「永田」では、有限体の有限拡大が巡回拡大であることの証明に、Galoisの基本定理と「位数n有限アーベル群が、nの各約数dに対して、位数dの部分群が高々1個しか存在しなければ巡回群 (*)」を使っているが、この定理はFrobenius写像を使って具体的に証明できるわけなので、よい証明ではないと思う