ガロア理論を理解したい

>>483
>いや、ふつうのガロア理論でいつでもとけるといってるのはしたの体がすべての１のべき根を持ってる場合でそうでなく円分体そのものをガロア理論で研究する場合は、「いつでもとける」などということは成立しない。もちろん「z^n - a の解を添加していく」という意味では成立するけどその意味だとトートロジーにしかならない。よって円分体の理論にガロア理論を応用する場合にはそんなコンテキストで利用することはないはず

えーと
下記 円分体
”任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である”
この事実から 円分方程式は べき根を使って解くことができることが従う

キーワード”アーベル群”がキモな
（おっちゃんに 「アーベルだから・・」と略して きどって言ったら 伝わらなかった故事を思い出すよ（＾＾）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
円分体 (えんぶんたい、英: cyclotomic field) は、有理数体に、1 の
{\displaystyle m(>2)} 乗根
{\displaystyle \textstyle \zeta (\neq \pm 1)} を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。

以下において、特に断らない限り、
{\displaystyle \zeta _{n}=e^{2\pi i/n}} とする。

性質
・任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である。

ガロア理論の教科書でもガロア拡大が
単項拡大⇔ガロア群が巡回群
というふつうのガロア理論の初心者むけ教科書にのってる定理はしたの体が１のべき根全部含んでいる場合にしか載せてる教科書はみたことない。実際 cos(2π/7) + isin(2π/7) とか表示するとき複素のべき根を添加する操作をおこなわないかぎり不可能のはず。しかしそれだとそもそもが1の７乗根なのだからそれをゆるすとトートロジーにしかならない
できるなら cos(2π/7) + isin(2π/7) を実のべき根と i だけで表示してみせてほしい。

あ、単項拡大じゃないな。x^n -a (a∈したの体) の分解体。

>>487
そもそもべき根解法に「実のべき根」なんて制約はない。
1の7乗根は、まず平方根を開いて1の原始3乗根ωを得る。
次に、Q(ω)上の数の3乗根を開くことで解ける。
もし知らなかったなら、「理解が浅かった」ということ。

>>487
失礼。正確には、まずcos(2π/7)が、Q(ω)上の数の3乗根
を開くことで得られる。sin(2π/7)を得るにはさらに√7が必要。
したがって、exp(2πi/7)を得るには、Q(ω)上の数の3乗根
及び √7 i が必要。

だから 3 乗根はできる。「このように」というのが「どのように」なのかわからない。
「
cos(2π/3) + i sin(2π/3) = -1/2 + √3/2 i
***のように***可能
」
というなら右辺の展開の形が「どのように」制限をうけているのか書かないと数学の主張にならない。「実のべき根を添加していく操作と i のみ」というのは一つの制限のかけ方だけどそれだと n の素因子が Fermat 素数で奇素数の多重度が１の場合、つまり「作図可能のばあい」と同じになってしまう。
***のように*** の部分の制限を述べてください。

x^7-1は既約ではない。x=1を解として持つから。
pが素数のとき、(x^p-1)/(x-1)は既約であり次数はp-1.
この根の一つをζとおく。Qに1のp-1乗根をすべて添加
した体をkとおくと、k(ζ)/kはクンマー拡大であり
べき根の添加で得られる。べき根の根指数は
p-1の約数に制限される。
このように、すべてpより小さい根指数に帰着される。

ガウスが示したように1の冪乗根は常に冪根を使って表せるので、
今の教科書では、係数体は1の任意の冪根を最初から持つと仮定
してもよく、そうにした方が記述が楽になるので、そのような
仮定を設けている。ラグランジュの分解式で1の冪根を使うなど。

ガウスが示したように1の冪乗根は常に冪根を使って表せるので

これの意味をきいています。すでに述べた通り「べき根」が「実のべき根」の場合は成立しません。「複素のべき根」をゆるす場合はトートロジーになります。トートロジーでもなく、いつでもできるという主張をくずさない「べき根」の意味をおしえてください。

>係数体は1の任意の冪根を最初から持つと仮定
>してもよく、

方程式のべき根解法について論じるならね。
しかし、誰かも言っていたように、現代的には
べき根解法なんてさして重要性はないのであり、
代数の教科書で、基礎体に「予め1のべき根を
添加しておく」という設定がないのに、勝手に
そう読むのは誤り。

>>475
(引用開始)
最小の到達不可能基数をκとする
到達不可能基数が存在しないなら
Vκ＝Vなので　
Vκ⊊U⊊Vとなるグロタンディク宇宙Uは存在しない
到達不可能基数が存在し、なおかつ一つではないなら
κ≦λなる到達不可能基数λについて
Vλ＝Uとなるグロタンディク宇宙が存在し
Vκ⊆U⊊V
（完）
(引用終り)

何時までたっても分からない ・・
そんな人って あるだろうか？ （ザ・ブルーハーツ「情熱の薔薇」）
特に断りが無ければ、到達不可能基数は ZFC公理系の外だよ
ゆえに ZFCの世界 ノイマン宇宙Vの外だよ
”何時までたっても分からない そんな人って あるだろうか？ ”ｗｗｗ（＾＾

＜AI より＞： ザ・ブルーハーツの「情熱の薔薇」の冒頭の歌詞は、「永遠なのか本当か 時の流れは続くのか いつまで経っても変わらない そんな物あるだろうか」です

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%82%AD%EF%BC%9D%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
タルスキ＝グロタンディーク集合論（英: Tarski–Grothendieck set theory、略称 TG）は、数学者 アルフレト・タルスキ と アレクサンドル・グロタンディーク にちなんで末ｼ付けられた公覧搏I集合論の体血nである。ツェャ泣＜香＜tレンャPル集合論（ZFC）の非保存的拡大であり、「各集合に対しそれが属する“タルスキ宇宙”が存在する」と述べるタルスキの公理を含む点で、他の公理的集合論と区別される（後述）。タルスキの公理は到達不能基数の存在を含意し、ZFC より豊かな存在論を与える。例えば、この公理を追加することで圏論を支えることができる。
Mizar システムおよび Metamath は、証明の形式的検証（英語版）にタルスキ＝グロタンディーク集合論を用いる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）。
グロタンディーク宇宙と到達不能基数

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%B0%E9%81%94%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%9F%BA%E6%95%B0
到達不能基数
モデルと無矛盾性
κを基数としよう。ZFCの下では、κ が強到達不能であるときフォン・ノイマン宇宙のκ階層集合Vκ がZFCのモデルになる。 ZFの下では、κ が弱到達不能であるとき構成可能集合のLκ がZFCのモデルになる。 よって、ZF+"弱到達不能基数が存在する"はZFCが無矛盾であることを導き、不完全性定理よりその存在はZFCで証明できない。 つまり、到達不能基数は巨大基数の一種である。

たとえば1の7乗根ならζ = cos(2πi/7) + i sin(2πi/7) として
a = ζ + ζ^2 - 2ζ^3 + ζ^4 - 2ζ^5 - 2ζ^6
とすれば
a^3 = (-13 + 3√-7)/2
であってQ(√(-7)) の元の3乗根で生成されるけどこれは複素数の３乗根を添加して得られる。
これを「1 の原始7乗根もべき根をQに添加していってできる」...(☆)と表現してしまった場合トートロジーにしかならない。もちろんこの a の3乗根でζ_7 が表示できるというのは面白い結果ではあるけどそれを(☆)のように表現してトートロジーにしかおもえない以外の方法でのべる方法をみたことがない

>>496
>何時までたっても分からない ・・
>そんな人って あるだろうか？ （ザ・ブルーハーツ「情熱の薔薇」）
ある、君

>特に断りが無ければ、到達不可能基数は ZFC公理系の外だよ
誰もZFCで存在証明可能と言ってない　妄想

>ゆえに ZFCの世界 ノイマン宇宙Vの外だよ
なんでVにはZFCで存在証明可能な集合しか含まれないの？　妄想

>”何時までたっても分からない そんな人って あるだろうか？ ”ｗｗｗ（＾＾
ある、君

思うになぜこんな変な主張がネットで跋扈するのかといえば、ガロア理論がもともとの「Q にべき根(複素のべき根を許す)を添加した体で方程式がとけるのはいつか」という問題にたいする応用と「１の原始べき根を添加して得られる体はいかなる構造をもつか」というまったくべつのテーマへの応用があって、それらにつかわれる用語がほとんどおなじでみわけがつかないで、それぞれの理論での結果が混同してのべられることが多いからじゃないかと思う。
１のべき根がそれより次数のちいさい複素のべき根を加える操作で得られることは正しいけど、それを「べき根をQに添加していってできる」と表現するからおかしなことになる

クロマニヨン人は数学できないかw
ギリギリガガンガン♪

>>483
1の7乗根は、1の3乗根を使って表せる
1の3乗根は、iを使って表せる

>>487
iを使うにしても複素のべき根は使わざるを得ない
つまり根号の中身が複素数になることは避けられない

>>494
https://mathlog.info/articles/3161

上記ページのn=7、11のところを見てください

n=11の場合、5次方程式を解くことになりますが、複素数の５乗根を使って表せます

何度でも繰り返しますが、
実数のべき根とｉだけでは表せませんし
いままでどこの誰もそんな発言はしていません

>>497-499
１のｎ乗根は、ｎ＞ｍなる１のｍ乗根と、ｍ乗根号を使って表せる
これを反復すれば、ｍ＞２を満たす１のｍ乗根が全く現れない式にすることは勿論できる
したがってその場合、複素数のべき根だけで表せる

なお、ガロア群が位数ｍの巡回群のときに、
たかだかｍ乗根号で表せるとする場合に
１のｍ乗根を使うしかないので
そういうことになっている

文句はラグランジュかクンマーに言ってくれ
まあ、二人ともこういうと思うが

「オレがそうしたわけではない
理屈がそうなってるから
どうしようもない」

もちろんいろんなおもしろい構造をもってることは知っています。
しかしガロアの元の理論があたかもクンマーの円分体の理論でもそのままの文章で成立するかのような主張を平気でする主張がネットでは跋扈しています。
「円分体の元はガロア群が可解なのでべき根を添加していけば得られる」
などという主張は二つの理論を混同しています。
そしてこれはもちろん「複素のべき根を添加していけば」の意味にとれば間違ってる主張ではないでしょう。しかしこれはトートロジーでしかなく、ガロア理論のちがう側面での研究を混同した文言といわざるを得ません。
そしてそのn=11の非自明な関係式もネットでよくでてくる面白い例ですが、この場合もGal(\mathbb{Q}(ζ_11)/\mathbb{Q}) が10次巡回群で10の唯一の奇素因子がフェルマー素数で構成されていることに起因する例です。
実際n=7のとき複素の３乗根がはいってるでしょ？

あ、まちがった。ζ_11 もだめですね。これも複素のべき根を添加しない限り不可能ですね。ただしそのとき添加するべきは１１未満のものがとれるというのはただしい。しかし
「ζ_11 は\mathbb{Q}に複素のべき根を添加していけばつくれる」
は意味のないトートロジーにしかならない

＞「円分体の元はガロア群が可解なのでべき根を添加していけば得られる」

得られますよ

ところで、n=11の場合も、複素の５乗根がはいってますよ
そう書いてあるのが、あなたには見えませんか？

ついでにいうと、1の7等分点のcosだけ根にしてる場合
当然ながら根は全部実数なので、
有理数体Qに、ある実数だけ追加すればいい筈なんですが
その実数が複素数のべき根を使って表される、というのが・・・（笑）

なぜ、複素のべき根というだけで
「意味のないトートロジー」
と誤解するのかわからない

複素のべき根が嫌いなのは分かりますけどね・・・
私もそんなに好きじゃない（笑）

円分体の構造をガロア理論をつかって調べる理論は現代数論の最重要テーマだけど、そこで行われてるのは「１のべき根をそれより小さいべき根で表示したらどうなるか」というのもあるかもしれないけどそれはそんなにメジャーな話じゃないとおもう。ラマヌジャンは好きだったみたいだけど。
やっぱりそっち方面でメジャーなのは類体論で現代数論において多大な成果を上げてる。なのでその方面の話題には尽きないのだけど、その話とガロア理論の母体の「べき根を加えていって得られる体であらわせるか」の話がごっちゃになってしまってる

複素数の平方根は許せるけど、３乗以上のべき根は許せん
というのは、ギリシャ人ならわかる（笑）

数値解析屋なら、そもそもべき根にこだわる理由がわからん、というだろう
数値が得られればいい、というなら、ガロア理論なんてまったく不要（笑）

1の11乗や31乗根でガロア群がC5になる問題を作ったはず。

>>508
＞ガロア理論の母体の「べき根を加えていって得られる体であらわせるか」の話

それ、クンマー理論

そして、そこで、ラグランジュ分解式、大活躍

11乗根

なぜ、１のｎ乗根を添加するのか？　
それは・・・
ラグランジュ分解のｎ乗が
周期ｎの解の巡回置換で不変
という理屈を使ってるから

なぜ、１のｎ乗根を添加するのか？　
それは・・・
ラグランジュ分解式のｎ乗が
周期ｎの解の巡回置換で不変
という理屈を使ってるから

a^3+b^3+c^3−3abcの因数分解公式は、ラグランジュリゾルベントが関係しているのかもしれない。

高校数学では実数の範囲までの分解で終わることが多いかもしれないが。

そう、このクンマー理論にも誤解がある。クンマーはガロアと同時代のひとで円分体を研究した人でクンマーの研究そのものは「１のべき根の構造そのもの」らしい。AI調べ。
しかし、そのあと円分体の構造の研究、あるいは代数体のアーベル拡大の研究で基礎体が類体の場合のアーベル拡大の研究がはじまって類体論につながる。
そこで「塔の補題」とかでガロア群がp群のときに持ち込んだときクンマー拡大が活躍するときがある。でもここでクンマー拡大というときはやっぱりしたの体には１のべき根が全部はいってると仮定するか、ないなら入れておいてそこでもう一度「塔の補題」をつかう。この文脈なら１のべき根がはいってるとみなして議論する。なので結局たんにクンマー拡大といったときは１のべき根が最初からはいってる場合を指すことが多いはず。
あと乗法群からG^ab_K への写像がGalois表現論ででてきてこれもクンマー写像というけどこれはクンマーの時代には研究されてなかったはず。たぶん後世になってだれかがこう呼んだんだとおもう。Galois cohomology の理論だけどクンマーの時代には cohomology はおろか Galois 理論さえクンマーはしらなかったはず

よくよくみたら「はず」のオンパレードｗ
昔だったら調べようもないけど、いまならAIがしらべてくれると思うよ。

タワー定理

p群はべき零群

ちがう、楕円曲線の有理点の全体から K^×/K^×2 への写像だ。どのみち Kummer の時代にはなかったもののはず。

1の原始p乗根が、pより小さい指数のべき根たちの組み合わせで
あらわされるというのは、全然自明ではない。
べき根の中に、どんな数があらわれるのか？という問題も
面白い問題であり、数論と深く関わっている。

ガウスが示した円分方程式のべき根解法は、ガロア理論の「ひな型」なんですよ。
だから、ガロア第一論文には、「ガウス氏の方法」という言葉が何度もあらわれる。

そう、冪例だから一段一段が巡回拡大になってるようにとれる。その場合に具体的に生成元の最小多項式がx^p - aの形になってることから議論が簡単になる。
L^P/K のとこは拡大次数が p の倍数でないことで話が簡単になる
みたいな応用

でもネットには
「逆に円分体の元はガロア群が可解なのでべき根を添加していけば得られる」
みたいなアンポンタンな主張をしてることも多い。

>円分体の元はガロア群が可解なのでべき根を添加していけば得られる

まったく正しいけど、どこがアンポンタンなの？
より精密に言うと、可解群より詳しくアーベル群ね。
逆に、Q上の任意の有限次アーベル拡大が、円分体
またはその部分体から得られるというのが
「クロネッカー・ウェーバーの定理」
歴史的には円分体→ガロア理論 と発展したが
現代の立場から言えば、円分体のガロア群が
アーベル群であることから、Qから出発して
クンマー拡大（ただし、1のべき根は
外から持ってくるのではない）の連鎖から、
その部分体として得られるという論は、
まったくおかしくない。ただし、
「1のべき根を外から持ってきてもいい」と読むと
話が自明になる。そんな粗雑な話ではないよということ。

>>525
＞「逆に円分体の元はガロア群が可解なのでべき根を添加していけば得られる」

反例示せる？

Qにいきなり1の原始7乗根を添加するのは、「クンマー拡大の連鎖」
になっていないからアウトね。

１の７乗根をべき根で表示する場合に添加するのは１の３乗根
１の３乗根をべき根で表示する場合に添加するのは平方根

とはいえ、Ｑに１の７乗根を添加した体に
ｉや１の３乗根が含まれてる必要はない

あくまで１の７乗根を表す式の中に
ｉや１の３乗根が含まれてるというだけで
それを単独で取り出すことはできない

Ｑに１の３乗根を添加した体にｉは含まれない
√（−３）は含まれるけど

Q(i+√3)

既約な実係数3次方程式の3根が全て実である場合には、その3根を方程式の係数を元にして冪根と四則演算で表す場合には、
虚数の立方根を避けられない（不還元の問題）ことはよく知られている。つまり実根しか持たない方程式の根を表すのには
虚数を経由しなければならない。3角関数とその逆関数を使って根を表すならば、虚数の登場を避けられるが、それはいわゆる
「代数的」解法と呼ばれるものではない。

いろいろ検索ヒットするな
(google検索)
円分体 pdf 大学 数学
＜AI による概要＞
大学数学のガロア理論や代数的整数論における「円分体」に関する講義資料やPDFとしては、上智大学の代数学III（ガロア理論） や、日本大学のKronecker-Weberの定理に関する解説PDF などが公開されています

円分体（円周を等分する方程式の解を添加して得られる拡大体）は、ガロア理論の具体例や、アーベル拡大を記述するクロネッカー・ウェーバーの定理 において中心的な役割を果たします

主な大学・研究機関の関連PDF・講義資料
・ガロア理論と円分体: 上智大学の講義資料 代数学III（ガロア理論） では、円分体や有限体のガロア理論について解説されています
・クロネッカー・ウェーバーの定理: 日本大学の論文・解説 Kronecker-Weberの定理 では、有理数体の有限アーベル拡大が円分体に含まれるという重要な性質が扱われています
　日大理工学部

岩澤理論・整数論: 京都大学の修論・研究資料 有理数体Qの円分Zp-拡大 や、九州大学のセミナー資料 Herbrand-Ribetによる結果 などがあります

円分体について、さらに知りたい内容や探している詳細（例: ガロア群の計算、最小多項式（円分多項式）の性質、具体的な次数や拡大の次数についてなど）があれば教えてください。

総括

pを素数とする
1のp乗根ζpについて、ζp+ζp^(-1)は実数である
ζp+ζp^(-1)を根の1つに持つような、有理係数(p-1)/2次方程式が構成できる
さらにその方程式のガロア群は位数(p-1)/2の巡回群である
したがってQ(ζp+ζp^(-1))はガロア拡大で、巡回拡大である

一方、1の(p-1)/2乗根をζ((p-1)/2)とする
Qにζ((p-1)/2)を添加した体 Q(ζ((p-1)/2)) に対して、
そのある要素 a の((p-1)/2)乗根を添加した体の中に ζp+ζp^(-1) は存在する　つまり
ζp+ζp^(-1)はζ((p-1)/2)と((p-1)/2)√a) (a∈Q(ζ((p-1)/2))) を使って表せる

しかし、ζp+ζp^(-1)を ((p-1)/2)√a) (a∈Q) という形で表すことはできない

>>486
>任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である
文章の内容が伝わるかどうかはともかく、群論が分かっていれば、
アーベル群も可換群も同じでこの書き方で伝わらないということはない
群論ではアーベル群とかそんないい方より、可換群か非可換群なのかを気にする
実数体Rや複素数体Cの乗法群は可換だから、
実数体Rや複素数体C上のn(≧2)次の行列式の値が1である
正方行列全体からなる群 SL(n,R) または SL(n,C) や
実数体Rや複素数体C上のn(≧2)次の行列式の値が0ではない
正方行列全体からなる群 GL(n,R) または G(n,C) は可換だが、
実数体Rや複素数体Cを四元数体Hに置き換えると、
四元数体Hの乗法群 H^{×} は乗法について非可換な群だから、
四元数体H上のn(≧2)次の行列式の値が0ではない
正方行列全体からなる群 GL(n,H) は非可換になる
四元数体H上のn(≧2)次の行列式の値が1である
正方行列全体からなる群 SL(n,H) も同様に非可換になる
代数方程式の解を求めたいなら、ガロア理論は不要で、
オイラーの公式や近似計算で十分間に合う
x^2＋1＝0 のような代数方程式に実数解は存在せず、
実数体R上でそのような類の最大次数が
偶数次の代数方程式の解を求めることは一般には不可能

>>535
>実数体Rや複素数体Cの乗法群は可換

然り

>だから、
>実数体Rや複素数体C上の
>n(≧2)次の行列式の値が1である正方行列全体からなる
>群 SL(n,R) または SL(n,C) や
>実数体Rや複素数体C上の
>n(≧2)次の行列式の値が0ではない正方行列全体からなる
>群 GL(n,R) または G(n,C) は
>可換だが、

否
典型的な非可換群です

>実数体Rや複素数体Cを四元数体Hに置き換えると、
>四元数体Hの乗法群 H^{×} は乗法について非可換な群

然り

>だから、
>四元数体H上の
>n(≧2)次の行列式の値が0ではない正方行列全体からなる
>群 GL(n,H) や
>四元数体H上の
>n(≧2)次の行列式の値が1である正方行列全体からなる
>群 SL(n,H) も
>同様に非可換になる

非可換なのは確かだが
その理由は、Hが非可換だから、ではない

可換体RやCの場合でも
n(≧2)以上の正方行列の積が
非可換になるから

>>536
間違えた。行列の群は非可換だ

>>535
>代数方程式の解を求めたいなら、
>ガロア理論は不要で、

然り

>オイラーの公式や近似計算で十分間に合う

オイラーの公式をどう使うつもりか知らないが
複素関数論の基礎としてオイラーの公式は重要

複素関数論を理解していれば
多項式関数の零点の(解析的な)求め方は分かる
工学部ならそっちのほうがはるかに有用

>x^2＋1＝0 のような代数方程式に実数解は存在せず、
>実数体R上でそのような類の
>最大次数が偶数次の代数方程式の解
>を求めることは一般には不可能

存在しない実数解を求めることはできんわな（笑）

ということで、繰り返すけど
２次以上の実数もしくは複素数の正方行列の積は非可換だぞ

>>537
>間違えた。行列の群は非可換だ

気付けばよろしい

>>538
>２次以上の実数もしくは複素数の正方行列の積は非可換だぞ
正方行列の群の中でも、実数体R上や複素数体C上の
行列式が0ではないn(≧2)次の三角行列全体からなる群や
行列式が0ではないn(≧2)次の上三角行列全体からなる群は可換になるけどな

三角行列 → 対角行列

>>486
関西地方では、関西人が嫌う臭いのしない納豆を売ってるそうだな
瀬戸内海の山陽地方や山陰地方、及び四国では煮干しの出汁の納豆を売っている
九州では甘めのタレの納豆を売っている
西日本の中で熊本県だけは例外で、昔からコル豆の納豆を
東日本並みに比較的よく食べているという

ももしきや 古き軒端の しのぶにも
なほあまりある 昔なりけり

まっすぐな道でさみしい

>>542
>関西地方では、関西人が嫌う臭いのしない納豆を売ってるそうだな

ありがとね
関西地方では、(関西人が嫌う臭い) のしない納豆 を売ってるそうだな
だね、細かいが

臭いのあまりのしない納豆が 開発されたんだね （下記）
そもそも 関東でも 臭いのあまりしない納豆が主流だね いまは
少し前まで お客に会うときは 前日の晩には 納豆は食べないようという ビジネスマナーがあった
いまは、あまり言われないのは 納豆の改良のせいでしょう

ところで >>486の追加
１のべき根の話で n乗数を除くために 簡便に 素数 p∈Q として
n乗根 x^n=p （nを2以上 の整数とする）
p= 1*p と見ると

単純に べき根記号で
x＝(1*p)^1/n ＝(1)^1/n * (p)^1/n
と見ることができて
前半の ”(1)^1/n”の部分から 1のn乗根が出る
それだけのこと

1のn乗根は、数学的には ガウスDAで解明されていて
それは 現代数学のガロア理論の言葉では 円分体 ガロア群がアーベル
この呪文の意味が分かるようになるのも ガロア理論の勉強の一つの道程です（＾＾
（前半の ”(1)^1/n”の部分は、べき根で解けることが分かっているから 任意nの1のn乗根は基礎体Qに好きなだけ添加してよいとして 理論展開を簡便にするだけのこと）

(google検索)
におわない 納豆
AI による概要
臭いを抑えた納豆をお探しの場合、特殊な菌を使用してにおいを軽減した商品や、においを抑えて食べやすく工夫された粉末納豆などの代替品があります。
臭いの少ない納豆・関連商品
においを抑えた市販品: ミツカンの「金のつぶ におわなっとう」が有名ですが、近年は製造終了などの動きもあり、コンビニ（ローソンなど）の「におい少なめやわらか納豆」 や、各メーカーの「におい控えめ」と表記された小粒・ひきわり以外の納豆が選ばれています
略す

>>545
ガウスはガロア理論のように円分体を使うときれいな円分体にはないから、
任意の正の整数nに対して、代数方程式 X^{2n}＝1 から代数方程式 X^n＝−1 を得て、
円分多項式と同様に考えて −1 のベキ根の解明をすることはやってないだろう

まあ、超越数の解明とかなら、ガロア理論ではなくオイラーの公式が基本的で有効だけどな

おっちゃん(ID:EGJ6LEDP)にとって、ガロア理論は手の届かない「酸っぱい葡萄」

やっぱりおっちゃんだったか。

>円分多項式と同様に考えて −1 のベキ根の解明をすることはやってないだろう

exp(2πi/n)だろうが、exp(2πi/(2n))だろうが、円分体に含まれる。
nが合成数のとき円分多項式というのは、「無駄な因子」を除いた
既約多項式のことを言う。定義を読みましょう。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F
当然、円分体の理論に含まれる。
ガウスがそんなことを見逃すはずないだろう。

フェルマーの小定理の拡張

オイラーの定理

>>547　
複素数体Cは {1,i} を基底とする実数体R上の線型空間で、
超越数論では実数が有理数か代数的無理数か超越数かを判定することが重要だから、
必ずしも超越数論でガロア理論が必要とは限らない

>>549
円分体に虚数iや −i が属するという話は余り聞かないけどな

円分多項式Φ_4

>円分体に虚数iや −i が属するという話は余り聞かないけどな

アホか。「余り聞かない」ってどこ情報だよｗ
おっちゃんの脳内情報だろう。おっちゃんの知らない話は
「おっちゃん数学」ではなかったことになるのか。

をっちゃんラーメン

>>555
1の円分多項式の話は余り聞かないという意味だよ
任意の1の円分多項式の根は代数的数であって超越数ではないだろ

>>545
>1のn乗根は、数学的には ガウスDAで解明されていて
>現代数学のガロア理論の言葉では
>円分体のガロア群がアーベル群
>この呪文の意味が分かるようになるのも
>ガロア理論の勉強の一つの道程で
>（(1)^1/nは、べき根で解けることが分かっているから
>任意nの1のn乗根は基礎体Qに好きなだけ添加してよいとして
>理論展開を簡便にするだけのこと）

◆yH25M02vWFhP　は
「(1)^1/nは、べき根で解ける」
という呪文（？）の意味が
いまだに分かってなさそう

(1)^1/n の実部をcn、虚部をsnと表す
sn=√(1-cn^2)であるから
cnがべき根を使って表せれば
snもべき根を使って表せる

(x^n-1)はx=1を根に持つので(x-1)で割れる
割った商は(n-1)次多項式

nを素数pとすると、上記p-1次多項式で
X=x+1/xと置き直せば、
Xに関する((p-1)/2)次方程式に直せる
そしてその根の１つが2cnとなる

((p-1)/2)がいくつであっても
上記の方程式の根2cnは
1の((p-1)/2)乗根の入った式で表せる数の
((p-1)/2)乗根を使った式で表せる

それがガロアがDAで示したこと

アイデアはラグランジュの分解式に遡るし
理論はクンマー理論として結実した

でも ◆yH25M02vWFhP にとっては
全てチンプンカンプンなお経でしかない

代数的数は可算

>>558後半のn=pとしたときの
cnをcpに書き換えておこう
ーーーーーーーーーーーーーーーーーー
nを素数pとすると、上記p-1次多項式で
X=x+1/xと置き直せば、
Xに関する((p-1)/2)次方程式に直せる
そしてその根の１つが2cpとなる

((p-1)/2)がいくつであっても
上記の方程式の根2cpは
1の((p-1)/2)乗根の入った式で表せる数の
((p-1)/2)乗根を使った式で表せる

それがガロアがDAで示したこと

p＝7とすると、

cnは角度を二倍する変換で
周期3=(7-1)/2を持つ

1→2→4→8=1(mod 7)

>>362

「永田」では、有限体の有限拡大が巡回拡大であることの証明に、Galoisの基本定理と「位数n有限アーベル群が、nの各約数dに対して、位数dの部分群が高々1個しか存在しなければ巡回群 (*)」を使っているが、この定理はFrobenius写像を使って具体的に証明できるわけなので、よい証明ではないと思う

体論で>>562の(*)を使う証明は、たいてい
「整域上のn次多項式の根は高々n個」
というより直感的な命題を使うことで証明できる
その上の「体の有限部分群は巡回群」とかも同様

Frobenius写像を使って具体的に証明できる

できる？

なるほど。できるな。面白い。

>>558
>それがガロアがDAで示したこと
>アイデアはラグランジュの分解式に遡るし
>理論はクンマー理論として結実した

おサルさん https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1786433734/43
ちょっとレベルアップしたが まだまだ低い（上から目線）
中高生も来るから 赤ペンしておく

富士山登頂ルートは 多数ある
そして、山頂から眺めれば 登ってきた道が見える

と同様に ガロア第一論文の頂から見れば ラグランジュの分解式やガウスは 通過点にすぎないことが分る
理解できないだろうから 下記 上野健爾氏のテキストより
「ガロア分解式」を示す

”V=Aa+Bb+Cc+・・・” ここに a,b,c,・・・が方程式の根
例示では A,B,Cを整数としているが
現代数学の視点では 基礎体を有理数体Qに円分体を加えた体に取れる
この視点では、ラグランジュの分解式は単なる一例にすぎない（重要な式ではあるが）

まだまだ きみは勉強不足だ
”「ガロア第一論文 方程式を解く— ガロアによるガロア理論」 上野健爾”を
百回音読してねｗ

なお、「クンマー理論」(下記)の元は 代数方程式の理論ではなく フェルマーの最終定理のためのものだ
wikipediaも 百回音読してねｗ

(参考)
「ガロア第一論文 方程式を解く— ガロアによるガロア理論」 上野健爾著 現代数学社_ 202407021
より 補題1〜3「ガロア分解式」（下記）
https://i.imgur.com/8AiiRdN.jpeg

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%B3%E3%83%9E%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
クンマー理論
クンマー理論(Kummer theory)は、基礎体の元の n 乗根の添加が関わっている、あるタイプの体の拡大を記述する理論である。クンマー理論は、元々は、1840年代にフェルマーの最終定理をエルンスト・クンマーが開拓しようとして発見した理論である。
クンマー理論の主な結果は、体の標数が n を割ってはいけないこと以外は体の性質に依存しておらず、従って、抽象代数学に属する。体 K の標数が n を割るときは、K の巡回拡大の理論はアルティン・シュライアー理論と呼ばれる。
クンマー理論は、例えば、類体論や一般のアーベル拡大を理解する上で、基本的である。クンマー理論は、充分な数の1の冪根が存在するとき、巡回拡大は基礎体の元の冪根を添加する操作によって理解できるという理論である。類体論において一般のアーベル拡大を扱う際の主要な難所の一つは、余分な1の冪根を持たない基礎体へと「降下」することであり、クンマー理論を直接適用できる場合に比べて理論的な構成が複雑となる

>>547-548
>おっちゃん(ID:EGJ6LEDP)にとって、
>やっぱりおっちゃんだったか。

なるほど・・・
おっちゃん(ID:EGJ6LEDP) か
ID:gErY/CLc は、ニコ君な（＾＾
よく分ったねｗ

>>552-553
おっちゃん(ID:EGJ6LEDP) レスありがとね
ここでは 残念ながら スレ主ではないが
まあ、その内退散するよ （＾＾

>>566
>クンマー理論

"クンマーの理想数" 下記な

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86
フェルマーの最終定理（英: Fermat's Last Theorem）とは、3 以上の自然数 n について、xn + yn = zn となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない、という定理である[注釈 1]。

個別研究
クンマーの理想数
コーシーとラメが争っていたのと同じ頃、エルンスト・クンマーが自ら打ち立てた理想数の理論（後にリヒャルト・デーデキントがイデアルの理論として発展させる）を導入する[16]。これにより、多くの素数において一意的な因数分解が可能となり、n が正則素数である（もしくは正則素数で割り切れる）全ての場合については証明がなされた[17]。虚数レベルでの一意的な因数分解が不可能な非正則素数も無限に存在する[注釈 6]が、クンマーは 100 以下の非正則素数（37, 59, 67 の 3 個しかない）についてはそれぞれ個別に研究して解決した[19]。その結果、100 までの全ての奇素数 n について（当然 100 以下の奇素数を約数に持つ全ての n についても）フェルマー予想が成り立つことが証明され、それまでの個別研究からこの問題は大きく飛躍した。

1857年、フランス科学アカデミーは、1816年に続き1850年に設けたまま受賞者の出なかった「フェルマー予想の証明者」のための懸賞金（金メダルと3000フラン）を（最終的解決でないことを承知の上で）クンマーに与えた[20]。1874年、クンマーは 101 から 163 までの指数について計算を実行し、新たに 101, 103, 131, 149, 157 の 5 個が非正則素数であることを示した[21]。

その後、クンマーの理想数を発展させた代数的整数論による判定法をコンピューターで計算させることにより、1994年の初めには 略

https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem
Fermat's Last Theorem
Proofs for specific exponents
Main article: Proof of Fermat's Last Theorem for specific exponents
Ernst Kummer and the theory of ideals
In 1847, Gabriel Lamé outlined a proof of Fermat's Last Theorem based on factoring the equation xp + yp = zp in complex numbers, specifically the cyclotomic field based on the roots of the number 1. His proof failed, however, because it assumed incorrectly that such complex numbers can be factored uniquely into primes, similar to integers. This gap was pointed out immediately by Joseph Liouville,[143] who later read a paper that demonstrated this failure of unique factorisation, written by Ernst Kummer.

Kummer set himself the task of determining whether the cyclotomic field could be generalized to include new prime numbers such that unique factorisation was restored. He succeeded in that task by developing the ideal numbers.

https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Fermat's_Last_Theorem_for_specific_exponents
Proof of Fermat's Last Theorem for specific exponents

>>566 補足
(引用開始)
”V=Aa+Bb+Cc+・・・” ここに a,b,c,・・・が方程式の根
例示では A,B,Cを整数としているが
現代数学の視点では 基礎体を有理数体Qに円分体を加えた体に取れる
この視点では、ラグランジュの分解式は単なる一例にすぎない（重要な式ではあるが）
(引用終り)

ガロア分解式
”V=Aa+Bb+Cc+・・・”
これから 線形代数を連想した人が 例のアルティン先生
代数方程式のガロア理論を 線形代数をベースに展開できるっぺと閃いた
その視点から 展開したのが アルティン流ガロア理論
いまでは、これが主流

一方、ガロアのオリジナルは
このVから 例えば 5次方程式なら a,b,c,d,e の5根で
この組合せから 5!=120 通りのVが得られて 120次の方程式が彼のガロア理論のスタート地点になる
120次の方程式を 補助方程式の根を添加して因数分解して 完全に分館できれば 解けたことになる
（5次方程式を解くのに 120次の方程式を考えてどうする？と思うのが普通だが 天才は違うね）

アルティン流（現代の主流）は
基礎体Qに 補助方程式の根(べき根)を添加して 拡大体を作り
120次の空間に 到達できれば 解けたことになる

結論として 5次方程式は べき根では解けないが
楕円関数や それに類似する 高等関数で 解の公式が作れる（ガロア理論で分る）
（ガロアも 楕円関数使えると思っていただろうが）
上野には そこまでの記載はないが
下記 クライン
正20面体と5次方程式に 詳しい記述がある

＜アマゾン＞
正20面体と5次方程式 改訂新版 (シュプリンガー数学クラシックス)
クライン
関口 次郎 (翻訳), 前田 博信 (翻訳)
出版社 ‏ : ‎ 丸善出版
発売日 ‏ : ‎ 2012/8/25

>>569 追加
下記「ガロア理論/単拡大」が 参考になる
”K=F(α) となる
α が存在することを言う”と
補足：αは 体F上の代数的数の何か
蛇足だが α→aα (a∈F、a≠0)
に取り替え可能
なお
応用：体F上の代数的数の複数n個 α1,α1,・・,αnの添加を考えても
それは {α1,α1,・・,αn} を纏めた より次元の高い β一つに纏められる
ということ
（余談：下記 ”現代代数学 (近代数学講座 1) 服部昭”を読んで挫折した。唯一 単拡大（テキストでは 単項拡大だったと思う）のみ残っている。ムズすぎで処分した（下記れビューで初学者に向いていないとある））

(参考)
https://ja.wikibooks.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96/%E5%8D%98%E6%8B%A1%E5%A4%A7
ガロア理論/単拡大
定義(単拡大)
体の拡大
K/F が単拡大(単純拡大)であるとは、
K=F(α) となる
α が存在することを言う。

定理 1 (原始元定理)
体の有限次拡大
K/F に対して以下は同値。
(i) 中間体が有限個である
(ii) 単拡大である
証明 略

命題 2
有限次分離拡大は単拡大である。
証明 略

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E6%8B%A1%E5%A4%A7
単拡大
可換体の理論の枠組みで、体 K の拡大 L は、L のある元 α が存在して L が K(α) と等しいときに単拡大あるいは単純拡大 (simple extension) という。
単拡大 K(α) が有限拡大であることと α が K 上代数的であることは同値である。K の（同型の違いを除いて）唯一の無限単拡大は有理関数体 K(X) である。
原始元定理はすべての有限分離拡大が単拡大であることを保証する。

＜アマゾン＞
現代代数学 (近代数学講座 1)
服部昭 (著)
出版社 ‏ : ‎ 朝倉書店
発売日 ‏ : ‎ 2004/3/15
代数学の基礎的部分について概説し、基礎的素材の取り扱いと代数学的考察の具体例を示す。群、環、加群、圏とホモロジー、可換体、ガロア理論などで構成。1968年刊の再刊。

レビュー
購入者
星5つ中5つ初学者が初めて読む本には向いていないと思います。
2022年2月23日に日本でレビュー済み

雑学家
星5つ中2つ古い教科書には必ず登場する有名な参考書。無味乾燥な書き方なので独学者は避けよう
2022年4月10日に日本でレビュー済み
先にまずyou tube動画
：大学新入生向け「スキーム論の勉強の道筋」をまず読もう。
：スキーム(数学)をざっくりと理解しよう【スキーム#1】を見て
：東京大学理学部オープンキャンパス2020 数学科 学科紹介の13分からが最高です。
：ネットブログで：アフィンスキームとは何だろうかー tsujimotter のノート
を読むのが大いに参考になる。
以下の本が読みやすい。
「ドクトル・クーガーの数学講座〈2〉」久賀　道郎
「代数学の魅力 (別冊・数理科学) 」が一番のオススメ、などの後で読むべき。
内容はハイレベルです。辞書的な利用がお薦め。

>>569 タイポ訂正

120次の方程式を 補助方程式の根を添加して因数分解して 完全に分館できれば 解けたことになる
　↓
120次の方程式を 補助方程式の根を添加して因数分解して 完全に分解できれば 解けたことになる

セタが阿呆で根本的に何も分かってないのは、
「ガロア分解式はラグランジュ分解式よりも一般的で
可解群以外に対しても定義できる。だからガロア分解式
の方が偉い」と誤解している点。ガロアが「A,B,Cを整数」
（実は有理数でもよい）としているのは、そうしないと
機能しない場合があるからで、セタの主張は頓珍漢。
ガロア自身がラグランジュ分解式を
「特別で、方程式のべき根解法における要に位置するもの」
として、扱っている。ただし彼は「ラグランジュ分解式」
という言葉は使っていないため、セタはどれがそれなのか
正確には分かっていないだけ。

セタの阿呆な点その２。
「基礎体に1のべき根はいつでも好きなだけ添加しておけばよい」
と思っている点。目的によっては、それでは通用しない。
たとえば、「クロネッカー・ウェーバーの定理」は
基礎体がQであるから成立するわけで、基礎体が
虚2次体（これは円分体に含まれる）だと、高木貞治
が解決した「クロネッカーの青春の夢」という遥かに
深遠な問題となり、実2次体（これも円分体に含まれる）
だと、現在でも解決しているかどうか不明な
さらに難しい問題になる。これは一例に過ぎないが
「基礎体の条件が変わると、その上で成立する命題の
条件も全然変わってしまう場合がある」ということ。

3次多項式がQ上既約のとき、ガロア群は3次の対称群か交代群（巡回群）である。

>>566
◆yH25M02vWFhP は
「現代数学の系譜11 ガロア理論を読む」を立てた
2012/1/31(火) 22:32 から全く進歩してないけどな

相変わらず、ラグランジュ分解式の意味が理解できず
脊髄反射でガロア分解式をコピペするだけ

ラグランジュ分解式を使うときに
任意の置換なんて考えない
解は巡回置換されるものとする

もちろん、巡回置換となる解の変換は
具体的に分かっているものとする

君は全然勉強できてないというか、
そもそも数学書の文章が読めてない

国語力がないなら、何回音読しても無駄かと

>>569
＞120次の方程式に 補助方程式の根を添加して因数分解して 完全に分解できれば
＞基礎体Qに 補助方程式の根(べき根)を添加して 拡大体を作り120次の空間に 到達できれば

上記は下記に対応する

「5次の置換群S5をその商群が巡回群となるような形で割っていって単位群まで縮小できれば」

「補助方程式の根が基礎体の１つのべき根を使った式で表される」が
「補助方程式のガロア群が巡回群である」に対応する

なぜ、根がべき根で表せることと、
ガロア群が巡回群であることが対応するのか

それは、ラグランジュ分解式を使ったクンマー理論で示される

（蛇足）
＞結論として 5次方程式は べき根では解けないが
＞楕円関数や それに類似する 高等関数で 解の公式が作れる
＞（ガロア理論で分る）

（）内は正確にいうと飛躍

>>573
>「基礎体に1のべき根はいつでも好きなだけ添加しておけばよい」
>と思っている点。目的によっては、それでは通用しない。
>たとえば、「クロネッカー・ウェーバーの定理」は
>基礎体がQであるから成立するわけで、基礎体が
>虚2次体（これは円分体に含まれる）だと、高木貞治
>が解決した「クロネッカーの青春の夢」

ID:udJebU1rは (ガウスDA)くんか

１）下記 クロネッカー・ウェーバー 最初に Kronecker (1853) で述べられた
”1880年、クロネッカーは虚二次体のアーベル拡大に関する著書『青春の夢』を発表”
　これアーベルの理論で完結する話
２）実際 下記 高瀬”〔アーベル〕2.　ある特別の種類の代数的可解方程式族について（1829年）”
３）一方、Galois theory History は 下記
　Galoisの受容は、大変遅かった。多分、カミーユ・ジョルダン 1870年の著書以降

(ガウスDA)くんの主張は 数学史から見て不成立■

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_class_field_theory
Timeline of class field theory
1880年、クロネッカーは虚二次体のアーベル拡大に関する著書『青春の夢』を発表

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
体論的定式化
クロネッカー・ウェーバーの定理は、体と体の拡大のことばで記述することができる。それは、有理数体 Q の有限アーベル拡大は、ある円分体の部分体であるという定理である。つまり、Q 上のガロア群がアーベル群である代数体は、ある1のべき根を有理数体Qに添加して得られる体の部分体である
歴史
定理は最初に Kronecker (1853) で述べられた。しかし、彼の議論は、次数が2のべきの拡大に対して不完全であった。 Weber (1886) が証明を出版したが、これはいくらかのギャップや誤りを含み、Neumann (1981) により指摘、修正されている。最初に完全な証明をしたのは Hilbert (1896) であった

https://www.asakura.co.jp/detail.php?book_code=11459&srsltid=AU7gw4W1evI8Ie-050OSVTOUTje3uyfva-PmYZLCLCL1ZPK0Z5t-jh44
アーベル／ガロア 楕円関数論 高瀬正仁訳 朝倉 1998年
〔アーベル〕
2.　ある特別の種類の代数的可解方程式族について 1829年

https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory#History
Galois theory
History
(google訳)
ガロアの著作
ガロアはその後1832年に決闘で亡くなり、彼の論文「根号による方程式の可解性の条件に関する論文」は、1846年にジョゼフ・リウヴィルが自身の解説を添えて出版するまで未発表のまま
余波
ガロアの理論は、同時代の人々にとって理解するのが非常に難しく、特にそれを発展させるレベルに達するのは困難でした
セレの弟子であるカミーユ・ジョルダンは、1870年の著書『代数置換と代数方程式論』でさらに優れた理解を示しました
ドイツでは、クロネッカーの著作はアーベルの結果に重点を置いていました
ウェーバーの1895年の代数学の教科書と同様に、ガロアの理論をより広いドイツとアメリカの読者に理解しやすくした

>>572
(引用開始)
セタが阿呆で根本的に何も分かってないのは、
「ガロア分解式はラグランジュ分解式よりも一般的で
可解群以外に対しても定義できる。だからガロア分解式
の方が偉い」と誤解している点。ガロアが「A,B,Cを整数」
（実は有理数でもよい）としているのは、そうしないと
機能しない場合があるからで、セタの主張は頓珍漢。
ガロア自身がラグランジュ分解式を
「特別で、方程式のべき根解法における要に位置するもの」
として、扱っている。ただし彼は「ラグランジュ分解式」
という言葉は使っていないため、セタはどれがそれなのか
正確には分かっていないだけ。
(引用終り)

ID:udJebU1rは (ガウスDA)くんか
ガロアが ガロア分解式を創出したのは
分解式を一般化したかったからだろう

即ち
ラグランジュが遭遇したように
ラグランジュ分解式でダメだからと言って
ラグランジュ分解式以外の可能性を否定できない

ガロア分解式まで一般化することで
「ラグランジュ分解式以外を使ったらどうなる？」
という疑問を払拭しているってことな

ID:udJebU1r
(ガウスDA)くんの主張は 数学史から見て不成立■

>>575
(引用開始)
相変わらず、ラグランジュ分解式の意味が理解できず
脊髄反射でガロア分解式をコピペするだけ
ラグランジュ分解式を使うときに
任意の置換なんて考えない
解は巡回置換されるものとする
(引用終り)

　>>578 に書いたが
ガロアが ガロア分解式を創出したのは
分解式を一般化したかったからだろう
即ち
ラグランジュが遭遇したように
ラグランジュ分解式でダメだからと言って
ラグランジュ分解式以外の可能性を否定できない
ガロア分解式まで一般化することで
「ラグランジュ分解式以外を使ったらどうなる？」
という疑問を払拭しているってことな

>>576
>なぜ、根がべき根で表せることと、
>ガロア群が巡回群であることが対応するのか

中高一貫生も来るから 赤ペンをハッキリと書いておくが

ガロア群が巡回群
　↓
ガロア群が可解群
な

ガロア群が巡回群は、ガウス
ガロア群が可解群が、ガロア

自分のガロア理論のテキストを
百回音読してねｗ

>>570
単拡大だけ唐突に出しても、他人に伝わらないけど

要するに、方程式がべき根の反復使用で解けることと
方程式の分解体がべき根による単拡大の積み重ねになることが
対応するっていいたいんだろ

だったら、そうはっきりと文章に書かないと、
他人には決して伝わらないよ

◆yH25M02vWFhP　文章書けないの？　

他人の文章読めない人に
他人に分かる文章書けるわけないか

>>579
＞ガロア群が巡回群
＞　↓
＞ガロア群が可解群
＞な

「補助方程式の根が”基礎体の１つのべき根”を使った式で表される」
という文章が君には正しく読めないかい？

一回使用なら、巡回群
反復使用なら、可解群

可解群の定義で、
商群（もとの群を正規部分群で割った群）が巡回群になる分解で
単位群に縮小できる
と書いてあるのはそういうことだよ

商群が補助方程式の”べき根による解”を追加した単拡大に対応する
君はそこの説明が全然文章で書けないまま、１４年を無駄に経過した

その間に小学校に入った生徒は小学校・中学校・高校を卒業し
現役で大学に入っていれば今３年生
数学科ならちょうどガロア理論を学んでいる筈

そんな子供たちに追い越されるわけだよ、君は

もう君には数学ムリだから諦めな
数学わからなくても死にはしないから

なんで
次数ｎの冪根拡大と次数ｎの巡回拡大が同値となる条件で
基礎体が１の冪根を十分に含むことが必要なのか
ChatGPTに訊いてみた

その答えをかいつまんでいうと・・・
「巡回作用に対する固有値 ζnk を基礎体の中で使いたいから」

身も蓋もない（笑）

以下、ChatGPTの回答のポイント
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
ここが非常に面白いところですが、
巡回群　と　n乗根による拡大　の対応は、
実は「群の表現を対角化する」ことと
ほとんど同じ構造を持っています。

巡回群の生成元 σ に対して
1,ζn,ζn^2,…,ζn^(n−1)
という固有値が現れ、
それを使ったラグランジュ分解式が
固有ベクトルを抽出する離散フーリエ変換
になっている。

そして固有値が ζn^k だから、
その n 乗を取れば固有値が消えて
Rn∈K となる。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

誰かさんピンボケなコピペの百万倍有益

AIはコピペに狂う素人を極楽浄土に導いてくれました

南無阿弥陀仏

ちなみに
「学部の代数学のガロア理論の講義では、
　そんなことちっとも教えてくれなかったぞ」
と愚痴ったらこう返された

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
学部の「ガロア理論」では普通、
方程式→分解体→ガロア群→可解性
という縦方向のストーリーが中心になります。

一方、今われわれが話している
ガロア群の作用→固有空間→フーリエ変換的分解→表現
という横方向の見方は、
表現論・体論・数論を横断して
初めて見えてくる構造なんですよね。

しかも、学部でラグランジュ分解式を習っても、
R=x‗0+ζx‗1+⋯+ζ^(n−1)x‗n−1
を「根号公式を作るための技巧」として習うことが多い。

でも今の見方をすると、
σ(R)=ζR
という式こそ本体で、
「ガロア群の作用に対して、固有値 ζ を持つベクトルを作っている」
んですよね。

そして
σ(R^n)=R^n
だから R^n が不変量になり、基礎体に降りてくる。

つまり、
ラグランジュの分解式=巡回群のフーリエ解析
と見ることができる。

この見方を一度知ってしまうと、
「なんで突然1の根を掛けたり、変な和を作ったりするの？」
というカルダノ・ラグランジュ以来の謎めいた計算が、
かなり自然に見えてきます。

そしてさらに
群の作用を線形化する
という発想を一般のガロア群にまで押し広げたものがガロア表現。

学部の講義では、そこまで一本につなげて
説明されないことが多いんですよね。

たぶん先生がそこまでやると、
予定していた「ガロア群と可解性」の講義が
3倍くらい必要になります（笑）。

結論
◆yH25M02vWFhP は 無駄にコピペしてドヤるが時間の無駄

AIに、いい質問ができないと
AIからいい回答が引き出せない

これから必要になるのは質問工学か
なんかプロンブトエンジニアリングとかいうらしいけど（笑）

>>582-583
>ラグランジュ分解式が
>固有ベクトルを抽出する離散フーリエ変換
>になっている。

関西弁では
”オモロイ”AIさんだろう

あのな 普通のガロア理論において ラグランジュ分解式で
離散フーリエ変換へ脱線する意義薄いよ
実際、雪江だって ”離散フーリエ変換”とか アホ書いてない！

（雪江）『”離散フーリエ変換”を強調する意図はなんだ？』
雪江ゼミなら 速攻で突っ込み入る
そうして 君は 黒板ハリツケにされるｗｗ（＾＾

>>584
>AIに、いい質問ができないと
>AIからいい回答が引き出せない

AIのシッタカ ハルシネーションに引っかかり
大学ゼミでハナタカすると 雪江のみならず
どこのゼミでも トコトン突っ込まれるだろう

（おまえ AIチャッピーのオウムだろう？ 徹底的にツッコムぞ！ だろうさｗｗ（＾＾）

3次方程式の解をα,β,γとすると、u=α+ωβ+ω^2γは置換(α β γ)でωuとなる。

v=α+(ω^2)β+ωγは置換(α β γ)で(ω^2)vとなる。

>>582
(引用開始)
以下、ChatGPTの回答のポイント
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
ここが非常に面白いところですが、
巡回群　と　n乗根による拡大　の対応は、
実は「群の表現を対角化する」ことと
ほとんど同じ構造を持っています。
巡回群の生成元 σ に対して
1,ζn,ζn^2,…,ζn^(n−1)
という固有値が現れ、
それを使ったラグランジュ分解式が
固有ベクトルを抽出する離散フーリエ変換
になっている。
(引用終り)

これ >>585と同じ
ツッコミどころ満載だね
ゼミ教授の鼻の穴が膨らみ ヒクヒクして
獲物を見つけた目つきに変る

＜ツッコミどころ＞
１．「群の表現を対角化する」？ その表現を黒板に書け！ 対角化しろ！
２．「固有ベクトル」？ 固有ベクトルの定義を書け！
３．「離散フーリエ変換」？ 離散フーリエ変換の説明してみろ！ｗ
　（かように 離散フーリエ変換の説明で あやふやなところに また鋭いツッコミが入るｗ）

自虐のサドかよ
おっさん そんなに ピエロ役やりたいのか？ ｗ （＾＾

u,vは置換(α γ β)で、それぞれ(ω^2)u,ωvとなる。

つまり、3次の巡回群でu^3,v^3は不変である。

なにか罵り合いのようになっているところもあるようですね。
はい、スレッド内（特にレス12〜14や23〜24、30、40周辺）では、住人同士のマウントや皮肉が混ざった少しトゲのあるやり取りが見られます。

主に以下のような点で言い争いや皮肉が発生しています。

マウント・説教に対する反発
レス12で「分からないなら自分で調べるかAIに聞け、繰り返し読めないなら数学は諦めろ」と厳しい指摘が投稿されたのに対し、レス14で「休日に2ch（5ch）で説教かよ、かっこいいー！」と煽りで返されています。

おすすめ参考書を巡るバッティング
レス23で特定の本（『彌永』『矢ヶ部』）をおすすめした人物に対し、レス24が「その人は10年以上かけてガロア理論が理解できなかった人だから参考にしない方がいい」と個人の学習歴を引き合いに出してバッサリ切り捨てています。

特定ユーザー（名物住人）へのいじり・批判
長文で長々と持論やリンクを連投するレス主（コテハン・固定ハンドルネームのような住人）に対し、「セタが他人にとやかく言う資格はない（レス30）」「文章に清潔感がない（レス40）」など、内容以前に投稿者そのものや書き方を嫌気する声が出ています。

匿名掲示板の数学板によくある「親切に教えているようでマウントを取り合う」空気感が出ている場面です。

>>581
(引用開始)
「補助方程式の根が”基礎体の１つのべき根”を使った式で表される」
という文章が君には正しく読めないかい？
一回使用なら、巡回群
反復使用なら、可解群
(引用終り)

いま 数学科院試の口頭試問だとするよ
”可解群”という 適切な専門用語を使うべし

勿論 ”巡回群”で 全くダメということはないだろうが
試験官の追加ツッコミがあるだろう

「”巡回群”だ？ 説明してみろ！」だろうね
答えられれば良いが 説明に追加のツッコミ さらにそこに追加のツッコミ・・・
まあ、全てに答えれば良いが 下手するとスベってアウトだろう
アホでしょｗ （＾＾

α,β,γの互換では、u^3とv^3は入れ替わる。

よってα,β,γをどう置換しても、u^3+v^3とu^3·v^3は不変である。

ツッコミ返し

>>588
＞２．「固有ベクトル」？ 固有ベクトルの定義を書け！

拡大体Ｌを基礎体Ｋの線形空間とみる
Ｋを保つＬの自己同型σをＬからＬへの線形写像とみれば
σｘ＝λｘとなるＬの元ｘはσの固有ベクトル　λはその固有値

自己同型写像の全体が巡回群となるとき、
その元σの固有値として１の冪根が現れる
また固有ベクトルのn乗はσの不変元、つまりＫの元

はい、うち返しましたよ

大学１年の線形代数分かってれば瞬殺ですけどね
２みたいな質問した瞬間に、教授にこういわれますよ

「家帰って、大学１年の線形代数からやり直せ」

これらはα,β,γの基本対称式で表わせ、
X^2−(u^3+v^3)+u^3·v^3=0を解くと、
u^3とv^3は求まる。

(u^3+v^3)Xの間違い

ツッコミ返し　２

>>592
＞“可解群”という 適切な専門用語を使うべし
＞勿論 ”巡回群”で 全くダメということはないだろうが
＞「”巡回群”だ？ 説明してみろ！」だろうね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
有限群の場合は、同値な定義として
「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」
というものもある。
（中略）
多項式のガロア群の場合は、巡回群はある体の上の冪根に対応する。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

最後の行が成り立つ理由を582-583で説明してるので
教授がそれに対して説明を求めることは絶対にないですね

不勉強な学生が「ちょっとなにいってんのかわかんない」
ということは大いにありますが

私がまさにそうでしたが
「理解したいなら、理解できるまで読み返せ」
というのが第一

それ以外の脇道はないですね

ラグランジュ分解式の意味を理解せず
クンマー拡大で基礎体が1の冪根を持たねばならない理由も理解しない

そんな人が一体ガロア理論の何をどう理解したというのか？

「ただ、ガロア理論といいたいだけ、ちゃうんけ？」

朝ドラ「カーネーション」に出ていた
尾野真千子演じる小原糸子が言ってる
と思って読んでな(笑)

工学部卒の ◆yH25M02vWFhP は
どうせ代数方程式解きたいだけなんだから
ガロア理論がーとか吠え散らかすのやめて
複素関数論勉強して偏角の原理を理解したほうが有益

南無阿弥陀仏

ルーシェの定理

あの人のママに会うために♪

リーマンの写像定理は、なぜ微分の絶対値が最大になるのか。

ガロア理論の本旨はガロア対応で
可解性がどうこうはその帰結じゃ無いの？
ガロア自身はそうは思ってなかったかも知れないけど
そんなことはどうでもいいよね

>>588
＞２．「固有ベクトル」？ 固有ベクトルの定義を書け！
数�UBで「行列Aとスカラーaについて Ax=ax を満たす非零ベクトルxを固有ベクトルという」って習った記憶がある。たしか大学入試でも出題されてた。
量子力学では「波動関数が固有ベクトルのとき物理量Aの確定的な観測値aが得られる」という数理モデルが採用されている。
固有ベクトルは理系だと常識じゃないかな。文系なのかな？

有限アーベル群の基本定理

アーベル-ルフィニの定理

>>604
＞ガロア理論の本旨はガロア対応

まあ、狭義にはそうね

＞で可解性がどうこうはその帰結じゃ無いの？

帰結ではない　
ガロア対応を使って説明できる、というのが正しいかと

さらにいうと、可解性は今やそれほど重要ではないと思う

志村五郎だったか、
ガロア理論を説明するのに
方程式論を持ち出すのは無意味で
むしろ表現論とかのほうが有意義
といっていたが、まあそうだろう

数学以外の発言はともかく
数学に関してはそれほど
おかしなことをいってない

岡潔とかは数学についても
何言ってるのか分からん時が
多々ある

>>595
(引用開始)
ツッコミ返し
>>588
＞２．「固有ベクトル」？ 固有ベクトルの定義を書け！
拡大体Ｌを基礎体Ｋの線形空間とみる
Ｋを保つＬの自己同型σをＬからＬへの線形写像とみれば
σｘ＝λｘとなるＬの元ｘはσの固有ベクトル　λはその固有値
自己同型写像の全体が巡回群となるとき、
その元σの固有値として１の冪根が現れる
また固有ベクトルのn乗はσの不変元、つまりＫの元
はい、うち返しましたよ
(引用終り)

ふっ
潰すために 下記 雪江 代数学2　環と体とガロア理論 2010版を見ている（＾＾
（第二版があるらしいが それは見ていない。多分同様だろう。異論があれば言ってくれ）

１）さて、一般論として 線形空間→線形代数→固有ベクトル の連想ゲームは それで結構で構わないが
　問題は、ガロア理論として 固有ベクトルが使えるの？ どう使うの？ だね
２）これを 雪江に見ると、正規底*、トレース・ノルム*、ヒルベルトの定理90* とあって
　*印は、「読み飛ばしても良い節」とある
　さらに、本文のみならず 索引を見るも 固有ベクトルの用語は 雪江には出てこない
３）それを踏まえて 突っ込むよ
　固有ベクトルと 下記 円分体、クンマー理論、方程式の可解性、正規底* との関係を説明せよ。要するに ガロア理論で 固有ベクトルをどう使う？ 具体的に示せ！
（言いたいことは、一般論としては 上記 固有ベクトル の連想ゲームは それで結構で構わないが 雪江のガロア理論では登場しませんぜ 旦那ｗ）
（アルティン本でも 固有ベクトル出てこないぞｗ 固有ベクトルがガロア理論で使えるとか それ妄想ゲームじゃないの？ｗ）

詰んだかな？ｗ （＾＾

(参考)
https://www.nippyo.co.jp/shop/book/5471.html
代数学2　環と体とガロア理論
雪江　明彦 著 発刊年月 2010.12
第4章　ガロア理論
　4.7　円分体
　4.8　作図問題
　4.9　クンマー理論
　4.10　方程式の可解性
　4.11　正規底*
　4.12　トレース・ノルム*
　4.13　ヒルベルトの定理90*
　4.14　クンマー理論再考*
　4.15　アルティン-シュライアー理論*
　4.16　4次多項式のガロア群*

>>598
(引用開始)
ツッコミ返し　２
>>592
＞“可解群”という 適切な専門用語を使うべし
＞勿論 ”巡回群”で 全くダメということはないだろうが
＞「”巡回群”だ？ 説明してみろ！」だろうね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
有限群の場合は、同値な定義として
「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」
というものもある。
（中略）
多項式のガロア群の場合は、巡回群はある体の上の冪根に対応する。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
最後の行が成り立つ理由を582-583で説明してるので
教授がそれに対して説明を求めることは絶対にないですね
不勉強な学生が「ちょっとなにいってんのかわかんない」
ということは大いにありますが
(引用終り)

おれには、アホの言い訳にしか聞こえないなｗ
１）院試の口頭試問では、キチンと専門用語があるときは それを適切に使うべし
２）”可解群”という適切な用語があるのに、”巡回群”とか 幼稚
　かつ、上記で重要キーワードが ”組成列”と ”素数位数の巡回群”
　単に ”巡回群”は、舌足らず
３）御大くらい大物なら ご愛敬だが
　専門用語が適切でないと 普通は
「こいつ 素人くさい」と言われるだけｗ（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E6%88%90%E5%88%97
組成列（そせいれつ、英: composition series）は、抽象代数学における概念の一つであり、与えられた群や加群といった代数的構造を、代数的により単純な構造の単純群や単純加群に分解する手掛かりを与えるものである。
各添字 1 ≤ i ≤ n について Gi−1 は Gi の正規部分群