ガロア理論を理解したい

何から始めればいいですか

>>410
ですね

（理論が拡大するとモデルは縮小するのにね）

>>411
＞本来は基礎論スレですべき話なんじゃないの？

それほど大層な内容もない

そうすか。

>>403 補足
(引用開始)
ゆえに CHがZFCから独立で 否定も肯定もできないなら
われわれの日常の数学には 普通は無関係■
と同様に 到達不能基数κの存在が ZFCから独立で 否定も肯定もできないなら
われわれの日常の数学では 普通無関係
但し、あったら便利と グロタンディーク
ゆえに タルスキ＝グロタンディーク集合論登場
これが到達不能基数κと関連していると 後代に分かった
グロタンディーク宇宙Uは、非保存的拡大＝ZFCを包含して 真にそれ以上■
(引用終り)

さて、到達不能基数κが、ノイマン宇宙V(ここにV内はノイマンの定義した通常の基数のみからなる)で
果たしてVのどこに位置づけられるべきか？を考察しよう

１）前振り（レベル合わせ）
・Von Neumann universe https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
　ここで、下記のポンチ絵が 参考になる
　i) https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe#/media/File:Von_Neumann_Hierarchy.svg
　An initial segment of the von Neumann universe. Ordinal multiplication is reversed from our usual convention; see Ordinal arithmetic.
　ii)https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe#/media/File:Von_Neumann_universe_4.png
　First 5 von Neumann stages V0〜V4
　（This sequence exhibits tetrational growth. The set V5 contains 2^16 = 65536 elements; the set V6 contains 2^65536 elements, which very substantially exceeds the number of atoms in the observable universe;
　The set Vω has the same cardinality as ω. The set Vω+1 has the same cardinality as the set of real numbers.）
２）要するに 普通各ステージで Vn→Vn+1 は
　直前の基数の集合の冪を繰返し取ることで成り立つ
３）いま、到達不能基数κが ノイマン宇宙Vの内部だと考えると
　それは、V内部の如何なる基数とも 一致してはならない。（∵一致したら 新しい基数を加えたことにならない）
　次に V内部の基数αを考えてVαとVα+1の間だとすると これは 一般連続体仮説の否定になる（Vω未満が連続体仮説の否定でその一般化）
　だが、おそらく「一般連続体仮説ウンヌンカンヌン」は、否定される（それでは 何の面白みもない。一般連続体仮説とは 到達不能基数κは峻別されるべき）
４）結局 消去法で 到達不能基数κの居場所は、Vの外で 基数ゆえ 上記Vのポンチ絵の上■（下は正則性公理に反する）
QED （＾＾；

>>416 タイポ訂正

（Vω未満が連続体仮説の否定でその一般化）
　↓
（VωとVω+1間が連続体仮説の否定でその一般化）

Vω未満は、論外だったな（＾＾

>>416
>通常の基数
ってなに？

>いま、到達不能基数κが ノイマン宇宙Vの内部だと考えると
考えなくても定義からκ∈V

>一致したら 新しい基数を加えたことにならない
加えなくてよい　最初から全部入ってる

>Vω未満が連続体仮説の否定
意味不明な妄想

>一般連続体仮説とは 到達不能基数κは峻別されるべき
馬鹿の妄言

>結局 消去法で 到達不能基数κの居場所は、Vの外
結局 消去法で馬鹿の居場所は数学板の外

>基数ゆえ 上記Vのポンチ絵の上■（下は正則性公理に反する）
基地外ゆえポンチ絵で分かった気になる■（The class V is defined to be the union of all the V-stagesは読めない）

代数幾何の議論など到底自分にはむりというのは理解できたんかもな。まだギリギリ代数幾何ならがロア理論のスレで話題にのぼって不思議ないんだけどな

>>415
ニコ君か
ありがとね
ところで
私が この数学板に来たとき
"Kummer"というコテハンの人が
黙々と 整数論のKummer絡みの数論の証明を
毎日毎日貼付けていた
それを思い出したので 書いてみた
2012年ころ
過去ログあると思うよ
スレのタイトルは忘れたが（＾＾

>>420
クンマー理論は良く知らないんですよね(汗)
ガロア理論は難しいですから。

（αが極限順序数の時のVαは冪じゃ無いのにね）

>>418
(ガウスDA)くんか

>>通常の基数
>ってなに？

通常の基数の定義：ZFCで存在が証明できる基数 例 ω、R(=2^ω)など 可算無限ωから始めて 冪を超限回とって実現できる基数（超限回とは 全ての順序数を尽くすこと）

>>いま、到達不能基数κが ノイマン宇宙Vの内部だと考えると
>考えなくても定義からκ∈V

違うよ
上記の通り 到達不能基数κは、ZFCで存在が証明できない基数
数学者は、存在が証明できない場合は 存在するとは言わない
その場合、存在を言いたいとき 公理を立てる（無限公理で無限集合を実現するのと同じ）

>>一致したら 新しい基数を加えたことにならない
>加えなくてよい　最初から全部入ってる

いいや
上記の通り 無限集合の存在は 無限公理を おかないと証明できない

>>422
>（αが極限順序数の時のVαは冪じゃ無いのにね）

いいや！（＾＾
Vαは冪です！！
極限順序数でない順序数を作るのは 和集合による演算（下記）

おお、Inaccessible cardinalのen.wikipedia記事に
”Existence of a proper class of inaccessibles”
「到達不能基数の公理はグロタンディーク・ヴェルディエの宇宙の公理（任意の集合がグロタンディーク宇宙に含まれるというもの）と同値になります」
「この公理系は、例えば任意の圏が適切な米田埋め込みを持つことを証明する際などに有用です」
なるほど・・・ メモメモｗ（＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number
Ordinal number
Von Neumann definition of ordinals
Thus the finite von Neumann ordinals are defined recursively as ⁠
0=∅ and ⁠
n+1=n∪{n}⁠.
That is, ⁠1={0}⁠, ⁠2={0,1}⁠, ⁠3={0,1,2}, etc.
The first infinite ordinal ⁠ω⁠ is represented by the set of all finite ordinals, i.e., the set of von Neumann natural numbers ⁠
N={0,1,2,…}. Then ⁠ω+1={0,1,2,…,ω}=N∪{ω}⁠, and so on.

https://en.wikipedia.org/wiki/Inaccessible_cardinal
Inaccessible cardinal
The two notions of an inaccessible cardinal
κ describe a cardinality
κ which can not be obtained as the cardinality of a result of typical set-theoretic operations involving only sets of cardinality less than κ. Hence the word "inaccessible". By mandating that inaccessible cardinals are uncountable, they turn out to be very large.

The existence of a strongly inaccessible cardinal is equivalent to the existence of a Grothendieck universe. If
κ is a strongly inaccessible cardinal then the von Neumann stage
Vκ is a Grothendieck universe. Conversely, if
U is a Grothendieck universe then there is a strongly inaccessible cardinal
κ such that Vκ=U. As expected from their correspondence with strongly inaccessible cardinals, Grothendieck universes are very well-closed under set-theoretic operations.

つづく

つづき

Existence of a proper class of inaccessibles
As is the case for the existence of any inaccessible cardinal, the inaccessible cardinal axiom is unprovable from the axioms of ZFC. Assuming ZFC, the inaccessible cardinal axiom is equivalent to the universe axiom of Grothendieck and Verdier: every set is contained in a Grothendieck universe. The axioms of ZFC along with the universe axiom (or equivalently the inaccessible cardinal axiom) are denoted ZFCU (not to be confused with ZFC with urelements). This axiomatic system is useful[clarification needed] to prove for example that every category has an appropriate Yoneda embedding.
(google訳)
到達不能基数の真のクラスの存在
任意の到達不能基数の存在と同様に、到達不能基数の公理はZFCの公理系からは証明できません。ZFCを前提とすると、到達不能基数の公理はグロタンディーク・ヴェルディエの宇宙の公理（任意の集合がグロタンディーク宇宙に含まれるというもの）と同値になります。ZFCの公理系に宇宙の公理（あるいは同値な到達不能基数の公理）を加えたものはZFCUと表記されます（ウアエレメントを含むZFCと混同しないよう注意が必要です）。この公理系は、例えば任意の圏が適切な米田埋め込みを持つことを証明する際などに有用です。
(引用終り)
以上

>>421
>クンマー理論は良く知らないんですよね(汗)
>ガロア理論は難しいですから。

ニコ君か
いや、クンマー理論は 本来は クンマーさんが フェルマー最終定理の
部分解決に 理想数（現在のイデアル論）を導入したときから始るんだよ

それを後世の人が ガロア理論に
取り込んだんだよ

クンマー理論自身が何を意味するか？
現代数学では いろいろ発展があるから
多義だね（人によって意味が違う）

>>423
君も諦めが悪いね

>通常の基数の定義：ZFCで存在が証明できる基数 例 ω、R(=2^ω)など 可算無限ωから始めて 冪を超限回とって実現できる基数（超限回とは 全ての順序数を尽くすこと）
全ての順序数には強到達不能基数も入ってますけど？
強到達不能基数の存在はZFCで証明できませんけど？　不完全性定理に反しますから。
ちょっと何言ってるか分かりません

>>>いま、到達不能基数κが ノイマン宇宙Vの内部だと考えると
>>考えなくても定義からκ∈V
>違うよ
違わないよ

>上記の通り 到達不能基数κは、ZFCで存在が証明できない基数
>数学者は、存在が証明できない場合は 存在するとは言わない
数学者はZFCからVの存在証明が可能なんて言ってませんけど？　あなたの妄想です。

>その場合、存在を言いたいとき 公理を立てる（無限公理で無限集合を実現するのと同じ）
じゃあVが存在するという公理を立てれば解決
まあ実際にはVが存在するための必要条件を満足する別の形の公理でしょうけど

>>>一致したら 新しい基数を加えたことにならない
>>加えなくてよい　最初から全部入ってる
>いいや
>上記の通り 無限集合の存在は 無限公理を おかないと証明できない
公理を置いていいならVの存在も証明できますけど？

>>424
>>（αが極限順序数の時のVαは冪じゃ無いのにね）
>いいや！（＾＾
>Vαは冪です！！
大嘘。
αが極限順序数のとき Vα:=[β<α]Vβ。つまり和集合。

>極限順序数でない順序数を作るのは 和集合による演算（下記）
大嘘。
αが後続順序数のとき Vα:=2^(Vα-1)。つまりべき集合。

このレベルの定義も確認できないとか、君、池沼？

>おお、Inaccessible cardinalのen.wikipedia記事に
>”Existence of a proper class of inaccessibles”
>「到達不能基数の公理はグロタンディーク・ヴェルディエの宇宙の公理（任意の集合がグロタンディーク宇宙に含まれるというもの）と同値になります」
>「この公理系は、例えば任意の圏が適切な米田埋め込みを持つことを証明する際などに有用です」
>なるほど・・・ メモメモｗ（＾＾
いくらメモしても誤読してるから無意味。
「任意の集合がある一つのグロタンディーク宇宙に含まれる」は大誤読。
「任意の集合xに対してx∈Uを満たすグロタン宇宙Uが存在する」が正読。

>「任意の集合がある一つのグロタンディーク宇宙に含まれる」は大誤読。
こういうアホ誤読してるから V⊂U とか妄想口走っちゃうんですね？分かります

>「任意の集合がある一つのグロタンディーク宇宙に含まれる」
が本当ならたちまち矛盾します。「集合全体の集まりは集合」と言ってることになりますから。
こんな簡単なことに気付けない絶望的数学センスじゃ数学は無理なので諦めましょう

>αが極限順序数のとき Vα:=[β<α]Vβ。つまり和集合。
αが極限順序数のとき Vα:=∪[β<α]Vβ。つまり和集合。

なげーよ

>>428
ですね
彼の人はVωは何の冪だと思ってるのかな？

（超限回も定義を正しく認識してないかも）

５次方程式の解は冪根√ で書けない（MatheqQ)
https://www.youtube.com/watch?v=5QxIvMB1JjU

×　∃U.∀x:(x∈U)
〇　∀x.∃U:(x∈U)
論理が分からぬ馬鹿に数学は無理

(ε∀ε)　(εωε)

>×　∃U.∀x:(x∈U)
仮にこれが正しいなら、U∈Uも2^U⊂Uも言える。
数学センスゼロなので諦めましょう。

>>426
＞クンマー理論自身が何を意味するか？

ん？wikipediaを丸コピペしないの？ｗ

ーーー
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%B3%E3%83%9E%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
抽象代数学や数論で、クンマー理論(Kummer theory)は、
基礎体の元の n 乗根の添加が関わっている、
あるタイプの体の拡大を記述する理論である。

クンマー拡大(Kummer extension)とは、
ある与えられた整数 n > 1 に対し
次の条件を満たすような体の拡大 L/K のことを言う。

・K は、n 個の異なる1のn乗根（つまり、Xn−1 の根）を含む。
・L/K はexponent n の可換ガロア群を持つ。

より一般的に、K が n 個の異なる 1 の n 乗根を含むとき、
K の任意の元 a の n 乗根をK に添加するとクンマー拡大をなす。

ここでできる体は多項式 X^n − a の分解体であるため、
クンマー拡大は必然的にガロア拡大となり、ガロア群は巡回群となる。

クンマー理論(Kummer theory)は上記の逆の命題をもたらす。
K が n 個の異なる 1 の n 乗根を持っているとすると、
exponent が n を割るような K の任意のアーベル拡大は、
K の元の冪根をとることにより作られる。

さらに、K× で K のゼロではない元全体のなす乗法群を表すとすると、
exponent が n である K のアーベル拡大は、
K×/(K×)^n、つまり K× の元を n 乗して得られる部分群による剰余群
の部分群に全単射で対応する。

（つづく）

>>439のつづき
対応関係は次のように明確に記述することができる。

部分群 Δ⊆K×/(K×)^n が与えられると、
対応する体の拡大は K(Δ^(1/n)) で与えられる。ここで、
Δ^(1/n)={n√a:a∈K×,a⋅(K×)^n∈Δ}　とする。
実際には、群 Δ の任意の生成集合について、
それぞれの元から代表をひとつとって、
その n 乗根を添加すれば十分である。

逆に、L を K のクンマー拡大とすると、Δ は
Δ=K×∩(L×)^n
という規則により復元される。

この場合には、クンマー・ペアリング(Kummer pairing)と呼ばれる同型
Δ≅Hom c(Gal⁡(L/K),μn) が、
a↦(σ↦σ(α)/α)
により与えられる。
ここに、α は L の元 a の n 乗根である。
また μn は 1 の n 乗根がなす乗法群であり、 K に含まれる。

もし拡大 L/K が有限次拡大であれば、
Gal⁡(L/K) は有限離散群であり、同型
Δ ≅ Hom(Gal⁡(L/K),μn) ≅ Gal(L/K)
が得られる。

ここで、最後の同型は自然ではない。

方程式f(x)=0に対して、その根の巡回置換σが分かれば
あるaが存在して、aのn乗根αが等式
σ(α)/α＝ω　(原始ωは1のn乗根）
を満たし、根はすべてαを使った式で表せる

αは実は方程式の根の一つをrとすれば
α=r+ω^(-1)σ(r)+…+ω^(-n+1)σ^(n-1)(r)
で表せる

σ(α) = σ(r)+ω^(-1)σ^2(r)+…+ω^(-n+1)r = ωα

>>431-433 訂正
(引用開始)
>αが極限順序数のとき Vα:=[β<α]Vβ。つまり和集合。
αが極限順序数のとき Vα:=∪[β<α]Vβ。つまり和集合。
(引用終り)

スマンかった >>424-425が
中途半端で間違っていた
やっぱ コピペが正確だったよ（＾＾；

あらためて下記コピペな
要するに
１）Von Neumann universe Vは、”ふつう”の順序数αに関すること！！
２）後者をもつ順序数β+1では 直前のVβのべきVβ+1:=P(Vβ)
３）limit ordinal λ（つまりは基数λ）では、それ未満の全ての和 Vλ:=⋃ β<λ Vβ
４）そして Von Neumann universe Vは class V で V:=⋃ α Vα つまりは ふつうの順序数αを渡る Vαの和（これはclassでっせと）

さて、到達不能基数κは ふつうの順序数αの仲間ではありませんね
到達不能基数κは ふつうの順序数αよりも大
ゆえに、到達不能基数κは Von Neumann universe Vの外！！！

これをご確認願いますｗ　（＾＾
おわったなｗｗ


(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Von Neumann universe
Definition
The cumulative hierarchy is a collection of sets Vα indexed by the class of ordinal numbers; in particular, Vα is the set of all sets having ranks less than α. Thus there is one set Vα for each ordinal number α. Vα may be defined by transfinite recursion as follows:

・Let V0 be the empty set:
V0:=∅.
・For any ordinal number β, let Vβ+1 be the power set of Vβ:
Vβ+1:=P(Vβ).
・For any limit ordinal λ, let Vλ be the union of all the V-stages so far:
Vλ:=⋃ β<λ Vβ.
A crucial fact about this definition is that there is a single formula φ(α,x) in the language of ZFC that states "(α is an ordinal and) the set x is in Vα".
The sets Vα are called stages or ranks.

The class V is defined to be the union of all the V-stages:
V:=⋃ α Vα.

>>442
(引用開始)
３）limit ordinal λ（つまりは基数λ）では、それ未満の全ての和 Vλ:=⋃ β<λ Vβ
到達不能基数κは ふつうの順序数αよりも大
(引用終り)

補足すると
１）到達不能基数κは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
２）基数なので κは 集合

１）２）を合わせると
到達不能基数κは、
全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む 集合なり〜！！ｗ

基礎論屋さんは、面白いことを考えるね
想像力豊かな人たちなのだろうよ （＾＾

>>443 訂正

１）到達不能基数κは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
　↓
１）到達不能基数κのVκは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む


到達不能基数κは、
　↓
到達不能基数κのVκは、

（＾＾

AIに聞いたら、フォンノイマン宇宙の中に入れ子構造を作る話だって
言ってたぞ？ だから、当然フォンノイマン宇宙に含まれる。
なんで入れ子構造にするかというと、ラッセルのパラドックスを避けるため。
しかし、通常の集合の演算では閉じているくらいには大きい必要
があるため、到達不能基数が登場する。あるグロタン宇宙の集合の全体を
取ると、それは外側の宇宙の集合として捉えられるというわけ。

>>442
>１）Von Neumann universe Vは、”ふつう”の順序数αに関すること！！
大嘘。
君の言うふつう＝ZFCで存在証明可能　でしょ？
ZFCで存在証明できるVαがZFCのモデルなら完全性定理＋不完全性定理に反します。初歩から分かってない。

>２）後者をもつ順序数β+1では 直前のVβのべきVβ+1:=P(Vβ)
だからそう言ってるじゃん
「後者をもつ順序数」じゃなく「後続順序数」。自分が誰かの後者。いかなる順序数も後者を持つから意味・正誤がまったく違ってくるよ。言葉は正確に。

>３）limit ordinal λ（つまりは基数λ）では、それ未満の全ての和 Vλ:=⋃ β<λ Vβ
極限順序数は一般に基数じゃないよ。一方、基数は始順序数かつ始順序数は基数。君ボロボロだね。

>４）そして Von Neumann universe Vは class V で V:=⋃ α Vα つまりは ふつうの順序数αを渡る Vαの和（これはclassでっせと）
大嘘
ふつうの順序数じゃなくすべての順序数
The class V is defined to be the union of all the V-stages

>さて、到達不能基数κは ふつうの順序数αの仲間ではありませんね
>到達不能基数κは ふつうの順序数αよりも大
>ゆえに、到達不能基数κは Von Neumann universe Vの外！！！
大嘘
Vはすべての順序数についての階層の総和だからκ∈V

>これをご確認願いますｗ　（＾＾
大嘘であることを確認しますた

>おわったなｗｗ
君の頭が？

>>443
>補足すると
嘘に補足しても嘘

>１）到達不能基数κは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
任意の無限基数は無限始順序数、任意の無限始順序数は極限順序数だから和になるのはあたりまえ。
和を含むじゃなく和。
それ未満のすべての順序数。「ふつう」は要らない。ふつう＝ZFCで存在証明可能という意味ならそもそも間違い。
κではなくVκがVαたちの和。
ボロボロ。

>２）基数なので κは 集合
いわずもがな

>１）２）を合わせると
>到達不能基数κは、
>全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む 集合なり〜！！ｗ
大嘘。
グロタン宇宙がいくらでもあるのと同じで到達不能基数もいくらでもある。「到達不能基数より小さい基数はZFCで存在証明可能」は言えない。
でまたVκとκを混同してる。
ボロボロ。

>基礎論屋さんは、面白いことを考えるね
>想像力豊かな人たちなのだろうよ （＾＾
初歩から分かってないのに面白がるって頭イカレテる？

>>444
>>>443 訂正
>１）到達不能基数κは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
>　↓
>１）到達不能基数κのVκは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
大間違い。
Vκは基数ではない。実際、非順序数を元に持っているから順序数になり得ない。
訂正して悪化する人も珍しい。

>>445
ノイマン宇宙の階層間で Vα∈Vα+1∧Vα⊂Vα+1 が成り立つ。その意味で入れ子構造となっている。
ラッセルのパラドックスを避けるためVは真クラスである必要がある。仮に集合とすると分出公理から集合 {x∈V|¬x∈x} の存在が言えてラッセルのパラドックスが起きる。
入れ子構造とラッセルのパラドックス回避は無関係。

>あるグロタン宇宙の集合の全体を取ると、それは外側の宇宙の集合として捉えられるというわけ。
意味が取れないんだけど グロタン宇宙U∈ノイマン宇宙V という意味ならその通り。但しUが整礎でない場合は不成立。

>>442-444 補足

集合とクラスの境界：
それは 公理系に依存する
下記の”フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG) ”ご参照
要するに、ある公理系でクラスでも ZFCでは集合たりうる
逆に ZFCでは集合たりえずクラスあっても
他の公理系 例えば Tarski–Grothendieck set theory では集合となることは 不思議ではない■

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%E2%80%93Grothendieck_set_theory
Tarski–Grothendieck set theory
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann%E2%80%93Bernays%E2%80%93G%C3%B6del_set_theory
Von Neumann–Bernays–Gödel set theory
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%8A%E3%82%A4%E3%82%B9%EF%BC%9D%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG) とはツェルメロ＝フレンケル集合論＋選択公理 (ZFC)の保存拡大である公理的集合論である。NBGでは、量化子の範囲を集合に限定した論理式によって定義される集合の集まりとして、クラスの概念を導入する。NBGは、すべての集合というクラスやすべての順序数というクラスといった、集合よりも大きいクラスを定義できる。モース＝ケリー集合論 (MK) は量化子の範囲がクラスである論理式によるクラスの定義を許容する。NBGは有限公理化できる一方、ZFCやMKではできない。

NBGのキーとなる定理はクラスの存在定理である。
略

ジョン・フォン・ノイマンは1925年に集合論にクラスを導入した。彼の理論の原始概念は関数と引数であった。これらの概念を用いて、フォン・ノイマンはクラスと集合を定義した。[1] パウル・ベルナイスはクラスと集合を原始概念とすることで、フォン・ノイマンの理論を再定式化した。[2] クルト・ゲーデルは、選択公理の相対的無矛盾性の証明と一般連続体仮説を用いてベルナイスの理論を単純化した。[3]

集合論におけるクラス
クラスの使用例
NBGにおいてクラスはいくつかの使用例がある：
略
公理図式とクラス存在定理
ZFCの言葉にクラスが加えられれば、ZFCをクラス付きの集合論に変換するのが容易になる。まず、クラス解釈の公理図式を加える。この公理図式は以下の通り：
略
この理論は有限公理化されない。ZFCの置換公理図式は一つの公理で置き換えられるが、クラス解釈の公理はZFCに導入されていないからである。

この理論を有限個の公理で構築するには、まずクラス解釈の公理を有限個のクラス外延性の公理で置き換える。するとこれらの公理は、公理系中のどの公理をも含意するクラス存在定理に用いられる。[8] この理論の証明には 7 つのクラス存在公理があれば十分である。これらのクラス存在公理は、論理式の構成から論理式を満たすクラスの構成へ変換するのに用いられる。

NBGの公理化
クラスと集合
NBGにはクラスと集合という 2 種類の対象がある。直感的には、どの集合も同時にクラスである。これを公理化する方法は 2 通り存在する。
略

>>448
(引用開始)
>１）到達不能基数κは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
>　↓
>１）到達不能基数κのVκは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
大間違い。
Vκは基数ではない。実際、非順序数を元に持っているから順序数になり得ない。
訂正して悪化する人も珍しい。
(引用終り)

確かに
では再訂正する

>>444 再訂正
１）到達不能基数κのVκは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
　↓
１）到達不能基数κのVκは、到達不能基数κのステージなので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む 集合である

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Definition
The sets Vα are called stages or ranks.
訳
集合V αはステージまたはランクと呼ばれます。

>>445
(引用開始)
AIに聞いたら、フォンノイマン宇宙の中に入れ子構造を作る話だって
言ってたぞ？ だから、当然フォンノイマン宇宙に含まれる。
なんで入れ子構造にするかというと、ラッセルのパラドックスを避けるため。
しかし、通常の集合の演算では閉じているくらいには大きい必要
があるため、到達不能基数が登場する。あるグロタン宇宙の集合の全体を
取ると、それは外側の宇宙の集合として捉えられるというわけ。
(引用終り)

ありがと
最近のAIさん、賢い
ほぼ正しい
というか 壁打ち会話を繰り返せば
もっと正確になるだろう
『ラッセルのパラドックスを避けるため。
しかし、通常の集合の演算では閉じているくらいには大きい必要
があるため、到達不能基数が登場する。あるグロタン宇宙の集合の全体を
取ると、それは外側の宇宙の集合として捉えられるというわけ。』
ここが キモだね

ま、AIにも調子があるから。批判的に「これでいい？」と聞くと
より正確に見てくれる。「ラッセルのパラドックスを回避するため」
という目的は誤り。なぜなら、ZFCですでに回避されているから。
集合のサイズ問題を解決するためらしい。

>>450
>集合とクラスの境界：
>それは 公理系に依存する
それ>>397のパクリやん
君、そういうとこは抜け目無いな　数学の勉強に抜け目無くなれよ

>>451
>１）到達不能基数κのVκは、到達不能基数κのステージなので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む 集合である
理由を分かってる？　書いてみて

>>455
というか「ふつう」がある時点で大間違い。
君の言う「ふつう」＝ZFCで存在証明可能　でしょ？　間違いです。

再訂正しても大間違いで草　馬鹿に付ける薬無し

sageろ

>>458
お前うるさい

>The sets Vα are called stages or ranks.
>訳
>集合V αはステージまたはランクと呼ばれます。
君はアホなの？

>>452
>ほぼ正しい
初歩の初歩から分かってない君に正誤は判定不可能
口をつぐんで一から勉強しなさい

>『ラッセルのパラドックスを避けるため。
>しかし、通常の集合の演算では閉じているくらいには大きい必要
>があるため、到達不能基数が登場する。あるグロタン宇宙の集合の全体を
>取ると、それは外側の宇宙の集合として捉えられるというわけ。』
>ここが キモだね
キモ広すぎて草

>>453
>「ラッセルのパラドックスを回避するため」
>という目的は誤り。なぜなら、ZFCですでに回避されているから。
ZFCで回避されているとなぜVが回避できることになるの？
そもそも君、ZFCとVの関係を正確に言える？　言ってみて

中学1年生が
>The sets Vα are called stages or ranks.
>訳
>集合V αはステージまたはランクと呼ばれます。
と書けば、君、よく勉強してるなと褒められる
大の大人が書いても、アホ？と言われるだけ