ガロア理論を理解したい

>>352
>さて、最後の余談で ノイマン宇宙Vで Vは 強到達不能基数を公理として認めない立場では クラス（類）だ。∵ ZFCだけでは集合ではない
大間違い。>>297
人から間違いを指摘されなくても理解するのが利口者
人から間違いを指摘されて理解するのが普通のバカ
人から間違いを指摘されても理解できない君は希代のバカ

>が、強到達不能基数λ （それは 巨大基数でもある）を 認めるいうことは、グロタンディーク宇宙Uという巨大ものを 集合として 扱うことを許すということ
Uじゃなくu(λ)。
あれだけ教えてあげたのにまだ一般名詞と固有名詞の区別ができてない。頭悪すぎ。

>グロタンディーク宇宙Uは、ZFCのありとあらゆる集合操作をしても グロタンディーク宇宙Uの中
UがZFCモデル（の議論領域）という意味ならその通り。
。。。と言いたいところだが、例外あり。{}とVω。

>そして、グロタンディーク宇宙Uの中の存在は 全て集合。
「中の存在」とかいう馬鹿語は使わない方が良い。元なり部分集合なりと言え。元も部分集合も集合であることはいわずもがな。

>ゆえに 通常のノイマン宇宙V内に存在する集合は すべて グロタンディーク宇宙Uの中■
「通常の」とかいう馬鹿語は使わない方が良い。通常じゃないVってどんなV？　君、答えられるの？　答えられないってことは自分が何を言ってるか自分で分かってないってことだよ。それは馬鹿の極み。
反例：κ0<κ1を強到達不能基数の列とする。(u(κ0)=Vκ0⊂u(κ1)=Vκ1⊂V)∧(u(κ0)=Vκ0≠u(κ1)=Vκ1≠V) つまりu(κ1)はV内に存在するがu(κ0)内に存在しない。残念！

>V ⊂U これが結論
大間違い。
そもそも真クラスは集合の元にも集合の部分クラスにもなれない。

無駄な抵抗はやめた方がいいよ。君、初歩の初歩から分かってないから。
君がやるべきは口を閉じて一から地道に勉強すること。それが嫌なら数学やめな。

>>364 追加

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_large_cardinal_properties
List of large cardinal properties
Existence of a cardinal number κ of a given type implies the existence of cardinals of most of the types listed above that type, and for most listed cardinal descriptions φ of lesser consistency strength, Vκ satisfies "there is an unbounded class of cardinals satisfying φ".

ここの ”Vκ”のリンクが
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
で、下記な
抜粋：a collection of sets Vα indexed by the class of ordinal numbers; in particular, Vα is the set of all sets having ranks less than α. Thus there is one set Vα for each ordinal number α. Vα may be defined by transfinite recursion as follows:

https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Definition
The cumulative hierarchy is a collection of sets Vα indexed by the class of ordinal numbers; in particular, Vα is the set of all sets having ranks less than α. Thus there is one set Vα for each ordinal number α. Vα may be defined by transfinite recursion as follows:
略

（注：Von_Neumann_universe中のαは、普通のordinal number αであって 巨大基数は 含まない。
　が、その延長上に large cardinalがあり ”Vκ”は それにならうということ ）

>>367
ふっ
　>>368な

あと
>大間違い。
>そもそも真クラスは集合の元にも集合の部分クラスにもなれない。

言葉のあやだな
　>>361
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）。
(引用終り)

『宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）』

ZFCままだと 真のクラスになるべきところ
グロタンディーク宇宙さま だと 真のクラスを回避！
それを どう表現しようが 数学外の 文学表現にすぎない
まあ、サルがタイプを叩けば 好きな言葉が叩けるさｗ（＾＾

セタが尊敬しそうな昭和の社長。令和になって鍍金が剥がれた。
ちなみに「御大」とも呼ばれていたらしい。
https://www.youtube.com/watch?v=6NmvoJCzRu8

>>369 補足
>ZFCままだと 真のクラスになるべきところ
>グロタンディーク宇宙さま だと 真のクラスを回避！
>それを どう表現しようが 数学外の 文学表現にすぎない

まあ、中高生向けに説明すると
１）ZFCは、ラッセルパラドックスが生じないように 厳しく 厳しく集合の範囲を制限した
２）が、その後 「ちょっと狭すぎない？」と思う数学者たちがいた
３）その一人が グロタン で 「代数幾何の圏論やりたいから ZFC広げちゃうね」と
４）それを見た 基礎論屋さん「それって 俺たちが考えていた 巨大基数論に乗るっぺよ」といった
そして いまに至る （＾＾

>>358
それがガウス周期と呼ばれるものの一例ですね。
ガウスD.A.にはガウス周期の理論も含まれている。
現代的には、部分体とか基底の理論に相当するが
より詳しい積公式なども成立するのが特徴的。

なお、α-βは2次のガウス和であり、√7 i に等しい。

ガウスは素数p、p-1が3で割れるときに、3次の
ガウス周期がみたすQ上の3次方程式を一般的に求めているが
その際に、問題が有限体上の楕円曲線の点の個数の
数え上げと関係することを発見している。
Wikipediaの記述より
「また、第7章第358条は、有限体上の楕円曲線の点の個数に関する、
ハッセの定理の評価が非自明に成り立つ（歴史的に）最初の例を与えている」

>>350
わかりにくい
とかいうか何が問題になってるかわかりますか？

>>370
>セタが尊敬しそうな昭和の社長。令和になって鍍金が剥がれた。
>ちなみに「御大」とも呼ばれていたらしい。
>https://www.youtube.com/watch?v=6NmvoJCzRu8

うん 永守重信氏さんね
実話を二つ
１）ちょっと後輩で 「日本電産（いまのニデック）に 移ることにした」と挨拶に来た人がいた
　聞くと 神戸から京都に通うのだが
　相手の会社の人事から「うちの会社は 厳しいから 京都まで通えますか 」みたく言われたという
　（要するに ２４時間働けますか？ みたくね）
　（その後は 聞いていないが 果たしてどうなったか？）
２）ずっと後で ご近所の人で 大手銀行から ヨーロッパの支店勤務だったところ
　”日本電産に移る”という 井戸端会議の情報を聞いた
　上記の後輩の話を連想した。
　（日本電産は、表向き華やかだが 内実はブラックだろうと思っていたので）
　そして その人は２〜３年で別の会社へ移ったという（長続きしなかったというか ブラックでやめて正解だったか）

まあ、永守重信氏さんみたいなやり方は
うまく行くときは良いが 逆回転になると
内部から崩壊する（粉飾の横行）という典型例だろう

https://ja.wikipedia.org/wiki/24%E6%99%82%E9%96%93%E6%88%A6%E3%81%88%E3%81%BE%E3%81%99%E3%81%8B
24時間戦えますか（にじゅうよじかんたたかえますか）は、三共の栄養ドリンク『リゲイン』がかつて使用していたキャッチコピーである[1]

>>361
>>ノイマン宇宙Vを、集合論の宇宙というなら、
>>そこでは、強到達不能基数をみとめようがみとめまいがクラス
その通り。>>297

>正直 その議論は 大して意味がないと思う
真クラスか集合かは大問題。そもそもグロタンがグロタン宇宙を考えた最大の動機。

>つまり、「鶏が先か卵が先か」 みたいなことだね
まったくトンチンカン。

>ポイントは下記二つ
初歩の初歩から分かってない君に何がポイントか分かるはずが無い。

>１）”The existence of a nontrivial Grothendieck universe goes beyond the usual axioms of Zermelo–Fraenkel set theory; in particular it would imply the existence of strongly inaccessible cardinals.”
>　つまり、ZFCを超えるグロタンディーク宇宙を考えて ZFCでの”真のクラスを回避する方法として導入した”
集合としてのZFCモデルが欲しいのなら強到達不能基数κの存在の仮定とVκで十分。Vκはグロタン宇宙だが、グロタン宇宙はVκに限らない。つまりグロタン宇宙を考える動機は「集合としてのZFCモデルが欲しい」を超えている。
そもそも英文と君の文はぜんぜん違うことを言っていて「つまり」で結ぶのは甚だ不適当。

>２）グロタンディーク宇宙の考えは 基礎論屋さん”the existence of strongly inaccessible cardinals”と結びついた
こちらの方がむしろ英文に近い。たいぶ違うけど。
で？　だから何だと君は言ってるの？

>繰返すが 普通の (strongly inaccessible cardinals が存在しない) ノイマン宇宙Vの中の集合を 全て含み かつ
>Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ■
いくら繰り返しても間違いが正しくなることは無い。
Vはすべての強到達不能基数を持つ。一方どんなに大きなグロタン宇宙を考えてもすべての強到達不能基数を持つことは決して無い。集合であるとの定義に反するから。

>>363
>　巨大基数の何も存在しない 通常のノイマン宇宙V
そんなものはありません。Vはすべての基数を持っており、そうでないVはありません。
君、なんでVの定義を確認しないの？　検索は得意なんじゃなかったっけ？

>>368
>注：Von_Neumann_universe中のαは、普通のordinal number αであって 巨大基数は 含まない。
嘘注乙。
君の引用にこんなことは一言も書かれてない。君、息するように嘘つくね。

>>369
>言葉のあやだな
ごまかしてもダメ

>ZFCままだと 真のクラスになるべきところ
>グロタンディーク宇宙さま だと 真のクラスを回避！
誤読にもとづく妄想

Q(√√2)のガロア群は、4次の二面体群。

>>380
Q（√√2）を含む最小のガロア拡大のガロア群の間違い。

>>371
>まあ、中高生向けに説明すると
君の説明を真に受ける中高生はいないと思うよ　君よりは賢いから

>１）ZFCは、ラッセルパラドックスが生じないように 厳しく 厳しく集合の範囲を制限した
>２）が、その後 「ちょっと狭すぎない？」と思う数学者たちがいた
>３）その一人が グロタン で 「代数幾何の圏論やりたいから ZFC広げちゃうね」と
>４）それを見た 基礎論屋さん「それって 俺たちが考えていた 巨大基数論に乗るっぺよ」といった
>そして いまに至る （＾＾
妄想乙

そもそも理解し損なってるからな
別に通常のZFCの中だけで代数幾何議論するのに不足はない
「代数幾何やるためにZFCを拡張した」というのはそんなわけない

中高生の時に騙されて、同じような人が出ないためにここに居て、いま中高生を騙そうとしている

>>383
そうね
単純に小さな圏に持ち込む面倒を
避ける方便に使うのがグロタンディク宇宙

>>374
>わかりにくい

"わかりにくい" "分らない"に、属人性がある
ある人には分かり ある人には分らない

>とかいうか何が問題になってるかわかりますか？

しらない
　>>349「1の7乗根をその形でかける？」と書かれているね
指示語 「その形」が あいまいではあるね
そもそも、私への質問ではなかった
おそらくその直前の >>348への質問だろ？
ただ、”1の7乗根”のべき根表示で検索して
ヒットしたのを貼っただけさ

そして その後に>> 354-355に追加投稿あるよ
質問は そちらへ

>>376-385
>そもそも理解し損なってるからな
>別に通常のZFCの中だけで代数幾何議論するのに不足はない
>「代数幾何やるためにZFCを拡張した」というのはそんなわけない
>そうね
>単純に小さな圏に持ち込む面倒を
>避ける方便に使うのがグロタンディク宇宙

みんな なんで思いつきの ウソを書くのかな？ｗ
ちゃんと 発言の裏取り検索をしなよｗｗ
数学では、その態度は通用しない！
大学ゼミでは、黒板ハリツケの刑だよ（＾＾

さて下記 引用
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%82%AD%EF%BC%9D%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
タルスキ＝グロタンディーク集合論
ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）の非保存的拡大
タルスキの公理は到達不能基数の存在を含意し、ZFC より豊かな存在論を与える。例えば、この公理を追加することで圏論を支えることができる。
https://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%E2%80%93Grothendieck_set_theory
Tarski–Grothendieck set theory
(google訳)
タルスキの公理は、無限、選択、[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]および冪集合の公理も含意します。[ 4 ] [ 5 ]また、到達不可能な基数の存在も含意しており、そのおかげでTGの存在論はZFCなどの従来の集合論の存在論よりもはるかに豊かです。
タルスキ宇宙が推移的であれば、それはグロタンディーク宇宙でもあります。[ 7 ]逆に、選択公理を仮定すると、すべてのグロタンディーク宇宙はタルスキ宇宙です（つまり、タルスキの公理を満たします）。[ 8 ]
タルスキの公理は、ZFCよりもはるかに多くの集合を保証する公理である。
(引用終り)

まとめ
１）ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）の非保存的拡大
２）タルスキの公理は到達不能基数の存在を含意し、ZFC より豊かな存在論を与える。例えば、この公理を追加することで圏論を支えることができる。
３）選択公理を仮定すると、すべてのグロタンディーク宇宙はタルスキ宇宙です（つまり、タルスキの公理を満たします）
タルスキの公理は、ZFCよりもはるかに多くの集合を保証する公理である。
以上

な、やっぱりわかってないやろ
お前に代数幾何なんて到底無理だよ

（彼の人のカキコミは支離滅裂）

>>367,376,383
ですね

理論が拡大すると証明できることは増えるかもしれないが
（保存拡大なら増えない・非保存拡大なら増える）
逆に
集合論の宇宙に存在するものは増えない
最も拡大された理論は人（矛盾）
これは全てを証明できるが
そのモデルは空

空じゃなく無い
あるなら無矛盾
それが完全性定理

重要なのは
Vの中で全ての操作を行っているということ
彼の人が良く引用するのはこれだったかな？
https://konn-san.com/math/boolean-valued-model-and-forcing.html
ここで行っている全ての操作はVの中でのモノ
そこでVBを作りそれがV[G]と見なせることおよび
その「中」にVがあると見ても良いことが示されているが
ここでいう「中」にあるというのは
実数体が超実数体に埋め込まれているというのと同様
Vをその部分クラスであるVBの「中」に埋め込んで
同一視をしているだけのこと
VB（V[G]）の中でもOrdはVのものと同じ
つまり
当然なことだが到達不能基数もVのOrdの「中」にある
ZFCではそれが到達不能基数であると証明できないだけ
（証明できたらZFCが自分自身の無矛盾性を証明したことになってゲーデルの第二不完全性定理に反してしまう）

>>361
(引用開始)
ポイントは下記二つ
１）”The existence of a nontrivial Grothendieck universe goes beyond the usual axioms of Zermelo–Fraenkel set theory; in particular it would imply the existence of strongly inaccessible cardinals.”
　つまり、ZFCを超えるグロタンディーク宇宙を考えて ZFCでの”真のクラスを回避する方法として導入した”
２）グロタンディーク宇宙の考えは 基礎論屋さん”the existence of strongly inaccessible cardinals”と結びついた
繰返すが 普通の (strongly inaccessible cardinals が存在しない) ノイマン宇宙Vの中の集合を 全て含み かつ
Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ■
(引用終り)

下記 Class (set theory) en.wikipedia だ

記述修正
Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ
　↓
Vでは”クラスが扱えないことを回避する”ものだということ

つまり 下記記述
”Because classes do not have any formal status in the theory of ZF, the axioms of ZF do not immediately apply to classes.
However, if an inaccessible cardinal κ is assumed, then the sets of smaller rank form a model of ZF (a Grothendieck universe), and its subsets can be thought of as "classes".”
＜補足＞
１）そもそも、ZF中では ”classes do not have any formal status” つまり、クラスという言葉さえない
２）そこで、”an inaccessible cardinal κ”（不定冠詞anな）でもって、”a Grothendieck universe”（不定冠詞aな）を導入して
　”its subsets”とする it＝a Grothendieck universe こいつを ”can be thought of as "classes"”、つまり "classes"として考えることができるよと

これで、”a Grothendieck universe”の”subsets”として、クラス"classes"（複数形）を考えることが出来 そして扱える■
（余談：”すべての順序数のクラス”とかは、煮ても焼いても集合にはできないかも）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Class_(set_theory)
Class (set theory)
A class that is not a set (informally in Zermelo–Fraenkel) is called a proper class, and a class that is a set is sometimes called a small class. For instance, the class of all ordinal numbers, and the class of all sets, are proper classes in many formal systems.
(google訳)
（ツェルメロ・フレンケル集合論などの文脈において）集合ではないクラスは「真のクラス」と呼ばれ、集合であるクラスは「小さなクラス」と呼ばれることがあります。例えば、すべての順序数のクラスや、すべての集合のクラスは、多くの形式的体系において真のクラスとなります。
Classes in formal set theories
Because classes do not have any formal status in the theory of ZF, the axioms of ZF do not immediately apply to classes.
However, if an inaccessible cardinal κ is assumed, then the sets of smaller rank form a model of ZF (a Grothendieck universe), and its subsets can be thought of as "classes".

>>392
ゴメン

>>393
(引用開始)
彼の人が良く引用するのはこれだったかな？
https://konn-san.com/math/boolean-valued-model-and-forcing.html
ここで行っている全ての操作はVの中でのモノ
そこでVBを作りそれがV[G]と見なせることおよび
(引用終り)

それ、強制法の宇宙Vだよ
到達不能基数の宇宙の議論とは微妙に違う

強制法の宇宙は、例えて言えば 宇宙を横に広げる話
到達不能基数の宇宙の議論は、宇宙を縦（高さ方向）に広げる話だ

なお
（この人はめちゃ優秀です。むかしっから資料の参照をさせてもらっています。分かり易い）
https://konn-san.com/profile.html
自己紹介(石井大海)
2019/03 筑波大学大学院 数理物質科学研究科 数学専攻 博士後期課程修了
2017/04〜2019/03 日本学術振興会特別研究員（DC2）
2016/04〜 筑波大学大学院 数理物質科学研究科 数学専攻 博士後期課程
2016/03 筑波大学大学院 数理物質科学研究科 数学専攻 博士前期課程修了
2014/04 筑波大学大学院 数理物質科学研究科 数学専攻入学
2014/03 同卒業（基幹理工学部総代）
2011/04 早稲田大学基幹理工学部 数学科配属

>>394
>However, if an inaccessible cardinal κ is assumed, then the sets of smaller rank form a model of ZF (a Grothendieck universe), and its subsets can be thought of as "classes".
このクラスは相対化されたクラス。
集合全体の集まりは集合ではない。実際、仮に集合と仮定するとカントールの定理と矛盾する。
UをU内部から見ると集合全体の集まりだから真クラスに見える。一方宇宙全体Vから見ると無数にある集合のうちのひとつに見える。集合か真クラスかは視点に依存する。
U内部で真クラスに見えるものを数学者は外部の視点から集合として安心して取り扱うことができる。

>繰返すが 普通の (strongly inaccessible cardinals が存在しない) ノイマン宇宙Vの中の集合を 全て含み かつ
>Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ■
まったく見当違い。

>>396
>到達不能基数の宇宙の議論は、宇宙を縦（高さ方向）に広げる話だ
大嘘。
ノイマン宇宙はすべての順序数（従ってすべての基数）を最初から持っており、縦に広げることはできません。

なにをどんだけ引用しようとそれから得た結論がめっちゃくちゃ。
Grothendieck が Universe の話をもちだしたのを「代数幾何に必要不可欠なもの」とかアンポンタンな結論にもっていってしまう。
もちろん代数幾何なんて勉強したことないんだからそういうミスをしてしまうのはしょうがないとして、そのミスを他人から指摘されてまったく反省なくなぜだか「お前がまちがってる」とおもってしまう。
素頭以前に人間性が学問にむいてない。頭もわるいが心もだめ。なにもかも学問に向いてない

ガロア理論を諦めて
集合論の下らん話題を駄弁る
このスレは終了ってことで
オナシャス

集合論の話も終わりでよい。
一匹ｖｓその他になってるし、その一匹はレベルが低すぎて会話が成立してない。これ以上続けても無駄。

¬CHを仮定すれば実数の中に|N|=ℵ0<|A|=ℵ1<|R|=|P(N)|となるAが「存在」することになる
NもP(N)もZFで既に定義されているが
¬CHを仮定することでAが新たに生まれたと考えるのが彼の人
正しくは写像が「減る」（存在が許されなくなる）ため
N⊂∃A⊂R:¬∃f:N→A:iso∧¬∃g:A→R:iso
となる

>>397-402
ここは、中高生もくるので 厳しく赤ペンするよ

>>繰返すが 普通の (strongly inaccessible cardinals が存在しない) ノイマン宇宙Vの中の集合を 全て含み かつ
>>Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ■
>まったく見当違い。

それあんた

まず 記述修正を入れている>>394より
Vでの”真のクラスを回避する”ものだということ
　↓
Vでは”クラスが扱えないことを回避する”ものだということ
（追加：真のクラスの厳密な定義が面倒なのでそれを回避した）

さて >> 387 タルスキ＝グロタンディーク集合論
『ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）の非保存的拡大
タルスキの公理は到達不能基数の存在を含意し、ZFC より豊かな存在論を与える。例えば、この公理を追加することで圏論を支えることができる』
百回音読してね
つまり、非保存的拡大＝ZFCを包含して 真にそれ以上■

>¬CHを仮定すれば実数の中に|N|=ℵ0<|A|=ℵ1<|R|=|P(N)|となるAが「存在」することになる

１）¬CHを仮定しても
　一方で 日常のわれわれ純ZFC内では、無関係
　『|N|=ℵ0<|A|=ℵ1<|R|=|P(N)|となるAが「存在」する』は 証明できないから
２）つまり、われわれの日常は、空集合Φから順に有限自然数を構成し、無限集合Nを構成し べき集合から実数Rを構成し、実関数を考えて 2^Rを構成する・・
　この道筋上には 上記集合Aは登場しない（∵証明： 背理法による。集合Aが証明可能なら 集合AがZFCで証明できたことになり CHは独立に反する）

ゆえに CHがZFCから独立で 否定も肯定もできないなら
われわれの日常の数学には 普通は無関係■

と同様に 到達不能基数κの存在が ZFCから独立で 否定も肯定もできないなら
われわれの日常の数学では 普通無関係

但し、あったら便利と グロタンディーク
ゆえに タルスキ＝グロタンディーク集合論登場
これが到達不能基数κと関連していると 後代に分かった
グロタンディーク宇宙Uは、非保存的拡大＝ZFCを包含して 真にそれ以上■

>>403
>ここは、中高生もくるので

それどころか小学生とか幼稚園児とか🐵も来る
そいつらが数学者面して赤ペン採点とかいって悪戯書きする
そして自分に勝手に💯つける　🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣

2進法で100点
な～んちゃって(^^)
ただ、冗談が言いたいだけのおにぃw

ガロア理論に殆ど関係ないw
基礎論スレあるのに。
基礎論なのか知らんが。

>>403
>Vでは”クラスが扱えないことを回避する”ものだということ
まったく見当違い。
κを強到達不能基数として、VκはZFCのモデル（の議論領域）であるが、それはZFCとしては真クラス（Vκを集合と仮定すると矛盾し存在反証できるから）、ZFC+(κの存在)としては集合（公理から存在証明できるから）。
クラスを扱えないのはZFCもZFC+(κの存在)も同じ。

>（追加：真のクラスの厳密な定義が面倒なのでそれを回避した）
真クラスとは集合でないクラス。

>ここは、中高生もくるので 厳しく赤ペンするよ
君、自分が赤ペンされる側って認識無いんだね。呆けてるね。

>それあんた
脊椎反射はダメ。君の悪い癖。

>>406
全く関係ない
要するに根号つかって解ける理屈が
全然分かってないから逃げたんでしょ
分かってないことを認めたがらない
だからいつまでウソ分かりのまま

理論とモデルの違いも分からない、理論とメタ理論の違いも分からない、証明不可能と反証可能の違いも分からない
そんなおサルさんには無理だから諦めよう

>>403
>１）¬CHを仮定しても
>　一方で 日常のわれわれ純ZFC内では、無関係
>　『|N|=ℵ0<|A|=ℵ1<|R|=|P(N)|となるAが「存在」する』は 証明できないから
証明できます。
CHとは ℵ1=|P(N)| なる主張
¬CHとは ℵ1≠|P(N)| なる主張
¬CHから ℵ1<|P(N)|=|R|が言え、濃度の大小関係の定義より単射 f:ℵ1→R が存在して、|N|<|f(ℵ1)|<|R|。

本来は基礎論スレですべき話なんじゃないの？
まあ、別に双方が合意していれば良いが。

>>410
ですね

（理論が拡大するとモデルは縮小するのにね）

>>411
＞本来は基礎論スレですべき話なんじゃないの？

それほど大層な内容もない

そうすか。

>>403 補足
(引用開始)
ゆえに CHがZFCから独立で 否定も肯定もできないなら
われわれの日常の数学には 普通は無関係■
と同様に 到達不能基数κの存在が ZFCから独立で 否定も肯定もできないなら
われわれの日常の数学では 普通無関係
但し、あったら便利と グロタンディーク
ゆえに タルスキ＝グロタンディーク集合論登場
これが到達不能基数κと関連していると 後代に分かった
グロタンディーク宇宙Uは、非保存的拡大＝ZFCを包含して 真にそれ以上■
(引用終り)

さて、到達不能基数κが、ノイマン宇宙V(ここにV内はノイマンの定義した通常の基数のみからなる)で
果たしてVのどこに位置づけられるべきか？を考察しよう

１）前振り（レベル合わせ）
・Von Neumann universe https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
　ここで、下記のポンチ絵が 参考になる
　i) https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe#/media/File:Von_Neumann_Hierarchy.svg
　An initial segment of the von Neumann universe. Ordinal multiplication is reversed from our usual convention; see Ordinal arithmetic.
　ii)https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe#/media/File:Von_Neumann_universe_4.png
　First 5 von Neumann stages V0〜V4
　（This sequence exhibits tetrational growth. The set V5 contains 2^16 = 65536 elements; the set V6 contains 2^65536 elements, which very substantially exceeds the number of atoms in the observable universe;
　The set Vω has the same cardinality as ω. The set Vω+1 has the same cardinality as the set of real numbers.）
２）要するに 普通各ステージで Vn→Vn+1 は
　直前の基数の集合の冪を繰返し取ることで成り立つ
３）いま、到達不能基数κが ノイマン宇宙Vの内部だと考えると
　それは、V内部の如何なる基数とも 一致してはならない。（∵一致したら 新しい基数を加えたことにならない）
　次に V内部の基数αを考えてVαとVα+1の間だとすると これは 一般連続体仮説の否定になる（Vω未満が連続体仮説の否定でその一般化）
　だが、おそらく「一般連続体仮説ウンヌンカンヌン」は、否定される（それでは 何の面白みもない。一般連続体仮説とは 到達不能基数κは峻別されるべき）
４）結局 消去法で 到達不能基数κの居場所は、Vの外で 基数ゆえ 上記Vのポンチ絵の上■（下は正則性公理に反する）
QED （＾＾；

>>416 タイポ訂正

（Vω未満が連続体仮説の否定でその一般化）
　↓
（VωとVω+1間が連続体仮説の否定でその一般化）

Vω未満は、論外だったな（＾＾

>>416
>通常の基数
ってなに？

>いま、到達不能基数κが ノイマン宇宙Vの内部だと考えると
考えなくても定義からκ∈V

>一致したら 新しい基数を加えたことにならない
加えなくてよい　最初から全部入ってる

>Vω未満が連続体仮説の否定
意味不明な妄想

>一般連続体仮説とは 到達不能基数κは峻別されるべき
馬鹿の妄言

>結局 消去法で 到達不能基数κの居場所は、Vの外
結局 消去法で馬鹿の居場所は数学板の外

>基数ゆえ 上記Vのポンチ絵の上■（下は正則性公理に反する）
基地外ゆえポンチ絵で分かった気になる■（The class V is defined to be the union of all the V-stagesは読めない）

代数幾何の議論など到底自分にはむりというのは理解できたんかもな。まだギリギリ代数幾何ならがロア理論のスレで話題にのぼって不思議ないんだけどな

>>415
ニコ君か
ありがとね
ところで
私が この数学板に来たとき
"Kummer"というコテハンの人が
黙々と 整数論のKummer絡みの数論の証明を
毎日毎日貼付けていた
それを思い出したので 書いてみた
2012年ころ
過去ログあると思うよ
スレのタイトルは忘れたが（＾＾

>>420
クンマー理論は良く知らないんですよね(汗)
ガロア理論は難しいですから。

（αが極限順序数の時のVαは冪じゃ無いのにね）

>>418
(ガウスDA)くんか

>>通常の基数
>ってなに？

通常の基数の定義：ZFCで存在が証明できる基数 例 ω、R(=2^ω)など 可算無限ωから始めて 冪を超限回とって実現できる基数（超限回とは 全ての順序数を尽くすこと）

>>いま、到達不能基数κが ノイマン宇宙Vの内部だと考えると
>考えなくても定義からκ∈V

違うよ
上記の通り 到達不能基数κは、ZFCで存在が証明できない基数
数学者は、存在が証明できない場合は 存在するとは言わない
その場合、存在を言いたいとき 公理を立てる（無限公理で無限集合を実現するのと同じ）

>>一致したら 新しい基数を加えたことにならない
>加えなくてよい　最初から全部入ってる

いいや
上記の通り 無限集合の存在は 無限公理を おかないと証明できない

>>422
>（αが極限順序数の時のVαは冪じゃ無いのにね）

いいや！（＾＾
Vαは冪です！！
極限順序数でない順序数を作るのは 和集合による演算（下記）

おお、Inaccessible cardinalのen.wikipedia記事に
”Existence of a proper class of inaccessibles”
「到達不能基数の公理はグロタンディーク・ヴェルディエの宇宙の公理（任意の集合がグロタンディーク宇宙に含まれるというもの）と同値になります」
「この公理系は、例えば任意の圏が適切な米田埋め込みを持つことを証明する際などに有用です」
なるほど・・・ メモメモｗ（＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number
Ordinal number
Von Neumann definition of ordinals
Thus the finite von Neumann ordinals are defined recursively as ⁠
0=∅ and ⁠
n+1=n∪{n}⁠.
That is, ⁠1={0}⁠, ⁠2={0,1}⁠, ⁠3={0,1,2}, etc.
The first infinite ordinal ⁠ω⁠ is represented by the set of all finite ordinals, i.e., the set of von Neumann natural numbers ⁠
N={0,1,2,…}. Then ⁠ω+1={0,1,2,…,ω}=N∪{ω}⁠, and so on.

https://en.wikipedia.org/wiki/Inaccessible_cardinal
Inaccessible cardinal
The two notions of an inaccessible cardinal
κ describe a cardinality
κ which can not be obtained as the cardinality of a result of typical set-theoretic operations involving only sets of cardinality less than κ. Hence the word "inaccessible". By mandating that inaccessible cardinals are uncountable, they turn out to be very large.

The existence of a strongly inaccessible cardinal is equivalent to the existence of a Grothendieck universe. If
κ is a strongly inaccessible cardinal then the von Neumann stage
Vκ is a Grothendieck universe. Conversely, if
U is a Grothendieck universe then there is a strongly inaccessible cardinal
κ such that Vκ=U. As expected from their correspondence with strongly inaccessible cardinals, Grothendieck universes are very well-closed under set-theoretic operations.

つづく

つづき

Existence of a proper class of inaccessibles
As is the case for the existence of any inaccessible cardinal, the inaccessible cardinal axiom is unprovable from the axioms of ZFC. Assuming ZFC, the inaccessible cardinal axiom is equivalent to the universe axiom of Grothendieck and Verdier: every set is contained in a Grothendieck universe. The axioms of ZFC along with the universe axiom (or equivalently the inaccessible cardinal axiom) are denoted ZFCU (not to be confused with ZFC with urelements). This axiomatic system is useful[clarification needed] to prove for example that every category has an appropriate Yoneda embedding.
(google訳)
到達不能基数の真のクラスの存在
任意の到達不能基数の存在と同様に、到達不能基数の公理はZFCの公理系からは証明できません。ZFCを前提とすると、到達不能基数の公理はグロタンディーク・ヴェルディエの宇宙の公理（任意の集合がグロタンディーク宇宙に含まれるというもの）と同値になります。ZFCの公理系に宇宙の公理（あるいは同値な到達不能基数の公理）を加えたものはZFCUと表記されます（ウアエレメントを含むZFCと混同しないよう注意が必要です）。この公理系は、例えば任意の圏が適切な米田埋め込みを持つことを証明する際などに有用です。
(引用終り)
以上

>>421
>クンマー理論は良く知らないんですよね(汗)
>ガロア理論は難しいですから。

ニコ君か
いや、クンマー理論は 本来は クンマーさんが フェルマー最終定理の
部分解決に 理想数（現在のイデアル論）を導入したときから始るんだよ

それを後世の人が ガロア理論に
取り込んだんだよ

クンマー理論自身が何を意味するか？
現代数学では いろいろ発展があるから
多義だね（人によって意味が違う）

>>423
君も諦めが悪いね

>通常の基数の定義：ZFCで存在が証明できる基数 例 ω、R(=2^ω)など 可算無限ωから始めて 冪を超限回とって実現できる基数（超限回とは 全ての順序数を尽くすこと）
全ての順序数には強到達不能基数も入ってますけど？
強到達不能基数の存在はZFCで証明できませんけど？　不完全性定理に反しますから。
ちょっと何言ってるか分かりません

>>>いま、到達不能基数κが ノイマン宇宙Vの内部だと考えると
>>考えなくても定義からκ∈V
>違うよ
違わないよ

>上記の通り 到達不能基数κは、ZFCで存在が証明できない基数
>数学者は、存在が証明できない場合は 存在するとは言わない
数学者はZFCからVの存在証明が可能なんて言ってませんけど？　あなたの妄想です。

>その場合、存在を言いたいとき 公理を立てる（無限公理で無限集合を実現するのと同じ）
じゃあVが存在するという公理を立てれば解決
まあ実際にはVが存在するための必要条件を満足する別の形の公理でしょうけど

>>>一致したら 新しい基数を加えたことにならない
>>加えなくてよい　最初から全部入ってる
>いいや
>上記の通り 無限集合の存在は 無限公理を おかないと証明できない
公理を置いていいならVの存在も証明できますけど？

>>424
>>（αが極限順序数の時のVαは冪じゃ無いのにね）
>いいや！（＾＾
>Vαは冪です！！
大嘘。
αが極限順序数のとき Vα:=[β<α]Vβ。つまり和集合。

>極限順序数でない順序数を作るのは 和集合による演算（下記）
大嘘。
αが後続順序数のとき Vα:=2^(Vα-1)。つまりべき集合。

このレベルの定義も確認できないとか、君、池沼？

>おお、Inaccessible cardinalのen.wikipedia記事に
>”Existence of a proper class of inaccessibles”
>「到達不能基数の公理はグロタンディーク・ヴェルディエの宇宙の公理（任意の集合がグロタンディーク宇宙に含まれるというもの）と同値になります」
>「この公理系は、例えば任意の圏が適切な米田埋め込みを持つことを証明する際などに有用です」
>なるほど・・・ メモメモｗ（＾＾
いくらメモしても誤読してるから無意味。
「任意の集合がある一つのグロタンディーク宇宙に含まれる」は大誤読。
「任意の集合xに対してx∈Uを満たすグロタン宇宙Uが存在する」が正読。

>「任意の集合がある一つのグロタンディーク宇宙に含まれる」は大誤読。
こういうアホ誤読してるから V⊂U とか妄想口走っちゃうんですね？分かります

>「任意の集合がある一つのグロタンディーク宇宙に含まれる」
が本当ならたちまち矛盾します。「集合全体の集まりは集合」と言ってることになりますから。
こんな簡単なことに気付けない絶望的数学センスじゃ数学は無理なので諦めましょう

>αが極限順序数のとき Vα:=[β<α]Vβ。つまり和集合。
αが極限順序数のとき Vα:=∪[β<α]Vβ。つまり和集合。

なげーよ

>>428
ですね
彼の人はVωは何の冪だと思ってるのかな？

（超限回も定義を正しく認識してないかも）

５次方程式の解は冪根√ で書けない（MatheqQ)
https://www.youtube.com/watch?v=5QxIvMB1JjU

×　∃U.∀x:(x∈U)
〇　∀x.∃U:(x∈U)
論理が分からぬ馬鹿に数学は無理

(ε∀ε)　(εωε)

>×　∃U.∀x:(x∈U)
仮にこれが正しいなら、U∈Uも2^U⊂Uも言える。
数学センスゼロなので諦めましょう。

>>426
＞クンマー理論自身が何を意味するか？

ん？wikipediaを丸コピペしないの？ｗ

ーーー
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%B3%E3%83%9E%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
抽象代数学や数論で、クンマー理論(Kummer theory)は、
基礎体の元の n 乗根の添加が関わっている、
あるタイプの体の拡大を記述する理論である。

クンマー拡大(Kummer extension)とは、
ある与えられた整数 n > 1 に対し
次の条件を満たすような体の拡大 L/K のことを言う。

・K は、n 個の異なる1のn乗根（つまり、Xn−1 の根）を含む。
・L/K はexponent n の可換ガロア群を持つ。

より一般的に、K が n 個の異なる 1 の n 乗根を含むとき、
K の任意の元 a の n 乗根をK に添加するとクンマー拡大をなす。

ここでできる体は多項式 X^n − a の分解体であるため、
クンマー拡大は必然的にガロア拡大となり、ガロア群は巡回群となる。

クンマー理論(Kummer theory)は上記の逆の命題をもたらす。
K が n 個の異なる 1 の n 乗根を持っているとすると、
exponent が n を割るような K の任意のアーベル拡大は、
K の元の冪根をとることにより作られる。

さらに、K× で K のゼロではない元全体のなす乗法群を表すとすると、
exponent が n である K のアーベル拡大は、
K×/(K×)^n、つまり K× の元を n 乗して得られる部分群による剰余群
の部分群に全単射で対応する。

（つづく）

>>439のつづき
対応関係は次のように明確に記述することができる。

部分群 Δ⊆K×/(K×)^n が与えられると、
対応する体の拡大は K(Δ^(1/n)) で与えられる。ここで、
Δ^(1/n)={n√a:a∈K×,a⋅(K×)^n∈Δ}　とする。
実際には、群 Δ の任意の生成集合について、
それぞれの元から代表をひとつとって、
その n 乗根を添加すれば十分である。

逆に、L を K のクンマー拡大とすると、Δ は
Δ=K×∩(L×)^n
という規則により復元される。

この場合には、クンマー・ペアリング(Kummer pairing)と呼ばれる同型
Δ≅Hom c(Gal⁡(L/K),μn) が、
a↦(σ↦σ(α)/α)
により与えられる。
ここに、α は L の元 a の n 乗根である。
また μn は 1 の n 乗根がなす乗法群であり、 K に含まれる。

もし拡大 L/K が有限次拡大であれば、
Gal⁡(L/K) は有限離散群であり、同型
Δ ≅ Hom(Gal⁡(L/K),μn) ≅ Gal(L/K)
が得られる。

ここで、最後の同型は自然ではない。

方程式f(x)=0に対して、その根の巡回置換σが分かれば
あるaが存在して、aのn乗根αが等式
σ(α)/α＝ω　(原始ωは1のn乗根）
を満たし、根はすべてαを使った式で表せる

αは実は方程式の根の一つをrとすれば
α=r+ω^(-1)σ(r)+…+ω^(-n+1)σ^(n-1)(r)
で表せる

σ(α) = σ(r)+ω^(-1)σ^2(r)+…+ω^(-n+1)r = ωα

>>431-433 訂正
(引用開始)
>αが極限順序数のとき Vα:=[β<α]Vβ。つまり和集合。
αが極限順序数のとき Vα:=∪[β<α]Vβ。つまり和集合。
(引用終り)

スマンかった >>424-425が
中途半端で間違っていた
やっぱ コピペが正確だったよ（＾＾；

あらためて下記コピペな
要するに
１）Von Neumann universe Vは、”ふつう”の順序数αに関すること！！
２）後者をもつ順序数β+1では 直前のVβのべきVβ+1:=P(Vβ)
３）limit ordinal λ（つまりは基数λ）では、それ未満の全ての和 Vλ:=⋃ β<λ Vβ
４）そして Von Neumann universe Vは class V で V:=⋃ α Vα つまりは ふつうの順序数αを渡る Vαの和（これはclassでっせと）

さて、到達不能基数κは ふつうの順序数αの仲間ではありませんね
到達不能基数κは ふつうの順序数αよりも大
ゆえに、到達不能基数κは Von Neumann universe Vの外！！！

これをご確認願いますｗ　（＾＾
おわったなｗｗ


(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Von Neumann universe
Definition
The cumulative hierarchy is a collection of sets Vα indexed by the class of ordinal numbers; in particular, Vα is the set of all sets having ranks less than α. Thus there is one set Vα for each ordinal number α. Vα may be defined by transfinite recursion as follows:

・Let V0 be the empty set:
V0:=∅.
・For any ordinal number β, let Vβ+1 be the power set of Vβ:
Vβ+1:=P(Vβ).
・For any limit ordinal λ, let Vλ be the union of all the V-stages so far:
Vλ:=⋃ β<λ Vβ.
A crucial fact about this definition is that there is a single formula φ(α,x) in the language of ZFC that states "(α is an ordinal and) the set x is in Vα".
The sets Vα are called stages or ranks.

The class V is defined to be the union of all the V-stages:
V:=⋃ α Vα.

>>442
(引用開始)
３）limit ordinal λ（つまりは基数λ）では、それ未満の全ての和 Vλ:=⋃ β<λ Vβ
到達不能基数κは ふつうの順序数αよりも大
(引用終り)

補足すると
１）到達不能基数κは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
２）基数なので κは 集合

１）２）を合わせると
到達不能基数κは、
全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む 集合なり〜！！ｗ

基礎論屋さんは、面白いことを考えるね
想像力豊かな人たちなのだろうよ （＾＾

>>443 訂正

１）到達不能基数κは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
　↓
１）到達不能基数κのVκは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む


到達不能基数κは、
　↓
到達不能基数κのVκは、

（＾＾

AIに聞いたら、フォンノイマン宇宙の中に入れ子構造を作る話だって
言ってたぞ？ だから、当然フォンノイマン宇宙に含まれる。
なんで入れ子構造にするかというと、ラッセルのパラドックスを避けるため。
しかし、通常の集合の演算では閉じているくらいには大きい必要
があるため、到達不能基数が登場する。あるグロタン宇宙の集合の全体を
取ると、それは外側の宇宙の集合として捉えられるというわけ。

>>442
>１）Von Neumann universe Vは、”ふつう”の順序数αに関すること！！
大嘘。
君の言うふつう＝ZFCで存在証明可能　でしょ？
ZFCで存在証明できるVαがZFCのモデルなら完全性定理＋不完全性定理に反します。初歩から分かってない。

>２）後者をもつ順序数β+1では 直前のVβのべきVβ+1:=P(Vβ)
だからそう言ってるじゃん
「後者をもつ順序数」じゃなく「後続順序数」。自分が誰かの後者。いかなる順序数も後者を持つから意味・正誤がまったく違ってくるよ。言葉は正確に。

>３）limit ordinal λ（つまりは基数λ）では、それ未満の全ての和 Vλ:=⋃ β<λ Vβ
極限順序数は一般に基数じゃないよ。一方、基数は始順序数かつ始順序数は基数。君ボロボロだね。

>４）そして Von Neumann universe Vは class V で V:=⋃ α Vα つまりは ふつうの順序数αを渡る Vαの和（これはclassでっせと）
大嘘
ふつうの順序数じゃなくすべての順序数
The class V is defined to be the union of all the V-stages

>さて、到達不能基数κは ふつうの順序数αの仲間ではありませんね
>到達不能基数κは ふつうの順序数αよりも大
>ゆえに、到達不能基数κは Von Neumann universe Vの外！！！
大嘘
Vはすべての順序数についての階層の総和だからκ∈V

>これをご確認願いますｗ　（＾＾
大嘘であることを確認しますた

>おわったなｗｗ
君の頭が？

>>443
>補足すると
嘘に補足しても嘘

>１）到達不能基数κは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
任意の無限基数は無限始順序数、任意の無限始順序数は極限順序数だから和になるのはあたりまえ。
和を含むじゃなく和。
それ未満のすべての順序数。「ふつう」は要らない。ふつう＝ZFCで存在証明可能という意味ならそもそも間違い。
κではなくVκがVαたちの和。
ボロボロ。

>２）基数なので κは 集合
いわずもがな

>１）２）を合わせると
>到達不能基数κは、
>全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む 集合なり〜！！ｗ
大嘘。
グロタン宇宙がいくらでもあるのと同じで到達不能基数もいくらでもある。「到達不能基数より小さい基数はZFCで存在証明可能」は言えない。
でまたVκとκを混同してる。
ボロボロ。

>基礎論屋さんは、面白いことを考えるね
>想像力豊かな人たちなのだろうよ （＾＾
初歩から分かってないのに面白がるって頭イカレテる？

>>444
>>>443 訂正
>１）到達不能基数κは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
>　↓
>１）到達不能基数κのVκは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
大間違い。
Vκは基数ではない。実際、非順序数を元に持っているから順序数になり得ない。
訂正して悪化する人も珍しい。

>>445
ノイマン宇宙の階層間で Vα∈Vα+1∧Vα⊂Vα+1 が成り立つ。その意味で入れ子構造となっている。
ラッセルのパラドックスを避けるためVは真クラスである必要がある。仮に集合とすると分出公理から集合 {x∈V|¬x∈x} の存在が言えてラッセルのパラドックスが起きる。
入れ子構造とラッセルのパラドックス回避は無関係。

>あるグロタン宇宙の集合の全体を取ると、それは外側の宇宙の集合として捉えられるというわけ。
意味が取れないんだけど グロタン宇宙U∈ノイマン宇宙V という意味ならその通り。但しUが整礎でない場合は不成立。

>>442-444 補足

集合とクラスの境界：
それは 公理系に依存する
下記の”フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG) ”ご参照
要するに、ある公理系でクラスでも ZFCでは集合たりうる
逆に ZFCでは集合たりえずクラスあっても
他の公理系 例えば Tarski–Grothendieck set theory では集合となることは 不思議ではない■

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%E2%80%93Grothendieck_set_theory
Tarski–Grothendieck set theory
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann%E2%80%93Bernays%E2%80%93G%C3%B6del_set_theory
Von Neumann–Bernays–Gödel set theory
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%8A%E3%82%A4%E3%82%B9%EF%BC%9D%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG) とはツェルメロ＝フレンケル集合論＋選択公理 (ZFC)の保存拡大である公理的集合論である。NBGでは、量化子の範囲を集合に限定した論理式によって定義される集合の集まりとして、クラスの概念を導入する。NBGは、すべての集合というクラスやすべての順序数というクラスといった、集合よりも大きいクラスを定義できる。モース＝ケリー集合論 (MK) は量化子の範囲がクラスである論理式によるクラスの定義を許容する。NBGは有限公理化できる一方、ZFCやMKではできない。

NBGのキーとなる定理はクラスの存在定理である。
略

ジョン・フォン・ノイマンは1925年に集合論にクラスを導入した。彼の理論の原始概念は関数と引数であった。これらの概念を用いて、フォン・ノイマンはクラスと集合を定義した。[1] パウル・ベルナイスはクラスと集合を原始概念とすることで、フォン・ノイマンの理論を再定式化した。[2] クルト・ゲーデルは、選択公理の相対的無矛盾性の証明と一般連続体仮説を用いてベルナイスの理論を単純化した。[3]

集合論におけるクラス
クラスの使用例
NBGにおいてクラスはいくつかの使用例がある：
略
公理図式とクラス存在定理
ZFCの言葉にクラスが加えられれば、ZFCをクラス付きの集合論に変換するのが容易になる。まず、クラス解釈の公理図式を加える。この公理図式は以下の通り：
略
この理論は有限公理化されない。ZFCの置換公理図式は一つの公理で置き換えられるが、クラス解釈の公理はZFCに導入されていないからである。

この理論を有限個の公理で構築するには、まずクラス解釈の公理を有限個のクラス外延性の公理で置き換える。するとこれらの公理は、公理系中のどの公理をも含意するクラス存在定理に用いられる。[8] この理論の証明には 7 つのクラス存在公理があれば十分である。これらのクラス存在公理は、論理式の構成から論理式を満たすクラスの構成へ変換するのに用いられる。

NBGの公理化
クラスと集合
NBGにはクラスと集合という 2 種類の対象がある。直感的には、どの集合も同時にクラスである。これを公理化する方法は 2 通り存在する。
略

>>448
(引用開始)
>１）到達不能基数κは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
>　↓
>１）到達不能基数κのVκは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
大間違い。
Vκは基数ではない。実際、非順序数を元に持っているから順序数になり得ない。
訂正して悪化する人も珍しい。
(引用終り)

確かに
では再訂正する

>>444 再訂正
１）到達不能基数κのVκは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
　↓
１）到達不能基数κのVκは、到達不能基数κのステージなので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む 集合である

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Definition
The sets Vα are called stages or ranks.
訳
集合V αはステージまたはランクと呼ばれます。

>>445
(引用開始)
AIに聞いたら、フォンノイマン宇宙の中に入れ子構造を作る話だって
言ってたぞ？ だから、当然フォンノイマン宇宙に含まれる。
なんで入れ子構造にするかというと、ラッセルのパラドックスを避けるため。
しかし、通常の集合の演算では閉じているくらいには大きい必要
があるため、到達不能基数が登場する。あるグロタン宇宙の集合の全体を
取ると、それは外側の宇宙の集合として捉えられるというわけ。
(引用終り)

ありがと
最近のAIさん、賢い
ほぼ正しい
というか 壁打ち会話を繰り返せば
もっと正確になるだろう
『ラッセルのパラドックスを避けるため。
しかし、通常の集合の演算では閉じているくらいには大きい必要
があるため、到達不能基数が登場する。あるグロタン宇宙の集合の全体を
取ると、それは外側の宇宙の集合として捉えられるというわけ。』
ここが キモだね

ま、AIにも調子があるから。批判的に「これでいい？」と聞くと
より正確に見てくれる。「ラッセルのパラドックスを回避するため」
という目的は誤り。なぜなら、ZFCですでに回避されているから。
集合のサイズ問題を解決するためらしい。

>>450
>集合とクラスの境界：
>それは 公理系に依存する
それ>>397のパクリやん
君、そういうとこは抜け目無いな　数学の勉強に抜け目無くなれよ

>>451
>１）到達不能基数κのVκは、到達不能基数κのステージなので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む 集合である
理由を分かってる？　書いてみて

>>455
というか「ふつう」がある時点で大間違い。
君の言う「ふつう」＝ZFCで存在証明可能　でしょ？　間違いです。

再訂正しても大間違いで草　馬鹿に付ける薬無し

sageろ

>>458
お前うるさい

>The sets Vα are called stages or ranks.
>訳
>集合V αはステージまたはランクと呼ばれます。
君はアホなの？

>>452
>ほぼ正しい
初歩の初歩から分かってない君に正誤は判定不可能
口をつぐんで一から勉強しなさい

>『ラッセルのパラドックスを避けるため。
>しかし、通常の集合の演算では閉じているくらいには大きい必要
>があるため、到達不能基数が登場する。あるグロタン宇宙の集合の全体を
>取ると、それは外側の宇宙の集合として捉えられるというわけ。』
>ここが キモだね
キモ広すぎて草

>>453
>「ラッセルのパラドックスを回避するため」
>という目的は誤り。なぜなら、ZFCですでに回避されているから。
ZFCで回避されているとなぜVが回避できることになるの？
そもそも君、ZFCとVの関係を正確に言える？　言ってみて

中学1年生が
>The sets Vα are called stages or ranks.
>訳
>集合V αはステージまたはランクと呼ばれます。
と書けば、君、よく勉強してるなと褒められる
大の大人が書いても、アホ？と言われるだけ

要するに人間的成長が中学で止まっている
歳だけ無駄に食った中学生

まだ中学生
ためになったね～w

>>461
彼の人は数学理解に到達不能のようです

アキレスは亀に追いつけない。

アキレス腱が切れたからw

荒らしに反応するのも荒らし

自分を荒らしと認めたw

放置すると気になってしまうような暇人。

煽る暇がある暇人w

（自演は止めて欲しいね）

最小の到達不可能基数をκとする

到達不可能基数が存在しないなら
Vκ＝Vなので　
Vκ⊊U⊊Vとなるグロタンディク宇宙Uは存在しない

到達不可能基数が存在し、なおかつ一つではないなら
κ≦λなる到達不可能基数λについて
Vλ＝Uとなるグロタンディク宇宙が存在し
Vκ⊆U⊊V

（完）

ガロア理論・クンマー理論に続き
グロタンディク宇宙の初歩も終わらせたので
代数学の基本定理も終わらせるか

「代数学の基本定理」というが
実は「代数学」の基本定理ではない
「代数方程式の基本定理」というのが正しいか

f(x)=0を代数方程式とする
仮にf(x)が、xの一次式の積に分解できるとすると
log(f(x))の微分f'(x)/f(x)は、先の1次式を分母とする有理関数の和である
そして、(x-a)の次数がnのとき、留数はnである

したがってf'(x)/f(x)をある領域Dの境界Cで線積分したときの値は
　2πi＊（f'(x)/f(x)の極の個数）
＝2πi＊（f(x)の零点の個数）
である

Dを狭めることで、f(x)の解が存在する範囲をいくらでも狭められる

つまり、代数方程式の基本定理は、
複素関数の定理であり
実は根本的にトポロジーの定理である

代数方程式の解について、その存在とそれが根号で表せるかどうかは異なる問題である
微分方程式の解について、その存在とそれが初等関数で表せるかどうかも異なる問題である

ガウスのDA以前にラグランジュが大部の著書を出して方程式論を展開していたが、5次方程式を解くために彼の分解式の方法を使うと
120次の多項式が生じ、それは60次の因子に分解できることまでは示せたが、それから詰まってしまって、そこまでとしたとかいうのだが、
そういう本の原典の翻訳が読みたいね。ガウスはそれを当然読んで参考にして、ガウスが円分方程式の一般解法（何次でも解ける）を
出したのをラグランジュが読み、まだうんと若かったガウスを絶賛する手紙を書いている。
ガウスが書いたDAをアーベルもガロアも読んでいて、方程式の根の間の関係が方程式が解ける鍵であることを円分方程式の場合に
学んだし、ガウスがDA中でレムニスケートの等分問題についてほのめかしていたことをアーベルもガロアも読んだことがヒントと
刺激になっている。自然科学者ガウスがお金に困らなければ、売れる売れないに関係なく、著書をいくつも書けたのだろうが。

何次でも解ける
というのは何をもって解けるといってるの？

>>478
ご苦労様です
はて？ どなたかな？

さて 中高生も来るので 補足しておきますね

>ガウスのDA以前にラグランジュが大部の著書を出して方程式論を展開していたが、5次方程式を解くために彼の分解式の方法を使うと
>120次の多項式が生じ、それは60次の因子に分解できることまでは示せたが、それから詰まってしまって、そこまでとしたとかいうのだが、

正確には、6次式までは落とせることを証明した
が、欲しいのは5次以下で べき根で5次以下の解の公式を作りたいのだが 6次式ではまずい
この話は、Coxガロア のラグランジュの歴史ノートにある
Coxは、ラグランジュは 5次方程式のべき根解法があると思っていたので 不可まで考えなかったらしい

それは道理で、ラグランジュ分解式は "one of them" で もっとうまい補助式が見つかる可能性は否定できない
なお、ラグランジュの真の貢献は、根の置換（群）の視点を導入したこと
ここから 群論のラグランジュの定理 有限群Gにおける部分群Hの位数が、Gの位数の約数になることや
また、根の置換（群）で不変な補助式の考察も ラグランジュはしている（下記 矢ケ部に詳しい記載がある ）
（この後 ルフィニさんが 5次のべき根解法不可の証明を書く（置換ベース）。それを見てコーシーが置換の論文を紀要に書く。アーベルが5次のべき根解法不可の論文を書いてガウスに（誤解で）バカにされる。ガロアは コーシーが置換論を彼の第一論文で引用している）

>そういう本の原典の翻訳が読みたいね。

それは、旧ガロアすれでトライしたが、到達できなかった（6次式までは落とせる話を知りたかった）
ラグランジュの著作で 何点かネット検索で引っかかるが これだという確証がつかめなかったので断念しました
旧ガロアすれに少し痕跡が残っているが、まあゴミみたいな内容だから 独自に 最初からスタートしても変わらないだろう
そうそう チャッピーさんとかに 何か探して と言えば 探してくれるかも

>まだうんと若かったガウスを絶賛する手紙を書いている。

高木の史談にあったかな

>ガウスがDA中でレムニスケートの等分問題についてほのめかしていたことをアーベルもガロアも読んだことがヒントと
刺激になっている。

ガロアは、p^2次方程式のべき根解法とかいろいろ考えていたという
　>>337の
—方程式を解く— ガロアによるガロア理論
上野健爾 著 現代数学社 : ‎ 2024/7/21
に すごく詳しく書いてある

>自然科学者ガウスがお金に困らなければ、売れる売れないに関係なく、著書をいくつも書けたのだろうが。

御大も書いていたが 自然科学者ガウスは 本職の物理系で結構忙しかったらしい（本職に忠実だと）
なにかに書いてあったが ガウスは数学は寡作だが 数学以外では結構論文が多いので びっくりしたとか
余技で ちょこっと書いて 数学王だからね すごいです（＾＾

つづく

つづき

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E7%BE%A4%E8%AB%96)
ラグランジュの定理 (群論)

https://www.nippyo.co.jp/shop/book/5421.html
日本評論社
ガロワ理論(下) 2010.09
デイヴィッド・A. コックス 著 梶原　健 訳
目次
第12章　ラグランジュ，ガロワ，クロネッカー

https://www.gensu.jp/product/%E6%96%B0%E8%A3%85%E7%89%88-%E6%95%B0%EF%BC%93%E6%96%B9%E5%BC%8F-%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%81%AE%E7%90%86%E8%AB%96/
現代数学社
新装版 数３方式 ガロアの理論 矢ヶ部 巌 ‎ 2016/2/25
目次
５次方程式に挑む、方程式解法 の原点 に立つ、
解法の方向を定式化する、
方程式論の流れを変える、
根の整式を探求する、
根の分数式に着目する、
根の有理式を解明する、
代数的解法を究明する、
(引用終り)
以上

>>479
>何次でも解ける
>というのは何をもって解けるといってるの？

横レスすまん >>478より
”ガウスはそれを当然読んで参考にして、ガウスが円分方程式の一般解法（何次でも解ける）を
出したのをラグランジュが読み、まだうんと若かったガウスを絶賛する手紙を書いている。”

それは、任意n次円分方程式の一般解法（何次でも解ける）
つまり 代数的解法 つまりべき根を使って解ける
を言っている

だいたい ガロア理論のテキスト前半で 必ず出てくるよ

いや、ふつうのガロア理論でいつでもとけるといってるのはしたの体がすべての１のべき根を持ってる場合でそうでなく円分体そのものをガロア理論で研究する場合は、「いつでもとける」などということは成立しない。もちろん「z^n - a の解を添加していく」という意味では成立するけどその意味だとトートロジーにしかならない。よって円分体の理論にガロア理論を応用する場合にはそんなコンテキストで利用することはないはず

たとえば、(x^7-1)/(x-1)=0をべき根で解くには、1の原始3乗根が必要になるが
これは、x^2+x+1=0の根であり、平方根で解ける。このように、常により
小さい1のべき根を添加すればクンマー拡大になるから、すべての円分方程式は
Qから出発してべき根を有限回添加していくことで解ける。

「予め基礎体に1のべき根を好きなだけ添加しておく」という設定は
方便に過ぎない。数論的には、基礎体に1のべき根がどれだけ含まれる
かは大きな違いなので、そんな粗雑は議論はしないし、当然、ガウスも
注意を払っている。

>>483
>いや、ふつうのガロア理論でいつでもとけるといってるのはしたの体がすべての１のべき根を持ってる場合でそうでなく円分体そのものをガロア理論で研究する場合は、「いつでもとける」などということは成立しない。もちろん「z^n - a の解を添加していく」という意味では成立するけどその意味だとトートロジーにしかならない。よって円分体の理論にガロア理論を応用する場合にはそんなコンテキストで利用することはないはず

えーと
下記 円分体
”任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である”
この事実から 円分方程式は べき根を使って解くことができることが従う

キーワード”アーベル群”がキモな
（おっちゃんに 「アーベルだから・・」と略して きどって言ったら 伝わらなかった故事を思い出すよ（＾＾）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
円分体 (えんぶんたい、英: cyclotomic field) は、有理数体に、1 の
{\displaystyle m(>2)} 乗根
{\displaystyle \textstyle \zeta (\neq \pm 1)} を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。

以下において、特に断らない限り、
{\displaystyle \zeta _{n}=e^{2\pi i/n}} とする。

性質
・任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である。

ガロア理論の教科書でもガロア拡大が
単項拡大⇔ガロア群が巡回群
というふつうのガロア理論の初心者むけ教科書にのってる定理はしたの体が１のべき根全部含んでいる場合にしか載せてる教科書はみたことない。実際 cos(2π/7) + isin(2π/7) とか表示するとき複素のべき根を添加する操作をおこなわないかぎり不可能のはず。しかしそれだとそもそもが1の７乗根なのだからそれをゆるすとトートロジーにしかならない
できるなら cos(2π/7) + isin(2π/7) を実のべき根と i だけで表示してみせてほしい。

あ、単項拡大じゃないな。x^n -a (a∈したの体) の分解体。

>>487
そもそもべき根解法に「実のべき根」なんて制約はない。
1の7乗根は、まず平方根を開いて1の原始3乗根ωを得る。
次に、Q(ω)上の数の3乗根を開くことで解ける。
もし知らなかったなら、「理解が浅かった」ということ。

>>487
失礼。正確には、まずcos(2π/7)が、Q(ω)上の数の3乗根
を開くことで得られる。sin(2π/7)を得るにはさらに√7が必要。
したがって、exp(2πi/7)を得るには、Q(ω)上の数の3乗根
及び √7 i が必要。

だから 3 乗根はできる。「このように」というのが「どのように」なのかわからない。
「
cos(2π/3) + i sin(2π/3) = -1/2 + √3/2 i
***のように***可能
」
というなら右辺の展開の形が「どのように」制限をうけているのか書かないと数学の主張にならない。「実のべき根を添加していく操作と i のみ」というのは一つの制限のかけ方だけどそれだと n の素因子が Fermat 素数で奇素数の多重度が１の場合、つまり「作図可能のばあい」と同じになってしまう。
***のように*** の部分の制限を述べてください。

x^7-1は既約ではない。x=1を解として持つから。
pが素数のとき、(x^p-1)/(x-1)は既約であり次数はp-1.
この根の一つをζとおく。Qに1のp-1乗根をすべて添加
した体をkとおくと、k(ζ)/kはクンマー拡大であり
べき根の添加で得られる。べき根の根指数は
p-1の約数に制限される。
このように、すべてpより小さい根指数に帰着される。

ガウスが示したように1の冪乗根は常に冪根を使って表せるので、
今の教科書では、係数体は1の任意の冪根を最初から持つと仮定
してもよく、そうにした方が記述が楽になるので、そのような
仮定を設けている。ラグランジュの分解式で1の冪根を使うなど。

ガウスが示したように1の冪乗根は常に冪根を使って表せるので

これの意味をきいています。すでに述べた通り「べき根」が「実のべき根」の場合は成立しません。「複素のべき根」をゆるす場合はトートロジーになります。トートロジーでもなく、いつでもできるという主張をくずさない「べき根」の意味をおしえてください。

>係数体は1の任意の冪根を最初から持つと仮定
>してもよく、

方程式のべき根解法について論じるならね。
しかし、誰かも言っていたように、現代的には
べき根解法なんてさして重要性はないのであり、
代数の教科書で、基礎体に「予め1のべき根を
添加しておく」という設定がないのに、勝手に
そう読むのは誤り。

>>475
(引用開始)
最小の到達不可能基数をκとする
到達不可能基数が存在しないなら
Vκ＝Vなので　
Vκ⊊U⊊Vとなるグロタンディク宇宙Uは存在しない
到達不可能基数が存在し、なおかつ一つではないなら
κ≦λなる到達不可能基数λについて
Vλ＝Uとなるグロタンディク宇宙が存在し
Vκ⊆U⊊V
（完）
(引用終り)

何時までたっても分からない ・・
そんな人って あるだろうか？ （ザ・ブルーハーツ「情熱の薔薇」）
特に断りが無ければ、到達不可能基数は ZFC公理系の外だよ
ゆえに ZFCの世界 ノイマン宇宙Vの外だよ
”何時までたっても分からない そんな人って あるだろうか？ ”ｗｗｗ（＾＾

＜AI より＞： ザ・ブルーハーツの「情熱の薔薇」の冒頭の歌詞は、「永遠なのか本当か 時の流れは続くのか いつまで経っても変わらない そんな物あるだろうか」です

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%82%AD%EF%BC%9D%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
タルスキ＝グロタンディーク集合論（英: Tarski–Grothendieck set theory、略称 TG）は、数学者 アルフレト・タルスキ と アレクサンドル・グロタンディーク にちなんで末ｼ付けられた公覧搏I集合論の体血nである。ツェャ泣＜香＜tレンャPル集合論（ZFC）の非保存的拡大であり、「各集合に対しそれが属する“タルスキ宇宙”が存在する」と述べるタルスキの公理を含む点で、他の公理的集合論と区別される（後述）。タルスキの公理は到達不能基数の存在を含意し、ZFC より豊かな存在論を与える。例えば、この公理を追加することで圏論を支えることができる。
Mizar システムおよび Metamath は、証明の形式的検証（英語版）にタルスキ＝グロタンディーク集合論を用いる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）。
グロタンディーク宇宙と到達不能基数

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%B0%E9%81%94%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%9F%BA%E6%95%B0
到達不能基数
モデルと無矛盾性
κを基数としよう。ZFCの下では、κ が強到達不能であるときフォン・ノイマン宇宙のκ階層集合Vκ がZFCのモデルになる。 ZFの下では、κ が弱到達不能であるとき構成可能集合のLκ がZFCのモデルになる。 よって、ZF+"弱到達不能基数が存在する"はZFCが無矛盾であることを導き、不完全性定理よりその存在はZFCで証明できない。 つまり、到達不能基数は巨大基数の一種である。

たとえば1の7乗根ならζ = cos(2πi/7) + i sin(2πi/7) として
a = ζ + ζ^2 - 2ζ^3 + ζ^4 - 2ζ^5 - 2ζ^6
とすれば
a^3 = (-13 + 3√-7)/2
であってQ(√(-7)) の元の3乗根で生成されるけどこれは複素数の３乗根を添加して得られる。
これを「1 の原始7乗根もべき根をQに添加していってできる」...(☆)と表現してしまった場合トートロジーにしかならない。もちろんこの a の3乗根でζ_7 が表示できるというのは面白い結果ではあるけどそれを(☆)のように表現してトートロジーにしかおもえない以外の方法でのべる方法をみたことがない

>>496
>何時までたっても分からない ・・
>そんな人って あるだろうか？ （ザ・ブルーハーツ「情熱の薔薇」）
ある、君

>特に断りが無ければ、到達不可能基数は ZFC公理系の外だよ
誰もZFCで存在証明可能と言ってない　妄想

>ゆえに ZFCの世界 ノイマン宇宙Vの外だよ
なんでVにはZFCで存在証明可能な集合しか含まれないの？　妄想

>”何時までたっても分からない そんな人って あるだろうか？ ”ｗｗｗ（＾＾
ある、君

思うになぜこんな変な主張がネットで跋扈するのかといえば、ガロア理論がもともとの「Q にべき根(複素のべき根を許す)を添加した体で方程式がとけるのはいつか」という問題にたいする応用と「１の原始べき根を添加して得られる体はいかなる構造をもつか」というまったくべつのテーマへの応用があって、それらにつかわれる用語がほとんどおなじでみわけがつかないで、それぞれの理論での結果が混同してのべられることが多いからじゃないかと思う。
１のべき根がそれより次数のちいさい複素のべき根を加える操作で得られることは正しいけど、それを「べき根をQに添加していってできる」と表現するからおかしなことになる

クロマニヨン人は数学できないかw
ギリギリガガンガン♪

>>483
1の7乗根は、1の3乗根を使って表せる
1の3乗根は、iを使って表せる

>>487
iを使うにしても複素のべき根は使わざるを得ない
つまり根号の中身が複素数になることは避けられない

>>494
https://mathlog.info/articles/3161

上記ページのn=7、11のところを見てください

n=11の場合、5次方程式を解くことになりますが、複素数の５乗根を使って表せます

何度でも繰り返しますが、
実数のべき根とｉだけでは表せませんし
いままでどこの誰もそんな発言はしていません

>>497-499
１のｎ乗根は、ｎ＞ｍなる１のｍ乗根と、ｍ乗根号を使って表せる
これを反復すれば、ｍ＞２を満たす１のｍ乗根が全く現れない式にすることは勿論できる
したがってその場合、複素数のべき根だけで表せる

なお、ガロア群が位数ｍの巡回群のときに、
たかだかｍ乗根号で表せるとする場合に
１のｍ乗根を使うしかないので
そういうことになっている

文句はラグランジュかクンマーに言ってくれ
まあ、二人ともこういうと思うが

「オレがそうしたわけではない
理屈がそうなってるから
どうしようもない」

もちろんいろんなおもしろい構造をもってることは知っています。
しかしガロアの元の理論があたかもクンマーの円分体の理論でもそのままの文章で成立するかのような主張を平気でする主張がネットでは跋扈しています。
「円分体の元はガロア群が可解なのでべき根を添加していけば得られる」
などという主張は二つの理論を混同しています。
そしてこれはもちろん「複素のべき根を添加していけば」の意味にとれば間違ってる主張ではないでしょう。しかしこれはトートロジーでしかなく、ガロア理論のちがう側面での研究を混同した文言といわざるを得ません。
そしてそのn=11の非自明な関係式もネットでよくでてくる面白い例ですが、この場合もGal(\mathbb{Q}(ζ_11)/\mathbb{Q}) が10次巡回群で10の唯一の奇素因子がフェルマー素数で構成されていることに起因する例です。
実際n=7のとき複素の３乗根がはいってるでしょ？

あ、まちがった。ζ_11 もだめですね。これも複素のべき根を添加しない限り不可能ですね。ただしそのとき添加するべきは１１未満のものがとれるというのはただしい。しかし
「ζ_11 は\mathbb{Q}に複素のべき根を添加していけばつくれる」
は意味のないトートロジーにしかならない

＞「円分体の元はガロア群が可解なのでべき根を添加していけば得られる」

得られますよ

ところで、n=11の場合も、複素の５乗根がはいってますよ
そう書いてあるのが、あなたには見えませんか？

ついでにいうと、1の7等分点のcosだけ根にしてる場合
当然ながら根は全部実数なので、
有理数体Qに、ある実数だけ追加すればいい筈なんですが
その実数が複素数のべき根を使って表される、というのが・・・（笑）

なぜ、複素のべき根というだけで
「意味のないトートロジー」
と誤解するのかわからない

複素のべき根が嫌いなのは分かりますけどね・・・
私もそんなに好きじゃない（笑）

円分体の構造をガロア理論をつかって調べる理論は現代数論の最重要テーマだけど、そこで行われてるのは「１のべき根をそれより小さいべき根で表示したらどうなるか」というのもあるかもしれないけどそれはそんなにメジャーな話じゃないとおもう。ラマヌジャンは好きだったみたいだけど。
やっぱりそっち方面でメジャーなのは類体論で現代数論において多大な成果を上げてる。なのでその方面の話題には尽きないのだけど、その話とガロア理論の母体の「べき根を加えていって得られる体であらわせるか」の話がごっちゃになってしまってる

複素数の平方根は許せるけど、３乗以上のべき根は許せん
というのは、ギリシャ人ならわかる（笑）

数値解析屋なら、そもそもべき根にこだわる理由がわからん、というだろう
数値が得られればいい、というなら、ガロア理論なんてまったく不要（笑）

1の11乗や31乗根でガロア群がC5になる問題を作ったはず。

>>508
＞ガロア理論の母体の「べき根を加えていって得られる体であらわせるか」の話

それ、クンマー理論

そして、そこで、ラグランジュ分解式、大活躍

11乗根

なぜ、１のｎ乗根を添加するのか？　
それは・・・
ラグランジュ分解のｎ乗が
周期ｎの解の巡回置換で不変
という理屈を使ってるから

なぜ、１のｎ乗根を添加するのか？　
それは・・・
ラグランジュ分解式のｎ乗が
周期ｎの解の巡回置換で不変
という理屈を使ってるから

a^3+b^3+c^3−3abcの因数分解公式は、ラグランジュリゾルベントが関係しているのかもしれない。

高校数学では実数の範囲までの分解で終わることが多いかもしれないが。

そう、このクンマー理論にも誤解がある。クンマーはガロアと同時代のひとで円分体を研究した人でクンマーの研究そのものは「１のべき根の構造そのもの」らしい。AI調べ。
しかし、そのあと円分体の構造の研究、あるいは代数体のアーベル拡大の研究で基礎体が類体の場合のアーベル拡大の研究がはじまって類体論につながる。
そこで「塔の補題」とかでガロア群がp群のときに持ち込んだときクンマー拡大が活躍するときがある。でもここでクンマー拡大というときはやっぱりしたの体には１のべき根が全部はいってると仮定するか、ないなら入れておいてそこでもう一度「塔の補題」をつかう。この文脈なら１のべき根がはいってるとみなして議論する。なので結局たんにクンマー拡大といったときは１のべき根が最初からはいってる場合を指すことが多いはず。
あと乗法群からG^ab_K への写像がGalois表現論ででてきてこれもクンマー写像というけどこれはクンマーの時代には研究されてなかったはず。たぶん後世になってだれかがこう呼んだんだとおもう。Galois cohomology の理論だけどクンマーの時代には cohomology はおろか Galois 理論さえクンマーはしらなかったはず

よくよくみたら「はず」のオンパレードｗ
昔だったら調べようもないけど、いまならAIがしらべてくれると思うよ。

タワー定理

p群はべき零群

ちがう、楕円曲線の有理点の全体から K^×/K^×2 への写像だ。どのみち Kummer の時代にはなかったもののはず。

1の原始p乗根が、pより小さい指数のべき根たちの組み合わせで
あらわされるというのは、全然自明ではない。
べき根の中に、どんな数があらわれるのか？という問題も
面白い問題であり、数論と深く関わっている。

ガウスが示した円分方程式のべき根解法は、ガロア理論の「ひな型」なんですよ。
だから、ガロア第一論文には、「ガウス氏の方法」という言葉が何度もあらわれる。

そう、冪例だから一段一段が巡回拡大になってるようにとれる。その場合に具体的に生成元の最小多項式がx^p - aの形になってることから議論が簡単になる。
L^P/K のとこは拡大次数が p の倍数でないことで話が簡単になる
みたいな応用

でもネットには
「逆に円分体の元はガロア群が可解なのでべき根を添加していけば得られる」
みたいなアンポンタンな主張をしてることも多い。

>円分体の元はガロア群が可解なのでべき根を添加していけば得られる

まったく正しいけど、どこがアンポンタンなの？
より精密に言うと、可解群より詳しくアーベル群ね。
逆に、Q上の任意の有限次アーベル拡大が、円分体
またはその部分体から得られるというのが
「クロネッカー・ウェーバーの定理」
歴史的には円分体→ガロア理論 と発展したが
現代の立場から言えば、円分体のガロア群が
アーベル群であることから、Qから出発して
クンマー拡大（ただし、1のべき根は
外から持ってくるのではない）の連鎖から、
その部分体として得られるという論は、
まったくおかしくない。ただし、
「1のべき根を外から持ってきてもいい」と読むと
話が自明になる。そんな粗雑な話ではないよということ。

>>525
＞「逆に円分体の元はガロア群が可解なのでべき根を添加していけば得られる」

反例示せる？

Qにいきなり1の原始7乗根を添加するのは、「クンマー拡大の連鎖」
になっていないからアウトね。

１の７乗根をべき根で表示する場合に添加するのは１の３乗根
１の３乗根をべき根で表示する場合に添加するのは平方根

とはいえ、Ｑに１の７乗根を添加した体に
ｉや１の３乗根が含まれてる必要はない

あくまで１の７乗根を表す式の中に
ｉや１の３乗根が含まれてるというだけで
それを単独で取り出すことはできない

Ｑに１の３乗根を添加した体にｉは含まれない
√（−３）は含まれるけど

Q(i+√3)

既約な実係数3次方程式の3根が全て実である場合には、その3根を方程式の係数を元にして冪根と四則演算で表す場合には、
虚数の立方根を避けられない（不還元の問題）ことはよく知られている。つまり実根しか持たない方程式の根を表すのには
虚数を経由しなければならない。3角関数とその逆関数を使って根を表すならば、虚数の登場を避けられるが、それはいわゆる
「代数的」解法と呼ばれるものではない。

いろいろ検索ヒットするな
(google検索)
円分体 pdf 大学 数学
＜AI による概要＞
大学数学のガロア理論や代数的整数論における「円分体」に関する講義資料やPDFとしては、上智大学の代数学III（ガロア理論） や、日本大学のKronecker-Weberの定理に関する解説PDF などが公開されています

円分体（円周を等分する方程式の解を添加して得られる拡大体）は、ガロア理論の具体例や、アーベル拡大を記述するクロネッカー・ウェーバーの定理 において中心的な役割を果たします

主な大学・研究機関の関連PDF・講義資料
・ガロア理論と円分体: 上智大学の講義資料 代数学III（ガロア理論） では、円分体や有限体のガロア理論について解説されています
・クロネッカー・ウェーバーの定理: 日本大学の論文・解説 Kronecker-Weberの定理 では、有理数体の有限アーベル拡大が円分体に含まれるという重要な性質が扱われています
　日大理工学部

岩澤理論・整数論: 京都大学の修論・研究資料 有理数体Qの円分Zp-拡大 や、九州大学のセミナー資料 Herbrand-Ribetによる結果 などがあります

円分体について、さらに知りたい内容や探している詳細（例: ガロア群の計算、最小多項式（円分多項式）の性質、具体的な次数や拡大の次数についてなど）があれば教えてください。

総括

pを素数とする
1のp乗根ζpについて、ζp+ζp^(-1)は実数である
ζp+ζp^(-1)を根の1つに持つような、有理係数(p-1)/2次方程式が構成できる
さらにその方程式のガロア群は位数(p-1)/2の巡回群である
したがってQ(ζp+ζp^(-1))はガロア拡大で、巡回拡大である

一方、1の(p-1)/2乗根をζ((p-1)/2)とする
Qにζ((p-1)/2)を添加した体 Q(ζ((p-1)/2)) に対して、
そのある要素 a の((p-1)/2)乗根を添加した体の中に ζp+ζp^(-1) は存在する　つまり
ζp+ζp^(-1)はζ((p-1)/2)と((p-1)/2)√a) (a∈Q(ζ((p-1)/2))) を使って表せる

しかし、ζp+ζp^(-1)を ((p-1)/2)√a) (a∈Q) という形で表すことはできない

>>486
>任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である
文章の内容が伝わるかどうかはともかく、群論が分かっていれば、
アーベル群も可換群も同じでこの書き方で伝わらないということはない
群論ではアーベル群とかそんないい方より、可換群か非可換群なのかを気にする
実数体Rや複素数体Cの乗法群は可換だから、
実数体Rや複素数体C上のn(≧2)次の行列式の値が1である
正方行列全体からなる群 SL(n,R) または SL(n,C) や
実数体Rや複素数体C上のn(≧2)次の行列式の値が0ではない
正方行列全体からなる群 GL(n,R) または G(n,C) は可換だが、
実数体Rや複素数体Cを四元数体Hに置き換えると、
四元数体Hの乗法群 H^{×} は乗法について非可換な群だから、
四元数体H上のn(≧2)次の行列式の値が0ではない
正方行列全体からなる群 GL(n,H) は非可換になる
四元数体H上のn(≧2)次の行列式の値が1である
正方行列全体からなる群 SL(n,H) も同様に非可換になる
代数方程式の解を求めたいなら、ガロア理論は不要で、
オイラーの公式や近似計算で十分間に合う
x^2＋1＝0 のような代数方程式に実数解は存在せず、
実数体R上でそのような類の最大次数が
偶数次の代数方程式の解を求めることは一般には不可能

>>535
>実数体Rや複素数体Cの乗法群は可換

然り

>だから、
>実数体Rや複素数体C上の
>n(≧2)次の行列式の値が1である正方行列全体からなる
>群 SL(n,R) または SL(n,C) や
>実数体Rや複素数体C上の
>n(≧2)次の行列式の値が0ではない正方行列全体からなる
>群 GL(n,R) または G(n,C) は
>可換だが、

否
典型的な非可換群です

>実数体Rや複素数体Cを四元数体Hに置き換えると、
>四元数体Hの乗法群 H^{×} は乗法について非可換な群

然り

>だから、
>四元数体H上の
>n(≧2)次の行列式の値が0ではない正方行列全体からなる
>群 GL(n,H) や
>四元数体H上の
>n(≧2)次の行列式の値が1である正方行列全体からなる
>群 SL(n,H) も
>同様に非可換になる

非可換なのは確かだが
その理由は、Hが非可換だから、ではない

可換体RやCの場合でも
n(≧2)以上の正方行列の積が
非可換になるから

>>536
間違えた。行列の群は非可換だ

>>535
>代数方程式の解を求めたいなら、
>ガロア理論は不要で、

然り

>オイラーの公式や近似計算で十分間に合う

オイラーの公式をどう使うつもりか知らないが
複素関数論の基礎としてオイラーの公式は重要

複素関数論を理解していれば
多項式関数の零点の(解析的な)求め方は分かる
工学部ならそっちのほうがはるかに有用

>x^2＋1＝0 のような代数方程式に実数解は存在せず、
>実数体R上でそのような類の
>最大次数が偶数次の代数方程式の解
>を求めることは一般には不可能

存在しない実数解を求めることはできんわな（笑）

ということで、繰り返すけど
２次以上の実数もしくは複素数の正方行列の積は非可換だぞ

>>537
>間違えた。行列の群は非可換だ

気付けばよろしい

>>538
>２次以上の実数もしくは複素数の正方行列の積は非可換だぞ
正方行列の群の中でも、実数体R上や複素数体C上の
行列式が0ではないn(≧2)次の三角行列全体からなる群や
行列式が0ではないn(≧2)次の上三角行列全体からなる群は可換になるけどな

三角行列 → 対角行列

>>486
関西地方では、関西人が嫌う臭いのしない納豆を売ってるそうだな
瀬戸内海の山陽地方や山陰地方、及び四国では煮干しの出汁の納豆を売っている
九州では甘めのタレの納豆を売っている
西日本の中で熊本県だけは例外で、昔からコル豆の納豆を
東日本並みに比較的よく食べているという

ももしきや 古き軒端の しのぶにも
なほあまりある 昔なりけり

まっすぐな道でさみしい

>>542
>関西地方では、関西人が嫌う臭いのしない納豆を売ってるそうだな

ありがとね
関西地方では、(関西人が嫌う臭い) のしない納豆 を売ってるそうだな
だね、細かいが

臭いのあまりのしない納豆が 開発されたんだね （下記）
そもそも 関東でも 臭いのあまりしない納豆が主流だね いまは
少し前まで お客に会うときは 前日の晩には 納豆は食べないようという ビジネスマナーがあった
いまは、あまり言われないのは 納豆の改良のせいでしょう

ところで >>486の追加
１のべき根の話で n乗数を除くために 簡便に 素数 p∈Q として
n乗根 x^n=p （nを2以上 の整数とする）
p= 1*p と見ると

単純に べき根記号で
x＝(1*p)^1/n ＝(1)^1/n * (p)^1/n
と見ることができて
前半の ”(1)^1/n”の部分から 1のn乗根が出る
それだけのこと

1のn乗根は、数学的には ガウスDAで解明されていて
それは 現代数学のガロア理論の言葉では 円分体 ガロア群がアーベル
この呪文の意味が分かるようになるのも ガロア理論の勉強の一つの道程です（＾＾
（前半の ”(1)^1/n”の部分は、べき根で解けることが分かっているから 任意nの1のn乗根は基礎体Qに好きなだけ添加してよいとして 理論展開を簡便にするだけのこと）

(google検索)
におわない 納豆
AI による概要
臭いを抑えた納豆をお探しの場合、特殊な菌を使用してにおいを軽減した商品や、においを抑えて食べやすく工夫された粉末納豆などの代替品があります。
臭いの少ない納豆・関連商品
においを抑えた市販品: ミツカンの「金のつぶ におわなっとう」が有名ですが、近年は製造終了などの動きもあり、コンビニ（ローソンなど）の「におい少なめやわらか納豆」 や、各メーカーの「におい控えめ」と表記された小粒・ひきわり以外の納豆が選ばれています
略す

>>545
ガウスはガロア理論のように円分体を使うときれいな円分体にはないから、
任意の正の整数nに対して、代数方程式 X^{2n}＝1 から代数方程式 X^n＝−1 を得て、
円分多項式と同様に考えて −1 のベキ根の解明をすることはやってないだろう

まあ、超越数の解明とかなら、ガロア理論ではなくオイラーの公式が基本的で有効だけどな

おっちゃん(ID:EGJ6LEDP)にとって、ガロア理論は手の届かない「酸っぱい葡萄」

やっぱりおっちゃんだったか。

>円分多項式と同様に考えて −1 のベキ根の解明をすることはやってないだろう

exp(2πi/n)だろうが、exp(2πi/(2n))だろうが、円分体に含まれる。
nが合成数のとき円分多項式というのは、「無駄な因子」を除いた
既約多項式のことを言う。定義を読みましょう。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F
当然、円分体の理論に含まれる。
ガウスがそんなことを見逃すはずないだろう。

フェルマーの小定理の拡張

オイラーの定理

>>547　
複素数体Cは {1,i} を基底とする実数体R上の線型空間で、
超越数論では実数が有理数か代数的無理数か超越数かを判定することが重要だから、
必ずしも超越数論でガロア理論が必要とは限らない

>>549
円分体に虚数iや −i が属するという話は余り聞かないけどな

円分多項式Φ_4

>円分体に虚数iや −i が属するという話は余り聞かないけどな

アホか。「余り聞かない」ってどこ情報だよｗ
おっちゃんの脳内情報だろう。おっちゃんの知らない話は
「おっちゃん数学」ではなかったことになるのか。

をっちゃんラーメン

>>555
1の円分多項式の話は余り聞かないという意味だよ
任意の1の円分多項式の根は代数的数であって超越数ではないだろ

>>545
>1のn乗根は、数学的には ガウスDAで解明されていて
>現代数学のガロア理論の言葉では
>円分体のガロア群がアーベル群
>この呪文の意味が分かるようになるのも
>ガロア理論の勉強の一つの道程で
>（(1)^1/nは、べき根で解けることが分かっているから
>任意nの1のn乗根は基礎体Qに好きなだけ添加してよいとして
>理論展開を簡便にするだけのこと）

◆yH25M02vWFhP　は
「(1)^1/nは、べき根で解ける」
という呪文（？）の意味が
いまだに分かってなさそう

(1)^1/n の実部をcn、虚部をsnと表す
sn=√(1-cn^2)であるから
cnがべき根を使って表せれば
snもべき根を使って表せる

(x^n-1)はx=1を根に持つので(x-1)で割れる
割った商は(n-1)次多項式

nを素数pとすると、上記p-1次多項式で
X=x+1/xと置き直せば、
Xに関する((p-1)/2)次方程式に直せる
そしてその根の１つが2cnとなる

((p-1)/2)がいくつであっても
上記の方程式の根2cnは
1の((p-1)/2)乗根の入った式で表せる数の
((p-1)/2)乗根を使った式で表せる

それがガロアがDAで示したこと

アイデアはラグランジュの分解式に遡るし
理論はクンマー理論として結実した

でも ◆yH25M02vWFhP にとっては
全てチンプンカンプンなお経でしかない

代数的数は可算

>>558後半のn=pとしたときの
cnをcpに書き換えておこう
ーーーーーーーーーーーーーーーーーー
nを素数pとすると、上記p-1次多項式で
X=x+1/xと置き直せば、
Xに関する((p-1)/2)次方程式に直せる
そしてその根の１つが2cpとなる

((p-1)/2)がいくつであっても
上記の方程式の根2cpは
1の((p-1)/2)乗根の入った式で表せる数の
((p-1)/2)乗根を使った式で表せる

それがガロアがDAで示したこと

p＝7とすると、

cnは角度を二倍する変換で
周期3=(7-1)/2を持つ

1→2→4→8=1(mod 7)

>>362

「永田」では、有限体の有限拡大が巡回拡大であることの証明に、Galoisの基本定理と「位数n有限アーベル群が、nの各約数dに対して、位数dの部分群が高々1個しか存在しなければ巡回群 (*)」を使っているが、この定理はFrobenius写像を使って具体的に証明できるわけなので、よい証明ではないと思う

体論で>>562の(*)を使う証明は、たいてい
「整域上のn次多項式の根は高々n個」
というより直感的な命題を使うことで証明できる
その上の「体の有限部分群は巡回群」とかも同様

Frobenius写像を使って具体的に証明できる

できる？

なるほど。できるな。面白い。

>>558
>それがガロアがDAで示したこと
>アイデアはラグランジュの分解式に遡るし
>理論はクンマー理論として結実した

おサルさん https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1786433734/43
ちょっとレベルアップしたが まだまだ低い（上から目線）
中高生も来るから 赤ペンしておく

富士山登頂ルートは 多数ある
そして、山頂から眺めれば 登ってきた道が見える

と同様に ガロア第一論文の頂から見れば ラグランジュの分解式やガウスは 通過点にすぎないことが分る
理解できないだろうから 下記 上野健爾氏のテキストより
「ガロア分解式」を示す

”V=Aa+Bb+Cc+・・・” ここに a,b,c,・・・が方程式の根
例示では A,B,Cを整数としているが
現代数学の視点では 基礎体を有理数体Qに円分体を加えた体に取れる
この視点では、ラグランジュの分解式は単なる一例にすぎない（重要な式ではあるが）

まだまだ きみは勉強不足だ
”「ガロア第一論文 方程式を解く— ガロアによるガロア理論」 上野健爾”を
百回音読してねｗ

なお、「クンマー理論」(下記)の元は 代数方程式の理論ではなく フェルマーの最終定理のためのものだ
wikipediaも 百回音読してねｗ

(参考)
「ガロア第一論文 方程式を解く— ガロアによるガロア理論」 上野健爾著 現代数学社_ 202407021
より 補題1〜3「ガロア分解式」（下記）
https://i.imgur.com/8AiiRdN.jpeg

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%B3%E3%83%9E%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
クンマー理論
クンマー理論(Kummer theory)は、基礎体の元の n 乗根の添加が関わっている、あるタイプの体の拡大を記述する理論である。クンマー理論は、元々は、1840年代にフェルマーの最終定理をエルンスト・クンマーが開拓しようとして発見した理論である。
クンマー理論の主な結果は、体の標数が n を割ってはいけないこと以外は体の性質に依存しておらず、従って、抽象代数学に属する。体 K の標数が n を割るときは、K の巡回拡大の理論はアルティン・シュライアー理論と呼ばれる。
クンマー理論は、例えば、類体論や一般のアーベル拡大を理解する上で、基本的である。クンマー理論は、充分な数の1の冪根が存在するとき、巡回拡大は基礎体の元の冪根を添加する操作によって理解できるという理論である。類体論において一般のアーベル拡大を扱う際の主要な難所の一つは、余分な1の冪根を持たない基礎体へと「降下」することであり、クンマー理論を直接適用できる場合に比べて理論的な構成が複雑となる

>>547-548
>おっちゃん(ID:EGJ6LEDP)にとって、
>やっぱりおっちゃんだったか。

なるほど・・・
おっちゃん(ID:EGJ6LEDP) か
ID:gErY/CLc は、ニコ君な（＾＾
よく分ったねｗ

>>552-553
おっちゃん(ID:EGJ6LEDP) レスありがとね
ここでは 残念ながら スレ主ではないが
まあ、その内退散するよ （＾＾

>>566
>クンマー理論

"クンマーの理想数" 下記な

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86
フェルマーの最終定理（英: Fermat's Last Theorem）とは、3 以上の自然数 n について、xn + yn = zn となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない、という定理である[注釈 1]。

個別研究
クンマーの理想数
コーシーとラメが争っていたのと同じ頃、エルンスト・クンマーが自ら打ち立てた理想数の理論（後にリヒャルト・デーデキントがイデアルの理論として発展させる）を導入する[16]。これにより、多くの素数において一意的な因数分解が可能となり、n が正則素数である（もしくは正則素数で割り切れる）全ての場合については証明がなされた[17]。虚数レベルでの一意的な因数分解が不可能な非正則素数も無限に存在する[注釈 6]が、クンマーは 100 以下の非正則素数（37, 59, 67 の 3 個しかない）についてはそれぞれ個別に研究して解決した[19]。その結果、100 までの全ての奇素数 n について（当然 100 以下の奇素数を約数に持つ全ての n についても）フェルマー予想が成り立つことが証明され、それまでの個別研究からこの問題は大きく飛躍した。

1857年、フランス科学アカデミーは、1816年に続き1850年に設けたまま受賞者の出なかった「フェルマー予想の証明者」のための懸賞金（金メダルと3000フラン）を（最終的解決でないことを承知の上で）クンマーに与えた[20]。1874年、クンマーは 101 から 163 までの指数について計算を実行し、新たに 101, 103, 131, 149, 157 の 5 個が非正則素数であることを示した[21]。

その後、クンマーの理想数を発展させた代数的整数論による判定法をコンピューターで計算させることにより、1994年の初めには 略

https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem
Fermat's Last Theorem
Proofs for specific exponents
Main article: Proof of Fermat's Last Theorem for specific exponents
Ernst Kummer and the theory of ideals
In 1847, Gabriel Lamé outlined a proof of Fermat's Last Theorem based on factoring the equation xp + yp = zp in complex numbers, specifically the cyclotomic field based on the roots of the number 1. His proof failed, however, because it assumed incorrectly that such complex numbers can be factored uniquely into primes, similar to integers. This gap was pointed out immediately by Joseph Liouville,[143] who later read a paper that demonstrated this failure of unique factorisation, written by Ernst Kummer.

Kummer set himself the task of determining whether the cyclotomic field could be generalized to include new prime numbers such that unique factorisation was restored. He succeeded in that task by developing the ideal numbers.

https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Fermat's_Last_Theorem_for_specific_exponents
Proof of Fermat's Last Theorem for specific exponents

>>566 補足
(引用開始)
”V=Aa+Bb+Cc+・・・” ここに a,b,c,・・・が方程式の根
例示では A,B,Cを整数としているが
現代数学の視点では 基礎体を有理数体Qに円分体を加えた体に取れる
この視点では、ラグランジュの分解式は単なる一例にすぎない（重要な式ではあるが）
(引用終り)

ガロア分解式
”V=Aa+Bb+Cc+・・・”
これから 線形代数を連想した人が 例のアルティン先生
代数方程式のガロア理論を 線形代数をベースに展開できるっぺと閃いた
その視点から 展開したのが アルティン流ガロア理論
いまでは、これが主流

一方、ガロアのオリジナルは
このVから 例えば 5次方程式なら a,b,c,d,e の5根で
この組合せから 5!=120 通りのVが得られて 120次の方程式が彼のガロア理論のスタート地点になる
120次の方程式を 補助方程式の根を添加して因数分解して 完全に分館できれば 解けたことになる
（5次方程式を解くのに 120次の方程式を考えてどうする？と思うのが普通だが 天才は違うね）

アルティン流（現代の主流）は
基礎体Qに 補助方程式の根(べき根)を添加して 拡大体を作り
120次の空間に 到達できれば 解けたことになる

結論として 5次方程式は べき根では解けないが
楕円関数や それに類似する 高等関数で 解の公式が作れる（ガロア理論で分る）
（ガロアも 楕円関数使えると思っていただろうが）
上野には そこまでの記載はないが
下記 クライン
正20面体と5次方程式に 詳しい記述がある

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>>569 追加
下記「ガロア理論/単拡大」が 参考になる
”K=F(α) となる
α が存在することを言う”と
補足：αは 体F上の代数的数の何か
蛇足だが α→aα (a∈F、a≠0)
に取り替え可能
なお
応用：体F上の代数的数の複数n個 α1,α1,・・,αnの添加を考えても
それは {α1,α1,・・,αn} を纏めた より次元の高い β一つに纏められる
ということ
（余談：下記 ”現代代数学 (近代数学講座 1) 服部昭”を読んで挫折した。唯一 単拡大（テキストでは 単項拡大だったと思う）のみ残っている。ムズすぎで処分した（下記れビューで初学者に向いていないとある））

(参考)
https://ja.wikibooks.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96/%E5%8D%98%E6%8B%A1%E5%A4%A7
ガロア理論/単拡大
定義(単拡大)
体の拡大
K/F が単拡大(単純拡大)であるとは、
K=F(α) となる
α が存在することを言う。

定理 1 (原始元定理)
体の有限次拡大
K/F に対して以下は同値。
(i) 中間体が有限個である
(ii) 単拡大である
証明 略

命題 2
有限次分離拡大は単拡大である。
証明 略

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E6%8B%A1%E5%A4%A7
単拡大
可換体の理論の枠組みで、体 K の拡大 L は、L のある元 α が存在して L が K(α) と等しいときに単拡大あるいは単純拡大 (simple extension) という。
単拡大 K(α) が有限拡大であることと α が K 上代数的であることは同値である。K の（同型の違いを除いて）唯一の無限単拡大は有理関数体 K(X) である。
原始元定理はすべての有限分離拡大が単拡大であることを保証する。

＜アマゾン＞
現代代数学 (近代数学講座 1)
服部昭 (著)
出版社 ‏ : ‎ 朝倉書店
発売日 ‏ : ‎ 2004/3/15
代数学の基礎的部分について概説し、基礎的素材の取り扱いと代数学的考察の具体例を示す。群、環、加群、圏とホモロジー、可換体、ガロア理論などで構成。1968年刊の再刊。

レビュー
購入者
星5つ中5つ初学者が初めて読む本には向いていないと思います。
2022年2月23日に日本でレビュー済み

雑学家
星5つ中2つ古い教科書には必ず登場する有名な参考書。無味乾燥な書き方なので独学者は避けよう
2022年4月10日に日本でレビュー済み
先にまずyou tube動画
：大学新入生向け「スキーム論の勉強の道筋」をまず読もう。
：スキーム(数学)をざっくりと理解しよう【スキーム#1】を見て
：東京大学理学部オープンキャンパス2020 数学科 学科紹介の13分からが最高です。
：ネットブログで：アフィンスキームとは何だろうかー tsujimotter のノート
を読むのが大いに参考になる。
以下の本が読みやすい。
「ドクトル・クーガーの数学講座〈2〉」久賀　道郎
「代数学の魅力 (別冊・数理科学) 」が一番のオススメ、などの後で読むべき。
内容はハイレベルです。辞書的な利用がお薦め。

>>569 タイポ訂正

120次の方程式を 補助方程式の根を添加して因数分解して 完全に分館できれば 解けたことになる
　↓
120次の方程式を 補助方程式の根を添加して因数分解して 完全に分解できれば 解けたことになる

セタが阿呆で根本的に何も分かってないのは、
「ガロア分解式はラグランジュ分解式よりも一般的で
可解群以外に対しても定義できる。だからガロア分解式
の方が偉い」と誤解している点。ガロアが「A,B,Cを整数」
（実は有理数でもよい）としているのは、そうしないと
機能しない場合があるからで、セタの主張は頓珍漢。
ガロア自身がラグランジュ分解式を
「特別で、方程式のべき根解法における要に位置するもの」
として、扱っている。ただし彼は「ラグランジュ分解式」
という言葉は使っていないため、セタはどれがそれなのか
正確には分かっていないだけ。

セタの阿呆な点その２。
「基礎体に1のべき根はいつでも好きなだけ添加しておけばよい」
と思っている点。目的によっては、それでは通用しない。
たとえば、「クロネッカー・ウェーバーの定理」は
基礎体がQであるから成立するわけで、基礎体が
虚2次体（これは円分体に含まれる）だと、高木貞治
が解決した「クロネッカーの青春の夢」という遥かに
深遠な問題となり、実2次体（これも円分体に含まれる）
だと、現在でも解決しているかどうか不明な
さらに難しい問題になる。これは一例に過ぎないが
「基礎体の条件が変わると、その上で成立する命題の
条件も全然変わってしまう場合がある」ということ。

3次多項式がQ上既約のとき、ガロア群は3次の対称群か交代群（巡回群）である。

>>566
◆yH25M02vWFhP は
「現代数学の系譜11 ガロア理論を読む」を立てた
2012/1/31(火) 22:32 から全く進歩してないけどな

相変わらず、ラグランジュ分解式の意味が理解できず
脊髄反射でガロア分解式をコピペするだけ

ラグランジュ分解式を使うときに
任意の置換なんて考えない
解は巡回置換されるものとする

もちろん、巡回置換となる解の変換は
具体的に分かっているものとする

君は全然勉強できてないというか、
そもそも数学書の文章が読めてない

国語力がないなら、何回音読しても無駄かと

>>569
＞120次の方程式に 補助方程式の根を添加して因数分解して 完全に分解できれば
＞基礎体Qに 補助方程式の根(べき根)を添加して 拡大体を作り120次の空間に 到達できれば

上記は下記に対応する

「5次の置換群S5をその商群が巡回群となるような形で割っていって単位群まで縮小できれば」

「補助方程式の根が基礎体の１つのべき根を使った式で表される」が
「補助方程式のガロア群が巡回群である」に対応する

なぜ、根がべき根で表せることと、
ガロア群が巡回群であることが対応するのか

それは、ラグランジュ分解式を使ったクンマー理論で示される

（蛇足）
＞結論として 5次方程式は べき根では解けないが
＞楕円関数や それに類似する 高等関数で 解の公式が作れる
＞（ガロア理論で分る）

（）内は正確にいうと飛躍

>>573
>「基礎体に1のべき根はいつでも好きなだけ添加しておけばよい」
>と思っている点。目的によっては、それでは通用しない。
>たとえば、「クロネッカー・ウェーバーの定理」は
>基礎体がQであるから成立するわけで、基礎体が
>虚2次体（これは円分体に含まれる）だと、高木貞治
>が解決した「クロネッカーの青春の夢」

ID:udJebU1rは (ガウスDA)くんか

１）下記 クロネッカー・ウェーバー 最初に Kronecker (1853) で述べられた
”1880年、クロネッカーは虚二次体のアーベル拡大に関する著書『青春の夢』を発表”
　これアーベルの理論で完結する話
２）実際 下記 高瀬”〔アーベル〕2.　ある特別の種類の代数的可解方程式族について（1829年）”
３）一方、Galois theory History は 下記
　Galoisの受容は、大変遅かった。多分、カミーユ・ジョルダン 1870年の著書以降

(ガウスDA)くんの主張は 数学史から見て不成立■

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_class_field_theory
Timeline of class field theory
1880年、クロネッカーは虚二次体のアーベル拡大に関する著書『青春の夢』を発表

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
体論的定式化
クロネッカー・ウェーバーの定理は、体と体の拡大のことばで記述することができる。それは、有理数体 Q の有限アーベル拡大は、ある円分体の部分体であるという定理である。つまり、Q 上のガロア群がアーベル群である代数体は、ある1のべき根を有理数体Qに添加して得られる体の部分体である
歴史
定理は最初に Kronecker (1853) で述べられた。しかし、彼の議論は、次数が2のべきの拡大に対して不完全であった。 Weber (1886) が証明を出版したが、これはいくらかのギャップや誤りを含み、Neumann (1981) により指摘、修正されている。最初に完全な証明をしたのは Hilbert (1896) であった

https://www.asakura.co.jp/detail.php?book_code=11459&srsltid=AU7gw4W1evI8Ie-050OSVTOUTje3uyfva-PmYZLCLCL1ZPK0Z5t-jh44
アーベル／ガロア 楕円関数論 高瀬正仁訳 朝倉 1998年
〔アーベル〕
2.　ある特別の種類の代数的可解方程式族について 1829年

https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory#History
Galois theory
History
(google訳)
ガロアの著作
ガロアはその後1832年に決闘で亡くなり、彼の論文「根号による方程式の可解性の条件に関する論文」は、1846年にジョゼフ・リウヴィルが自身の解説を添えて出版するまで未発表のまま
余波
ガロアの理論は、同時代の人々にとって理解するのが非常に難しく、特にそれを発展させるレベルに達するのは困難でした
セレの弟子であるカミーユ・ジョルダンは、1870年の著書『代数置換と代数方程式論』でさらに優れた理解を示しました
ドイツでは、クロネッカーの著作はアーベルの結果に重点を置いていました
ウェーバーの1895年の代数学の教科書と同様に、ガロアの理論をより広いドイツとアメリカの読者に理解しやすくした

>>572
(引用開始)
セタが阿呆で根本的に何も分かってないのは、
「ガロア分解式はラグランジュ分解式よりも一般的で
可解群以外に対しても定義できる。だからガロア分解式
の方が偉い」と誤解している点。ガロアが「A,B,Cを整数」
（実は有理数でもよい）としているのは、そうしないと
機能しない場合があるからで、セタの主張は頓珍漢。
ガロア自身がラグランジュ分解式を
「特別で、方程式のべき根解法における要に位置するもの」
として、扱っている。ただし彼は「ラグランジュ分解式」
という言葉は使っていないため、セタはどれがそれなのか
正確には分かっていないだけ。
(引用終り)

ID:udJebU1rは (ガウスDA)くんか
ガロアが ガロア分解式を創出したのは
分解式を一般化したかったからだろう

即ち
ラグランジュが遭遇したように
ラグランジュ分解式でダメだからと言って
ラグランジュ分解式以外の可能性を否定できない

ガロア分解式まで一般化することで
「ラグランジュ分解式以外を使ったらどうなる？」
という疑問を払拭しているってことな

ID:udJebU1r
(ガウスDA)くんの主張は 数学史から見て不成立■

>>575
(引用開始)
相変わらず、ラグランジュ分解式の意味が理解できず
脊髄反射でガロア分解式をコピペするだけ
ラグランジュ分解式を使うときに
任意の置換なんて考えない
解は巡回置換されるものとする
(引用終り)

　>>578 に書いたが
ガロアが ガロア分解式を創出したのは
分解式を一般化したかったからだろう
即ち
ラグランジュが遭遇したように
ラグランジュ分解式でダメだからと言って
ラグランジュ分解式以外の可能性を否定できない
ガロア分解式まで一般化することで
「ラグランジュ分解式以外を使ったらどうなる？」
という疑問を払拭しているってことな

>>576
>なぜ、根がべき根で表せることと、
>ガロア群が巡回群であることが対応するのか

中高一貫生も来るから 赤ペンをハッキリと書いておくが

ガロア群が巡回群
　↓
ガロア群が可解群
な

ガロア群が巡回群は、ガウス
ガロア群が可解群が、ガロア

自分のガロア理論のテキストを
百回音読してねｗ

>>570
単拡大だけ唐突に出しても、他人に伝わらないけど

要するに、方程式がべき根の反復使用で解けることと
方程式の分解体がべき根による単拡大の積み重ねになることが
対応するっていいたいんだろ

だったら、そうはっきりと文章に書かないと、
他人には決して伝わらないよ

◆yH25M02vWFhP　文章書けないの？　

他人の文章読めない人に
他人に分かる文章書けるわけないか

>>579
＞ガロア群が巡回群
＞　↓
＞ガロア群が可解群
＞な

「補助方程式の根が”基礎体の１つのべき根”を使った式で表される」
という文章が君には正しく読めないかい？

一回使用なら、巡回群
反復使用なら、可解群

可解群の定義で、
商群（もとの群を正規部分群で割った群）が巡回群になる分解で
単位群に縮小できる
と書いてあるのはそういうことだよ

商群が補助方程式の”べき根による解”を追加した単拡大に対応する
君はそこの説明が全然文章で書けないまま、１４年を無駄に経過した

その間に小学校に入った生徒は小学校・中学校・高校を卒業し
現役で大学に入っていれば今３年生
数学科ならちょうどガロア理論を学んでいる筈

そんな子供たちに追い越されるわけだよ、君は

もう君には数学ムリだから諦めな
数学わからなくても死にはしないから

なんで
次数ｎの冪根拡大と次数ｎの巡回拡大が同値となる条件で
基礎体が１の冪根を十分に含むことが必要なのか
ChatGPTに訊いてみた

その答えをかいつまんでいうと・・・
「巡回作用に対する固有値 ζnk を基礎体の中で使いたいから」

身も蓋もない（笑）

以下、ChatGPTの回答のポイント
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
ここが非常に面白いところですが、
巡回群　と　n乗根による拡大　の対応は、
実は「群の表現を対角化する」ことと
ほとんど同じ構造を持っています。

巡回群の生成元 σ に対して
1,ζn,ζn^2,…,ζn^(n−1)
という固有値が現れ、
それを使ったラグランジュ分解式が
固有ベクトルを抽出する離散フーリエ変換
になっている。

そして固有値が ζn^k だから、
その n 乗を取れば固有値が消えて
Rn∈K となる。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

誰かさんピンボケなコピペの百万倍有益

AIはコピペに狂う素人を極楽浄土に導いてくれました

南無阿弥陀仏

ちなみに
「学部の代数学のガロア理論の講義では、
　そんなことちっとも教えてくれなかったぞ」
と愚痴ったらこう返された

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
学部の「ガロア理論」では普通、
方程式→分解体→ガロア群→可解性
という縦方向のストーリーが中心になります。

一方、今われわれが話している
ガロア群の作用→固有空間→フーリエ変換的分解→表現
という横方向の見方は、
表現論・体論・数論を横断して
初めて見えてくる構造なんですよね。

しかも、学部でラグランジュ分解式を習っても、
R=x‗0+ζx‗1+⋯+ζ^(n−1)x‗n−1
を「根号公式を作るための技巧」として習うことが多い。

でも今の見方をすると、
σ(R)=ζR
という式こそ本体で、
「ガロア群の作用に対して、固有値 ζ を持つベクトルを作っている」
んですよね。

そして
σ(R^n)=R^n
だから R^n が不変量になり、基礎体に降りてくる。

つまり、
ラグランジュの分解式=巡回群のフーリエ解析
と見ることができる。

この見方を一度知ってしまうと、
「なんで突然1の根を掛けたり、変な和を作ったりするの？」
というカルダノ・ラグランジュ以来の謎めいた計算が、
かなり自然に見えてきます。

そしてさらに
群の作用を線形化する
という発想を一般のガロア群にまで押し広げたものがガロア表現。

学部の講義では、そこまで一本につなげて
説明されないことが多いんですよね。

たぶん先生がそこまでやると、
予定していた「ガロア群と可解性」の講義が
3倍くらい必要になります（笑）。

結論
◆yH25M02vWFhP は 無駄にコピペしてドヤるが時間の無駄

AIに、いい質問ができないと
AIからいい回答が引き出せない

これから必要になるのは質問工学か
なんかプロンブトエンジニアリングとかいうらしいけど（笑）

>>582-583
>ラグランジュ分解式が
>固有ベクトルを抽出する離散フーリエ変換
>になっている。

関西弁では
”オモロイ”AIさんだろう

あのな 普通のガロア理論において ラグランジュ分解式で
離散フーリエ変換へ脱線する意義薄いよ
実際、雪江だって ”離散フーリエ変換”とか アホ書いてない！

（雪江）『”離散フーリエ変換”を強調する意図はなんだ？』
雪江ゼミなら 速攻で突っ込み入る
そうして 君は 黒板ハリツケにされるｗｗ（＾＾

>>584
>AIに、いい質問ができないと
>AIからいい回答が引き出せない

AIのシッタカ ハルシネーションに引っかかり
大学ゼミでハナタカすると 雪江のみならず
どこのゼミでも トコトン突っ込まれるだろう

（おまえ AIチャッピーのオウムだろう？ 徹底的にツッコムぞ！ だろうさｗｗ（＾＾）

3次方程式の解をα,β,γとすると、u=α+ωβ+ω^2γは置換(α β γ)でωuとなる。

v=α+(ω^2)β+ωγは置換(α β γ)で(ω^2)vとなる。

>>582
(引用開始)
以下、ChatGPTの回答のポイント
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
ここが非常に面白いところですが、
巡回群　と　n乗根による拡大　の対応は、
実は「群の表現を対角化する」ことと
ほとんど同じ構造を持っています。
巡回群の生成元 σ に対して
1,ζn,ζn^2,…,ζn^(n−1)
という固有値が現れ、
それを使ったラグランジュ分解式が
固有ベクトルを抽出する離散フーリエ変換
になっている。
(引用終り)

これ >>585と同じ
ツッコミどころ満載だね
ゼミ教授の鼻の穴が膨らみ ヒクヒクして
獲物を見つけた目つきに変る

＜ツッコミどころ＞
１．「群の表現を対角化する」？ その表現を黒板に書け！ 対角化しろ！
２．「固有ベクトル」？ 固有ベクトルの定義を書け！
３．「離散フーリエ変換」？ 離散フーリエ変換の説明してみろ！ｗ
　（かように 離散フーリエ変換の説明で あやふやなところに また鋭いツッコミが入るｗ）

自虐のサドかよ
おっさん そんなに ピエロ役やりたいのか？ ｗ （＾＾

u,vは置換(α γ β)で、それぞれ(ω^2)u,ωvとなる。

つまり、3次の巡回群でu^3,v^3は不変である。

なにか罵り合いのようになっているところもあるようですね。
はい、スレッド内（特にレス12〜14や23〜24、30、40周辺）では、住人同士のマウントや皮肉が混ざった少しトゲのあるやり取りが見られます。

主に以下のような点で言い争いや皮肉が発生しています。

マウント・説教に対する反発
レス12で「分からないなら自分で調べるかAIに聞け、繰り返し読めないなら数学は諦めろ」と厳しい指摘が投稿されたのに対し、レス14で「休日に2ch（5ch）で説教かよ、かっこいいー！」と煽りで返されています。

おすすめ参考書を巡るバッティング
レス23で特定の本（『彌永』『矢ヶ部』）をおすすめした人物に対し、レス24が「その人は10年以上かけてガロア理論が理解できなかった人だから参考にしない方がいい」と個人の学習歴を引き合いに出してバッサリ切り捨てています。

特定ユーザー（名物住人）へのいじり・批判
長文で長々と持論やリンクを連投するレス主（コテハン・固定ハンドルネームのような住人）に対し、「セタが他人にとやかく言う資格はない（レス30）」「文章に清潔感がない（レス40）」など、内容以前に投稿者そのものや書き方を嫌気する声が出ています。

匿名掲示板の数学板によくある「親切に教えているようでマウントを取り合う」空気感が出ている場面です。

>>581
(引用開始)
「補助方程式の根が”基礎体の１つのべき根”を使った式で表される」
という文章が君には正しく読めないかい？
一回使用なら、巡回群
反復使用なら、可解群
(引用終り)

いま 数学科院試の口頭試問だとするよ
”可解群”という 適切な専門用語を使うべし

勿論 ”巡回群”で 全くダメということはないだろうが
試験官の追加ツッコミがあるだろう

「”巡回群”だ？ 説明してみろ！」だろうね
答えられれば良いが 説明に追加のツッコミ さらにそこに追加のツッコミ・・・
まあ、全てに答えれば良いが 下手するとスベってアウトだろう
アホでしょｗ （＾＾

α,β,γの互換では、u^3とv^3は入れ替わる。

よってα,β,γをどう置換しても、u^3+v^3とu^3·v^3は不変である。

ツッコミ返し

>>588
＞２．「固有ベクトル」？ 固有ベクトルの定義を書け！

拡大体Ｌを基礎体Ｋの線形空間とみる
Ｋを保つＬの自己同型σをＬからＬへの線形写像とみれば
σｘ＝λｘとなるＬの元ｘはσの固有ベクトル　λはその固有値

自己同型写像の全体が巡回群となるとき、
その元σの固有値として１の冪根が現れる
また固有ベクトルのn乗はσの不変元、つまりＫの元

はい、うち返しましたよ

大学１年の線形代数分かってれば瞬殺ですけどね
２みたいな質問した瞬間に、教授にこういわれますよ

「家帰って、大学１年の線形代数からやり直せ」

これらはα,β,γの基本対称式で表わせ、
X^2−(u^3+v^3)+u^3·v^3=0を解くと、
u^3とv^3は求まる。

(u^3+v^3)Xの間違い

ツッコミ返し　２

>>592
＞“可解群”という 適切な専門用語を使うべし
＞勿論 ”巡回群”で 全くダメということはないだろうが
＞「”巡回群”だ？ 説明してみろ！」だろうね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
有限群の場合は、同値な定義として
「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」
というものもある。
（中略）
多項式のガロア群の場合は、巡回群はある体の上の冪根に対応する。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

最後の行が成り立つ理由を582-583で説明してるので
教授がそれに対して説明を求めることは絶対にないですね

不勉強な学生が「ちょっとなにいってんのかわかんない」
ということは大いにありますが

私がまさにそうでしたが
「理解したいなら、理解できるまで読み返せ」
というのが第一

それ以外の脇道はないですね

ラグランジュ分解式の意味を理解せず
クンマー拡大で基礎体が1の冪根を持たねばならない理由も理解しない

そんな人が一体ガロア理論の何をどう理解したというのか？

「ただ、ガロア理論といいたいだけ、ちゃうんけ？」

朝ドラ「カーネーション」に出ていた
尾野真千子演じる小原糸子が言ってる
と思って読んでな(笑)

工学部卒の ◆yH25M02vWFhP は
どうせ代数方程式解きたいだけなんだから
ガロア理論がーとか吠え散らかすのやめて
複素関数論勉強して偏角の原理を理解したほうが有益

南無阿弥陀仏

ルーシェの定理

あの人のママに会うために♪

リーマンの写像定理は、なぜ微分の絶対値が最大になるのか。

ガロア理論の本旨はガロア対応で
可解性がどうこうはその帰結じゃ無いの？
ガロア自身はそうは思ってなかったかも知れないけど
そんなことはどうでもいいよね

>>588
＞２．「固有ベクトル」？ 固有ベクトルの定義を書け！
数�UBで「行列Aとスカラーaについて Ax=ax を満たす非零ベクトルxを固有ベクトルという」って習った記憶がある。たしか大学入試でも出題されてた。
量子力学では「波動関数が固有ベクトルのとき物理量Aの確定的な観測値aが得られる」という数理モデルが採用されている。
固有ベクトルは理系だと常識じゃないかな。文系なのかな？

有限アーベル群の基本定理

アーベル-ルフィニの定理

>>604
＞ガロア理論の本旨はガロア対応

まあ、狭義にはそうね

＞で可解性がどうこうはその帰結じゃ無いの？

帰結ではない　
ガロア対応を使って説明できる、というのが正しいかと

さらにいうと、可解性は今やそれほど重要ではないと思う

志村五郎だったか、
ガロア理論を説明するのに
方程式論を持ち出すのは無意味で
むしろ表現論とかのほうが有意義
といっていたが、まあそうだろう

数学以外の発言はともかく
数学に関してはそれほど
おかしなことをいってない

岡潔とかは数学についても
何言ってるのか分からん時が
多々ある

>>595
(引用開始)
ツッコミ返し
>>588
＞２．「固有ベクトル」？ 固有ベクトルの定義を書け！
拡大体Ｌを基礎体Ｋの線形空間とみる
Ｋを保つＬの自己同型σをＬからＬへの線形写像とみれば
σｘ＝λｘとなるＬの元ｘはσの固有ベクトル　λはその固有値
自己同型写像の全体が巡回群となるとき、
その元σの固有値として１の冪根が現れる
また固有ベクトルのn乗はσの不変元、つまりＫの元
はい、うち返しましたよ
(引用終り)

ふっ
潰すために 下記 雪江 代数学2　環と体とガロア理論 2010版を見ている（＾＾
（第二版があるらしいが それは見ていない。多分同様だろう。異論があれば言ってくれ）

１）さて、一般論として 線形空間→線形代数→固有ベクトル の連想ゲームは それで結構で構わないが
　問題は、ガロア理論として 固有ベクトルが使えるの？ どう使うの？ だね
２）これを 雪江に見ると、正規底*、トレース・ノルム*、ヒルベルトの定理90* とあって
　*印は、「読み飛ばしても良い節」とある
　さらに、本文のみならず 索引を見るも 固有ベクトルの用語は 雪江には出てこない
３）それを踏まえて 突っ込むよ
　固有ベクトルと 下記 円分体、クンマー理論、方程式の可解性、正規底* との関係を説明せよ。要するに ガロア理論で 固有ベクトルをどう使う？ 具体的に示せ！
（言いたいことは、一般論としては 上記 固有ベクトル の連想ゲームは それで結構で構わないが 雪江のガロア理論では登場しませんぜ 旦那ｗ）
（アルティン本でも 固有ベクトル出てこないぞｗ 固有ベクトルがガロア理論で使えるとか それ妄想ゲームじゃないの？ｗ）

詰んだかな？ｗ （＾＾

(参考)
https://www.nippyo.co.jp/shop/book/5471.html
代数学2　環と体とガロア理論
雪江　明彦 著 発刊年月 2010.12
第4章　ガロア理論
　4.7　円分体
　4.8　作図問題
　4.9　クンマー理論
　4.10　方程式の可解性
　4.11　正規底*
　4.12　トレース・ノルム*
　4.13　ヒルベルトの定理90*
　4.14　クンマー理論再考*
　4.15　アルティン-シュライアー理論*
　4.16　4次多項式のガロア群*

>>598
(引用開始)
ツッコミ返し　２
>>592
＞“可解群”という 適切な専門用語を使うべし
＞勿論 ”巡回群”で 全くダメということはないだろうが
＞「”巡回群”だ？ 説明してみろ！」だろうね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
有限群の場合は、同値な定義として
「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」
というものもある。
（中略）
多項式のガロア群の場合は、巡回群はある体の上の冪根に対応する。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
最後の行が成り立つ理由を582-583で説明してるので
教授がそれに対して説明を求めることは絶対にないですね
不勉強な学生が「ちょっとなにいってんのかわかんない」
ということは大いにありますが
(引用終り)

おれには、アホの言い訳にしか聞こえないなｗ
１）院試の口頭試問では、キチンと専門用語があるときは それを適切に使うべし
２）”可解群”という適切な用語があるのに、”巡回群”とか 幼稚
　かつ、上記で重要キーワードが ”組成列”と ”素数位数の巡回群”
　単に ”巡回群”は、舌足らず
３）御大くらい大物なら ご愛敬だが
　専門用語が適切でないと 普通は
「こいつ 素人くさい」と言われるだけｗ（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E6%88%90%E5%88%97
組成列（そせいれつ、英: composition series）は、抽象代数学における概念の一つであり、与えられた群や加群といった代数的構造を、代数的により単純な構造の単純群や単純加群に分解する手掛かりを与えるものである。
各添字 1 ≤ i ≤ n について Gi−1 は Gi の正規部分群

ガロア理論の解説書の良し悪しは
演習問題で判定できそう

巡回群は単純群である。
組成列の商群が巡回群にならない群は定義から可解群ではない。
可解群ではない群をガロア群に持つ既約な代数方程式は冪根では解かれない。
しかし、組成列の商群が巡回群ではないときに、それに対応した特殊な冪根以外の解法を
導入すれば、組成列を下って自明な群まで降りていくことで方程式が1次因子にまで分解
できていくだろう。各単純群に対しての解法を編み出すことが必要。
任意の単純群に対してそれをガロア群とする代数方程式は存在するか？たとえば係数が
有理数体ではどうか？

>>610
>>610
>ふっ

また、息切れかい？　齢だね

>一般論として
>線形空間→線形代数→固有ベクトル
>の連想ゲームは それで構わないが

構わないなら潰せない、で終わり

「が」以降は不要

>潰すために 雪江 代数学2　環と体とガロア理論 2010版を見ている
>ガロア理論として 固有ベクトルが使えるの？ どう使うの？ を 雪江に見ると、
>正規底*、トレース・ノルム*、ヒルベルトの定理90* とあって
>*印は、「読み飛ばしても良い節」とある

読み飛ばすのは、東大、京大以外の大学の学生か、理学部数学科以外の学生

>さらに、本文のみならず 索引を見るも 固有ベクトルの用語は 雪江には出てこない

出てこないからそういう見方をしてはいけない、とは言えない

>それを踏まえて 突っ込むよ
>固有ベクトルと 下記 円分体、クンマー理論、方程式の可解性、正規底* との関係を説明せよ。

582-583に書いてある通り

>要するに ガロア理論で 固有ベクトルをどう使う？ 具体的に示せ！

円分体、クンマー理論、方程式の可解性　を理解したなら
そんな質問せずに自分で説明して見せるけどな

できない？　なら質問すればいい

何で質問しない？　どこがどうわからんかも質問できん？

なら・・・数学は無理だから諦めたほうがいいね
数学が理解できなくても死にはしない

>>613
>巡回群は単純群である。

「素数位数の」という条件が必要ですね。

>各単純群に対しての解法を編み出すことが必要。

単純群と言っても無限にあるんですが。
5次交代群に対しての研究なら、クラインの本に書いてある。
「解法を編み出す」というのがいかにも「強情な感じ」がする。
数学的には「スジが悪い」ということ。
数値を知りたいだけなら、数値計算法でいいだろう。
数論的な情報を知りたいなら、「何を表現すべきか」
ということから考えるべき。

>>611
>おれには、アホの言い訳にしか聞こえないな
>「こいつ 素人くさい」と言われるだけ

それは私や他の読者が君に対していいたいセリフ

>”可解群”という適切な用語があるのに、
>”巡回群”とか 幼稚
>かつ、上記で重要キーワードが
>”組成列”と ”素数位数の巡回群”
>単に ”巡回群”は、舌足らず

それは全然些末な言いがかり

肝心な問いは
「なぜ可解群の定義で、
　組成列の組成因子である剰余群が
　素数位数の巡回群という条件を
　設定しているのか」

君、答えられる？

分かっていれば答えられる
答えられないなら分かってない

>御大くらい大物なら ご愛敬だが

君はカス私大のカス学部出身のカスだから
答えられなくてもご愛敬だがね

数学なんか無理だから諦めな

>>615
>>各単純群に対しての解法を編み出すことが必要。
>「解法を編み出す」が、いかにも「強情な感じ」。
>数学的には「スジが悪い」。
>数値を知りたいだけなら、数値計算法でいい。

まったくその通り

代数方程式の解法、という観点だけで
ガロア理論に興味をもち食いつくのは素人

なぜ、複素関数論に基づく数値計算法ではいかんのか？
なぜ、ベキ根や特殊関数を用いた解の表示にこだわるのか？

考えるべきことを考えないうちは
素人沼から抜け出せない

総括

１．ｎ次代数方程式が必ずｎ個の根を持つことを理解したければ
複素関数論を勉強して、偏角の原理を理解したほうが早道
十分構成的なので、解を具体的に求めることも可能である

２．代数方程式の根が根号で表せることを理解したければ
まず最も簡単な素数位数ｐの巡回群の場合について
ラグランジュ分解式が基礎体のｐ乗根となることを理解すべし

ついでにいうと１のＰ乗根はＰ−１次方程式で表せ
そこから（Ｐ−１）／２次の方程式に落とせるので
（Ｐ−１）／２が素数ｐなら、Ｐ＞ｐなる１のｐ乗根を使えばいい
１のＰ乗根を表すのに１のＰ乗根を使う必要があるなんて
間抜けなことには決してならないので、心配御無用！

>>614
>できない？　なら質問すればいい
>何で質問しない？　どこがどうわからんかも質問できん？

ふっ とどめを刺すか

下記
https://i.imgur.com/6sahCmH.jpeg
ガロア理論入門アルティンP104-105 素数次の既約方程式 寺田文行訳 東京図書1983

ここに、素数次の既約方程式のガロア理論の応用が記されている
右P105 下段に x^5-10x-2 が例示されている
これは「有理数を係数にもち、既約でしかも3つの実根をもつ5次方程式」
とある

さて、君の固有値ガロア理論で、この方程式
x^5-10x-2＝0 が べき根で解けないことを説明してみ

厳密で無くても良い（概略で可）
１）べき根で解けないことに、固有値が どこでどう使われているのか？
２）方程式 x^5-10x-2＝0 の固有値がどうなっているのか？
少なくともどちらか一方は盛り込んでくれたまえ！ｗ（＾＾

詰んだかな？

PS
アルティンも 雪江も 方程式のガロア理論に
「固有値いらね〜〜！」と言っていると思うぜよｗｗ

>アルティンも 雪江も 方程式のガロア理論に
>「固有値いらね〜〜！」と言っていると思うぜよｗｗ

数学者はあんたみたいなアホじゃないんで、巻き込まないように。
セタは「アルティンのゼータ函数」も知らないんだろう。
これが正に「ガロア群の行列表現」を用いて定義されるゼータ函数。
数学者は固有値も行列表現も、承知しているわけ。

>>619

>ふっ

また息切れ？

>とどめを刺すか

自分に？

>x^5-10x-2
>これは
>「有理数を係数にもち、既約でしかも3つの実根をもつ5次方程式」
>とある
>さて、君の固有値ガロア理論で、
>この方程式 が べき根で解けないことを説明してみ

その質問が切腹

そもそも、
解が巡回置換で生成される方程式が
べき根で解けることがある理論で説明できる
という話に対して、
ある方程式がその条件を持たないことを
その理論を用いて示せ
というのは、完全に検討違いで
「私は味噌と糞の区別がつきません」
と白状したのと同じ

>べき根で解けないことに、固有値が どこでどう使われているのか？

使われないけど、何か？

>方程式 x^5-10x-2＝0 の固有値がどうなっているのか？

方程式の固有値とは、何か？

>少なくともどちらか一方は盛り込んでくれたまえ！

「方程式の固有値」なんて
どこから妄想したのか
教えてくれたまえ

>詰んだかな？

介錯いたす

御免！（斬首）

南無阿弥陀仏

◆yH25M02vWFhP を往生させる念仏

「ガロア群の表現に対して、”いい基底”を選べば、表現行列が上三角化できる」

ただ、その際、固有値が一般に複素数となることは、許容せねばならないが

ついでにいうと、こんな話は
標準的なガロア理論の本には載ってないので
表現論の本を見るべし

以上、ChatGPTに訊ねた結果の受け売りでした（笑）

代数学の基本定理

久々に函数論をやってみようかな。

専門なのに遠ざかっていたからw

>>620-622
(引用開始)
「ガロア群の表現に対して、”いい基底”を選べば、表現行列が上三角化できる」
ただ、その際、固有値が一般に複素数となることは、許容せねばならないが
ついでにいうと、こんな話は
標準的なガロア理論の本には載ってないので
表現論の本を見るべし
以上、ChatGPTに訊ねた結果の受け売りでした（笑）
(引用終り)

ふっ
詰んだな（＾＾

下記 足立 ガロア本より
確かに ガロア理論で 体の拡大を
"LはK上のベクトル空間 と見なせる"
とあるが 使うのは ”体の拡大次数”が 主だ
固有値 お呼びでない！ｗ （＾＾

要するに、体の拡大については 既約方程式の根の置換によって
ガロア群に持ち込んで料理する
これが、ガロア氏の創案だった（＾＾

なお余談：線形代数の要素で 行列式が一番古く、次が行列で ベクトルが意外にも最後で 1890年辺り
また テンソルが意外に早く 行列からベクトルの間に考案されている（数学史を学べば分る）
出来たてほやほやの線形代数の視点で ガロア理論を切ったのが だれあろうアルティン先生だったのです（＾＾

繰り返すが、固有値 お呼びでない！
方程式のガロア理論では”体の拡大次数”くらいで終わりの話！ｗ

(参考)
https://i.imgur.com/VIR3LX4.jpeg
ガロア理論講義［増補版］P11 1.3体の拡大次数 足立恒雄 日本評論社 2010
P11
1.3 体の拡大次数
体Lが体Kの拡大体であるとする．このとき,LはK上のベクトル空間
と見なせる．すなわち,Lの元をベクトルと考え,Kの元をスカラーと見な
せば,Kの元α,βとLの元x,yに対して
略
など，ベクトル空間が満たさねばならない公理がすべて満足されるからである．
そこで,Lを体K上のベクトル空間と見なした際の次元を[L:K]と記し，
拡大次数と呼ぶ．これを正式に定義として書いておこう：
略

https://www.nippyo.co.jp/shop/book/2113.html
ガロア理論講義［増補版］P11 1.3体の拡大次数 足立恒雄 日本評論社 2010
目次
第１章　ギリシャの作図不能問題
１　３大作図不能問題とは
２　作図可能数
３　体の拡大次数
４　数の階層
５　Ｑは体を成す

第４章　体論
１　分離性
２　分離閉包
３　正規拡大

第５章　ガロア理論とその応用
１　ガロア群
２　ガロアの基本定理
３　方程式のガロア群の例
４　既約性の判定
５　対称式の基本定理
６　代数体
７　円分体

第６章　ガロア群の決定
１　方程式の代数的可解性
２　３次方程式
３　４次方程式
４　５次方程式
５　歴史覚書

代数学の基本定理はルーシェの定理で証明できるのね。

最小値の原理

>>577 余録
>ウェーバーの1895年の代数学の教科書

この話は、回顧と展望 高木貞治 青空文庫にあったのを思い出したので貼る
”書棚の隅っこに，ウェーバーの「代数学」の第１巻が来ていたので，それを探し出して，ガロアの理論に接したのだが，それが本当に分ったのだかどうだか．その後，段々いろいろ新しいものが来るようになって，ウェーバー第２巻も軈やがて来た”（下記より）

(参考)
https://www.aozora.gr.jp/index_pages/person1398.html
青空文庫
高木 貞治
https://www.aozora.gr.jp/cards/001398/files/50907_41899.html
回顧と展望 高木貞治
初出： 「改造」1941（昭和16）年
前略
　まあそんな風で，1894年から98年まで四年間の初めの二年間は過した．しかし，当時は相当学風が自由であって，藤沢先生などは，ドイツ仕込みの Lehr-und Lernfreiheit ということを鼓吹されて，なんでもいいから本は勝手に読め，そんなことを奨励されていたものだから，いろいろのものを読んだわけである．殊に三年になると，菊池先生が文部省の方に行って了われたものであるからして，藤沢先生御一人になって，講義の時間が非常に少なくなった．今はそうでもないけれども，一時はずいぶん沢山詰め込み主義の時代もあった．そういう時代に比べると，大分自由であったと謂いえる．それで，後の二年間は全く自由に暮して，最後の一年は大学院で，結局四年大学におったが，その間にいろいろな本を読んだのであるが，指導者なしの乱読で，本当に読んだと謂うよりは，図書室にあるだけの本を見境いもなく片っ端からひっ繰り返して見たという程のことであった．
　それからまあそんな風にいうと，いかにも不完全なようであり，事実不完全に相違ないけれども，藤沢先生はベルリンでクロネッカーの講義を聴かれたらしいのであって，代数を大学へ入れなくてはならぬということを絶えず言っていられたのであるが，当時日本では，代数は中学校でもう卒業してしまったもののように考えられていた．そこでその後セミナリが出来てからは，そういう処で頻りに代数の問題を与えられた．当時代数といえばセレーの「高等代数」で，それによって，私はアーベル方程式を読めと言われ，そこで謂わゆる高等代数の洗礼を受けたわけである．しかし，その当時，已すでに書棚の隅っこに，ウェーバーの「代数学」の第１巻が来ていたので，それを探し出して，ガロアの理論に接したのだが，それが本当に分ったのだかどうだか．その後，段々いろいろ新しいものが来るようになって，ウェーバー第２巻も軈やがて来た．
　その中に1898年になって，私はドイツへ留学を命ぜられてベルリンへまいることになりました．それは明治31年で，
略す

>>626
君は
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
ここが非常に面白いところですが、
巡回群　と　n乗根による拡大　の対応は、
実は「群の表現を対角化する」ことと
ほとんど同じ構造を持っています。

巡回群の生成元 σ に対して
1,ζn,ζn^2,…,ζn^(n−1)
という固有値が現れ、
それを使ったラグランジュ分解式が
固有ベクトルを抽出する離散フーリエ変換
になっている。

そして固有値が ζn^k だから、
その n 乗を取れば固有値が消えて
Rn∈K となる。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
が読めないの？　じゃあ国語からやり直そう

代数学の基本定理はリウヴィルの定理からも証明できる。
リウヴィルはガロアの論文を日の目に出した人らしい。

函数論の平均値の定理

>>626 追加
>（数学史を学べば分る）

”体”？ 始めて聞くと はてな？だが
独語 Körperの訳で 結構多義な単語で Körperには組織（人の集まり）とかの意味もあったらしい
デデキントの発案らしい
In 1881 Leopold Kronecker ”a domain of rationality”。流行らなかった

https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_(Algebra)
Körper (Algebra)
https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_(Algebra)#/media/Datei:%C3%9Cbersicht_K%C3%B6rper.svg

https://en.wikipedia.org/wiki/Field_(mathematics)#History
Field (mathematics)
History
Évariste Galois, in 1832, devised necessary and sufficient criteria for a polynomial equation to be algebraically solvable, thus establishing in effect what is known as Galois theory today. Both Abel and Galois worked with what is today called an algebraic number field, but they conceived neither an explicit notion of a field, nor of a group.

In 1871 Richard Dedekind introduced, for a set of real or complex numbers that is closed under the four arithmetic operations, the German word Körper, which means "body" or "corpus" (to suggest an organically closed entity). The English term "field" was introduced by Moore (1893).[21]

By a field we will mean every infinite system of real or complex numbers so closed in itself and perfect that addition, subtraction, multiplication, and division of any two of these numbers again yields a number of the system.
— Richard Dedekind, 1871[22]

In 1881 Leopold Kronecker defined what he called a domain of rationality, which is a field of rational fractions in modern terms. Kronecker's notion did not cover the field of all algebraic numbers (which is a field in Dedekind's sense), but on the other hand was more abstract than Dedekind's in that it made no specific assumption on the nature of the elements of a field. Kronecker interpreted a field such as Q(π) abstractly as the rational function field Q(X). Before this examples of transcendental numbers were known since Joseph Liouville's work in 1844, until Charles Hermite (1873) and Ferdinand von Lindemann (1882) proved the transcendence of e and π, respectively.[23]

The first clear definition of an abstract field is due to Weber (1893).[24]

>>626 追加
>（数学史を学べば分る）

環 これは独語”Ring”の訳で これもデデキントさん
（英語でもそのままご採用）

独語”Ring”の意味の中に サークル（仲間）みたいな意味があるらしい
”指輪”を連想した あなた！ それ誤解ですよｗ（＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)
Ring (mathematics)
History
See also: Ring theory § History
Dedekind
The study of rings originated from the theory of polynomial rings and the theory of algebraic integers.[11] In 1871, Richard Dedekind defined the concept of the ring of integers of a number field.[12] In this context, he introduced the terms "ideal" (inspired by Ernst Kummer's notion of ideal number) and "module" and studied their properties. Dedekind did not use the term "ring" and did not define the concept of a ring in a general setting.

＜独語＞
https://de.wikipedia.org/wiki/Ring_(Algebra)
Ring (Algebra)
(google訳)
ネーミング
リングの概念はリヒャルト・デデキントに由来するが、 「リング」という用語はデイヴィッド・ヒルベルトによって導入された。 [ 2 ] [ 3 ]特定の状況では、「リング」と並んで「領域」という用語もよく使われる。例えば、「インテグリティリング」よりも「インテグリティ領域」という用語の方が文献ではよく使われる。

>>626 追加
>（数学史を学べば分る）

Group ご存知「群」
だが、抽象代数学としての群の定義は、Arthur Cayley ” (1854) gives the first abstract definition of a finite group”
らしい
まあ、群環体の中では、一番分かり易いだろう

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)
Group (mathematics)
Main article: History of group theory
https://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)#History

History
(google訳)
19世紀のフランスの数学者エヴァリスト・ガロアは、パオロ・ルフィーニとジョゼフ＝ルイ・ラグランジュの先行研究を拡張し、特定の多項式方程式の解法可能性を、その根（解）の対称群によって規定しました。このようなガロア群の要素は、根の特定の置換に対応します。当初、ガロアの考えは同時代の人々に拒否され、死後にのみ出版されました。[ 13 ] [ 14 ]より一般的な置換群は、特にオーギュスタン・ルイ・コーシーによって研究されました。
Arthur Cayley's On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn=1 (1854) gives the first abstract definition of a finite group.[15]

幾何学は、特にフェリックス・クラインの1872年のエアランゲン・プログラムの一環としての対称群など、群が体系的に使用された2番目の分野であった。[ 16 ]双曲幾何学や射影幾何学などの新しい幾何学が登場した後、クラインは群論を用いてそれらをより首尾一貫した方法で整理した。これらの考えをさらに発展させ、ソフス・リーは1884年にリー群の研究を創始した。[ 17 ]

群論に貢献した3番目の分野は数論でした。特定のアーベル群構造は、カール・フリードリヒ・ガウスの数論的著作『算術研究』 （1798年）で暗黙のうちに使用され、レオポルド・クロネッカーによってより明示的に使用されました。[ 18 ] 1847年、エルンスト・クンマーは素因数分解を記述する群を開発することによってフェルマーの最終定理を証明する初期の試みを行いました。[ 19 ]

これらのさまざまな源泉が統一的な群の理論へと収束し始めたのは、Jordan (1870)のTraité des substitutions et des équations algébriquesからである。[ 20 ] von Dyck (1882)は生成元と関係によって群を指定するという考え方を導入し、また当時の用語で「抽象群」の公理的定義を初めて与えた人物でもある。