ガロア理論を理解したい

>>581
(引用開始)
「補助方程式の根が”基礎体の１つのべき根”を使った式で表される」
という文章が君には正しく読めないかい？
一回使用なら、巡回群
反復使用なら、可解群
(引用終り)

いま 数学科院試の口頭試問だとするよ
”可解群”という 適切な専門用語を使うべし

勿論 ”巡回群”で 全くダメということはないだろうが
試験官の追加ツッコミがあるだろう

「”巡回群”だ？ 説明してみろ！」だろうね
答えられれば良いが 説明に追加のツッコミ さらにそこに追加のツッコミ・・・
まあ、全てに答えれば良いが 下手するとスベってアウトだろう
アホでしょｗ （＾＾

α,β,γの互換では、u^3とv^3は入れ替わる。

よってα,β,γをどう置換しても、u^3+v^3とu^3·v^3は不変である。

ツッコミ返し

>>588
＞２．「固有ベクトル」？ 固有ベクトルの定義を書け！

拡大体Ｌを基礎体Ｋの線形空間とみる
Ｋを保つＬの自己同型σをＬからＬへの線形写像とみれば
σｘ＝λｘとなるＬの元ｘはσの固有ベクトル　λはその固有値

自己同型写像の全体が巡回群となるとき、
その元σの固有値として１の冪根が現れる
また固有ベクトルのn乗はσの不変元、つまりＫの元

はい、うち返しましたよ

大学１年の線形代数分かってれば瞬殺ですけどね
２みたいな質問した瞬間に、教授にこういわれますよ

「家帰って、大学１年の線形代数からやり直せ」

これらはα,β,γの基本対称式で表わせ、
X^2−(u^3+v^3)+u^3·v^3=0を解くと、
u^3とv^3は求まる。

(u^3+v^3)Xの間違い

ツッコミ返し　２

>>592
＞“可解群”という 適切な専門用語を使うべし
＞勿論 ”巡回群”で 全くダメということはないだろうが
＞「”巡回群”だ？ 説明してみろ！」だろうね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
有限群の場合は、同値な定義として
「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」
というものもある。
（中略）
多項式のガロア群の場合は、巡回群はある体の上の冪根に対応する。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

最後の行が成り立つ理由を582-583で説明してるので
教授がそれに対して説明を求めることは絶対にないですね

不勉強な学生が「ちょっとなにいってんのかわかんない」
ということは大いにありますが

私がまさにそうでしたが
「理解したいなら、理解できるまで読み返せ」
というのが第一

それ以外の脇道はないですね

ラグランジュ分解式の意味を理解せず
クンマー拡大で基礎体が1の冪根を持たねばならない理由も理解しない

そんな人が一体ガロア理論の何をどう理解したというのか？

「ただ、ガロア理論といいたいだけ、ちゃうんけ？」

朝ドラ「カーネーション」に出ていた
尾野真千子演じる小原糸子が言ってる
と思って読んでな(笑)

工学部卒の ◆yH25M02vWFhP は
どうせ代数方程式解きたいだけなんだから
ガロア理論がーとか吠え散らかすのやめて
複素関数論勉強して偏角の原理を理解したほうが有益

南無阿弥陀仏

ルーシェの定理

あの人のママに会うために♪

リーマンの写像定理は、なぜ微分の絶対値が最大になるのか。

ガロア理論の本旨はガロア対応で
可解性がどうこうはその帰結じゃ無いの？
ガロア自身はそうは思ってなかったかも知れないけど
そんなことはどうでもいいよね

>>588
＞２．「固有ベクトル」？ 固有ベクトルの定義を書け！
数�UBで「行列Aとスカラーaについて Ax=ax を満たす非零ベクトルxを固有ベクトルという」って習った記憶がある。たしか大学入試でも出題されてた。
量子力学では「波動関数が固有ベクトルのとき物理量Aの確定的な観測値aが得られる」という数理モデルが採用されている。
固有ベクトルは理系だと常識じゃないかな。文系なのかな？

有限アーベル群の基本定理

アーベル-ルフィニの定理

>>604
＞ガロア理論の本旨はガロア対応

まあ、狭義にはそうね

＞で可解性がどうこうはその帰結じゃ無いの？

帰結ではない　
ガロア対応を使って説明できる、というのが正しいかと

さらにいうと、可解性は今やそれほど重要ではないと思う

志村五郎だったか、
ガロア理論を説明するのに
方程式論を持ち出すのは無意味で
むしろ表現論とかのほうが有意義
といっていたが、まあそうだろう

数学以外の発言はともかく
数学に関してはそれほど
おかしなことをいってない

岡潔とかは数学についても
何言ってるのか分からん時が
多々ある

>>595
(引用開始)
ツッコミ返し
>>588
＞２．「固有ベクトル」？ 固有ベクトルの定義を書け！
拡大体Ｌを基礎体Ｋの線形空間とみる
Ｋを保つＬの自己同型σをＬからＬへの線形写像とみれば
σｘ＝λｘとなるＬの元ｘはσの固有ベクトル　λはその固有値
自己同型写像の全体が巡回群となるとき、
その元σの固有値として１の冪根が現れる
また固有ベクトルのn乗はσの不変元、つまりＫの元
はい、うち返しましたよ
(引用終り)

ふっ
潰すために 下記 雪江 代数学2　環と体とガロア理論 2010版を見ている（＾＾
（第二版があるらしいが それは見ていない。多分同様だろう。異論があれば言ってくれ）

１）さて、一般論として 線形空間→線形代数→固有ベクトル の連想ゲームは それで結構で構わないが
　問題は、ガロア理論として 固有ベクトルが使えるの？ どう使うの？ だね
２）これを 雪江に見ると、正規底*、トレース・ノルム*、ヒルベルトの定理90* とあって
　*印は、「読み飛ばしても良い節」とある
　さらに、本文のみならず 索引を見るも 固有ベクトルの用語は 雪江には出てこない
３）それを踏まえて 突っ込むよ
　固有ベクトルと 下記 円分体、クンマー理論、方程式の可解性、正規底* との関係を説明せよ。要するに ガロア理論で 固有ベクトルをどう使う？ 具体的に示せ！
（言いたいことは、一般論としては 上記 固有ベクトル の連想ゲームは それで結構で構わないが 雪江のガロア理論では登場しませんぜ 旦那ｗ）
（アルティン本でも 固有ベクトル出てこないぞｗ 固有ベクトルがガロア理論で使えるとか それ妄想ゲームじゃないの？ｗ）

詰んだかな？ｗ （＾＾

(参考)
https://www.nippyo.co.jp/shop/book/5471.html
代数学2　環と体とガロア理論
雪江　明彦 著 発刊年月 2010.12
第4章　ガロア理論
　4.7　円分体
　4.8　作図問題
　4.9　クンマー理論
　4.10　方程式の可解性
　4.11　正規底*
　4.12　トレース・ノルム*
　4.13　ヒルベルトの定理90*
　4.14　クンマー理論再考*
　4.15　アルティン-シュライアー理論*
　4.16　4次多項式のガロア群*

>>598
(引用開始)
ツッコミ返し　２
>>592
＞“可解群”という 適切な専門用語を使うべし
＞勿論 ”巡回群”で 全くダメということはないだろうが
＞「”巡回群”だ？ 説明してみろ！」だろうね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
有限群の場合は、同値な定義として
「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」
というものもある。
（中略）
多項式のガロア群の場合は、巡回群はある体の上の冪根に対応する。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
最後の行が成り立つ理由を582-583で説明してるので
教授がそれに対して説明を求めることは絶対にないですね
不勉強な学生が「ちょっとなにいってんのかわかんない」
ということは大いにありますが
(引用終り)

おれには、アホの言い訳にしか聞こえないなｗ
１）院試の口頭試問では、キチンと専門用語があるときは それを適切に使うべし
２）”可解群”という適切な用語があるのに、”巡回群”とか 幼稚
　かつ、上記で重要キーワードが ”組成列”と ”素数位数の巡回群”
　単に ”巡回群”は、舌足らず
３）御大くらい大物なら ご愛敬だが
　専門用語が適切でないと 普通は
「こいつ 素人くさい」と言われるだけｗ（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E6%88%90%E5%88%97
組成列（そせいれつ、英: composition series）は、抽象代数学における概念の一つであり、与えられた群や加群といった代数的構造を、代数的により単純な構造の単純群や単純加群に分解する手掛かりを与えるものである。
各添字 1 ≤ i ≤ n について Gi−1 は Gi の正規部分群

ガロア理論の解説書の良し悪しは
演習問題で判定できそう

巡回群は単純群である。
組成列の商群が巡回群にならない群は定義から可解群ではない。
可解群ではない群をガロア群に持つ既約な代数方程式は冪根では解かれない。
しかし、組成列の商群が巡回群ではないときに、それに対応した特殊な冪根以外の解法を
導入すれば、組成列を下って自明な群まで降りていくことで方程式が1次因子にまで分解
できていくだろう。各単純群に対しての解法を編み出すことが必要。
任意の単純群に対してそれをガロア群とする代数方程式は存在するか？たとえば係数が
有理数体ではどうか？

>>610
>>610
>ふっ

また、息切れかい？　齢だね

>一般論として
>線形空間→線形代数→固有ベクトル
>の連想ゲームは それで構わないが

構わないなら潰せない、で終わり

「が」以降は不要

>潰すために 雪江 代数学2　環と体とガロア理論 2010版を見ている
>ガロア理論として 固有ベクトルが使えるの？ どう使うの？ を 雪江に見ると、
>正規底*、トレース・ノルム*、ヒルベルトの定理90* とあって
>*印は、「読み飛ばしても良い節」とある

読み飛ばすのは、東大、京大以外の大学の学生か、理学部数学科以外の学生

>さらに、本文のみならず 索引を見るも 固有ベクトルの用語は 雪江には出てこない

出てこないからそういう見方をしてはいけない、とは言えない

>それを踏まえて 突っ込むよ
>固有ベクトルと 下記 円分体、クンマー理論、方程式の可解性、正規底* との関係を説明せよ。

582-583に書いてある通り

>要するに ガロア理論で 固有ベクトルをどう使う？ 具体的に示せ！

円分体、クンマー理論、方程式の可解性　を理解したなら
そんな質問せずに自分で説明して見せるけどな

できない？　なら質問すればいい

何で質問しない？　どこがどうわからんかも質問できん？

なら・・・数学は無理だから諦めたほうがいいね
数学が理解できなくても死にはしない

>>613
>巡回群は単純群である。

「素数位数の」という条件が必要ですね。

>各単純群に対しての解法を編み出すことが必要。

単純群と言っても無限にあるんですが。
5次交代群に対しての研究なら、クラインの本に書いてある。
「解法を編み出す」というのがいかにも「強情な感じ」がする。
数学的には「スジが悪い」ということ。
数値を知りたいだけなら、数値計算法でいいだろう。
数論的な情報を知りたいなら、「何を表現すべきか」
ということから考えるべき。

>>611
>おれには、アホの言い訳にしか聞こえないな
>「こいつ 素人くさい」と言われるだけ

それは私や他の読者が君に対していいたいセリフ

>”可解群”という適切な用語があるのに、
>”巡回群”とか 幼稚
>かつ、上記で重要キーワードが
>”組成列”と ”素数位数の巡回群”
>単に ”巡回群”は、舌足らず

それは全然些末な言いがかり

肝心な問いは
「なぜ可解群の定義で、
　組成列の組成因子である剰余群が
　素数位数の巡回群という条件を
　設定しているのか」

君、答えられる？

分かっていれば答えられる
答えられないなら分かってない

>御大くらい大物なら ご愛敬だが

君はカス私大のカス学部出身のカスだから
答えられなくてもご愛敬だがね

数学なんか無理だから諦めな

>>615
>>各単純群に対しての解法を編み出すことが必要。
>「解法を編み出す」が、いかにも「強情な感じ」。
>数学的には「スジが悪い」。
>数値を知りたいだけなら、数値計算法でいい。

まったくその通り

代数方程式の解法、という観点だけで
ガロア理論に興味をもち食いつくのは素人

なぜ、複素関数論に基づく数値計算法ではいかんのか？
なぜ、ベキ根や特殊関数を用いた解の表示にこだわるのか？

考えるべきことを考えないうちは
素人沼から抜け出せない

総括

１．ｎ次代数方程式が必ずｎ個の根を持つことを理解したければ
複素関数論を勉強して、偏角の原理を理解したほうが早道
十分構成的なので、解を具体的に求めることも可能である

２．代数方程式の根が根号で表せることを理解したければ
まず最も簡単な素数位数ｐの巡回群の場合について
ラグランジュ分解式が基礎体のｐ乗根となることを理解すべし

ついでにいうと１のＰ乗根はＰ−１次方程式で表せ
そこから（Ｐ−１）／２次の方程式に落とせるので
（Ｐ−１）／２が素数ｐなら、Ｐ＞ｐなる１のｐ乗根を使えばいい
１のＰ乗根を表すのに１のＰ乗根を使う必要があるなんて
間抜けなことには決してならないので、心配御無用！

>>614
>できない？　なら質問すればいい
>何で質問しない？　どこがどうわからんかも質問できん？

ふっ とどめを刺すか

下記
https://i.imgur.com/6sahCmH.jpeg
ガロア理論入門アルティンP104-105 素数次の既約方程式 寺田文行訳 東京図書1983

ここに、素数次の既約方程式のガロア理論の応用が記されている
右P105 下段に x^5-10x-2 が例示されている
これは「有理数を係数にもち、既約でしかも3つの実根をもつ5次方程式」
とある

さて、君の固有値ガロア理論で、この方程式
x^5-10x-2＝0 が べき根で解けないことを説明してみ

厳密で無くても良い（概略で可）
１）べき根で解けないことに、固有値が どこでどう使われているのか？
２）方程式 x^5-10x-2＝0 の固有値がどうなっているのか？
少なくともどちらか一方は盛り込んでくれたまえ！ｗ（＾＾

詰んだかな？

PS
アルティンも 雪江も 方程式のガロア理論に
「固有値いらね〜〜！」と言っていると思うぜよｗｗ

>アルティンも 雪江も 方程式のガロア理論に
>「固有値いらね〜〜！」と言っていると思うぜよｗｗ

数学者はあんたみたいなアホじゃないんで、巻き込まないように。
セタは「アルティンのゼータ函数」も知らないんだろう。
これが正に「ガロア群の行列表現」を用いて定義されるゼータ函数。
数学者は固有値も行列表現も、承知しているわけ。

>>619

>ふっ

また息切れ？

>とどめを刺すか

自分に？

>x^5-10x-2
>これは
>「有理数を係数にもち、既約でしかも3つの実根をもつ5次方程式」
>とある
>さて、君の固有値ガロア理論で、
>この方程式 が べき根で解けないことを説明してみ

その質問が切腹

そもそも、
解が巡回置換で生成される方程式が
べき根で解けることがある理論で説明できる
という話に対して、
ある方程式がその条件を持たないことを
その理論を用いて示せ
というのは、完全に検討違いで
「私は味噌と糞の区別がつきません」
と白状したのと同じ

>べき根で解けないことに、固有値が どこでどう使われているのか？

使われないけど、何か？

>方程式 x^5-10x-2＝0 の固有値がどうなっているのか？

方程式の固有値とは、何か？

>少なくともどちらか一方は盛り込んでくれたまえ！

「方程式の固有値」なんて
どこから妄想したのか
教えてくれたまえ

>詰んだかな？

介錯いたす

御免！（斬首）

南無阿弥陀仏

◆yH25M02vWFhP を往生させる念仏

「ガロア群の表現に対して、”いい基底”を選べば、表現行列が上三角化できる」

ただ、その際、固有値が一般に複素数となることは、許容せねばならないが

ついでにいうと、こんな話は
標準的なガロア理論の本には載ってないので
表現論の本を見るべし

以上、ChatGPTに訊ねた結果の受け売りでした（笑）

代数学の基本定理

久々に函数論をやってみようかな。

専門なのに遠ざかっていたからw