ガロア理論を理解したい

何から始めればいいですか

>>445
ノイマン宇宙の階層間で Vα∈Vα+1∧Vα⊂Vα+1 が成り立つ。その意味で入れ子構造となっている。
ラッセルのパラドックスを避けるためVは真クラスである必要がある。仮に集合とすると分出公理から集合 {x∈V|¬x∈x} の存在が言えてラッセルのパラドックスが起きる。
入れ子構造とラッセルのパラドックス回避は無関係。

>あるグロタン宇宙の集合の全体を取ると、それは外側の宇宙の集合として捉えられるというわけ。
意味が取れないんだけど グロタン宇宙U∈ノイマン宇宙V という意味ならその通り。但しUが整礎でない場合は不成立。

>>442-444 補足

集合とクラスの境界：
それは 公理系に依存する
下記の”フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG) ”ご参照
要するに、ある公理系でクラスでも ZFCでは集合たりうる
逆に ZFCでは集合たりえずクラスあっても
他の公理系 例えば Tarski–Grothendieck set theory では集合となることは 不思議ではない■

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%E2%80%93Grothendieck_set_theory
Tarski–Grothendieck set theory
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann%E2%80%93Bernays%E2%80%93G%C3%B6del_set_theory
Von Neumann–Bernays–Gödel set theory
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%8A%E3%82%A4%E3%82%B9%EF%BC%9D%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG) とはツェルメロ＝フレンケル集合論＋選択公理 (ZFC)の保存拡大である公理的集合論である。NBGでは、量化子の範囲を集合に限定した論理式によって定義される集合の集まりとして、クラスの概念を導入する。NBGは、すべての集合というクラスやすべての順序数というクラスといった、集合よりも大きいクラスを定義できる。モース＝ケリー集合論 (MK) は量化子の範囲がクラスである論理式によるクラスの定義を許容する。NBGは有限公理化できる一方、ZFCやMKではできない。

NBGのキーとなる定理はクラスの存在定理である。
略

ジョン・フォン・ノイマンは1925年に集合論にクラスを導入した。彼の理論の原始概念は関数と引数であった。これらの概念を用いて、フォン・ノイマンはクラスと集合を定義した。[1] パウル・ベルナイスはクラスと集合を原始概念とすることで、フォン・ノイマンの理論を再定式化した。[2] クルト・ゲーデルは、選択公理の相対的無矛盾性の証明と一般連続体仮説を用いてベルナイスの理論を単純化した。[3]

集合論におけるクラス
クラスの使用例
NBGにおいてクラスはいくつかの使用例がある：
略
公理図式とクラス存在定理
ZFCの言葉にクラスが加えられれば、ZFCをクラス付きの集合論に変換するのが容易になる。まず、クラス解釈の公理図式を加える。この公理図式は以下の通り：
略
この理論は有限公理化されない。ZFCの置換公理図式は一つの公理で置き換えられるが、クラス解釈の公理はZFCに導入されていないからである。

この理論を有限個の公理で構築するには、まずクラス解釈の公理を有限個のクラス外延性の公理で置き換える。するとこれらの公理は、公理系中のどの公理をも含意するクラス存在定理に用いられる。[8] この理論の証明には 7 つのクラス存在公理があれば十分である。これらのクラス存在公理は、論理式の構成から論理式を満たすクラスの構成へ変換するのに用いられる。

NBGの公理化
クラスと集合
NBGにはクラスと集合という 2 種類の対象がある。直感的には、どの集合も同時にクラスである。これを公理化する方法は 2 通り存在する。
略

>>448
(引用開始)
>１）到達不能基数κは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
>　↓
>１）到達不能基数κのVκは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
大間違い。
Vκは基数ではない。実際、非順序数を元に持っているから順序数になり得ない。
訂正して悪化する人も珍しい。
(引用終り)

確かに
では再訂正する

>>444 再訂正
１）到達不能基数κのVκは、基数なので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む
　↓
１）到達不能基数κのVκは、到達不能基数κのステージなので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む 集合である

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Definition
The sets Vα are called stages or ranks.
訳
集合V αはステージまたはランクと呼ばれます。

>>445
(引用開始)
AIに聞いたら、フォンノイマン宇宙の中に入れ子構造を作る話だって
言ってたぞ？ だから、当然フォンノイマン宇宙に含まれる。
なんで入れ子構造にするかというと、ラッセルのパラドックスを避けるため。
しかし、通常の集合の演算では閉じているくらいには大きい必要
があるため、到達不能基数が登場する。あるグロタン宇宙の集合の全体を
取ると、それは外側の宇宙の集合として捉えられるというわけ。
(引用終り)

ありがと
最近のAIさん、賢い
ほぼ正しい
というか 壁打ち会話を繰り返せば
もっと正確になるだろう
『ラッセルのパラドックスを避けるため。
しかし、通常の集合の演算では閉じているくらいには大きい必要
があるため、到達不能基数が登場する。あるグロタン宇宙の集合の全体を
取ると、それは外側の宇宙の集合として捉えられるというわけ。』
ここが キモだね

ま、AIにも調子があるから。批判的に「これでいい？」と聞くと
より正確に見てくれる。「ラッセルのパラドックスを回避するため」
という目的は誤り。なぜなら、ZFCですでに回避されているから。
集合のサイズ問題を解決するためらしい。

>>450
>集合とクラスの境界：
>それは 公理系に依存する
それ>>397のパクリやん
君、そういうとこは抜け目無いな　数学の勉強に抜け目無くなれよ

>>451
>１）到達不能基数κのVκは、到達不能基数κのステージなので それ未満の 全ての ふつうの順序数α たちの Vαの和 を含む 集合である
理由を分かってる？　書いてみて

>>455
というか「ふつう」がある時点で大間違い。
君の言う「ふつう」＝ZFCで存在証明可能　でしょ？　間違いです。

再訂正しても大間違いで草　馬鹿に付ける薬無し

sageろ

>>458
お前うるさい

>The sets Vα are called stages or ranks.
>訳
>集合V αはステージまたはランクと呼ばれます。
君はアホなの？

>>452
>ほぼ正しい
初歩の初歩から分かってない君に正誤は判定不可能
口をつぐんで一から勉強しなさい

>『ラッセルのパラドックスを避けるため。
>しかし、通常の集合の演算では閉じているくらいには大きい必要
>があるため、到達不能基数が登場する。あるグロタン宇宙の集合の全体を
>取ると、それは外側の宇宙の集合として捉えられるというわけ。』
>ここが キモだね
キモ広すぎて草

>>453
>「ラッセルのパラドックスを回避するため」
>という目的は誤り。なぜなら、ZFCですでに回避されているから。
ZFCで回避されているとなぜVが回避できることになるの？
そもそも君、ZFCとVの関係を正確に言える？　言ってみて

中学1年生が
>The sets Vα are called stages or ranks.
>訳
>集合V αはステージまたはランクと呼ばれます。
と書けば、君、よく勉強してるなと褒められる
大の大人が書いても、アホ？と言われるだけ

要するに人間的成長が中学で止まっている
歳だけ無駄に食った中学生

まだ中学生
ためになったね～w

>>461
彼の人は数学理解に到達不能のようです

アキレスは亀に追いつけない。

アキレス腱が切れたからw

荒らしに反応するのも荒らし

自分を荒らしと認めたw

放置すると気になってしまうような暇人。

煽る暇がある暇人w

（自演は止めて欲しいね）