ガロア理論を理解したい

何から始めればいいですか

ちなみに
「学部の代数学のガロア理論の講義では、
　そんなことちっとも教えてくれなかったぞ」
と愚痴ったらこう返された

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
学部の「ガロア理論」では普通、
方程式→分解体→ガロア群→可解性
という縦方向のストーリーが中心になります。

一方、今われわれが話している
ガロア群の作用→固有空間→フーリエ変換的分解→表現
という横方向の見方は、
表現論・体論・数論を横断して
初めて見えてくる構造なんですよね。

しかも、学部でラグランジュ分解式を習っても、
R=x‗0+ζx‗1+⋯+ζ^(n−1)x‗n−1
を「根号公式を作るための技巧」として習うことが多い。

でも今の見方をすると、
σ(R)=ζR
という式こそ本体で、
「ガロア群の作用に対して、固有値 ζ を持つベクトルを作っている」
んですよね。

そして
σ(R^n)=R^n
だから R^n が不変量になり、基礎体に降りてくる。

つまり、
ラグランジュの分解式=巡回群のフーリエ解析
と見ることができる。

この見方を一度知ってしまうと、
「なんで突然1の根を掛けたり、変な和を作ったりするの？」
というカルダノ・ラグランジュ以来の謎めいた計算が、
かなり自然に見えてきます。

そしてさらに
群の作用を線形化する
という発想を一般のガロア群にまで押し広げたものがガロア表現。

学部の講義では、そこまで一本につなげて
説明されないことが多いんですよね。

たぶん先生がそこまでやると、
予定していた「ガロア群と可解性」の講義が
3倍くらい必要になります（笑）。

結論
◆yH25M02vWFhP は 無駄にコピペしてドヤるが時間の無駄

AIに、いい質問ができないと
AIからいい回答が引き出せない

これから必要になるのは質問工学か
なんかプロンブトエンジニアリングとかいうらしいけど（笑）

>>582-583
>ラグランジュ分解式が
>固有ベクトルを抽出する離散フーリエ変換
>になっている。

関西弁では
”オモロイ”AIさんだろう

あのな 普通のガロア理論において ラグランジュ分解式で
離散フーリエ変換へ脱線する意義薄いよ
実際、雪江だって ”離散フーリエ変換”とか アホ書いてない！

（雪江）『”離散フーリエ変換”を強調する意図はなんだ？』
雪江ゼミなら 速攻で突っ込み入る
そうして 君は 黒板ハリツケにされるｗｗ（＾＾

>>584
>AIに、いい質問ができないと
>AIからいい回答が引き出せない

AIのシッタカ ハルシネーションに引っかかり
大学ゼミでハナタカすると 雪江のみならず
どこのゼミでも トコトン突っ込まれるだろう

（おまえ AIチャッピーのオウムだろう？ 徹底的にツッコムぞ！ だろうさｗｗ（＾＾）

3次方程式の解をα,β,γとすると、u=α+ωβ+ω^2γは置換(α β γ)でωuとなる。

v=α+(ω^2)β+ωγは置換(α β γ)で(ω^2)vとなる。

>>582
(引用開始)
以下、ChatGPTの回答のポイント
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
ここが非常に面白いところですが、
巡回群　と　n乗根による拡大　の対応は、
実は「群の表現を対角化する」ことと
ほとんど同じ構造を持っています。
巡回群の生成元 σ に対して
1,ζn,ζn^2,…,ζn^(n−1)
という固有値が現れ、
それを使ったラグランジュ分解式が
固有ベクトルを抽出する離散フーリエ変換
になっている。
(引用終り)

これ >>585と同じ
ツッコミどころ満載だね
ゼミ教授の鼻の穴が膨らみ ヒクヒクして
獲物を見つけた目つきに変る

＜ツッコミどころ＞
１．「群の表現を対角化する」？ その表現を黒板に書け！ 対角化しろ！
２．「固有ベクトル」？ 固有ベクトルの定義を書け！
３．「離散フーリエ変換」？ 離散フーリエ変換の説明してみろ！ｗ
　（かように 離散フーリエ変換の説明で あやふやなところに また鋭いツッコミが入るｗ）

自虐のサドかよ
おっさん そんなに ピエロ役やりたいのか？ ｗ （＾＾

u,vは置換(α γ β)で、それぞれ(ω^2)u,ωvとなる。

つまり、3次の巡回群でu^3,v^3は不変である。

なにか罵り合いのようになっているところもあるようですね。
はい、スレッド内（特にレス12〜14や23〜24、30、40周辺）では、住人同士のマウントや皮肉が混ざった少しトゲのあるやり取りが見られます。

主に以下のような点で言い争いや皮肉が発生しています。

マウント・説教に対する反発
レス12で「分からないなら自分で調べるかAIに聞け、繰り返し読めないなら数学は諦めろ」と厳しい指摘が投稿されたのに対し、レス14で「休日に2ch（5ch）で説教かよ、かっこいいー！」と煽りで返されています。

おすすめ参考書を巡るバッティング
レス23で特定の本（『彌永』『矢ヶ部』）をおすすめした人物に対し、レス24が「その人は10年以上かけてガロア理論が理解できなかった人だから参考にしない方がいい」と個人の学習歴を引き合いに出してバッサリ切り捨てています。

特定ユーザー（名物住人）へのいじり・批判
長文で長々と持論やリンクを連投するレス主（コテハン・固定ハンドルネームのような住人）に対し、「セタが他人にとやかく言う資格はない（レス30）」「文章に清潔感がない（レス40）」など、内容以前に投稿者そのものや書き方を嫌気する声が出ています。

匿名掲示板の数学板によくある「親切に教えているようでマウントを取り合う」空気感が出ている場面です。

>>581
(引用開始)
「補助方程式の根が”基礎体の１つのべき根”を使った式で表される」
という文章が君には正しく読めないかい？
一回使用なら、巡回群
反復使用なら、可解群
(引用終り)

いま 数学科院試の口頭試問だとするよ
”可解群”という 適切な専門用語を使うべし

勿論 ”巡回群”で 全くダメということはないだろうが
試験官の追加ツッコミがあるだろう

「”巡回群”だ？ 説明してみろ！」だろうね
答えられれば良いが 説明に追加のツッコミ さらにそこに追加のツッコミ・・・
まあ、全てに答えれば良いが 下手するとスベってアウトだろう
アホでしょｗ （＾＾

α,β,γの互換では、u^3とv^3は入れ替わる。

よってα,β,γをどう置換しても、u^3+v^3とu^3·v^3は不変である。

ツッコミ返し

>>588
＞２．「固有ベクトル」？ 固有ベクトルの定義を書け！

拡大体Ｌを基礎体Ｋの線形空間とみる
Ｋを保つＬの自己同型σをＬからＬへの線形写像とみれば
σｘ＝λｘとなるＬの元ｘはσの固有ベクトル　λはその固有値

自己同型写像の全体が巡回群となるとき、
その元σの固有値として１の冪根が現れる
また固有ベクトルのn乗はσの不変元、つまりＫの元

はい、うち返しましたよ

大学１年の線形代数分かってれば瞬殺ですけどね
２みたいな質問した瞬間に、教授にこういわれますよ

「家帰って、大学１年の線形代数からやり直せ」

これらはα,β,γの基本対称式で表わせ、
X^2−(u^3+v^3)+u^3·v^3=0を解くと、
u^3とv^3は求まる。

(u^3+v^3)Xの間違い

ツッコミ返し　２

>>592
＞“可解群”という 適切な専門用語を使うべし
＞勿論 ”巡回群”で 全くダメということはないだろうが
＞「”巡回群”だ？ 説明してみろ！」だろうね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
有限群の場合は、同値な定義として
「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」
というものもある。
（中略）
多項式のガロア群の場合は、巡回群はある体の上の冪根に対応する。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

最後の行が成り立つ理由を582-583で説明してるので
教授がそれに対して説明を求めることは絶対にないですね

不勉強な学生が「ちょっとなにいってんのかわかんない」
ということは大いにありますが

私がまさにそうでしたが
「理解したいなら、理解できるまで読み返せ」
というのが第一

それ以外の脇道はないですね

ラグランジュ分解式の意味を理解せず
クンマー拡大で基礎体が1の冪根を持たねばならない理由も理解しない

そんな人が一体ガロア理論の何をどう理解したというのか？

「ただ、ガロア理論といいたいだけ、ちゃうんけ？」

朝ドラ「カーネーション」に出ていた
尾野真千子演じる小原糸子が言ってる
と思って読んでな(笑)

工学部卒の ◆yH25M02vWFhP は
どうせ代数方程式解きたいだけなんだから
ガロア理論がーとか吠え散らかすのやめて
複素関数論勉強して偏角の原理を理解したほうが有益

南無阿弥陀仏

ルーシェの定理

あの人のママに会うために♪

リーマンの写像定理は、なぜ微分の絶対値が最大になるのか。

ガロア理論の本旨はガロア対応で
可解性がどうこうはその帰結じゃ無いの？
ガロア自身はそうは思ってなかったかも知れないけど
そんなことはどうでもいいよね

>>588
＞２．「固有ベクトル」？ 固有ベクトルの定義を書け！
数�UBで「行列Aとスカラーaについて Ax=ax を満たす非零ベクトルxを固有ベクトルという」って習った記憶がある。たしか大学入試でも出題されてた。
量子力学では「波動関数が固有ベクトルのとき物理量Aの確定的な観測値aが得られる」という数理モデルが採用されている。
固有ベクトルは理系だと常識じゃないかな。文系なのかな？

有限アーベル群の基本定理

アーベル-ルフィニの定理

>>604
＞ガロア理論の本旨はガロア対応

まあ、狭義にはそうね

＞で可解性がどうこうはその帰結じゃ無いの？

帰結ではない　
ガロア対応を使って説明できる、というのが正しいかと

さらにいうと、可解性は今やそれほど重要ではないと思う

志村五郎だったか、
ガロア理論を説明するのに
方程式論を持ち出すのは無意味で
むしろ表現論とかのほうが有意義
といっていたが、まあそうだろう

数学以外の発言はともかく
数学に関してはそれほど
おかしなことをいってない

岡潔とかは数学についても
何言ってるのか分からん時が
多々ある

>>595
(引用開始)
ツッコミ返し
>>588
＞２．「固有ベクトル」？ 固有ベクトルの定義を書け！
拡大体Ｌを基礎体Ｋの線形空間とみる
Ｋを保つＬの自己同型σをＬからＬへの線形写像とみれば
σｘ＝λｘとなるＬの元ｘはσの固有ベクトル　λはその固有値
自己同型写像の全体が巡回群となるとき、
その元σの固有値として１の冪根が現れる
また固有ベクトルのn乗はσの不変元、つまりＫの元
はい、うち返しましたよ
(引用終り)

ふっ
潰すために 下記 雪江 代数学2　環と体とガロア理論 2010版を見ている（＾＾
（第二版があるらしいが それは見ていない。多分同様だろう。異論があれば言ってくれ）

１）さて、一般論として 線形空間→線形代数→固有ベクトル の連想ゲームは それで結構で構わないが
　問題は、ガロア理論として 固有ベクトルが使えるの？ どう使うの？ だね
２）これを 雪江に見ると、正規底*、トレース・ノルム*、ヒルベルトの定理90* とあって
　*印は、「読み飛ばしても良い節」とある
　さらに、本文のみならず 索引を見るも 固有ベクトルの用語は 雪江には出てこない
３）それを踏まえて 突っ込むよ
　固有ベクトルと 下記 円分体、クンマー理論、方程式の可解性、正規底* との関係を説明せよ。要するに ガロア理論で 固有ベクトルをどう使う？ 具体的に示せ！
（言いたいことは、一般論としては 上記 固有ベクトル の連想ゲームは それで結構で構わないが 雪江のガロア理論では登場しませんぜ 旦那ｗ）
（アルティン本でも 固有ベクトル出てこないぞｗ 固有ベクトルがガロア理論で使えるとか それ妄想ゲームじゃないの？ｗ）

詰んだかな？ｗ （＾＾

(参考)
https://www.nippyo.co.jp/shop/book/5471.html
代数学2　環と体とガロア理論
雪江　明彦 著 発刊年月 2010.12
第4章　ガロア理論
　4.7　円分体
　4.8　作図問題
　4.9　クンマー理論
　4.10　方程式の可解性
　4.11　正規底*
　4.12　トレース・ノルム*
　4.13　ヒルベルトの定理90*
　4.14　クンマー理論再考*
　4.15　アルティン-シュライアー理論*
　4.16　4次多項式のガロア群*

>>598
(引用開始)
ツッコミ返し　２
>>592
＞“可解群”という 適切な専門用語を使うべし
＞勿論 ”巡回群”で 全くダメということはないだろうが
＞「”巡回群”だ？ 説明してみろ！」だろうね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
有限群の場合は、同値な定義として
「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」
というものもある。
（中略）
多項式のガロア群の場合は、巡回群はある体の上の冪根に対応する。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
最後の行が成り立つ理由を582-583で説明してるので
教授がそれに対して説明を求めることは絶対にないですね
不勉強な学生が「ちょっとなにいってんのかわかんない」
ということは大いにありますが
(引用終り)

おれには、アホの言い訳にしか聞こえないなｗ
１）院試の口頭試問では、キチンと専門用語があるときは それを適切に使うべし
２）”可解群”という適切な用語があるのに、”巡回群”とか 幼稚
　かつ、上記で重要キーワードが ”組成列”と ”素数位数の巡回群”
　単に ”巡回群”は、舌足らず
３）御大くらい大物なら ご愛敬だが
　専門用語が適切でないと 普通は
「こいつ 素人くさい」と言われるだけｗ（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E6%88%90%E5%88%97
組成列（そせいれつ、英: composition series）は、抽象代数学における概念の一つであり、与えられた群や加群といった代数的構造を、代数的により単純な構造の単純群や単純加群に分解する手掛かりを与えるものである。
各添字 1 ≤ i ≤ n について Gi−1 は Gi の正規部分群

ガロア理論の解説書の良し悪しは
演習問題で判定できそう

巡回群は単純群である。
組成列の商群が巡回群にならない群は定義から可解群ではない。
可解群ではない群をガロア群に持つ既約な代数方程式は冪根では解かれない。
しかし、組成列の商群が巡回群ではないときに、それに対応した特殊な冪根以外の解法を
導入すれば、組成列を下って自明な群まで降りていくことで方程式が1次因子にまで分解
できていくだろう。各単純群に対しての解法を編み出すことが必要。
任意の単純群に対してそれをガロア群とする代数方程式は存在するか？たとえば係数が
有理数体ではどうか？

>>610
>>610
>ふっ

また、息切れかい？　齢だね

>一般論として
>線形空間→線形代数→固有ベクトル
>の連想ゲームは それで構わないが

構わないなら潰せない、で終わり

「が」以降は不要

>潰すために 雪江 代数学2　環と体とガロア理論 2010版を見ている
>ガロア理論として 固有ベクトルが使えるの？ どう使うの？ を 雪江に見ると、
>正規底*、トレース・ノルム*、ヒルベルトの定理90* とあって
>*印は、「読み飛ばしても良い節」とある

読み飛ばすのは、東大、京大以外の大学の学生か、理学部数学科以外の学生

>さらに、本文のみならず 索引を見るも 固有ベクトルの用語は 雪江には出てこない

出てこないからそういう見方をしてはいけない、とは言えない

>それを踏まえて 突っ込むよ
>固有ベクトルと 下記 円分体、クンマー理論、方程式の可解性、正規底* との関係を説明せよ。

582-583に書いてある通り

>要するに ガロア理論で 固有ベクトルをどう使う？ 具体的に示せ！

円分体、クンマー理論、方程式の可解性　を理解したなら
そんな質問せずに自分で説明して見せるけどな

できない？　なら質問すればいい

何で質問しない？　どこがどうわからんかも質問できん？

なら・・・数学は無理だから諦めたほうがいいね
数学が理解できなくても死にはしない

>>613
>巡回群は単純群である。

「素数位数の」という条件が必要ですね。

>各単純群に対しての解法を編み出すことが必要。

単純群と言っても無限にあるんですが。
5次交代群に対しての研究なら、クラインの本に書いてある。
「解法を編み出す」というのがいかにも「強情な感じ」がする。
数学的には「スジが悪い」ということ。
数値を知りたいだけなら、数値計算法でいいだろう。
数論的な情報を知りたいなら、「何を表現すべきか」
ということから考えるべき。

>>611
>おれには、アホの言い訳にしか聞こえないな
>「こいつ 素人くさい」と言われるだけ

それは私や他の読者が君に対していいたいセリフ

>”可解群”という適切な用語があるのに、
>”巡回群”とか 幼稚
>かつ、上記で重要キーワードが
>”組成列”と ”素数位数の巡回群”
>単に ”巡回群”は、舌足らず

それは全然些末な言いがかり

肝心な問いは
「なぜ可解群の定義で、
　組成列の組成因子である剰余群が
　素数位数の巡回群という条件を
　設定しているのか」

君、答えられる？

分かっていれば答えられる
答えられないなら分かってない

>御大くらい大物なら ご愛敬だが

君はカス私大のカス学部出身のカスだから
答えられなくてもご愛敬だがね

数学なんか無理だから諦めな

>>615
>>各単純群に対しての解法を編み出すことが必要。
>「解法を編み出す」が、いかにも「強情な感じ」。
>数学的には「スジが悪い」。
>数値を知りたいだけなら、数値計算法でいい。

まったくその通り

代数方程式の解法、という観点だけで
ガロア理論に興味をもち食いつくのは素人

なぜ、複素関数論に基づく数値計算法ではいかんのか？
なぜ、ベキ根や特殊関数を用いた解の表示にこだわるのか？

考えるべきことを考えないうちは
素人沼から抜け出せない

総括

１．ｎ次代数方程式が必ずｎ個の根を持つことを理解したければ
複素関数論を勉強して、偏角の原理を理解したほうが早道
十分構成的なので、解を具体的に求めることも可能である

２．代数方程式の根が根号で表せることを理解したければ
まず最も簡単な素数位数ｐの巡回群の場合について
ラグランジュ分解式が基礎体のｐ乗根となることを理解すべし

ついでにいうと１のＰ乗根はＰ−１次方程式で表せ
そこから（Ｐ−１）／２次の方程式に落とせるので
（Ｐ−１）／２が素数ｐなら、Ｐ＞ｐなる１のｐ乗根を使えばいい
１のＰ乗根を表すのに１のＰ乗根を使う必要があるなんて
間抜けなことには決してならないので、心配御無用！