ガロア理論を理解したい

何から始めればいいですか

さっき本屋に行ったら
「ゲーデルの不完全性定理の頂を踏む」
なんて本が出てた

ガロア理論の頂を踏んだ次はこれか

まあ、どっちも大学３年レベルだけどな

ζ=e^(2πi/7)とおき、α=ζ+ζ^2+ζ^4 , β=ζ^3+ζ^5+ζ^6 とすると、
(x−α)(x−β)=x^2+x+2 となる。

>>351
まだやるの？　初歩から分かってないから無理なのに

>・グロタンディーク宇宙の文脈では、宇宙は集合である
グロタンディーク宇宙は集合である　言葉は正確に

>・和文で 巨大な強到達不能基数λと表現して 巨大基数の公理 (C) とうたう 即ち ” 巨大な強到達不能基数λ”は 厳密な意味での 強到達不能基数ではない（巨大基数の一つ）
また勝手読みして妄想に走ってる。定義や公理の主張内容を確認しないからそうなる。
正しくは、
・強到達不能基数とは強極限基数かつ正則基数。
　κが強到達不能基数なら基数κ+1は強到達不能基数ではない。実際、後続基数は強極限基数でない。
・巨大基数公理は、任意の基数より大きい強到達不能基数の存在を主張。
　この公理より、任意の基数λに対して強到達不能基数の無限上昇列 λ<κ0<κ1<・・・ の存在が帰結される。

>・英文”Furthermore, u(|U|)=U, and |u(κ)|=κ.”で、 ここも 重要ポイント。（|U|は、集合Uの濃度）
>　つまり、グロタンディーク宇宙の文脈では |u(κ)|=κ つまり 集合|u(κ)|の濃度κ
違う。
ここで何を言ってるかというと、任意の濃度xに対してx=|U|を満たすグロタン宇宙Uはたかだかひとつ、と言っている。

>　（余談 和文”すべての遺伝的有限集合 の集合 Vω”では、Vω中にはωは含まれない。
だからそう言ってるじゃん。もし含まれてたらいずれかの有限階層Vnに含まれてることになり矛盾だと。

>無碍公理が無ければ 自然数Nの存在証明がない。
それはまた別の話。理論とモデルをごっちゃにしちゃダメ。
存在証明が無いことと、モデルにωが存在することは矛盾しない。なぜかわかる？　モデルの定義を読めば分かる。勝手読みしたら分からない。

>ωは集合ではない。
これも大嘘。
公理から存在証明できないことと存在反証できることを混同している。
公理から存在証明できないことは非集合の根拠にならない。存在反証できてないから。
集合と仮定して矛盾が導けるなら非集合の根拠になる。存在反証できてるから。

>　が、無碍公理があれば ωは集合である。同様に 強到達不能基数λが公理として与えられたということは λもまた集合だということ）
いわずもがな。

>>358　へぇ、ほぅ😏

>>356
>ノイマン宇宙Vを、集合論の宇宙というなら、
>そこでは、強到達不能基数をみとめようがみとめまいがクラス

正直 その議論は 大して意味がないと思う
つまり、「鶏が先か卵が先か」 みたいなことだね

ポイントは下記二つ
１）”The existence of a nontrivial Grothendieck universe goes beyond the usual axioms of Zermelo–Fraenkel set theory; in particular it would imply the existence of strongly inaccessible cardinals.”
　つまり、ZFCを超えるグロタンディーク宇宙を考えて ZFCでの”真のクラスを回避する方法として導入した”
２）グロタンディーク宇宙の考えは 基礎論屋さん”the existence of strongly inaccessible cardinals”と結びついた

繰返すが 普通の (strongly inaccessible cardinals が存在しない) ノイマン宇宙Vの中の集合を 全て含み かつ
Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）。

https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe
A Grothendieck universe is meant to provide a set in which all of mathematics can be performed. In fact, uncountable Grothendieck universes provide models of set theory with the natural ∈-relation, natural power set operation, etc. Elements of a Grothendieck universe are sometimes called small sets. The idea of universes is due to Alexander Grothendieck, who used them as a way of avoiding proper classes in algebraic geometry. Grothendieck’s original proposal was to add the following axiom of universes to the usual axioms of set theory:
For every set
s, there exists a universe
U that contains s, i.e.,
s∈U.

The existence of a nontrivial Grothendieck universe goes beyond the usual axioms of Zermelo–Fraenkel set theory; in particular it would imply the existence of strongly inaccessible cardinals.
Tarski–Grothendieck set theory is an axiomatic treatment of set theory, used in some automatic proof systems, in which every set belongs to a Grothendieck universe.
The concept of a Grothendieck universe can also be defined in an elementary topos.[1]

（ついで）
>>351 タイポ訂正

無碍公理
　↓
無限公理

>>358
6次の巡回群を考えたとき、偶置換と奇置換で分けたらこうなるのだろう。（指数2の部分群）

指数3の部分群を考えれば、3次方程式が考えられるだろう。

>>359
つー >>361な ｗ（＾＾

>ここで何を言ってるかというと、任意の濃度xに対してx=|U|を満たすグロタン宇宙Uはたかだかひとつ、と言っている。

中高生も来るから
赤ペンするよ

・グロタン宇宙Uの オリジナルの グロタンの最初のアイデアは
　巨大基数ｋと結びついては いなかった
・基礎論の 巨大基数ｋの視点から見ると、
　巨大基数の何も存在しない 通常のノイマン宇宙Vよりも 大きくとれる 巨大基数を何かとってくればいいってこと
　その一つが”強到達不能基数”で 多分 それより大きい分には 構わないってことだ■

>>363 追加

https://en.wikipedia.org/wiki/Large_cardinal
Large cardinal
https://en.wikipedia.org/wiki/Large_cardinal#/media/File:Large_Cardinals.jpg
Large cardinal hierarchy, ordered from bottom to top in terms of strength.
（注；measurable cardinal（可測基数）が 中段あたり 厳密な意味の inaccessible cardinal は最下段
　なお、本文より 引用
”Typically, models in which large cardinal axioms fail can be seen in some natural way as submodels of those in which the axioms hold. For example, if there is an inaccessible cardinal, then "cutting the universe off" at the height of the first such cardinal yields a universe in which there is no inaccessible cardinal.”）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E5%9F%BA%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%80%A7%E8%B3%AA%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7
巨大基数的性質の一覧
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_large_cardinal_properties
List of large cardinal properties

ζ=e^(2πi/7)とおくと、
(x-ζ−ζ^6)(x−ζ^3−ζ^4)(x−ζ^2-ζ^5)
=x^3+x^2-2x−1
となるだろう、多分。

これは6次の巡回群の指数3の部分群の、剰余類分解に関係しているのだろう。

>>352
>さて、最後の余談で ノイマン宇宙Vで Vは 強到達不能基数を公理として認めない立場では クラス（類）だ。∵ ZFCだけでは集合ではない
大間違い。>>297
人から間違いを指摘されなくても理解するのが利口者
人から間違いを指摘されて理解するのが普通のバカ
人から間違いを指摘されても理解できない君は希代のバカ

>が、強到達不能基数λ （それは 巨大基数でもある）を 認めるいうことは、グロタンディーク宇宙Uという巨大ものを 集合として 扱うことを許すということ
Uじゃなくu(λ)。
あれだけ教えてあげたのにまだ一般名詞と固有名詞の区別ができてない。頭悪すぎ。

>グロタンディーク宇宙Uは、ZFCのありとあらゆる集合操作をしても グロタンディーク宇宙Uの中
UがZFCモデル（の議論領域）という意味ならその通り。
。。。と言いたいところだが、例外あり。{}とVω。

>そして、グロタンディーク宇宙Uの中の存在は 全て集合。
「中の存在」とかいう馬鹿語は使わない方が良い。元なり部分集合なりと言え。元も部分集合も集合であることはいわずもがな。

>ゆえに 通常のノイマン宇宙V内に存在する集合は すべて グロタンディーク宇宙Uの中■
「通常の」とかいう馬鹿語は使わない方が良い。通常じゃないVってどんなV？　君、答えられるの？　答えられないってことは自分が何を言ってるか自分で分かってないってことだよ。それは馬鹿の極み。
反例：κ0<κ1を強到達不能基数の列とする。(u(κ0)=Vκ0⊂u(κ1)=Vκ1⊂V)∧(u(κ0)=Vκ0≠u(κ1)=Vκ1≠V) つまりu(κ1)はV内に存在するがu(κ0)内に存在しない。残念！

>V ⊂U これが結論
大間違い。
そもそも真クラスは集合の元にも集合の部分クラスにもなれない。

無駄な抵抗はやめた方がいいよ。君、初歩の初歩から分かってないから。
君がやるべきは口を閉じて一から地道に勉強すること。それが嫌なら数学やめな。

>>364 追加

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_large_cardinal_properties
List of large cardinal properties
Existence of a cardinal number κ of a given type implies the existence of cardinals of most of the types listed above that type, and for most listed cardinal descriptions φ of lesser consistency strength, Vκ satisfies "there is an unbounded class of cardinals satisfying φ".

ここの ”Vκ”のリンクが
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
で、下記な
抜粋：a collection of sets Vα indexed by the class of ordinal numbers; in particular, Vα is the set of all sets having ranks less than α. Thus there is one set Vα for each ordinal number α. Vα may be defined by transfinite recursion as follows:

https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Definition
The cumulative hierarchy is a collection of sets Vα indexed by the class of ordinal numbers; in particular, Vα is the set of all sets having ranks less than α. Thus there is one set Vα for each ordinal number α. Vα may be defined by transfinite recursion as follows:
略

（注：Von_Neumann_universe中のαは、普通のordinal number αであって 巨大基数は 含まない。
　が、その延長上に large cardinalがあり ”Vκ”は それにならうということ ）

>>367
ふっ
　>>368な

あと
>大間違い。
>そもそも真クラスは集合の元にも集合の部分クラスにもなれない。

言葉のあやだな
　>>361
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）。
(引用終り)

『宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）』

ZFCままだと 真のクラスになるべきところ
グロタンディーク宇宙さま だと 真のクラスを回避！
それを どう表現しようが 数学外の 文学表現にすぎない
まあ、サルがタイプを叩けば 好きな言葉が叩けるさｗ（＾＾

セタが尊敬しそうな昭和の社長。令和になって鍍金が剥がれた。
ちなみに「御大」とも呼ばれていたらしい。
https://www.youtube.com/watch?v=6NmvoJCzRu8

>>369 補足
>ZFCままだと 真のクラスになるべきところ
>グロタンディーク宇宙さま だと 真のクラスを回避！
>それを どう表現しようが 数学外の 文学表現にすぎない

まあ、中高生向けに説明すると
１）ZFCは、ラッセルパラドックスが生じないように 厳しく 厳しく集合の範囲を制限した
２）が、その後 「ちょっと狭すぎない？」と思う数学者たちがいた
３）その一人が グロタン で 「代数幾何の圏論やりたいから ZFC広げちゃうね」と
４）それを見た 基礎論屋さん「それって 俺たちが考えていた 巨大基数論に乗るっぺよ」といった
そして いまに至る （＾＾

>>358
それがガウス周期と呼ばれるものの一例ですね。
ガウスD.A.にはガウス周期の理論も含まれている。
現代的には、部分体とか基底の理論に相当するが
より詳しい積公式なども成立するのが特徴的。

なお、α-βは2次のガウス和であり、√7 i に等しい。

ガウスは素数p、p-1が3で割れるときに、3次の
ガウス周期がみたすQ上の3次方程式を一般的に求めているが
その際に、問題が有限体上の楕円曲線の点の個数の
数え上げと関係することを発見している。
Wikipediaの記述より
「また、第7章第358条は、有限体上の楕円曲線の点の個数に関する、
ハッセの定理の評価が非自明に成り立つ（歴史的に）最初の例を与えている」

>>350
わかりにくい
とかいうか何が問題になってるかわかりますか？

>>370
>セタが尊敬しそうな昭和の社長。令和になって鍍金が剥がれた。
>ちなみに「御大」とも呼ばれていたらしい。
>https://www.youtube.com/watch?v=6NmvoJCzRu8

うん 永守重信氏さんね
実話を二つ
１）ちょっと後輩で 「日本電産（いまのニデック）に 移ることにした」と挨拶に来た人がいた
　聞くと 神戸から京都に通うのだが
　相手の会社の人事から「うちの会社は 厳しいから 京都まで通えますか 」みたく言われたという
　（要するに ２４時間働けますか？ みたくね）
　（その後は 聞いていないが 果たしてどうなったか？）
２）ずっと後で ご近所の人で 大手銀行から ヨーロッパの支店勤務だったところ
　”日本電産に移る”という 井戸端会議の情報を聞いた
　上記の後輩の話を連想した。
　（日本電産は、表向き華やかだが 内実はブラックだろうと思っていたので）
　そして その人は２〜３年で別の会社へ移ったという（長続きしなかったというか ブラックでやめて正解だったか）

まあ、永守重信氏さんみたいなやり方は
うまく行くときは良いが 逆回転になると
内部から崩壊する（粉飾の横行）という典型例だろう

https://ja.wikipedia.org/wiki/24%E6%99%82%E9%96%93%E6%88%A6%E3%81%88%E3%81%BE%E3%81%99%E3%81%8B
24時間戦えますか（にじゅうよじかんたたかえますか）は、三共の栄養ドリンク『リゲイン』がかつて使用していたキャッチコピーである[1]

>>361
>>ノイマン宇宙Vを、集合論の宇宙というなら、
>>そこでは、強到達不能基数をみとめようがみとめまいがクラス
その通り。>>297

>正直 その議論は 大して意味がないと思う
真クラスか集合かは大問題。そもそもグロタンがグロタン宇宙を考えた最大の動機。

>つまり、「鶏が先か卵が先か」 みたいなことだね
まったくトンチンカン。

>ポイントは下記二つ
初歩の初歩から分かってない君に何がポイントか分かるはずが無い。

>１）”The existence of a nontrivial Grothendieck universe goes beyond the usual axioms of Zermelo–Fraenkel set theory; in particular it would imply the existence of strongly inaccessible cardinals.”
>　つまり、ZFCを超えるグロタンディーク宇宙を考えて ZFCでの”真のクラスを回避する方法として導入した”
集合としてのZFCモデルが欲しいのなら強到達不能基数κの存在の仮定とVκで十分。Vκはグロタン宇宙だが、グロタン宇宙はVκに限らない。つまりグロタン宇宙を考える動機は「集合としてのZFCモデルが欲しい」を超えている。
そもそも英文と君の文はぜんぜん違うことを言っていて「つまり」で結ぶのは甚だ不適当。

>２）グロタンディーク宇宙の考えは 基礎論屋さん”the existence of strongly inaccessible cardinals”と結びついた
こちらの方がむしろ英文に近い。たいぶ違うけど。
で？　だから何だと君は言ってるの？

>繰返すが 普通の (strongly inaccessible cardinals が存在しない) ノイマン宇宙Vの中の集合を 全て含み かつ
>Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ■
いくら繰り返しても間違いが正しくなることは無い。
Vはすべての強到達不能基数を持つ。一方どんなに大きなグロタン宇宙を考えてもすべての強到達不能基数を持つことは決して無い。集合であるとの定義に反するから。

>>363
>　巨大基数の何も存在しない 通常のノイマン宇宙V
そんなものはありません。Vはすべての基数を持っており、そうでないVはありません。
君、なんでVの定義を確認しないの？　検索は得意なんじゃなかったっけ？

>>368
>注：Von_Neumann_universe中のαは、普通のordinal number αであって 巨大基数は 含まない。
嘘注乙。
君の引用にこんなことは一言も書かれてない。君、息するように嘘つくね。

>>369
>言葉のあやだな
ごまかしてもダメ

>ZFCままだと 真のクラスになるべきところ
>グロタンディーク宇宙さま だと 真のクラスを回避！
誤読にもとづく妄想

Q(√√2)のガロア群は、4次の二面体群。

>>380
Q（√√2）を含む最小のガロア拡大のガロア群の間違い。

>>371
>まあ、中高生向けに説明すると
君の説明を真に受ける中高生はいないと思うよ　君よりは賢いから

>１）ZFCは、ラッセルパラドックスが生じないように 厳しく 厳しく集合の範囲を制限した
>２）が、その後 「ちょっと狭すぎない？」と思う数学者たちがいた
>３）その一人が グロタン で 「代数幾何の圏論やりたいから ZFC広げちゃうね」と
>４）それを見た 基礎論屋さん「それって 俺たちが考えていた 巨大基数論に乗るっぺよ」といった
>そして いまに至る （＾＾
妄想乙

そもそも理解し損なってるからな
別に通常のZFCの中だけで代数幾何議論するのに不足はない
「代数幾何やるためにZFCを拡張した」というのはそんなわけない

中高生の時に騙されて、同じような人が出ないためにここに居て、いま中高生を騙そうとしている

>>383
そうね
単純に小さな圏に持ち込む面倒を
避ける方便に使うのがグロタンディク宇宙

>>374
>わかりにくい

"わかりにくい" "分らない"に、属人性がある
ある人には分かり ある人には分らない

>とかいうか何が問題になってるかわかりますか？

しらない
　>>349「1の7乗根をその形でかける？」と書かれているね
指示語 「その形」が あいまいではあるね
そもそも、私への質問ではなかった
おそらくその直前の >>348への質問だろ？
ただ、”1の7乗根”のべき根表示で検索して
ヒットしたのを貼っただけさ

そして その後に>> 354-355に追加投稿あるよ
質問は そちらへ

>>376-385
>そもそも理解し損なってるからな
>別に通常のZFCの中だけで代数幾何議論するのに不足はない
>「代数幾何やるためにZFCを拡張した」というのはそんなわけない
>そうね
>単純に小さな圏に持ち込む面倒を
>避ける方便に使うのがグロタンディク宇宙

みんな なんで思いつきの ウソを書くのかな？ｗ
ちゃんと 発言の裏取り検索をしなよｗｗ
数学では、その態度は通用しない！
大学ゼミでは、黒板ハリツケの刑だよ（＾＾

さて下記 引用
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%82%AD%EF%BC%9D%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
タルスキ＝グロタンディーク集合論
ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）の非保存的拡大
タルスキの公理は到達不能基数の存在を含意し、ZFC より豊かな存在論を与える。例えば、この公理を追加することで圏論を支えることができる。
https://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%E2%80%93Grothendieck_set_theory
Tarski–Grothendieck set theory
(google訳)
タルスキの公理は、無限、選択、[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]および冪集合の公理も含意します。[ 4 ] [ 5 ]また、到達不可能な基数の存在も含意しており、そのおかげでTGの存在論はZFCなどの従来の集合論の存在論よりもはるかに豊かです。
タルスキ宇宙が推移的であれば、それはグロタンディーク宇宙でもあります。[ 7 ]逆に、選択公理を仮定すると、すべてのグロタンディーク宇宙はタルスキ宇宙です（つまり、タルスキの公理を満たします）。[ 8 ]
タルスキの公理は、ZFCよりもはるかに多くの集合を保証する公理である。
(引用終り)

まとめ
１）ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）の非保存的拡大
２）タルスキの公理は到達不能基数の存在を含意し、ZFC より豊かな存在論を与える。例えば、この公理を追加することで圏論を支えることができる。
３）選択公理を仮定すると、すべてのグロタンディーク宇宙はタルスキ宇宙です（つまり、タルスキの公理を満たします）
タルスキの公理は、ZFCよりもはるかに多くの集合を保証する公理である。
以上

な、やっぱりわかってないやろ
お前に代数幾何なんて到底無理だよ

（彼の人のカキコミは支離滅裂）

>>367,376,383
ですね

理論が拡大すると証明できることは増えるかもしれないが
（保存拡大なら増えない・非保存拡大なら増える）
逆に
集合論の宇宙に存在するものは増えない
最も拡大された理論は人（矛盾）
これは全てを証明できるが
そのモデルは空

空じゃなく無い
あるなら無矛盾
それが完全性定理

重要なのは
Vの中で全ての操作を行っているということ
彼の人が良く引用するのはこれだったかな？
https://konn-san.com/math/boolean-valued-model-and-forcing.html
ここで行っている全ての操作はVの中でのモノ
そこでVBを作りそれがV[G]と見なせることおよび
その「中」にVがあると見ても良いことが示されているが
ここでいう「中」にあるというのは
実数体が超実数体に埋め込まれているというのと同様
Vをその部分クラスであるVBの「中」に埋め込んで
同一視をしているだけのこと
VB（V[G]）の中でもOrdはVのものと同じ
つまり
当然なことだが到達不能基数もVのOrdの「中」にある
ZFCではそれが到達不能基数であると証明できないだけ
（証明できたらZFCが自分自身の無矛盾性を証明したことになってゲーデルの第二不完全性定理に反してしまう）

>>361
(引用開始)
ポイントは下記二つ
１）”The existence of a nontrivial Grothendieck universe goes beyond the usual axioms of Zermelo–Fraenkel set theory; in particular it would imply the existence of strongly inaccessible cardinals.”
　つまり、ZFCを超えるグロタンディーク宇宙を考えて ZFCでの”真のクラスを回避する方法として導入した”
２）グロタンディーク宇宙の考えは 基礎論屋さん”the existence of strongly inaccessible cardinals”と結びついた
繰返すが 普通の (strongly inaccessible cardinals が存在しない) ノイマン宇宙Vの中の集合を 全て含み かつ
Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ■
(引用終り)

下記 Class (set theory) en.wikipedia だ

記述修正
Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ
　↓
Vでは”クラスが扱えないことを回避する”ものだということ

つまり 下記記述
”Because classes do not have any formal status in the theory of ZF, the axioms of ZF do not immediately apply to classes.
However, if an inaccessible cardinal κ is assumed, then the sets of smaller rank form a model of ZF (a Grothendieck universe), and its subsets can be thought of as "classes".”
＜補足＞
１）そもそも、ZF中では ”classes do not have any formal status” つまり、クラスという言葉さえない
２）そこで、”an inaccessible cardinal κ”（不定冠詞anな）でもって、”a Grothendieck universe”（不定冠詞aな）を導入して
　”its subsets”とする it＝a Grothendieck universe こいつを ”can be thought of as "classes"”、つまり "classes"として考えることができるよと

これで、”a Grothendieck universe”の”subsets”として、クラス"classes"（複数形）を考えることが出来 そして扱える■
（余談：”すべての順序数のクラス”とかは、煮ても焼いても集合にはできないかも）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Class_(set_theory)
Class (set theory)
A class that is not a set (informally in Zermelo–Fraenkel) is called a proper class, and a class that is a set is sometimes called a small class. For instance, the class of all ordinal numbers, and the class of all sets, are proper classes in many formal systems.
(google訳)
（ツェルメロ・フレンケル集合論などの文脈において）集合ではないクラスは「真のクラス」と呼ばれ、集合であるクラスは「小さなクラス」と呼ばれることがあります。例えば、すべての順序数のクラスや、すべての集合のクラスは、多くの形式的体系において真のクラスとなります。
Classes in formal set theories
Because classes do not have any formal status in the theory of ZF, the axioms of ZF do not immediately apply to classes.
However, if an inaccessible cardinal κ is assumed, then the sets of smaller rank form a model of ZF (a Grothendieck universe), and its subsets can be thought of as "classes".

>>392
ゴメン

>>393
(引用開始)
彼の人が良く引用するのはこれだったかな？
https://konn-san.com/math/boolean-valued-model-and-forcing.html
ここで行っている全ての操作はVの中でのモノ
そこでVBを作りそれがV[G]と見なせることおよび
(引用終り)

それ、強制法の宇宙Vだよ
到達不能基数の宇宙の議論とは微妙に違う

強制法の宇宙は、例えて言えば 宇宙を横に広げる話
到達不能基数の宇宙の議論は、宇宙を縦（高さ方向）に広げる話だ

なお
（この人はめちゃ優秀です。むかしっから資料の参照をさせてもらっています。分かり易い）
https://konn-san.com/profile.html
自己紹介(石井大海)
2019/03 筑波大学大学院 数理物質科学研究科 数学専攻 博士後期課程修了
2017/04〜2019/03 日本学術振興会特別研究員（DC2）
2016/04〜 筑波大学大学院 数理物質科学研究科 数学専攻 博士後期課程
2016/03 筑波大学大学院 数理物質科学研究科 数学専攻 博士前期課程修了
2014/04 筑波大学大学院 数理物質科学研究科 数学専攻入学
2014/03 同卒業（基幹理工学部総代）
2011/04 早稲田大学基幹理工学部 数学科配属

>>394
>However, if an inaccessible cardinal κ is assumed, then the sets of smaller rank form a model of ZF (a Grothendieck universe), and its subsets can be thought of as "classes".
このクラスは相対化されたクラス。
集合全体の集まりは集合ではない。実際、仮に集合と仮定するとカントールの定理と矛盾する。
UをU内部から見ると集合全体の集まりだから真クラスに見える。一方宇宙全体Vから見ると無数にある集合のうちのひとつに見える。集合か真クラスかは視点に依存する。
U内部で真クラスに見えるものを数学者は外部の視点から集合として安心して取り扱うことができる。

>繰返すが 普通の (strongly inaccessible cardinals が存在しない) ノイマン宇宙Vの中の集合を 全て含み かつ
>Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ■
まったく見当違い。

>>396
>到達不能基数の宇宙の議論は、宇宙を縦（高さ方向）に広げる話だ
大嘘。
ノイマン宇宙はすべての順序数（従ってすべての基数）を最初から持っており、縦に広げることはできません。

なにをどんだけ引用しようとそれから得た結論がめっちゃくちゃ。
Grothendieck が Universe の話をもちだしたのを「代数幾何に必要不可欠なもの」とかアンポンタンな結論にもっていってしまう。
もちろん代数幾何なんて勉強したことないんだからそういうミスをしてしまうのはしょうがないとして、そのミスを他人から指摘されてまったく反省なくなぜだか「お前がまちがってる」とおもってしまう。
素頭以前に人間性が学問にむいてない。頭もわるいが心もだめ。なにもかも学問に向いてない

ガロア理論を諦めて
集合論の下らん話題を駄弁る
このスレは終了ってことで
オナシャス

集合論の話も終わりでよい。
一匹ｖｓその他になってるし、その一匹はレベルが低すぎて会話が成立してない。これ以上続けても無駄。

¬CHを仮定すれば実数の中に|N|=ℵ0<|A|=ℵ1<|R|=|P(N)|となるAが「存在」することになる
NもP(N)もZFで既に定義されているが
¬CHを仮定することでAが新たに生まれたと考えるのが彼の人
正しくは写像が「減る」（存在が許されなくなる）ため
N⊂∃A⊂R:¬∃f:N→A:iso∧¬∃g:A→R:iso
となる

>>397-402
ここは、中高生もくるので 厳しく赤ペンするよ

>>繰返すが 普通の (strongly inaccessible cardinals が存在しない) ノイマン宇宙Vの中の集合を 全て含み かつ
>>Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ■
>まったく見当違い。

それあんた

まず 記述修正を入れている>>394より
Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ
　↓
Vでは”クラスが扱えないことを回避する”ものだということ
（追加：真のクラスの厳密な定義が面倒なのでそれを回避した）

さて >> 387 タルスキ＝グロタンディーク集合論
『ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）の非保存的拡大
タルスキの公理は到達不能基数の存在を含意し、ZFC より豊かな存在論を与える。例えば、この公理を追加することで圏論を支えることができる』
百回音読してね
つまり、非保存的拡大＝ZFCを包含して 真にそれ以上■

>¬CHを仮定すれば実数の中に|N|=ℵ0<|A|=ℵ1<|R|=|P(N)|となるAが「存在」することになる

１）¬CHを仮定しても
　一方で 日常のわれわれ純ZFC内では、無関係
　『|N|=ℵ0<|A|=ℵ1<|R|=|P(N)|となるAが「存在」する』は 証明できないから
２）つまり、われわれの日常は、空集合Φから順に有限自然数を構成し、無限集合Nを構成し べき集合から実数Rを構成し、実関数を考えて 2^Rを構成する・・
　この道筋上には 上記集合Aは登場しない（∵証明： 背理法による。集合Aが証明可能なら 集合AがZFCで証明できたことになり CHは独立に反する）

ゆえに CHがZFCから独立で 否定も肯定もできないなら
われわれの日常の数学には 普通は無関係■

と同様に 到達不能基数κの存在が ZFCから独立で 否定も肯定もできないなら
われわれの日常の数学では 普通無関係

但し、あったら便利と グロタンディーク
ゆえに タルスキ＝グロタンディーク集合論登場
これが到達不能基数κと関連していると 後代に分かった
グロタンディーク宇宙Uは、非保存的拡大＝ZFCを包含して 真にそれ以上■

>>403
>ここは、中高生もくるので

それどころか小学生とか幼稚園児とか🐵も来る
そいつらが数学者面して赤ペン採点とかいって悪戯書きする
そして自分に勝手に💯つける　🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣

2進法で100点
な～んちゃって(^^)
ただ、冗談が言いたいだけのおにぃw

ガロア理論に殆ど関係ないw
基礎論スレあるのに。
基礎論なのか知らんが。

>>403
>Vでは”クラスが扱えないことを回避する”ものだということ
まったく見当違い。
κを強到達不能基数として、VκはZFCのモデル（の議論領域）であるが、それはZFCとしては真クラス（Vκを集合と仮定すると矛盾し存在反証できるから）、ZFC+(κの存在)としては集合（公理から存在証明できるから）。
クラスを扱えないのはZFCもZFC+(κの存在)も同じ。

>（追加：真のクラスの厳密な定義が面倒なのでそれを回避した）
真クラスとは集合でないクラス。

>ここは、中高生もくるので 厳しく赤ペンするよ
君、自分が赤ペンされる側って認識無いんだね。呆けてるね。

>それあんた
脊椎反射はダメ。君の悪い癖。

>>406
全く関係ない
要するに根号つかって解ける理屈が
全然分かってないから逃げたんでしょ
分かってないことを認めたがらない
だからいつまでウソ分かりのまま

理論とモデルの違いも分からない、理論とメタ理論の違いも分からない、証明不可能と反証可能の違いも分からない
そんなおサルさんには無理だから諦めよう

>>403
>１）¬CHを仮定しても
>　一方で 日常のわれわれ純ZFC内では、無関係
>　『|N|=ℵ0<|A|=ℵ1<|R|=|P(N)|となるAが「存在」する』は 証明できないから
証明できます。
CHとは ℵ1=|P(N)| なる主張
¬CHとは ℵ1≠|P(N)| なる主張
¬CHから ℵ1<|P(N)|=|R|が言え、濃度の大小関係の定義より単射 f:ℵ1→R が存在して、|N|<|f(ℵ1)|<|R|。

本来は基礎論スレですべき話なんじゃないの？
まあ、別に双方が合意していれば良いが。

>>410
ですね

（理論が拡大するとモデルは縮小するのにね）

>>411
＞本来は基礎論スレですべき話なんじゃないの？

それほど大層な内容もない

そうすか。

>>403 補足
(引用開始)
ゆえに CHがZFCから独立で 否定も肯定もできないなら
われわれの日常の数学には 普通は無関係■
と同様に 到達不能基数κの存在が ZFCから独立で 否定も肯定もできないなら
われわれの日常の数学では 普通無関係
但し、あったら便利と グロタンディーク
ゆえに タルスキ＝グロタンディーク集合論登場
これが到達不能基数κと関連していると 後代に分かった
グロタンディーク宇宙Uは、非保存的拡大＝ZFCを包含して 真にそれ以上■
(引用終り)

さて、到達不能基数κが、ノイマン宇宙V(ここにV内はノイマンの定義した通常の基数のみからなる)で
果たしてVのどこに位置づけられるべきか？を考察しよう

１）前振り（レベル合わせ）
・Von Neumann universe https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
　ここで、下記のポンチ絵が 参考になる
　i) https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe#/media/File:Von_Neumann_Hierarchy.svg
　An initial segment of the von Neumann universe. Ordinal multiplication is reversed from our usual convention; see Ordinal arithmetic.
　ii)https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe#/media/File:Von_Neumann_universe_4.png
　First 5 von Neumann stages V0〜V4
　（This sequence exhibits tetrational growth. The set V5 contains 2^16 = 65536 elements; the set V6 contains 2^65536 elements, which very substantially exceeds the number of atoms in the observable universe;
　The set Vω has the same cardinality as ω. The set Vω+1 has the same cardinality as the set of real numbers.）
２）要するに 普通各ステージで Vn→Vn+1 は
　直前の基数の集合の冪を繰返し取ることで成り立つ
３）いま、到達不能基数κが ノイマン宇宙Vの内部だと考えると
　それは、V内部の如何なる基数とも 一致してはならない。（∵一致したら 新しい基数を加えたことにならない）
　次に V内部の基数αを考えてVαとVα+1の間だとすると これは 一般連続体仮説の否定になる（Vω未満が連続体仮説の否定でその一般化）
　だが、おそらく「一般連続体仮説ウンヌンカンヌン」は、否定される（それでは 何の面白みもない。一般連続体仮説とは 到達不能基数κは峻別されるべき）
４）結局 消去法で 到達不能基数κの居場所は、Vの外で 基数ゆえ 上記Vのポンチ絵の上■（下は正則性公理に反する）
QED （＾＾；

>>416 タイポ訂正

（Vω未満が連続体仮説の否定でその一般化）
　↓
（VωとVω+1間が連続体仮説の否定でその一般化）

Vω未満は、論外だったな（＾＾

>>416
>通常の基数
ってなに？

>いま、到達不能基数κが ノイマン宇宙Vの内部だと考えると
考えなくても定義からκ∈V

>一致したら 新しい基数を加えたことにならない
加えなくてよい　最初から全部入ってる

>Vω未満が連続体仮説の否定
意味不明な妄想

>一般連続体仮説とは 到達不能基数κは峻別されるべき
馬鹿の妄言

>結局 消去法で 到達不能基数κの居場所は、Vの外
結局 消去法で馬鹿の居場所は数学板の外

>基数ゆえ 上記Vのポンチ絵の上■（下は正則性公理に反する）
基地外ゆえポンチ絵で分かった気になる■（The class V is defined to be the union of all the V-stagesは読めない）

代数幾何の議論など到底自分にはむりというのは理解できたんかもな。まだギリギリ代数幾何ならがロア理論のスレで話題にのぼって不思議ないんだけどな

>>415
ニコ君か
ありがとね
ところで
私が この数学板に来たとき
"Kummer"というコテハンの人が
黙々と 整数論のKummer絡みの数論の証明を
毎日毎日貼付けていた
それを思い出したので 書いてみた
2012年ころ
過去ログあると思うよ
スレのタイトルは忘れたが（＾＾

>>420
クンマー理論は良く知らないんですよね(汗)
ガロア理論は難しいですから。

（αが極限順序数の時のVαは冪じゃ無いのにね）

>>418
(ガウスDA)くんか

>>通常の基数
>ってなに？

通常の基数の定義：ZFCで存在が証明できる基数 例 ω、R(=2^ω)など 可算無限ωから始めて 冪を超限回とって実現できる基数（超限回とは 全ての順序数を尽くすこと）

>>いま、到達不能基数κが ノイマン宇宙Vの内部だと考えると
>考えなくても定義からκ∈V

違うよ
上記の通り 到達不能基数κは、ZFCで存在が証明できない基数
数学者は、存在が証明できない場合は 存在するとは言わない
その場合、存在を言いたいとき 公理を立てる（無限公理で無限集合を実現するのと同じ）

>>一致したら 新しい基数を加えたことにならない
>加えなくてよい　最初から全部入ってる

いいや
上記の通り 無限集合の存在は 無限公理を おかないと証明できない

>>422
>（αが極限順序数の時のVαは冪じゃ無いのにね）

いいや！（＾＾
Vαは冪です！！
極限順序数でない順序数を作るのは 和集合による演算（下記）

おお、Inaccessible cardinalのen.wikipedia記事に
”Existence of a proper class of inaccessibles”
「到達不能基数の公理はグロタンディーク・ヴェルディエの宇宙の公理（任意の集合がグロタンディーク宇宙に含まれるというもの）と同値になります」
「この公理系は、例えば任意の圏が適切な米田埋め込みを持つことを証明する際などに有用です」
なるほど・・・ メモメモｗ（＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number
Ordinal number
Von Neumann definition of ordinals
Thus the finite von Neumann ordinals are defined recursively as ⁠
0=∅ and ⁠
n+1=n∪{n}⁠.
That is, ⁠1={0}⁠, ⁠2={0,1}⁠, ⁠3={0,1,2}, etc.
The first infinite ordinal ⁠ω⁠ is represented by the set of all finite ordinals, i.e., the set of von Neumann natural numbers ⁠
N={0,1,2,…}. Then ⁠ω+1={0,1,2,…,ω}=N∪{ω}⁠, and so on.

https://en.wikipedia.org/wiki/Inaccessible_cardinal
Inaccessible cardinal
The two notions of an inaccessible cardinal
κ describe a cardinality
κ which can not be obtained as the cardinality of a result of typical set-theoretic operations involving only sets of cardinality less than κ. Hence the word "inaccessible". By mandating that inaccessible cardinals are uncountable, they turn out to be very large.

The existence of a strongly inaccessible cardinal is equivalent to the existence of a Grothendieck universe. If
κ is a strongly inaccessible cardinal then the von Neumann stage
Vκ is a Grothendieck universe. Conversely, if
U is a Grothendieck universe then there is a strongly inaccessible cardinal
κ such that Vκ=U. As expected from their correspondence with strongly inaccessible cardinals, Grothendieck universes are very well-closed under set-theoretic operations.

つづく

つづき

Existence of a proper class of inaccessibles
As is the case for the existence of any inaccessible cardinal, the inaccessible cardinal axiom is unprovable from the axioms of ZFC. Assuming ZFC, the inaccessible cardinal axiom is equivalent to the universe axiom of Grothendieck and Verdier: every set is contained in a Grothendieck universe. The axioms of ZFC along with the universe axiom (or equivalently the inaccessible cardinal axiom) are denoted ZFCU (not to be confused with ZFC with urelements). This axiomatic system is useful[clarification needed] to prove for example that every category has an appropriate Yoneda embedding.
(google訳)
到達不能基数の真のクラスの存在
任意の到達不能基数の存在と同様に、到達不能基数の公理はZFCの公理系からは証明できません。ZFCを前提とすると、到達不能基数の公理はグロタンディーク・ヴェルディエの宇宙の公理（任意の集合がグロタンディーク宇宙に含まれるというもの）と同値になります。ZFCの公理系に宇宙の公理（あるいは同値な到達不能基数の公理）を加えたものはZFCUと表記されます（ウアエレメントを含むZFCと混同しないよう注意が必要です）。この公理系は、例えば任意の圏が適切な米田埋め込みを持つことを証明する際などに有用です。
(引用終り)
以上

>>421
>クンマー理論は良く知らないんですよね(汗)
>ガロア理論は難しいですから。

ニコ君か
いや、クンマー理論は 本来は クンマーさんが フェルマー最終定理の
部分解決に 理想数（現在のイデアル論）を導入したときから始るんだよ

それを後世の人が ガロア理論に
取り込んだんだよ

クンマー理論自身が何を意味するか？
現代数学では いろいろ発展があるから
多義だね（人によって意味が違う）

>>423
君も諦めが悪いね

>通常の基数の定義：ZFCで存在が証明できる基数 例 ω、R(=2^ω)など 可算無限ωから始めて 冪を超限回とって実現できる基数（超限回とは 全ての順序数を尽くすこと）
全ての順序数には強到達不能基数も入ってますけど？
強到達不能基数の存在はZFCで証明できませんけど？　不完全性定理に反しますから。
ちょっと何言ってるか分かりません

>>>いま、到達不能基数κが ノイマン宇宙Vの内部だと考えると
>>考えなくても定義からκ∈V
>違うよ
違わないよ

>上記の通り 到達不能基数κは、ZFCで存在が証明できない基数
>数学者は、存在が証明できない場合は 存在するとは言わない
数学者はZFCからVの存在証明が可能なんて言ってませんけど？　あなたの妄想です。

>その場合、存在を言いたいとき 公理を立てる（無限公理で無限集合を実現するのと同じ）
じゃあVが存在するという公理を立てれば解決
まあ実際にはVが存在するための必要条件を満足する別の形の公理でしょうけど

>>>一致したら 新しい基数を加えたことにならない
>>加えなくてよい　最初から全部入ってる
>いいや
>上記の通り 無限集合の存在は 無限公理を おかないと証明できない
公理を置いていいならVの存在も証明できますけど？

>>424
>>（αが極限順序数の時のVαは冪じゃ無いのにね）
>いいや！（＾＾
>Vαは冪です！！
大嘘。
αが極限順序数のとき Vα:=[β<α]Vβ。つまり和集合。

>極限順序数でない順序数を作るのは 和集合による演算（下記）
大嘘。
αが後続順序数のとき Vα:=2^(Vα-1)。つまりべき集合。

このレベルの定義も確認できないとか、君、池沼？

>おお、Inaccessible cardinalのen.wikipedia記事に
>”Existence of a proper class of inaccessibles”
>「到達不能基数の公理はグロタンディーク・ヴェルディエの宇宙の公理（任意の集合がグロタンディーク宇宙に含まれるというもの）と同値になります」
>「この公理系は、例えば任意の圏が適切な米田埋め込みを持つことを証明する際などに有用です」
>なるほど・・・ メモメモｗ（＾＾
いくらメモしても誤読してるから無意味。
「任意の集合がある一つのグロタンディーク宇宙に含まれる」は大誤読。
「任意の集合xに対してx∈Uを満たすグロタン宇宙Uが存在する」が正読。

>「任意の集合がある一つのグロタンディーク宇宙に含まれる」は大誤読。
こういうアホ誤読してるから V⊂U とか妄想口走っちゃうんですね？分かります

>「任意の集合がある一つのグロタンディーク宇宙に含まれる」
が本当ならたちまち矛盾します。「集合全体の集まりは集合」と言ってることになりますから。
こんな簡単なことに気付けない絶望的数学センスじゃ数学は無理なので諦めましょう

>αが極限順序数のとき Vα:=[β<α]Vβ。つまり和集合。
αが極限順序数のとき Vα:=∪[β<α]Vβ。つまり和集合。

なげーよ

>>428
ですね
彼の人はVωは何の冪だと思ってるのかな？

（超限回も定義を正しく認識してないかも）

５次方程式の解は冪根√ で書けない（MatheqQ)
https://www.youtube.com/watch?v=5QxIvMB1JjU

×　∃U.∀x:(x∈U)
〇　∀x.∃U:(x∈U)
論理が分からぬ馬鹿に数学は無理

(ε∀ε)　(εωε)

>×　∃U.∀x:(x∈U)
仮にこれが正しいなら、U∈Uも2^U⊂Uも言える。
数学センスゼロなので諦めましょう。

>>426
＞クンマー理論自身が何を意味するか？

ん？wikipediaを丸コピペしないの？ｗ

ーーー
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%B3%E3%83%9E%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
抽象代数学や数論で、クンマー理論(Kummer theory)は、
基礎体の元の n 乗根の添加が関わっている、
あるタイプの体の拡大を記述する理論である。

クンマー拡大(Kummer extension)とは、
ある与えられた整数 n > 1 に対し
次の条件を満たすような体の拡大 L/K のことを言う。

・K は、n 個の異なる1のn乗根（つまり、Xn−1 の根）を含む。
・L/K はexponent n の可換ガロア群を持つ。

より一般的に、K が n 個の異なる 1 の n 乗根を含むとき、
K の任意の元 a の n 乗根をK に添加するとクンマー拡大をなす。

ここでできる体は多項式 X^n − a の分解体であるため、
クンマー拡大は必然的にガロア拡大となり、ガロア群は巡回群となる。

クンマー理論(Kummer theory)は上記の逆の命題をもたらす。
K が n 個の異なる 1 の n 乗根を持っているとすると、
exponent が n を割るような K の任意のアーベル拡大は、
K の元の冪根をとることにより作られる。

さらに、K× で K のゼロではない元全体のなす乗法群を表すとすると、
exponent が n である K のアーベル拡大は、
K×/(K×)^n、つまり K× の元を n 乗して得られる部分群による剰余群
の部分群に全単射で対応する。

（つづく）

>>439のつづき
対応関係は次のように明確に記述することができる。

部分群 Δ⊆K×/(K×)^n が与えられると、
対応する体の拡大は K(Δ^(1/n)) で与えられる。ここで、
Δ^(1/n)={n√a:a∈K×,a⋅(K×)^n∈Δ}　とする。
実際には、群 Δ の任意の生成集合について、
それぞれの元から代表をひとつとって、
その n 乗根を添加すれば十分である。

逆に、L を K のクンマー拡大とすると、Δ は
Δ=K×∩(L×)^n
という規則により復元される。

この場合には、クンマー・ペアリング(Kummer pairing)と呼ばれる同型
Δ≅Hom c(Gal⁡(L/K),μn) が、
a↦(σ↦σ(α)/α)
により与えられる。
ここに、α は L の元 a の n 乗根である。
また μn は 1 の n 乗根がなす乗法群であり、 K に含まれる。

もし拡大 L/K が有限次拡大であれば、
Gal⁡(L/K) は有限離散群であり、同型
Δ ≅ Hom(Gal⁡(L/K),μn) ≅ Gal(L/K)
が得られる。

ここで、最後の同型は自然ではない。