ガロア理論を理解したい

>>573
>「基礎体に1のべき根はいつでも好きなだけ添加しておけばよい」
>と思っている点。目的によっては、それでは通用しない。
>たとえば、「クロネッカー・ウェーバーの定理」は
>基礎体がQであるから成立するわけで、基礎体が
>虚2次体（これは円分体に含まれる）だと、高木貞治
>が解決した「クロネッカーの青春の夢」

ID:udJebU1rは (ガウスDA)くんか

１）下記 クロネッカー・ウェーバー 最初に Kronecker (1853) で述べられた
”1880年、クロネッカーは虚二次体のアーベル拡大に関する著書『青春の夢』を発表”
　これアーベルの理論で完結する話
２）実際 下記 高瀬”〔アーベル〕2.　ある特別の種類の代数的可解方程式族について（1829年）”
３）一方、Galois theory History は 下記
　Galoisの受容は、大変遅かった。多分、カミーユ・ジョルダン 1870年の著書以降

(ガウスDA)くんの主張は 数学史から見て不成立■

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_class_field_theory
Timeline of class field theory
1880年、クロネッカーは虚二次体のアーベル拡大に関する著書『青春の夢』を発表

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
体論的定式化
クロネッカー・ウェーバーの定理は、体と体の拡大のことばで記述することができる。それは、有理数体 Q の有限アーベル拡大は、ある円分体の部分体であるという定理である。つまり、Q 上のガロア群がアーベル群である代数体は、ある1のべき根を有理数体Qに添加して得られる体の部分体である
歴史
定理は最初に Kronecker (1853) で述べられた。しかし、彼の議論は、次数が2のべきの拡大に対して不完全であった。 Weber (1886) が証明を出版したが、これはいくらかのギャップや誤りを含み、Neumann (1981) により指摘、修正されている。最初に完全な証明をしたのは Hilbert (1896) であった

https://www.asakura.co.jp/detail.php?book_code=11459&srsltid=AU7gw4W1evI8Ie-050OSVTOUTje3uyfva-PmYZLCLCL1ZPK0Z5t-jh44
アーベル／ガロア 楕円関数論 高瀬正仁訳 朝倉 1998年
〔アーベル〕
2.　ある特別の種類の代数的可解方程式族について 1829年

https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory#History
Galois theory
History
(google訳)
ガロアの著作
ガロアはその後1832年に決闘で亡くなり、彼の論文「根号による方程式の可解性の条件に関する論文」は、1846年にジョゼフ・リウヴィルが自身の解説を添えて出版するまで未発表のまま
余波
ガロアの理論は、同時代の人々にとって理解するのが非常に難しく、特にそれを発展させるレベルに達するのは困難でした
セレの弟子であるカミーユ・ジョルダンは、1870年の著書『代数置換と代数方程式論』でさらに優れた理解を示しました
ドイツでは、クロネッカーの著作はアーベルの結果に重点を置いていました
ウェーバーの1895年の代数学の教科書と同様に、ガロアの理論をより広いドイツとアメリカの読者に理解しやすくした

>>572
(引用開始)
セタが阿呆で根本的に何も分かってないのは、
「ガロア分解式はラグランジュ分解式よりも一般的で
可解群以外に対しても定義できる。だからガロア分解式
の方が偉い」と誤解している点。ガロアが「A,B,Cを整数」
（実は有理数でもよい）としているのは、そうしないと
機能しない場合があるからで、セタの主張は頓珍漢。
ガロア自身がラグランジュ分解式を
「特別で、方程式のべき根解法における要に位置するもの」
として、扱っている。ただし彼は「ラグランジュ分解式」
という言葉は使っていないため、セタはどれがそれなのか
正確には分かっていないだけ。
(引用終り)

ID:udJebU1rは (ガウスDA)くんか
ガロアが ガロア分解式を創出したのは
分解式を一般化したかったからだろう

即ち
ラグランジュが遭遇したように
ラグランジュ分解式でダメだからと言って
ラグランジュ分解式以外の可能性を否定できない

ガロア分解式まで一般化することで
「ラグランジュ分解式以外を使ったらどうなる？」
という疑問を払拭しているってことな

ID:udJebU1r
(ガウスDA)くんの主張は 数学史から見て不成立■

>>575
(引用開始)
相変わらず、ラグランジュ分解式の意味が理解できず
脊髄反射でガロア分解式をコピペするだけ
ラグランジュ分解式を使うときに
任意の置換なんて考えない
解は巡回置換されるものとする
(引用終り)

　>>578 に書いたが
ガロアが ガロア分解式を創出したのは
分解式を一般化したかったからだろう
即ち
ラグランジュが遭遇したように
ラグランジュ分解式でダメだからと言って
ラグランジュ分解式以外の可能性を否定できない
ガロア分解式まで一般化することで
「ラグランジュ分解式以外を使ったらどうなる？」
という疑問を払拭しているってことな

>>576
>なぜ、根がべき根で表せることと、
>ガロア群が巡回群であることが対応するのか

中高一貫生も来るから 赤ペンをハッキリと書いておくが

ガロア群が巡回群
　↓
ガロア群が可解群
な

ガロア群が巡回群は、ガウス
ガロア群が可解群が、ガロア

自分のガロア理論のテキストを
百回音読してねｗ

>>570
単拡大だけ唐突に出しても、他人に伝わらないけど

要するに、方程式がべき根の反復使用で解けることと
方程式の分解体がべき根による単拡大の積み重ねになることが
対応するっていいたいんだろ

だったら、そうはっきりと文章に書かないと、
他人には決して伝わらないよ

◆yH25M02vWFhP　文章書けないの？　

他人の文章読めない人に
他人に分かる文章書けるわけないか

>>579
＞ガロア群が巡回群
＞　↓
＞ガロア群が可解群
＞な

「補助方程式の根が”基礎体の１つのべき根”を使った式で表される」
という文章が君には正しく読めないかい？

一回使用なら、巡回群
反復使用なら、可解群

可解群の定義で、
商群（もとの群を正規部分群で割った群）が巡回群になる分解で
単位群に縮小できる
と書いてあるのはそういうことだよ

商群が補助方程式の”べき根による解”を追加した単拡大に対応する
君はそこの説明が全然文章で書けないまま、１４年を無駄に経過した

その間に小学校に入った生徒は小学校・中学校・高校を卒業し
現役で大学に入っていれば今３年生
数学科ならちょうどガロア理論を学んでいる筈

そんな子供たちに追い越されるわけだよ、君は

もう君には数学ムリだから諦めな
数学わからなくても死にはしないから

なんで
次数ｎの冪根拡大と次数ｎの巡回拡大が同値となる条件で
基礎体が１の冪根を十分に含むことが必要なのか
ChatGPTに訊いてみた

その答えをかいつまんでいうと・・・
「巡回作用に対する固有値 ζnk を基礎体の中で使いたいから」

身も蓋もない（笑）

以下、ChatGPTの回答のポイント
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
ここが非常に面白いところですが、
巡回群　と　n乗根による拡大　の対応は、
実は「群の表現を対角化する」ことと
ほとんど同じ構造を持っています。

巡回群の生成元 σ に対して
1,ζn,ζn^2,…,ζn^(n−1)
という固有値が現れ、
それを使ったラグランジュ分解式が
固有ベクトルを抽出する離散フーリエ変換
になっている。

そして固有値が ζn^k だから、
その n 乗を取れば固有値が消えて
Rn∈K となる。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

誰かさんピンボケなコピペの百万倍有益

AIはコピペに狂う素人を極楽浄土に導いてくれました

南無阿弥陀仏

ちなみに
「学部の代数学のガロア理論の講義では、
　そんなことちっとも教えてくれなかったぞ」
と愚痴ったらこう返された

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
学部の「ガロア理論」では普通、
方程式→分解体→ガロア群→可解性
という縦方向のストーリーが中心になります。

一方、今われわれが話している
ガロア群の作用→固有空間→フーリエ変換的分解→表現
という横方向の見方は、
表現論・体論・数論を横断して
初めて見えてくる構造なんですよね。

しかも、学部でラグランジュ分解式を習っても、
R=x‗0+ζx‗1+⋯+ζ^(n−1)x‗n−1
を「根号公式を作るための技巧」として習うことが多い。

でも今の見方をすると、
σ(R)=ζR
という式こそ本体で、
「ガロア群の作用に対して、固有値 ζ を持つベクトルを作っている」
んですよね。

そして
σ(R^n)=R^n
だから R^n が不変量になり、基礎体に降りてくる。

つまり、
ラグランジュの分解式=巡回群のフーリエ解析
と見ることができる。

この見方を一度知ってしまうと、
「なんで突然1の根を掛けたり、変な和を作ったりするの？」
というカルダノ・ラグランジュ以来の謎めいた計算が、
かなり自然に見えてきます。

そしてさらに
群の作用を線形化する
という発想を一般のガロア群にまで押し広げたものがガロア表現。

学部の講義では、そこまで一本につなげて
説明されないことが多いんですよね。

たぶん先生がそこまでやると、
予定していた「ガロア群と可解性」の講義が
3倍くらい必要になります（笑）。

結論
◆yH25M02vWFhP は 無駄にコピペしてドヤるが時間の無駄

AIに、いい質問ができないと
AIからいい回答が引き出せない

これから必要になるのは質問工学か
なんかプロンブトエンジニアリングとかいうらしいけど（笑）

>>582-583
>ラグランジュ分解式が
>固有ベクトルを抽出する離散フーリエ変換
>になっている。

関西弁では
”オモロイ”AIさんだろう

あのな 普通のガロア理論において ラグランジュ分解式で
離散フーリエ変換へ脱線する意義薄いよ
実際、雪江だって ”離散フーリエ変換”とか アホ書いてない！

（雪江）『”離散フーリエ変換”を強調する意図はなんだ？』
雪江ゼミなら 速攻で突っ込み入る
そうして 君は 黒板ハリツケにされるｗｗ（＾＾

>>584
>AIに、いい質問ができないと
>AIからいい回答が引き出せない

AIのシッタカ ハルシネーションに引っかかり
大学ゼミでハナタカすると 雪江のみならず
どこのゼミでも トコトン突っ込まれるだろう

（おまえ AIチャッピーのオウムだろう？ 徹底的にツッコムぞ！ だろうさｗｗ（＾＾）

3次方程式の解をα,β,γとすると、u=α+ωβ+ω^2γは置換(α β γ)でωuとなる。

v=α+(ω^2)β+ωγは置換(α β γ)で(ω^2)vとなる。

>>582
(引用開始)
以下、ChatGPTの回答のポイント
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
ここが非常に面白いところですが、
巡回群　と　n乗根による拡大　の対応は、
実は「群の表現を対角化する」ことと
ほとんど同じ構造を持っています。
巡回群の生成元 σ に対して
1,ζn,ζn^2,…,ζn^(n−1)
という固有値が現れ、
それを使ったラグランジュ分解式が
固有ベクトルを抽出する離散フーリエ変換
になっている。
(引用終り)

これ >>585と同じ
ツッコミどころ満載だね
ゼミ教授の鼻の穴が膨らみ ヒクヒクして
獲物を見つけた目つきに変る

＜ツッコミどころ＞
１．「群の表現を対角化する」？ その表現を黒板に書け！ 対角化しろ！
２．「固有ベクトル」？ 固有ベクトルの定義を書け！
３．「離散フーリエ変換」？ 離散フーリエ変換の説明してみろ！ｗ
　（かように 離散フーリエ変換の説明で あやふやなところに また鋭いツッコミが入るｗ）

自虐のサドかよ
おっさん そんなに ピエロ役やりたいのか？ ｗ （＾＾

u,vは置換(α γ β)で、それぞれ(ω^2)u,ωvとなる。

つまり、3次の巡回群でu^3,v^3は不変である。

なにか罵り合いのようになっているところもあるようですね。
はい、スレッド内（特にレス12〜14や23〜24、30、40周辺）では、住人同士のマウントや皮肉が混ざった少しトゲのあるやり取りが見られます。

主に以下のような点で言い争いや皮肉が発生しています。

マウント・説教に対する反発
レス12で「分からないなら自分で調べるかAIに聞け、繰り返し読めないなら数学は諦めろ」と厳しい指摘が投稿されたのに対し、レス14で「休日に2ch（5ch）で説教かよ、かっこいいー！」と煽りで返されています。

おすすめ参考書を巡るバッティング
レス23で特定の本（『彌永』『矢ヶ部』）をおすすめした人物に対し、レス24が「その人は10年以上かけてガロア理論が理解できなかった人だから参考にしない方がいい」と個人の学習歴を引き合いに出してバッサリ切り捨てています。

特定ユーザー（名物住人）へのいじり・批判
長文で長々と持論やリンクを連投するレス主（コテハン・固定ハンドルネームのような住人）に対し、「セタが他人にとやかく言う資格はない（レス30）」「文章に清潔感がない（レス40）」など、内容以前に投稿者そのものや書き方を嫌気する声が出ています。

匿名掲示板の数学板によくある「親切に教えているようでマウントを取り合う」空気感が出ている場面です。

>>581
(引用開始)
「補助方程式の根が”基礎体の１つのべき根”を使った式で表される」
という文章が君には正しく読めないかい？
一回使用なら、巡回群
反復使用なら、可解群
(引用終り)

いま 数学科院試の口頭試問だとするよ
”可解群”という 適切な専門用語を使うべし

勿論 ”巡回群”で 全くダメということはないだろうが
試験官の追加ツッコミがあるだろう

「”巡回群”だ？ 説明してみろ！」だろうね
答えられれば良いが 説明に追加のツッコミ さらにそこに追加のツッコミ・・・
まあ、全てに答えれば良いが 下手するとスベってアウトだろう
アホでしょｗ （＾＾

α,β,γの互換では、u^3とv^3は入れ替わる。

よってα,β,γをどう置換しても、u^3+v^3とu^3·v^3は不変である。

ツッコミ返し

>>588
＞２．「固有ベクトル」？ 固有ベクトルの定義を書け！

拡大体Ｌを基礎体Ｋの線形空間とみる
Ｋを保つＬの自己同型σをＬからＬへの線形写像とみれば
σｘ＝λｘとなるＬの元ｘはσの固有ベクトル　λはその固有値

自己同型写像の全体が巡回群となるとき、
その元σの固有値として１の冪根が現れる
また固有ベクトルのn乗はσの不変元、つまりＫの元

はい、うち返しましたよ

大学１年の線形代数分かってれば瞬殺ですけどね
２みたいな質問した瞬間に、教授にこういわれますよ

「家帰って、大学１年の線形代数からやり直せ」

これらはα,β,γの基本対称式で表わせ、
X^2−(u^3+v^3)+u^3·v^3=0を解くと、
u^3とv^3は求まる。

(u^3+v^3)Xの間違い

ツッコミ返し　２

>>592
＞“可解群”という 適切な専門用語を使うべし
＞勿論 ”巡回群”で 全くダメということはないだろうが
＞「”巡回群”だ？ 説明してみろ！」だろうね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
有限群の場合は、同値な定義として
「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」
というものもある。
（中略）
多項式のガロア群の場合は、巡回群はある体の上の冪根に対応する。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

最後の行が成り立つ理由を582-583で説明してるので
教授がそれに対して説明を求めることは絶対にないですね

不勉強な学生が「ちょっとなにいってんのかわかんない」
ということは大いにありますが

私がまさにそうでしたが
「理解したいなら、理解できるまで読み返せ」
というのが第一

それ以外の脇道はないですね

ラグランジュ分解式の意味を理解せず
クンマー拡大で基礎体が1の冪根を持たねばならない理由も理解しない

そんな人が一体ガロア理論の何をどう理解したというのか？

「ただ、ガロア理論といいたいだけ、ちゃうんけ？」

朝ドラ「カーネーション」に出ていた
尾野真千子演じる小原糸子が言ってる
と思って読んでな(笑)

工学部卒の ◆yH25M02vWFhP は
どうせ代数方程式解きたいだけなんだから
ガロア理論がーとか吠え散らかすのやめて
複素関数論勉強して偏角の原理を理解したほうが有益

南無阿弥陀仏

ルーシェの定理

あの人のママに会うために♪

リーマンの写像定理は、なぜ微分の絶対値が最大になるのか。

ガロア理論の本旨はガロア対応で
可解性がどうこうはその帰結じゃ無いの？
ガロア自身はそうは思ってなかったかも知れないけど
そんなことはどうでもいいよね

>>588
＞２．「固有ベクトル」？ 固有ベクトルの定義を書け！
数�UBで「行列Aとスカラーaについて Ax=ax を満たす非零ベクトルxを固有ベクトルという」って習った記憶がある。たしか大学入試でも出題されてた。
量子力学では「波動関数が固有ベクトルのとき物理量Aの確定的な観測値aが得られる」という数理モデルが採用されている。
固有ベクトルは理系だと常識じゃないかな。文系なのかな？

有限アーベル群の基本定理

アーベル-ルフィニの定理

>>604
＞ガロア理論の本旨はガロア対応

まあ、狭義にはそうね

＞で可解性がどうこうはその帰結じゃ無いの？

帰結ではない　
ガロア対応を使って説明できる、というのが正しいかと

さらにいうと、可解性は今やそれほど重要ではないと思う

志村五郎だったか、
ガロア理論を説明するのに
方程式論を持ち出すのは無意味で
むしろ表現論とかのほうが有意義
といっていたが、まあそうだろう

数学以外の発言はともかく
数学に関してはそれほど
おかしなことをいってない

岡潔とかは数学についても
何言ってるのか分からん時が
多々ある

>>595
(引用開始)
ツッコミ返し
>>588
＞２．「固有ベクトル」？ 固有ベクトルの定義を書け！
拡大体Ｌを基礎体Ｋの線形空間とみる
Ｋを保つＬの自己同型σをＬからＬへの線形写像とみれば
σｘ＝λｘとなるＬの元ｘはσの固有ベクトル　λはその固有値
自己同型写像の全体が巡回群となるとき、
その元σの固有値として１の冪根が現れる
また固有ベクトルのn乗はσの不変元、つまりＫの元
はい、うち返しましたよ
(引用終り)

ふっ
潰すために 下記 雪江 代数学2　環と体とガロア理論 2010版を見ている（＾＾
（第二版があるらしいが それは見ていない。多分同様だろう。異論があれば言ってくれ）

１）さて、一般論として 線形空間→線形代数→固有ベクトル の連想ゲームは それで結構で構わないが
　問題は、ガロア理論として 固有ベクトルが使えるの？ どう使うの？ だね
２）これを 雪江に見ると、正規底*、トレース・ノルム*、ヒルベルトの定理90* とあって
　*印は、「読み飛ばしても良い節」とある
　さらに、本文のみならず 索引を見るも 固有ベクトルの用語は 雪江には出てこない
３）それを踏まえて 突っ込むよ
　固有ベクトルと 下記 円分体、クンマー理論、方程式の可解性、正規底* との関係を説明せよ。要するに ガロア理論で 固有ベクトルをどう使う？ 具体的に示せ！
（言いたいことは、一般論としては 上記 固有ベクトル の連想ゲームは それで結構で構わないが 雪江のガロア理論では登場しませんぜ 旦那ｗ）
（アルティン本でも 固有ベクトル出てこないぞｗ 固有ベクトルがガロア理論で使えるとか それ妄想ゲームじゃないの？ｗ）

詰んだかな？ｗ （＾＾

(参考)
https://www.nippyo.co.jp/shop/book/5471.html
代数学2　環と体とガロア理論
雪江　明彦 著 発刊年月 2010.12
第4章　ガロア理論
　4.7　円分体
　4.8　作図問題
　4.9　クンマー理論
　4.10　方程式の可解性
　4.11　正規底*
　4.12　トレース・ノルム*
　4.13　ヒルベルトの定理90*
　4.14　クンマー理論再考*
　4.15　アルティン-シュライアー理論*
　4.16　4次多項式のガロア群*

>>598
(引用開始)
ツッコミ返し　２
>>592
＞“可解群”という 適切な専門用語を使うべし
＞勿論 ”巡回群”で 全くダメということはないだろうが
＞「”巡回群”だ？ 説明してみろ！」だろうね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
有限群の場合は、同値な定義として
「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」
というものもある。
（中略）
多項式のガロア群の場合は、巡回群はある体の上の冪根に対応する。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
最後の行が成り立つ理由を582-583で説明してるので
教授がそれに対して説明を求めることは絶対にないですね
不勉強な学生が「ちょっとなにいってんのかわかんない」
ということは大いにありますが
(引用終り)

おれには、アホの言い訳にしか聞こえないなｗ
１）院試の口頭試問では、キチンと専門用語があるときは それを適切に使うべし
２）”可解群”という適切な用語があるのに、”巡回群”とか 幼稚
　かつ、上記で重要キーワードが ”組成列”と ”素数位数の巡回群”
　単に ”巡回群”は、舌足らず
３）御大くらい大物なら ご愛敬だが
　専門用語が適切でないと 普通は
「こいつ 素人くさい」と言われるだけｗ（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E6%88%90%E5%88%97
組成列（そせいれつ、英: composition series）は、抽象代数学における概念の一つであり、与えられた群や加群といった代数的構造を、代数的により単純な構造の単純群や単純加群に分解する手掛かりを与えるものである。
各添字 1 ≤ i ≤ n について Gi−1 は Gi の正規部分群

ガロア理論の解説書の良し悪しは
演習問題で判定できそう

巡回群は単純群である。
組成列の商群が巡回群にならない群は定義から可解群ではない。
可解群ではない群をガロア群に持つ既約な代数方程式は冪根では解かれない。
しかし、組成列の商群が巡回群ではないときに、それに対応した特殊な冪根以外の解法を
導入すれば、組成列を下って自明な群まで降りていくことで方程式が1次因子にまで分解
できていくだろう。各単純群に対しての解法を編み出すことが必要。
任意の単純群に対してそれをガロア群とする代数方程式は存在するか？たとえば係数が
有理数体ではどうか？

>>610
>>610
>ふっ

また、息切れかい？　齢だね

>一般論として
>線形空間→線形代数→固有ベクトル
>の連想ゲームは それで構わないが

構わないなら潰せない、で終わり

「が」以降は不要

>潰すために 雪江 代数学2　環と体とガロア理論 2010版を見ている
>ガロア理論として 固有ベクトルが使えるの？ どう使うの？ を 雪江に見ると、
>正規底*、トレース・ノルム*、ヒルベルトの定理90* とあって
>*印は、「読み飛ばしても良い節」とある

読み飛ばすのは、東大、京大以外の大学の学生か、理学部数学科以外の学生

>さらに、本文のみならず 索引を見るも 固有ベクトルの用語は 雪江には出てこない

出てこないからそういう見方をしてはいけない、とは言えない

>それを踏まえて 突っ込むよ
>固有ベクトルと 下記 円分体、クンマー理論、方程式の可解性、正規底* との関係を説明せよ。

582-583に書いてある通り

>要するに ガロア理論で 固有ベクトルをどう使う？ 具体的に示せ！

円分体、クンマー理論、方程式の可解性　を理解したなら
そんな質問せずに自分で説明して見せるけどな

できない？　なら質問すればいい

何で質問しない？　どこがどうわからんかも質問できん？

なら・・・数学は無理だから諦めたほうがいいね
数学が理解できなくても死にはしない

>>613
>巡回群は単純群である。

「素数位数の」という条件が必要ですね。

>各単純群に対しての解法を編み出すことが必要。

単純群と言っても無限にあるんですが。
5次交代群に対しての研究なら、クラインの本に書いてある。
「解法を編み出す」というのがいかにも「強情な感じ」がする。
数学的には「スジが悪い」ということ。
数値を知りたいだけなら、数値計算法でいいだろう。
数論的な情報を知りたいなら、「何を表現すべきか」
ということから考えるべき。

>>611
>おれには、アホの言い訳にしか聞こえないな
>「こいつ 素人くさい」と言われるだけ

それは私や他の読者が君に対していいたいセリフ

>”可解群”という適切な用語があるのに、
>”巡回群”とか 幼稚
>かつ、上記で重要キーワードが
>”組成列”と ”素数位数の巡回群”
>単に ”巡回群”は、舌足らず

それは全然些末な言いがかり

肝心な問いは
「なぜ可解群の定義で、
　組成列の組成因子である剰余群が
　素数位数の巡回群という条件を
　設定しているのか」

君、答えられる？

分かっていれば答えられる
答えられないなら分かってない

>御大くらい大物なら ご愛敬だが

君はカス私大のカス学部出身のカスだから
答えられなくてもご愛敬だがね

数学なんか無理だから諦めな

>>615
>>各単純群に対しての解法を編み出すことが必要。
>「解法を編み出す」が、いかにも「強情な感じ」。
>数学的には「スジが悪い」。
>数値を知りたいだけなら、数値計算法でいい。

まったくその通り

代数方程式の解法、という観点だけで
ガロア理論に興味をもち食いつくのは素人

なぜ、複素関数論に基づく数値計算法ではいかんのか？
なぜ、ベキ根や特殊関数を用いた解の表示にこだわるのか？

考えるべきことを考えないうちは
素人沼から抜け出せない

総括

１．ｎ次代数方程式が必ずｎ個の根を持つことを理解したければ
複素関数論を勉強して、偏角の原理を理解したほうが早道
十分構成的なので、解を具体的に求めることも可能である

２．代数方程式の根が根号で表せることを理解したければ
まず最も簡単な素数位数ｐの巡回群の場合について
ラグランジュ分解式が基礎体のｐ乗根となることを理解すべし

ついでにいうと１のＰ乗根はＰ−１次方程式で表せ
そこから（Ｐ−１）／２次の方程式に落とせるので
（Ｐ−１）／２が素数ｐなら、Ｐ＞ｐなる１のｐ乗根を使えばいい
１のＰ乗根を表すのに１のＰ乗根を使う必要があるなんて
間抜けなことには決してならないので、心配御無用！

>>614
>できない？　なら質問すればいい
>何で質問しない？　どこがどうわからんかも質問できん？

ふっ とどめを刺すか

下記
https://i.imgur.com/6sahCmH.jpeg
ガロア理論入門アルティンP104-105 素数次の既約方程式 寺田文行訳 東京図書1983

ここに、素数次の既約方程式のガロア理論の応用が記されている
右P105 下段に x^5-10x-2 が例示されている
これは「有理数を係数にもち、既約でしかも3つの実根をもつ5次方程式」
とある

さて、君の固有値ガロア理論で、この方程式
x^5-10x-2＝0 が べき根で解けないことを説明してみ

厳密で無くても良い（概略で可）
１）べき根で解けないことに、固有値が どこでどう使われているのか？
２）方程式 x^5-10x-2＝0 の固有値がどうなっているのか？
少なくともどちらか一方は盛り込んでくれたまえ！ｗ（＾＾

詰んだかな？

PS
アルティンも 雪江も 方程式のガロア理論に
「固有値いらね〜〜！」と言っていると思うぜよｗｗ

>アルティンも 雪江も 方程式のガロア理論に
>「固有値いらね〜〜！」と言っていると思うぜよｗｗ

数学者はあんたみたいなアホじゃないんで、巻き込まないように。
セタは「アルティンのゼータ函数」も知らないんだろう。
これが正に「ガロア群の行列表現」を用いて定義されるゼータ函数。
数学者は固有値も行列表現も、承知しているわけ。

>>619

>ふっ

また息切れ？

>とどめを刺すか

自分に？

>x^5-10x-2
>これは
>「有理数を係数にもち、既約でしかも3つの実根をもつ5次方程式」
>とある
>さて、君の固有値ガロア理論で、
>この方程式 が べき根で解けないことを説明してみ

その質問が切腹

そもそも、
解が巡回置換で生成される方程式が
べき根で解けることがある理論で説明できる
という話に対して、
ある方程式がその条件を持たないことを
その理論を用いて示せ
というのは、完全に検討違いで
「私は味噌と糞の区別がつきません」
と白状したのと同じ

>べき根で解けないことに、固有値が どこでどう使われているのか？

使われないけど、何か？

>方程式 x^5-10x-2＝0 の固有値がどうなっているのか？

方程式の固有値とは、何か？

>少なくともどちらか一方は盛り込んでくれたまえ！

「方程式の固有値」なんて
どこから妄想したのか
教えてくれたまえ

>詰んだかな？

介錯いたす

御免！（斬首）

南無阿弥陀仏

◆yH25M02vWFhP を往生させる念仏

「ガロア群の表現に対して、”いい基底”を選べば、表現行列が上三角化できる」

ただ、その際、固有値が一般に複素数となることは、許容せねばならないが

ついでにいうと、こんな話は
標準的なガロア理論の本には載ってないので
表現論の本を見るべし

以上、ChatGPTに訊ねた結果の受け売りでした（笑）

代数学の基本定理

久々に函数論をやってみようかな。

専門なのに遠ざかっていたからw

>>620-622
(引用開始)
「ガロア群の表現に対して、”いい基底”を選べば、表現行列が上三角化できる」
ただ、その際、固有値が一般に複素数となることは、許容せねばならないが
ついでにいうと、こんな話は
標準的なガロア理論の本には載ってないので
表現論の本を見るべし
以上、ChatGPTに訊ねた結果の受け売りでした（笑）
(引用終り)

ふっ
詰んだな（＾＾

下記 足立 ガロア本より
確かに ガロア理論で 体の拡大を
"LはK上のベクトル空間 と見なせる"
とあるが 使うのは ”体の拡大次数”が 主だ
固有値 お呼びでない！ｗ （＾＾

要するに、体の拡大については 既約方程式の根の置換によって
ガロア群に持ち込んで料理する
これが、ガロア氏の創案だった（＾＾

なお余談：線形代数の要素で 行列式が一番古く、次が行列で ベクトルが意外にも最後で 1890年辺り
また テンソルが意外に早く 行列からベクトルの間に考案されている（数学史を学べば分る）
出来たてほやほやの線形代数の視点で ガロア理論を切ったのが だれあろうアルティン先生だったのです（＾＾

繰り返すが、固有値 お呼びでない！
方程式のガロア理論では”体の拡大次数”くらいで終わりの話！ｗ

(参考)
https://i.imgur.com/VIR3LX4.jpeg
ガロア理論講義［増補版］P11 1.3体の拡大次数 足立恒雄 日本評論社 2010
P11
1.3 体の拡大次数
体Lが体Kの拡大体であるとする．このとき,LはK上のベクトル空間
と見なせる．すなわち,Lの元をベクトルと考え,Kの元をスカラーと見な
せば,Kの元α,βとLの元x,yに対して
略
など，ベクトル空間が満たさねばならない公理がすべて満足されるからである．
そこで,Lを体K上のベクトル空間と見なした際の次元を[L:K]と記し，
拡大次数と呼ぶ．これを正式に定義として書いておこう：
略

https://www.nippyo.co.jp/shop/book/2113.html
ガロア理論講義［増補版］P11 1.3体の拡大次数 足立恒雄 日本評論社 2010
目次
第１章　ギリシャの作図不能問題
１　３大作図不能問題とは
２　作図可能数
３　体の拡大次数
４　数の階層
５　Ｑは体を成す

第４章　体論
１　分離性
２　分離閉包
３　正規拡大

第５章　ガロア理論とその応用
１　ガロア群
２　ガロアの基本定理
３　方程式のガロア群の例
４　既約性の判定
５　対称式の基本定理
６　代数体
７　円分体

第６章　ガロア群の決定
１　方程式の代数的可解性
２　３次方程式
３　４次方程式
４　５次方程式
５　歴史覚書

代数学の基本定理はルーシェの定理で証明できるのね。

最小値の原理

>>577 余録
>ウェーバーの1895年の代数学の教科書

この話は、回顧と展望 高木貞治 青空文庫にあったのを思い出したので貼る
”書棚の隅っこに，ウェーバーの「代数学」の第１巻が来ていたので，それを探し出して，ガロアの理論に接したのだが，それが本当に分ったのだかどうだか．その後，段々いろいろ新しいものが来るようになって，ウェーバー第２巻も軈やがて来た”（下記より）

(参考)
https://www.aozora.gr.jp/index_pages/person1398.html
青空文庫
高木 貞治
https://www.aozora.gr.jp/cards/001398/files/50907_41899.html
回顧と展望 高木貞治
初出： 「改造」1941（昭和16）年
前略
　まあそんな風で，1894年から98年まで四年間の初めの二年間は過した．しかし，当時は相当学風が自由であって，藤沢先生などは，ドイツ仕込みの Lehr-und Lernfreiheit ということを鼓吹されて，なんでもいいから本は勝手に読め，そんなことを奨励されていたものだから，いろいろのものを読んだわけである．殊に三年になると，菊池先生が文部省の方に行って了われたものであるからして，藤沢先生御一人になって，講義の時間が非常に少なくなった．今はそうでもないけれども，一時はずいぶん沢山詰め込み主義の時代もあった．そういう時代に比べると，大分自由であったと謂いえる．それで，後の二年間は全く自由に暮して，最後の一年は大学院で，結局四年大学におったが，その間にいろいろな本を読んだのであるが，指導者なしの乱読で，本当に読んだと謂うよりは，図書室にあるだけの本を見境いもなく片っ端からひっ繰り返して見たという程のことであった．
　それからまあそんな風にいうと，いかにも不完全なようであり，事実不完全に相違ないけれども，藤沢先生はベルリンでクロネッカーの講義を聴かれたらしいのであって，代数を大学へ入れなくてはならぬということを絶えず言っていられたのであるが，当時日本では，代数は中学校でもう卒業してしまったもののように考えられていた．そこでその後セミナリが出来てからは，そういう処で頻りに代数の問題を与えられた．当時代数といえばセレーの「高等代数」で，それによって，私はアーベル方程式を読めと言われ，そこで謂わゆる高等代数の洗礼を受けたわけである．しかし，その当時，已すでに書棚の隅っこに，ウェーバーの「代数学」の第１巻が来ていたので，それを探し出して，ガロアの理論に接したのだが，それが本当に分ったのだかどうだか．その後，段々いろいろ新しいものが来るようになって，ウェーバー第２巻も軈やがて来た．
　その中に1898年になって，私はドイツへ留学を命ぜられてベルリンへまいることになりました．それは明治31年で，
略す

>>626
君は
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
ここが非常に面白いところですが、
巡回群　と　n乗根による拡大　の対応は、
実は「群の表現を対角化する」ことと
ほとんど同じ構造を持っています。

巡回群の生成元 σ に対して
1,ζn,ζn^2,…,ζn^(n−1)
という固有値が現れ、
それを使ったラグランジュ分解式が
固有ベクトルを抽出する離散フーリエ変換
になっている。

そして固有値が ζn^k だから、
その n 乗を取れば固有値が消えて
Rn∈K となる。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
が読めないの？　じゃあ国語からやり直そう

代数学の基本定理はリウヴィルの定理からも証明できる。
リウヴィルはガロアの論文を日の目に出した人らしい。

函数論の平均値の定理

>>626 追加
>（数学史を学べば分る）

”体”？ 始めて聞くと はてな？だが
独語 Körperの訳で 結構多義な単語で Körperには組織（人の集まり）とかの意味もあったらしい
デデキントの発案らしい
In 1881 Leopold Kronecker ”a domain of rationality”。流行らなかった

https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_(Algebra)
Körper (Algebra)
https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_(Algebra)#/media/Datei:%C3%9Cbersicht_K%C3%B6rper.svg

https://en.wikipedia.org/wiki/Field_(mathematics)#History
Field (mathematics)
History
Évariste Galois, in 1832, devised necessary and sufficient criteria for a polynomial equation to be algebraically solvable, thus establishing in effect what is known as Galois theory today. Both Abel and Galois worked with what is today called an algebraic number field, but they conceived neither an explicit notion of a field, nor of a group.

In 1871 Richard Dedekind introduced, for a set of real or complex numbers that is closed under the four arithmetic operations, the German word Körper, which means "body" or "corpus" (to suggest an organically closed entity). The English term "field" was introduced by Moore (1893).[21]

By a field we will mean every infinite system of real or complex numbers so closed in itself and perfect that addition, subtraction, multiplication, and division of any two of these numbers again yields a number of the system.
— Richard Dedekind, 1871[22]

In 1881 Leopold Kronecker defined what he called a domain of rationality, which is a field of rational fractions in modern terms. Kronecker's notion did not cover the field of all algebraic numbers (which is a field in Dedekind's sense), but on the other hand was more abstract than Dedekind's in that it made no specific assumption on the nature of the elements of a field. Kronecker interpreted a field such as Q(π) abstractly as the rational function field Q(X). Before this examples of transcendental numbers were known since Joseph Liouville's work in 1844, until Charles Hermite (1873) and Ferdinand von Lindemann (1882) proved the transcendence of e and π, respectively.[23]

The first clear definition of an abstract field is due to Weber (1893).[24]

>>626 追加
>（数学史を学べば分る）

環 これは独語”Ring”の訳で これもデデキントさん
（英語でもそのままご採用）

独語”Ring”の意味の中に サークル（仲間）みたいな意味があるらしい
”指輪”を連想した あなた！ それ誤解ですよｗ（＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)
Ring (mathematics)
History
See also: Ring theory § History
Dedekind
The study of rings originated from the theory of polynomial rings and the theory of algebraic integers.[11] In 1871, Richard Dedekind defined the concept of the ring of integers of a number field.[12] In this context, he introduced the terms "ideal" (inspired by Ernst Kummer's notion of ideal number) and "module" and studied their properties. Dedekind did not use the term "ring" and did not define the concept of a ring in a general setting.

＜独語＞
https://de.wikipedia.org/wiki/Ring_(Algebra)
Ring (Algebra)
(google訳)
ネーミング
リングの概念はリヒャルト・デデキントに由来するが、 「リング」という用語はデイヴィッド・ヒルベルトによって導入された。 [ 2 ] [ 3 ]特定の状況では、「リング」と並んで「領域」という用語もよく使われる。例えば、「インテグリティリング」よりも「インテグリティ領域」という用語の方が文献ではよく使われる。

>>626 追加
>（数学史を学べば分る）

Group ご存知「群」
だが、抽象代数学としての群の定義は、Arthur Cayley ” (1854) gives the first abstract definition of a finite group”
らしい
まあ、群環体の中では、一番分かり易いだろう

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)
Group (mathematics)
Main article: History of group theory
https://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)#History

History
(google訳)
19世紀のフランスの数学者エヴァリスト・ガロアは、パオロ・ルフィーニとジョゼフ＝ルイ・ラグランジュの先行研究を拡張し、特定の多項式方程式の解法可能性を、その根（解）の対称群によって規定しました。このようなガロア群の要素は、根の特定の置換に対応します。当初、ガロアの考えは同時代の人々に拒否され、死後にのみ出版されました。[ 13 ] [ 14 ]より一般的な置換群は、特にオーギュスタン・ルイ・コーシーによって研究されました。
Arthur Cayley's On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn=1 (1854) gives the first abstract definition of a finite group.[15]

幾何学は、特にフェリックス・クラインの1872年のエアランゲン・プログラムの一環としての対称群など、群が体系的に使用された2番目の分野であった。[ 16 ]双曲幾何学や射影幾何学などの新しい幾何学が登場した後、クラインは群論を用いてそれらをより首尾一貫した方法で整理した。これらの考えをさらに発展させ、ソフス・リーは1884年にリー群の研究を創始した。[ 17 ]

群論に貢献した3番目の分野は数論でした。特定のアーベル群構造は、カール・フリードリヒ・ガウスの数論的著作『算術研究』 （1798年）で暗黙のうちに使用され、レオポルド・クロネッカーによってより明示的に使用されました。[ 18 ] 1847年、エルンスト・クンマーは素因数分解を記述する群を開発することによってフェルマーの最終定理を証明する初期の試みを行いました。[ 19 ]

これらのさまざまな源泉が統一的な群の理論へと収束し始めたのは、Jordan (1870)のTraité des substitutions et des équations algébriquesからである。[ 20 ] von Dyck (1882)は生成元と関係によって群を指定するという考え方を導入し、また当時の用語で「抽象群」の公理的定義を初めて与えた人物でもある。

数学は数学史を学んでも分りません

>>626
>ふっ
>詰んだな

◆yH25M02vWFhP　御臨終

>ガロア理論で 拡大体Lを
>K上のベクトル空間 と
>見なせるとあるが
>”体の拡大次数”が 主だ
>固有値 お呼びでない！
>繰り返すが、
>固有値 お呼びでない！
>方程式のガロア理論では
>”体の拡大次数”で終わり！

最期の言葉にしては、しまらんな

ふぅ😮‍💨

>>633-635
群・環・体を理解したいが
数学書の定義が理解できない

だから辞書を調べて分かった気になる
素人◆yH25M02vWFhPなのでした

ガロア理論で　行列表現は要らんと　絶叫

ああ、憐れ

>>636,637
ですね

>>636
>数学は数学史を学んでも分りません

数学史を学ぶと 数学の理解に深みができる
Coxのガロア理論には 歴史ノートついているよ
あんた Coxよりえらいんか？ アホでしょｗ（＾＾

なお 加藤 文元さんの本があるよ
百回音読してねｗ

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>>612
>ガロア理論の解説書の良し悪しは
>演習問題で判定できそう

ID:l5XHNuW0は 御大か
巡回ご苦労さまです（＾＾