は始順序数かつ始順序数は基数。君ボロボロだね。

>４）そして Von Neumann universe Vは class V で V:=⋃ α Vα つまりは ふつうの順序数αを渡る Vαの和（これはclassでっせと）
大嘘
ふつうの順序数じゃなくすべての順序数
The class V is defined to be the union of all the V-stages

>さて、到達不能基数κは ふつうの順序数αの仲間ではありませんね
>到達不能基数κは ふつうの順序数αよりも大
>ゆえに、到達不能基数κは Von Neumann universe Vの外！！！
大嘘
Vはすべての順序数についての階層の総和だからκ∈V

>これをご確認願いますｗ　（＾＾
大嘘であることを確認しますた

>おわったなｗｗ
君の頭が？

>>443
>補足すると
嘘に補足しても嘘

>１）到達不能基数κは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
任意の無限基数は無限始順序数、任意の無限始順序数は極限順序数だから和になるのはあたりまえ。
和を含むじゃなく和。
それ未満のすべての順序数。「ふつう」は要らない。ふつう＝ZFCで存在証明可能という意味ならそもそも間違い。
κではなくVκがVαたちの和。
ボロボロ。

>２）基数なので κは 集合
いわずもがな

>１）２）を合わせると
>到達不能基数κは、
>全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む 集合なり〜！！ｗ
大嘘。
グロタン宇宙がいくらでもあるのと同じで到達不能基数もいくらでもある。「到達不能基数より小さい基数はZFCで存在証明可能」は言えない。
でまたVκとκを混同してる。
ボロボロ。

>基礎論屋さんは、面白いことを考えるね
>想像力豊かな人たちなのだろうよ （＾＾
初歩から分かってないのに面白がるって頭イカレテる？

>>444
>>>443 訂正
>１）到達不能基数κは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
>　↓
>１）到達不能基数κのVκは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
大間違い。
Vκは基数ではない。実際、非順序数を元に持っているから順序数になり得ない。
訂正して悪化する人も珍しい。

>>445
ノイマン宇宙の階層間で Vα∈Vα+1∧Vα⊂Vα+1 が成り立つ。その意味で入れ子構造となっている。
ラッセルのパラドックスを避けるためVは真クラスである必要がある。仮に集合とすると分出公理から集合 {x∈V|¬x∈x} の存在が言えてラッセルのパラドックスが起きる。
入れ子構造とラッセルのパラドックス回避は無関係。

>あるグロタン宇宙の集合の全体を取ると、それは外側の宇宙の集合として捉えられるというわけ。
意味が取れないんだけど グロタン宇宙U∈ノイマン宇宙V という意味ならその通り。但しUが整礎でない場合は不成立。

>>442-444 補足

集合とクラスの境界：
それは 公理系に依存する
下記の”フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG) ”ご参照
要するに、ある公理系でクラスでも ZFCでは集合たりうる
逆に ZFCでは集合たりえずクラスあっても
他の公理系 例えば Tarski–Grothendieck set theory では集合となることは 不思議ではない■

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%E2%80%93Grothendieck_set_theory
Tarski–Grothendieck set theory
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann%E2%80%93Bernays%E2%80%93G%C3%B6del_set_theory
Von Neumann–Bernays–Gödel set theory
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%8A%E3%82%A4%E3%82%B9%EF%BC%9D%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG) とはツェルメロ＝フレンケル集合論＋選択公理 (ZFC)の保存拡大である公理的集合論である。NBGでは、量化子の範囲を集合に限定した論理式によって定義される集合の集まりとして、クラスの概念を導入する。NBGは、すべての集合というクラスやすべての順序数というクラスといった、集合よりも大きいクラスを定義できる。モース＝ケリー集合論 (MK) は量化子の範囲がクラスである論理式によるクラスの定義を許容する。NBGは有限公理化できる一方、ZFCやMKではできない。

NBGのキーとなる定理はクラスの存在定理である。
略

ジョン・フォン・ノイマンは1925年に集合論にクラスを導入した。彼の理論の原始概念は関数と引数であった。これらの概念を用いて、フォン・ノイマンはクラスと集合を定義した。[1] パウル・ベルナイスはクラスと集合を原始概念とすることで、フォン・ノイマンの理論を再定式化した。[2] クルト・ゲーデルは、選択公理の相対的無矛盾性の証明と一般連続体仮説を用いてベルナイスの理論を単純化した。[3]

集合論におけるクラス
クラスの使用例
NBGにおいてクラスはいくつかの使用例がある：
略
公理図式とクラス存在定理
ZFCの言葉にクラスが加えられれば、ZFCをクラス付きの集合論に変換するのが容易になる。まず、クラス解釈の公理図式を加える。この公理図式は以下の通り：
略
この理論は有限公理化されない。ZFCの置換公理図式は一つの公理で置き換えられるが、クラス解釈の公理はZFCに導入されていないからである。

この理論を有限個の公理で構築するには、まずクラス解釈の公理を有限個のクラス外延性の公理で置き換える。するとこれらの公理は、公理系中のどの公理をも含意するクラス存在定理に用いられる。[8] この理論の証明には 7 つのクラス存在公理があれば十分である。これらのクラス存在公理は、論理式の構成から論理式を満たすクラスの構成へ変換するのに用いられる。

NBGの公理化
クラスと集合
NBGにはクラスと集合という 2 種類の対象がある。直感的には、どの集合も同時にクラスである。これを公理化する方法は 2 通り存在する。
略

>>448
(引用開始)
>１）到達不能基数κは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
>　↓
>１）到達不能基数κのVκは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
大間違い。
Vκは基数ではない。実際、非順序数を元に持っているから順序数になり得ない。
訂正して悪化する人も珍しい。
(引用終り)

確かに
では再訂正する

>>444 再訂正
１）到達不能基数κのVκは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
　↓
１）到達不能基数κのVκは、到達不能基数κのステージなので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む 集合である

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Definition
The sets Vα are called stages or ranks.
訳
集合V αはステージまたはランクと呼ばれます。

>>445
(引用開始)
AIに聞いたら、フォンノイマン宇宙の中に入れ子構造を作る話だって
言ってたぞ？ だから、当然フォンノイマン宇宙に含まれる。
なんで入れ子構造にするかというと、ラッセルのパラドックスを避けるため。
しかし、通常の集合の演算では閉じているくらいには大きい必要
があるため、到達不能基数が登場する。あるグロタン宇宙の集合の全体を
取ると、それは外側の宇宙の集合として捉えられるというわけ。
(引用終り)

ありがと
最近のAIさん、賢い
ほぼ正しい
というか 壁打ち会話を繰り返せば
もっと正確になるだろう
『ラッセルのパラドックスを避けるため。
しかし、通常の集合の演算では閉じているくらいには大きい必要
があるため、到達不能基数が登場する。あるグロタン宇宙の集合の全体を
取ると、それは外側の宇宙の集合として捉えられるというわけ。』
ここが キモだね

ま、AIにも調子があるから。批判的に「これでいい？」と聞くと
より正確に見てくれる。「ラッセルのパラドックスを回避するため」
という目的は誤り。なぜなら、ZFCですでに回避されているから。
集合のサイズ問題を解決するためらしい。

>>450
>集合とクラスの境界：
>それは 公理系に依存する
それ>>397のパクリやん
君、そういうとこは抜け目無いな　数学の勉強に抜け目無くなれよ

>>451
>１）到達不能基数κのVκは、到達不能基数κのステージなので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む 集合である
理由を分かってる？　書いてみて

>>455
というか「ふつう」がある時点で大間違い。
君の言う「ふつう」＝ZFCで存在証明可能　でしょ？　間違いです。

再訂正しても大間違いで草　馬鹿に付ける薬無し

sageろ

>>458
お前うるさい

>The sets Vα are called stages or ranks.
>訳
>集合V αはステージまたはランクと呼ばれます。
君はアホなの？

>>452
>ほぼ正しい
初歩の初歩から分かってない君に正誤は判定不可能
口をつぐんで一から勉強しなさい

>『ラッセルのパラドックスを避けるため。
>しかし、通常の集合の演算では閉じているくらいには大きい必要
>があるため、到達不能基数が登場する。あるグロタン宇宙の集合の全体を
>取ると、それは外側の宇宙の集合として捉えられるというわけ。』
>ここが キモだね
キモ広すぎて草

>>453
>「ラッセルのパラドックスを回避するため」
>という目的は誤り。なぜなら、ZFCですでに回避されているから。
ZFCで回避されているとなぜVが回避できることになるの？
そもそも君、ZFCとVの関係を正確に言える？　言ってみて

中学1年生が
>The sets Vα are called stages or ranks.
>訳
>集合V αはステージまたはランクと呼ばれます。
と書けば、君、よく勉強してるなと褒められる
大の大人が書いても、アホ？と言われるだけ

要するに人間的成長が中学で止まっている
歳だけ無駄に食った中学生

まだ中学生
ためになったね～w

>>461
彼の人は数学理解に到達不能のようです

アキレスは亀に追いつけない。

アキレス腱が切れたからw

荒らしに反応するのも荒らし

自分を荒らしと認めたw

放置すると気になってしまうような暇人。

煽る暇がある暇人w

（自演は止めて欲しいね）

最小の到達不可能基数をκとする

到達不可能基数が存在しないなら
Vκ＝Vなので　
Vκ⊊U⊊Vとなるグロタンディク宇宙Uは存在しない

到達不可能基数が存在し、なおかつ一つではないなら
κ≦λなる到達不可能基数λについて
Vλ＝Uとなるグロタンディク宇宙が存在し
Vκ⊆U⊊V

（完）

ガロア理論・クンマー理論に続き
グロタンディク宇宙の初歩も終わらせたので
代数学の基本定理も終わらせるか

「代数学の基本定理」というが
実は「代数学」の基本定理ではない
「代数方程式の基本定理」というのが正しいか

f(x)=0を代数方程式とする
仮にf(x)が、xの一次式の積に分解できるとすると
log(f(x))の微分f'(x)/f(x)は、先の1次式を分母とする有理関数の和である
そして、(x-a)の次数がnのとき、留数はnである

したがってf'(x)/f(x)をある領域Dの境界Cで線積分したときの値は
　2πi＊（f'(x)/f(x)の極の個数）
＝2πi＊（f(x)の零点の個数）
である

Dを狭めることで、f(x)の解が存在する範囲をいくらでも狭められる

つまり、代数方程式の基本定理は、
複素関数の定理であり
実は根本的にトポロジーの定理である

代数方程式の解について、その存在とそれが根号で表せるかどうかは異なる問題である
微分方程式の解について、その存在とそれが初等関数で表せるかどうかも異なる問題である

ガウスのDA以前にラグランジュが大部の著書を出して方程式論を展開していたが、5次方程式を解くために彼の分解式の方法を使うと
120次の多項式が生じ、それは60次の因子に分解できることまでは示せたが、それから詰まってしまって、そこまでとしたとかいうのだが、
そういう本の原典の翻訳が読みたいね。ガウスはそれを当然読んで参考にして、ガウスが円分方程式の一般解法（何次でも解ける）を
出したのをラグランジュが読み、まだうんと若かったガウスを絶賛する手紙を書いている。
ガウスが書いたDAをアーベルもガロアも読んでいて、方程式の根の間の関係が方程式が解ける鍵であることを円分方程式の場合に
学んだし、ガウスがDA中でレムニスケートの等分問題についてほのめかしていたことをアーベルもガロアも読んだことがヒントと
刺激になっている。自然科学者ガウスがお金に困らなければ、売れる売れないに関係なく、著書をいくつも書けたのだろうが。

何次でも解ける
というのは何をもって解けるといってるの？

>>478
ご苦労様です
はて？ どなたかな？

さて 中高生も来るので 補足しておきますね

>ガウスのDA以前にラグランジュが大部の著書を出して方程式論を展開していたが、5次方程式を解くために彼の分解式の方法を使うと
>120次の多項式が生じ、それは60次の因子に分解できることまでは示せたが、それから詰まってしまって、そこまでとしたとかいうのだが、

正確には、6次式までは落とせることを証明した
が、欲しいのは5次以下で べき根で5次以下の解の公式を作りたいのだが 6次式ではまずい
この話は、Coxガロア のラグランジュの歴史ノートにある
Coxは、ラグランジュは 5次方程式のべき根解法があると思っていたので 不可まで考えなかったらしい

それは道理で、ラグランジュ分解式は "one of them" で もっとうまい補助式が見つかる可能性は否定できない
なお、ラグランジュの真の貢献は、根の置換（群）の視点を導入したこと
ここから 群論のラグランジュの定理 有限群Gにおける部分群Hの位数が、Gの位数の約数になることや
また、根の置換（群）で不変な補助式の考察も ラグランジュはしている（下記 矢ケ部に詳しい記載がある ）
（この後 ルフィニさんが 5次のべき根解法不可の証明を書く（置換ベース）。それを見てコーシーが置換の論文を紀要に書く。アーベルが5次のべき根解法不可の論文を書いてガウスに（誤解で）バカにされる。ガロアは コーシーが置換論を彼の第一論文で引用している）

>そういう本の原典の翻訳が読みたいね。

それは、旧ガロアすれでトライしたが、到達できなかった（6次式までは落とせる話を知りたかった）
ラグランジュの著作で 何点かネット検索で引っかかるが これだという確証がつかめなかったので断念しました
旧ガロアすれに少し痕跡が残っているが、まあゴミみたいな内容だから 独自に 最初からスタートしても変わらないだろう
そうそう チャッピーさんとかに 何か探して と言えば 探してくれるかも

>まだうんと若かったガウスを絶賛する手紙を書いている。

高木の史談にあったかな

>ガウスがDA中でレムニスケートの等分問題についてほのめかしていたことをアーベルもガロアも読んだことがヒントと
刺激になっている。

ガロアは、p^2次方程式のべき根解法とかいろいろ考えていたという
　>>337の
—方程式を解く— ガロアによるガロア理論
上野健爾 著 現代数学社 : ‎ 2024/7/21
に すごく詳しく書いてある

>自然科学者ガウスがお金に困らなければ、売れる売れないに関係なく、著書をいくつも書けたのだろうが。

御大も書いていたが 自然科学者ガウスは 本職の物理系で結構忙しかったらしい（本職に忠実だと）
なにかに書いてあったが ガウスは数学は寡作だが 数学以外では結構論文が多いので びっくりしたとか
余技で ちょこっと書いて 数学王だからね すごいです（＾＾

つづく

つづき

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E7%BE%A4%E8%AB%96)
ラグランジュの定理 (群論)

https://www.nippyo.co.jp/shop/book/5421.html
日本評論社
ガロワ理論(下) 2010.09
デイヴィッド・A. コックス 著 梶原　健 訳
目次
第12章　ラグランジュ，ガロワ，クロネッカー

https://www.gensu.jp/product/%E6%96%B0%E8%A3%85%E7%89%88-%E6%95%B0%EF%BC%93%E6%96%B9%E5%BC%8F-%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%81%AE%E7%90%86%E8%AB%96/
現代数学社
新装版 数３方式 ガロアの理論 矢ヶ部 巌 ‎ 2016/2/25
目次
５次方程式に挑む、方程式解法 の原点 に立つ、
解法の方向を定式化する、
方程式論の流れを変える、
根の整式を探求する、
根の分数式に着目する、
根の有理式を解明する、
代数的解法を究明する、
(引用終り)
以上

>>479
>何次でも解ける
>というのは何をもって解けるといってるの？

横レスすまん >>478より
”ガウスはそれを当然読んで参考にして、ガウスが円分方程式の一般解法（何次でも解ける）を
出したのをラグランジュが読み、まだうんと若かったガウスを絶賛する手紙を書いている。”

それは、任意n次円分方程式の一般解法（何次でも解ける）
つまり 代数的解法 つまりべき根を使って解ける
を言っている

だいたい ガロア理論のテキスト前半で 必ず出てくるよ

いや、ふつうのガロア理論でいつでもとけるといってるのはしたの体がすべての１のべき根を持ってる場合でそうでなく円分体そのものをガロア理論で研究する場合は、「いつでもとける」などということは成立しない。もちろん「z^n - a の解を添加していく」という意味では成立するけどその意味だとトートロジーにしかならない。よって円分体の理論にガロア理論を応用する場合にはそんなコンテキストで利用することはないはず

たとえば、(x^7-1)/(x-1)=0をべき根で解くには、1の原始3乗根が必要になるが
これは、x^2+x+1=0の根であり、平方根で解ける。このように、常により
小さい1のべき根を添加すればクンマー拡大になるから、すべての円分方程式は
Qから出発してべき根を有限回添加していくことで解ける。

「予め基礎体に1のべき根を好きなだけ添加しておく」という設定は
方便に過ぎない。数論的には、基礎体に1のべき根がどれだけ含まれる
かは大きな違いなので、そんな粗雑は議論はしないし、当然、ガウスも
注意を払っている。

>>483
>いや、ふつうのガロア理論でいつでもとけるといってるのはしたの体がすべての１のべき根を持ってる場合でそうでなく円分体そのものをガロア理論で研究する場合は、「いつでもとける」などということは成立しない。もちろん「z^n - a の解を添加していく」という意味では成立するけどその意味だとトートロジーにしかならない。よって円分体の理論にガロア理論を応用する場合にはそんなコンテキストで利用することはないはず

えーと
下記 円分体
”任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である”
この事実から 円分方程式は べき根を使って解くことができることが従う

キーワード”アーベル群”がキモな
（おっちゃんに 「アーベルだから・・」と略して きどって言ったら 伝わらなかった故事を思い出すよ（＾＾）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
円分体 (えんぶんたい、英: cyclotomic field) は、有理数体に、1 の
{\displaystyle m(>2)} 乗根
{\displaystyle \textstyle \zeta (\neq \pm 1)} を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。

以下において、特に断らない限り、
{\displaystyle \zeta _{n}=e^{2\pi i/n}} とする。

性質
・任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である。

ガロア理論の教科書でもガロア拡大が
単項拡大⇔ガロア群が巡回群
というふつうのガロア理論の初心者むけ教科書にのってる定理はしたの体が１のべき根全部含んでいる場合にしか載せてる教科書はみたことない。実際 cos(2π/7) + isin(2π/7) とか表示するとき複素のべき根を添加する操作をおこなわないかぎり不可能のはず。しかしそれだとそもそもが1の７乗根なのだからそれをゆるすとトートロジーにしかならない
できるなら cos(2π/7) + isin(2π/7) を実のべき根と i だけで表示してみせてほしい。

あ、単項拡大じゃないな。x^n -a (a∈したの体) の分解体。

>>487
そもそもべき根解法に「実のべき根」なんて制約はない。
1の7乗根は、まず平方根を開いて1の原始3乗根ωを得る。
次に、Q(ω)上の数の3乗根を開くことで解ける。
もし知らなかったなら、「理解が浅かった」ということ。

>>487
失礼。正確には、まずcos(2π/7)が、Q(ω)上の数の3乗根
を開くことで得られる。sin(2π/7)を得るにはさらに√7が必要。
したがって、exp(2πi/7)を得るには、Q(ω)上の数の3乗根
及び √7 i が必要。

だから 3 乗根はできる。「このように」というのが「どのように」なのかわからない。
「
cos(2π/3) + i sin(2π/3) = -1/2 + √3/2 i
***のように***可能
」
というなら右辺の展開の形が「どのように」制限をうけているのか書かないと数学の主張にならない。「実のべき根を添加していく操作と i のみ」というのは一つの制限のかけ方だけどそれだと n の素因子が Fermat 素数で奇素数の多重度が１の場合、つまり「作図可能のばあい」と同じになってしまう。
***のように*** の部分の制限を述べてください。

x^7-1は既約ではない。x=1を解として持つから。
pが素数のとき、(x^p-1)/(x-1)は既約であり次数はp-1.
この根の一つをζとおく。Qに1のp-1乗根をすべて添加
した体をkとおくと、k(ζ)/kはクンマー拡大であり
べき根の添加で得られる。べき根の根指数は
p-1の約数に制限される。
このように、すべてpより小さい根指数に帰着される。

ガウスが示したように1の冪乗根は常に冪根を使って表せるので、
今の教科書では、係数体は1の任意の冪根を最初から持つと仮定
してもよく、そうにした方が記述が楽になるので、そのような
仮定を設けている。ラグランジュの分解式で1の冪根を使うなど。

ガウスが示したように1の冪乗根は常に冪根を使って表せるので

これの意味をきいています。すでに述べた通り「べき根」が「実のべき根」の場合は成立しません。「複素のべき根」をゆるす場合はトートロジーになります。トートロジーでもなく、いつでもできるという主張をくずさない「べき根」の意味をおしえてください。

>係数体は1の任意の冪根を最初から持つと仮定
>してもよく、

方程式のべき根解法について論じるならね。
しかし、誰かも言っていたように、現代的には
べき根解法なんてさして重要性はないのであり、
代数の教科書で、基礎体に「予め1のべき根を
添加しておく」という設定がないのに、勝手に
そう読むのは誤り。

>>475
(引用開始)
最小の到達不可能基数をκとする
到達不可能基数が存在しないなら
Vκ＝Vなので　
Vκ⊊U⊊Vとなるグロタンディク宇宙Uは存在しない
到達不可能基数が存在し、なおかつ一つではないなら
κ≦λなる到達不可能基数λについて
Vλ＝Uとなるグロタンディク宇宙が存在し
Vκ⊆U⊊V
（完）
(引用終り)

何時までたっても分からない ・・
そんな人って あるだろうか？ （ザ・ブルーハーツ「情熱の薔薇」）
特に断りが無ければ、到達不可能基数は ZFC公理系の外だよ
ゆえに ZFCの世界 ノイマン宇宙Vの外だよ
”何時までたっても分からない そんな人って あるだろうか？ ”ｗｗｗ（＾＾

＜AI より＞： ザ・ブルーハーツの「情熱の薔薇」の冒頭の歌詞は、「永遠なのか本当か 時の流れは続くのか いつまで経っても変わらない そんな物あるだろうか」です

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%82%AD%EF%BC%9D%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
タルスキ＝グロタンディーク集合論（英: Tarski–Grothendieck set theory、略称 TG）は、数学者 アルフレト・タルスキ と アレクサンドル・グロタンディーク にちなんで末ｼ付けられた公覧搏I集合論の体血nである。ツェャ泣＜香＜tレンャPル集合論（ZFC）の非保存的拡大であり、「各集合に対しそれが属する“タルスキ宇宙”が存在する」と述べるタルスキの公理を含む点で、他の公理的集合論と区別される（後述）。タルスキの公理は到達不能基数の存在を含意し、ZFC より豊かな存在論を与える。例えば、この公理を追加することで圏論を支えることができる。
Mizar システムおよび Metamath は、証明の形式的検証（英語版）にタルスキ＝グロタンディーク集合論を用いる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）。
グロタンディーク宇宙と到達不能基数

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%B0%E9%81%94%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%9F%BA%E6%95%B0
到達不能基数
モデルと無矛盾性
κを基数としよう。ZFCの下では、κ が強到達不能であるときフォン・ノイマン宇宙のκ階層集合Vκ がZFCのモデルになる。 ZFの下では、κ が弱到達不能であるとき構成可能集合のLκ がZFCのモデルになる。 よって、ZF+"弱到達不能基数が存在する"はZFCが無矛盾であることを導き、不完全性定理よりその存在はZFCで証明できない。 つまり、到達不能基数は巨大基数の一種である。

たとえば1の7乗根ならζ = cos(2πi/7) + i sin(2πi/7) として
a = ζ + ζ^2 - 2ζ^3 + ζ^4 - 2ζ^5 - 2ζ^6
とすれば
a^3 = (-13 + 3√-7)/2
であってQ(√(-7)) の元の3乗根で生成されるけどこれは複素数の３乗根を添加して得られる。
これを「1 の原始7乗根もべき根をQに添加していってできる」...(☆)と表現してしまった場合トートロジーにしかならない。もちろんこの a の3乗根でζ_7 が表示できるというのは面白い結果ではあるけどそれを(☆)のように表現してトートロジーにしかおもえない以外の方法でのべる方法をみたことがない

>>496
>何時までたっても分からない ・・
>そんな人って あるだろうか？ （ザ・ブルーハーツ「情熱の薔薇」）
ある、君

>特に断りが無ければ、到達不可能基数は ZFC公理系の外だよ
誰もZFCで存在証明可能と言ってない　妄想

>ゆえに ZFCの世界 ノイマン宇宙Vの外だよ
なんでVにはZFCで存在証明可能な集合しか含まれないの？　妄想

>”何時までたっても分からない そんな人って あるだろうか？ ”ｗｗｗ（＾＾
ある、君

思うになぜこんな変な主張がネットで跋扈するのかといえば、ガロア理論がもともとの「Q にべき根(複素のべき根を許す)を添加した体で方程式がとけるのはいつか」という問題にたいする応用と「１の原始べき根を添加して得られる体はいかなる構造をもつか」というまったくべつのテーマへの応用があって、それらにつかわれる用語がほとんどおなじでみわけがつかないで、それぞれの理論での結果が混同してのべられることが多いからじゃないかと思う。
１のべき根がそれより次数のちいさい複素のべき根を加える操作で得られることは正しいけど、それを「べき根をQに添加していってできる」と表現するからおかしなことになる

クロマニヨン人は数学できないかw
ギリギリガガンガン♪

>>483
1の7乗根は、1の3乗根を使って表せる
1の3乗根は、iを使って表せる

>>487
iを使うにしても複素のべき根は使わざるを得ない
つまり根号の中身が複素数になることは避けられない

>>494
https://mathlog.info/articles/3161

上記ページのn=7、11のところを見てください

n=11の場合、5次方程式を解くことになりますが、複素数の５乗根を使って表せます

何度でも繰り返しますが、
実数のべき根とｉだけでは表せませんし
いままでどこの誰もそんな発言はしていません

>>497-499
１のｎ乗根は、ｎ＞ｍなる１のｍ乗根と、ｍ乗根号を使って表せる
これを反復すれば、ｍ＞２を満たす１のｍ乗根が全く現れない式にすることは勿論できる
したがってその場合、複素数のべき根だけで表せる

なお、ガロア群が位数ｍの巡回群のときに、
たかだかｍ乗根号で表せるとする場合に
１のｍ乗根を使うしかないので
そういうことになっている

文句はラグランジュかクンマーに言ってくれ
まあ、二人ともこういうと思うが

「オレがそうしたわけではない
理屈がそうなってるから
どうしようもない」

もちろんいろんなおもしろい構造をもってることは知っています。
しかしガロアの元の理論があたかもクンマーの円分体の理論でもそのままの文章で成立するかのような主張を平気でする主張がネットでは跋扈しています。
「円分体の元はガロア群が可解なのでべき根を添加していけば得られる」
などという主張は二つの理論を混同しています。
そしてこれはもちろん「複素のべき根を添加していけば」の意味にとれば間違ってる主張ではないでしょう。しかしこれはトートロジーでしかなく、ガロア理論のちがう側面での研究を混同した文言といわざるを得ません。
そしてそのn=11の非自明な関係式もネットでよくでてくる面白い例ですが、この場合もGal(\mathbb{Q}(ζ_11)/\mathbb{Q}) が10次巡回群で10の唯一の奇素因子がフェルマー素数で構成されていることに起因する例です。
実際n=7のとき複素の３乗根がはいってるでしょ？

あ、まちがった。ζ_11 もだめですね。これも複素のべき根を添加しない限り不可能ですね。ただしそのとき添加するべきは１１未満のものがとれるというのはただしい。しかし
「ζ_11 は\mathbb{Q}に複素のべき根を添加していけばつくれる」
は意味のないトートロジーにしかならない

＞「円分体の元はガロア群が可解なのでべき根を添加していけば得られる」

得られますよ

ところで、n=11の場合も、複素の５乗根がはいってますよ
そう書いてあるのが、あなたには見えませんか？

ついでにいうと、1の7等分点のcosだけ根にしてる場合
当然ながら根は全部実数なので、
有理数体Qに、ある実数だけ追加すればいい筈なんですが
その実数が複素数のべき根を使って表される、というのが・・・（笑）

なぜ、複素のべき根というだけで
「意味のないトートロジー」
と誤解するのかわからない

複素のべき根が嫌いなのは分かりますけどね・・・
私もそんなに好きじゃない（笑）

円分体の構造をガロア理論をつかって調べる理論は現代数論の最重要テーマだけど、そこで行われてるのは「１のべき根をそれより小さいべき根で表示したらどうなるか」というのもあるかもしれないけどそれはそんなにメジャーな話じゃないとおもう。ラマヌジャンは好きだったみたいだけど。
やっぱりそっち方面でメジャーなのは類体論で現代数論において多大な成果を上げてる。なのでその方面の話題には尽きないのだけど、その話とガロア理論の母体の「べき根を加えていって得られる体であらわせるか」の話がごっちゃになってしまってる

複素数の平方根は許せるけど、３乗以上のべき根は許せん
というのは、ギリシャ人ならわかる（笑）

数値解析屋なら、そもそもべき根にこだわる理由がわからん、というだろう
数値が得られればいい、というなら、ガロア理論なんてまったく不要（笑）

1の11乗や31乗根でガロア群がC5になる問題を作ったはず。

>>508
＞ガロア理論の母体の「べき根を加えていって得られる体であらわせるか」の話

それ、クンマー理論

そして、そこで、ラグランジュ分解式、大活躍

11乗根

なぜ、１のｎ乗根を添加するのか？　
それは・・・
ラグランジュ分解のｎ乗が
周期ｎの解の巡回置換で不変
という理屈を使ってるから

なぜ、１のｎ乗根を添加するのか？　
それは・・・
ラグランジュ分解式のｎ乗が
周期ｎの解の巡回置換で不変
という理屈を使ってるから

a^3+b^3+c^3−3abcの因数分解公式は、ラグランジュリゾルベントが関係しているのかもしれない。

高校数学では実数の範囲までの分解で終わることが多いかもしれないが。

そう、このクンマー理論にも誤解がある。クンマーはガロアと同時代のひとで円分体を研究した人でクンマーの研究そのものは「１のべき根の構造そのもの」らしい。AI調べ。
しかし、そのあと円分体の構造の研究、あるいは代数体のアーベル拡大の研究で基礎体が類体の場合のアーベル拡大の研究がはじまって類体論につながる。
そこで「塔の補題」とかでガロア群がp群のときに持ち込んだときクンマー拡大が活躍するときがある。でもここでクンマー拡大というときはやっぱりしたの体には１のべき根が全部はいってると仮定するか、ないなら入れておいてそこでもう一度「塔の補題」をつかう。この文脈なら１のべき根がはいってるとみなして議論する。なので結局たんにクンマー拡大といったときは１のべき根が最初からはいってる場合を指すことが多いはず。
あと乗法群からG^ab_K への写像がGalois表現論ででてきてこれもクンマー写像というけどこれはクンマーの時代には研究されてなかったはず。たぶん後世になってだれかがこう呼んだんだとおもう。Galois cohomology の理論だけどクンマーの時代には cohomology はおろか Galois 理論さえクンマーはしらなかったはず

よくよくみたら「はず」のオンパレードｗ
昔だったら調べようもないけど、いまならAIがしらべてくれると思うよ。

タワー定理

p群はべき零群

ちがう、楕円曲線の有理点の全体から K^×/K^×2 への写像だ。どのみち Kummer の時代にはなかったもののはず。

1の原始p乗根が、pより小さい指数のべき根たちの組み合わせで
あらわされるというのは、全然自明ではない。
べき根の中に、どんな数があらわれるのか？という問題も
面白い問題であり、数論と深く関わっている。

ガウスが示した円分方程式のべき根解法は、ガロア理論の「ひな型」なんですよ。
だから、ガロア第一論文には、「ガウス氏の方法」という言葉が何度もあらわれる。

そう、冪例だから一段一段が巡回拡大になってるようにとれる。その場合に具体的に生成元の最小多項式がx^p - aの形になってることから議論が簡単になる。
L^P/K のとこは拡大次数が p の倍数でないことで話が簡単になる
みたいな応用

でもネットには
「逆に円分体の元はガロア群が可解なのでべき根を添加していけば得られる」
みたいなアンポンタンな主張をしてることも多い。

>円分体の元はガロア群が可解なのでべき根を添加していけば得られる

まったく正しいけど、どこがアンポンタンなの？
より精密に言うと、可解群より詳しくアーベル群ね。
逆に、Q上の任意の有限次アーベル拡大が、円分体
またはその部分体から得られるというのが
「クロネッカー・ウェーバーの定理」
歴史的には円分体→ガロア理論 と発展したが
現代の立場から言えば、円分体のガロア群が
アーベル群であることから、Qから出発して
クンマー拡大（ただし、1のべき根は
外から持ってくるのではない）の連鎖から、
その部分体として得られるという論は、
まったくおかしくない。ただし、
「1のべき根を外から持ってきてもいい」と読むと
話が自明になる。そんな粗雑な話ではないよということ。

>>525
＞「逆に円分体の元はガロア群が可解なのでべき根を添加していけば得られる」

反例示せる？

Qにいきなり1の原始7乗根を添加するのは、「クンマー拡大の連鎖」
になっていないからアウトね。

１の７乗根をべき根で表示する場合に添加するのは１の３乗根
１の３乗根をべき根で表示する場合に添加するのは平方根

とはいえ、Ｑに１の７乗根を添加した体に
ｉや１の３乗根が含まれてる必要はない

あくまで１の７乗根を表す式の中に
ｉや１の３乗根が含まれてるというだけで
それを単独で取り出すことはできない

Ｑに１の３乗根を添加した体にｉは含まれない
√（−３）は含まれるけど

Q(i+√3)

既約な実係数3次方程式の3根が全て実である場合には、その3根を方程式の係数を元にして冪根と四則演算で表す場合には、
虚数の立方根を避けられない（不還元の問題）ことはよく知られている。つまり実根しか持たない方程式の根を表すのには
虚数を経由しなければならない。3角関数とその逆関数を使って根を表すならば、虚数の登場を避けられるが、それはいわゆる
「代数的」解法と呼ばれるものではない。

いろいろ検索ヒットするな
(google検索)
円分体 pdf 大学 数学
＜AI による概要＞
大学数学のガロア理論や代数的整数論における「円分体」に関する講義資料やPDFとしては、上智大学の代数学III（ガロア理論） や、日本大学のKronecker-Weberの定理に関する解説PDF などが公開されています

円分体（円周を等分する方程式の解を添加して得られる拡大体）は、ガロア理論の具体例や、アーベル拡大を記述するクロネッカー・ウェーバーの定理 において中心的な役割を果たします

主な大学・研究機関の関連PDF・講義資料
・ガロア理論と円分体: 上智大学の講義資料 代数学III（ガロア理論） では、円分体や有限体のガロア理論について解説されています
・クロネッカー・ウェーバーの定理: 日本大学の論文・解説 Kronecker-Weberの定理 では、有理数体の有限アーベル拡大が円分体に含まれるという重要な性質が扱われています
　日大理工学部

岩澤理論・整数論: 京都大学の修論・研究資料 有理数体Qの円分Zp-拡大 や、九州大学のセミナー資料 Herbrand-Ribetによる結果 などがあります

円分体について、さらに知りたい内容や探している詳細（例: ガロア群の計算、最小多項式（円分多項式）の性質、具体的な次数や拡大の次数についてなど）があれば教えてください。

総括

pを素数とする
1のp乗根ζpについて、ζp+ζp^(-1)は実数である
ζp+ζp^(-1)を根の1つに持つような、有理係数(p-1)/2次方程式が構成できる
さらにその方程式のガロア群は位数(p-1)/2の巡回群である
したがってQ(ζp+ζp^(-1))はガロア拡大で、巡回拡大である

一方、1の(p-1)/2乗根をζ((p-1)/2)とする
Qにζ((p-1)/2)を添加した体 Q(ζ((p-1)/2)) に対して、
そのある要素 a の((p-1)/2)乗根を添加した体の中に ζp+ζp^(-1) は存在する　つまり
ζp+ζp^(-1)はζ((p-1)/2)と((p-1)/2)√a) (a∈Q(ζ((p-1)/2))) を使って表せる

しかし、ζp+ζp^(-1)を ((p-1)/2)√a) (a∈Q) という形で表すことはできない

>>486
>任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である
文章の内容が伝わるかどうかはともかく、群論が分かっていれば、
アーベル群も可換群も同じでこの書き方で伝わらないということはない
群論ではアーベル群とかそんないい方より、可換群か非可換群なのかを気にする
実数体Rや複素数体Cの乗法群は可換だから、
実数体Rや複素数体C上のn(≧2)次の行列式の値が1である
正方行列全体からなる群 SL(n,R) または SL(n,C) や
実数体Rや複素数体C上のn(≧2)次の行列式の値が0ではない
正方行列全体からなる群 GL(n,R) または G(n,C) は可換だが、
実数体Rや複素数体Cを四元数体Hに置き換えると、
四元数体Hの乗法群 H^{×} は乗法について非可換な群だから、
四元数体H上のn(≧2)次の行列式の値が0ではない
正方行列全体からなる群 GL(n,H) は非可換になる
四元数体H上のn(≧2)次の行列式の値が1である
正方行列全体からなる群 SL(n,H) も同様に非可換になる
代数方程式の解を求めたいなら、ガロア理論は不要で、
オイラーの公式や近似計算で十分間に合う
x^2＋1＝0 のような代数方程式に実数解は存在せず、
実数体R上でそのような類の最大次数が
偶数次の代数方程式の解を求めることは一般には不可能

>>535
>実数体Rや複素数体Cの乗法群は可換

然り

>だから、
>実数体Rや複素数体C上の
>n(≧2)次の行列式の値が1である正方行列全体からなる
>群 SL(n,R) または SL(n,C) や
>実数体Rや複素数体C上の
>n(≧2)次の行列式の値が0ではない正方行列全体からなる
>群 GL(n,R) または G(n,C) は
>可換だが、

否
典型的な非可換群です

>実数体Rや複素数体Cを四元数体Hに置き換えると、
>四元数体Hの乗法群 H^{×} は乗法について非可換な群

然り

>だから、
>四元数体H上の
>n(≧2)次の行列式の値が0ではない正方行列全体からなる
>群 GL(n,H) や
>四元数体H上の
>n(≧2)次の行列式の値が1である正方行列全体からなる
>群 SL(n,H) も
>同様に非可換になる

非可換なのは確かだが
その理由は、Hが非可換だから、ではない

可換体RやCの場合でも
n(≧2)以上の正方行列の積が
非可換になるから

>>536
間違えた。行列の群は非可換だ

>>535
>代数方程式の解を求めたいなら、
>ガロア理論は不要で、

然り

>オイラーの公式や近似計算で十分間に合う

オイラーの公式をどう使うつもりか知らないが
複素関数論の基礎としてオイラーの公式は重要

複素関数論を理解していれば
多項式関数の零点の(解析的な)求め方は分かる
工学部ならそっちのほうがはるかに有用

>x^2＋1＝0 のような代数方程式に実数解は存在せず、
>実数体R上でそのような類の
>最大次数が偶数次の代数方程式の解
>を求めることは一般には不可能

存在しない実数解を求めることはできんわな（笑）

ということで、繰り返すけど
２次以上の実数もしくは複素数の正方行列の積は非可換だぞ

>>537
>間違えた。行列の群は非可換だ

気付けばよろしい

>>538
>２次以上の実数もしくは複素数の正方行列の積は非可換だぞ
正方行列の群の中でも、実数体R上や複素数体C上の
行列式が0ではないn(≧2)次の三角行列全体からなる群や
行列式が0ではないn(≧2)次の上三角行列全体からなる群は可換になるけどな

三角行列 → 対角行列

>>486
関西地方では、関西人が嫌う臭いのしない納豆を売ってるそうだな
瀬戸内海の山陽地方や山陰地方、及び四国では煮干しの出汁の納豆を売っている
九州では甘めのタレの納豆を売っている
西日本の中で熊本県だけは例外で、昔からコル豆の納豆を
東日本並みに比較的よく食べているという

ももしきや 古き軒端の しのぶにも
なほあまりある 昔なりけり

まっすぐな道でさみしい

>>542
>関西地方では、関西人が嫌う臭いのしない納豆を売ってるそうだな

ありがとね
関西地方では、(関西人が嫌う臭い) のしない納豆 を売ってるそうだな
だね、細かいが

臭いのあまりのしない納豆が 開発されたんだね （下記）
そもそも 関東でも 臭いのあまりしない納豆が主流だね いまは
少し前まで お客に会うときは 前日の晩には 納豆は食べないようという ビジネスマナーがあった
いまは、あまり言われないのは 納豆の改良のせいでしょう

ところで >>486の追加
１のべき根の話で n乗数を除くために 簡便に 素数 p∈Q として
n乗根 x^n=p （nを2以上 の整数とする）
p= 1*p と見ると

単純に べき根記号で
x＝(1*p)^1/n ＝(1)^1/n * (p)^1/n
と見ることができて
前半の ”(1)^1/n”の部分から 1のn乗根が出る
それだけのこと

1のn乗根は、数学的には ガウスDAで解明されていて
それは 現代数学のガロア理論の言葉では 円分体 ガロア群がアーベル
この呪文の意味が分かるようになるのも ガロア理論の勉強の一つの道程です（＾＾
（前半の ”(1)^1/n”の部分は、べき根で解けることが分かっているから 任意nの1のn乗根は基礎体Qに好きなだけ添加してよいとして 理論展開を簡便にするだけのこと）

(google検索)
におわない 納豆
AI による概要
臭いを抑えた納豆をお探しの場合、特殊な菌を使用してにおいを軽減した商品や、においを抑えて食べやすく工夫された粉末納豆などの代替品があります。
臭いの少ない納豆・関連商品
においを抑えた市販品: ミツカンの「金のつぶ におわなっとう」が有名ですが、近年は製造終了などの動きもあり、コンビニ（ローソンなど）の「におい少なめやわらか納豆」 や、各メーカーの「におい控えめ」と表記された小粒・ひきわり以外の納豆が選ばれています
略す

>>545
ガウスはガロア理論のように円分体を使うときれいな円分体にはないから、
任意の正の整数nに対して、代数方程式 X^{2n}＝1 から代数方程式 X^n＝−1 を得て、
円分多項式と同様に考えて −1 のベキ根の解明をすることはやってないだろう

まあ、超越数の解明とかなら、ガロア理論ではなくオイラーの公式が基本的で有効だけどな

おっちゃん(ID:EGJ6LEDP)にとって、ガロア理論は手の届かない「酸っぱい葡萄」

やっぱりおっちゃんだったか。

>円分多項式と同様に考えて −1 のベキ根の解明をすることはやってないだろう

exp(2πi/n)だろうが、exp(2πi/(2n))だろうが、円分体に含まれる。
nが合成数のとき円分多項式というのは、「無駄な因子」を除いた
既約多項式のことを言う。定義を読みましょう。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F
当然、円分体の理論に含まれる。
ガウスがそんなことを見逃すはずないだろう。

フェルマーの小定理の拡張

オイラーの定理

>>547　
複素数体Cは {1,i} を基底とする実数体R上の線型空間で、
超越数論では実数が有理数か代数的無理数か超越数かを判定することが重要だから、
必ずしも超越数論でガロア理論が必要とは限らない

>>549
円分体に虚数iや −i が属するという話は余り聞かないけどな

円分多項式Φ_4

>円分体に虚数iや −i が属するという話は余り聞かないけどな

アホか。「余り聞かない」ってどこ情報だよｗ
おっちゃんの脳内情報だろう。おっちゃんの知らない話は
「おっちゃん数学」ではなかったことになるのか。

をっちゃんラーメン

>>555
1の円分多項式の話は余り聞かないという意味だよ
任意の1の円分多項式の根は代数的数であって超越数ではないだろ

>>545
>1のn乗根は、数学的には ガウスDAで解明されていて
>現代数学のガロア理論の言葉では
>円分体のガロア群がアーベル群
>この呪文の意味が分かるようになるのも
>ガロア理論の勉強の一つの道程で
>（(1)^1/nは、べき根で解けることが分かっているから
>任意nの1のn乗根は基礎体Qに好きなだけ添加してよいとして
>理論展開を簡便にするだけのこと）

◆yH25M02vWFhP　は
「(1)^1/nは、べき根で解ける」
という呪文（？）の意味が
いまだに分かってなさそう

(1)^1/n の実部をcn、虚部をsnと表す
sn=√(1-cn^2)であるから
cnがべき根を使って表せれば
snもべき根を使って表せる

(x^n-1)はx=1を根に持つので(x-1)で割れる
割った商は(n-1)次多項式

nを素数pとすると、上記p-1次多項式で
X=x+1/xと置き直せば、
Xに関する((p-1)/2)次方程式に直せる
そしてその根の１つが2cnとなる

((p-1)/2)がいくつであっても
上記の方程式の根2cnは
1の((p-1)/2)乗根の入った式で表せる数の
((p-1)/2)乗根を使った式で表せる

それがガロアがDAで示したこと

アイデアはラグランジュの分解式に遡るし
理論はクンマー理論として結実した

でも ◆yH25M02vWFhP にとっては
全てチンプンカンプンなお経でしかない

代数的数は可算

>>558後半のn=pとしたときの
cnをcpに書き換えておこう
ーーーーーーーーーーーーーーーーーー
nを素数pとすると、上記p-1次多項式で
X=x+1/xと置き直せば、
Xに関する((p-1)/2)次方程式に直せる
そしてその根の１つが2cpとなる

((p-1)/2)がいくつであっても
上記の方程式の根2cpは
1の((p-1)/2)乗根の入った式で表せる数の
((p-1)/2)乗根を使った式で表せる

それがガロアがDAで示したこと

p＝7とすると、

cnは角度を二倍する変換で
周期3=(7-1)/2を持つ

1→2→4→8=1(mod 7)

>>362

「永田」では、有限体の有限拡大が巡回拡大であることの証明に、Galoisの基本定理と「位数n有限アーベル群が、nの各約数dに対して、位数dの部分群が高々1個しか存在しなければ巡回群 (*)」を使っているが、この定理はFrobenius写像を使って具体的に証明できるわけなので、よい証明ではないと思う

体論で>>562の(*)を使う証明は、たいてい
「整域上のn次多項式の根は高々n個」
というより直感的な命題を使うことで証明できる
その上の「体の有限部分群は巡回群」とかも同様

Frobenius写像を使って具体的に証明できる

できる？

なるほど。できるな。面白い。

>>558
>それがガロアがDAで示したこと
>アイデアはラグランジュの分解式に遡るし
>理論はクンマー理論として結実した

おサルさん https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1786433734/43
ちょっとレベルアップしたが まだまだ低い（上から目線）
中高生も来るから 赤ペンしておく

富士山登頂ルートは 多数ある
そして、山頂から眺めれば 登ってきた道が見える

と同様に ガロア第一論文の頂から見れば ラグランジュの分解式やガウスは 通過点にすぎないことが分る
理解できないだろうから 下記 上野健爾氏のテキストより
「ガロア分解式」を示す

”V=Aa+Bb+Cc+・・・” ここに a,b,c,・・・が方程式の根
例示では A,B,Cを整数としているが
現代数学の視点では 基礎体を有理数体Qに円分体を加えた体に取れる
この視点では、ラグランジュの分解式は単なる一例にすぎない（重要な式ではあるが）

まだまだ きみは勉強不足だ
”「ガロア第一論文 方程式を解く— ガロアによるガロア理論」 上野健爾”を
百回音読してねｗ

なお、「クンマー理論」(下記)の元は 代数方程式の理論ではなく フェルマーの最終定理のためのものだ
wikipediaも 百回音読してねｗ

(参考)
「ガロア第一論文 方程式を解く— ガロアによるガロア理論」 上野健爾著 現代数学社_ 202407021
より 補題1〜3「ガロア分解式」（下記）
https://i.imgur.com/8AiiRdN.jpeg

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%B3%E3%83%9E%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
クンマー理論
クンマー理論(Kummer theory)は、基礎体の元の n 乗根の添加が関わっている、あるタイプの体の拡大を記述する理論である。クンマー理論は、元々は、1840年代にフェルマーの最終定理をエルンスト・クンマーが開拓しようとして発見した理論である。
クンマー理論の主な結果は、体の標数が n を割ってはいけないこと以外は体の性質に依存しておらず、従って、抽象代数学に属する。体 K の標数が n を割るときは、K の巡回拡大の理論はアルティン・シュライアー理論と呼ばれる。
クンマー理論は、例えば、類体論や一般のアーベル拡大を理解する上で、基本的である。クンマー理論は、充分な数の1の冪根が存在するとき、巡回拡大は基礎体の元の冪根を添加する操作によって理解できるという理論である。類体論において一般のアーベル拡大を扱う際の主要な難所の一つは、余分な1の冪根を持たない基礎体へと「降下」することであり、クンマー理論を直接適用できる場合に比べて理論的な構成が複雑となる