ガロア理論を理解したい

何から始めればいいですか

>>598
(引用開始)
ツッコミ返し　２
>>592
＞“可解群”という 適切な専門用語を使うべし
＞勿論 ”巡回群”で 全くダメということはないだろうが
＞「”巡回群”だ？ 説明してみろ！」だろうね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
有限群の場合は、同値な定義として
「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」
というものもある。
（中略）
多項式のガロア群の場合は、巡回群はある体の上の冪根に対応する。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
最後の行が成り立つ理由を582-583で説明してるので
教授がそれに対して説明を求めることは絶対にないですね
不勉強な学生が「ちょっとなにいってんのかわかんない」
ということは大いにありますが
(引用終り)

おれには、アホの言い訳にしか聞こえないなｗ
１）院試の口頭試問では、キチンと専門用語があるときは それを適切に使うべし
２）”可解群”という適切な用語があるのに、”巡回群”とか 幼稚
　かつ、上記で重要キーワードが ”組成列”と ”素数位数の巡回群”
　単に ”巡回群”は、舌足らず
３）御大くらい大物なら ご愛敬だが
　専門用語が適切でないと 普通は
「こいつ 素人くさい」と言われるだけｗ（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E6%88%90%E5%88%97
組成列（そせいれつ、英: composition series）は、抽象代数学における概念の一つであり、与えられた群や加群といった代数的構造を、代数的により単純な構造の単純群や単純加群に分解する手掛かりを与えるものである。
各添字 1 ≤ i ≤ n について Gi−1 は Gi の正規部分群

ガロア理論の解説書の良し悪しは
演習問題で判定できそう

巡回群は単純群である。
組成列の商群が巡回群にならない群は定義から可解群ではない。
可解群ではない群をガロア群に持つ既約な代数方程式は冪根では解かれない。
しかし、組成列の商群が巡回群ではないときに、それに対応した特殊な冪根以外の解法を
導入すれば、組成列を下って自明な群まで降りていくことで方程式が1次因子にまで分解
できていくだろう。各単純群に対しての解法を編み出すことが必要。
任意の単純群に対してそれをガロア群とする代数方程式は存在するか？たとえば係数が
有理数体ではどうか？

>>610
>>610
>ふっ

また、息切れかい？　齢だね

>一般論として
>線形空間→線形代数→固有ベクトル
>の連想ゲームは それで構わないが

構わないなら潰せない、で終わり

「が」以降は不要

>潰すために 雪江 代数学2　環と体とガロア理論 2010版を見ている
>ガロア理論として 固有ベクトルが使えるの？ どう使うの？ を 雪江に見ると、
>正規底*、トレース・ノルム*、ヒルベルトの定理90* とあって
>*印は、「読み飛ばしても良い節」とある

読み飛ばすのは、東大、京大以外の大学の学生か、理学部数学科以外の学生

>さらに、本文のみならず 索引を見るも 固有ベクトルの用語は 雪江には出てこない

出てこないからそういう見方をしてはいけない、とは言えない

>それを踏まえて 突っ込むよ
>固有ベクトルと 下記 円分体、クンマー理論、方程式の可解性、正規底* との関係を説明せよ。

582-583に書いてある通り

>要するに ガロア理論で 固有ベクトルをどう使う？ 具体的に示せ！

円分体、クンマー理論、方程式の可解性　を理解したなら
そんな質問せずに自分で説明して見せるけどな

できない？　なら質問すればいい

何で質問しない？　どこがどうわからんかも質問できん？

なら・・・数学は無理だから諦めたほうがいいね
数学が理解できなくても死にはしない

>>613
>巡回群は単純群である。

「素数位数の」という条件が必要ですね。

>各単純群に対しての解法を編み出すことが必要。

単純群と言っても無限にあるんですが。
5次交代群に対しての研究なら、クラインの本に書いてある。
「解法を編み出す」というのがいかにも「強情な感じ」がする。
数学的には「スジが悪い」ということ。
数値を知りたいだけなら、数値計算法でいいだろう。
数論的な情報を知りたいなら、「何を表現すべきか」
ということから考えるべき。

>>611
>おれには、アホの言い訳にしか聞こえないな
>「こいつ 素人くさい」と言われるだけ

それは私や他の読者が君に対していいたいセリフ

>”可解群”という適切な用語があるのに、
>”巡回群”とか 幼稚
>かつ、上記で重要キーワードが
>”組成列”と ”素数位数の巡回群”
>単に ”巡回群”は、舌足らず

それは全然些末な言いがかり

肝心な問いは
「なぜ可解群の定義で、
　組成列の組成因子である剰余群が
　素数位数の巡回群という条件を
　設定しているのか」

君、答えられる？

分かっていれば答えられる
答えられないなら分かってない

>御大くらい大物なら ご愛敬だが

君はカス私大のカス学部出身のカスだから
答えられなくてもご愛敬だがね

数学なんか無理だから諦めな

>>615
>>各単純群に対しての解法を編み出すことが必要。
>「解法を編み出す」が、いかにも「強情な感じ」。
>数学的には「スジが悪い」。
>数値を知りたいだけなら、数値計算法でいい。

まったくその通り

代数方程式の解法、という観点だけで
ガロア理論に興味をもち食いつくのは素人

なぜ、複素関数論に基づく数値計算法ではいかんのか？
なぜ、ベキ根や特殊関数を用いた解の表示にこだわるのか？

考えるべきことを考えないうちは
素人沼から抜け出せない

総括

１．ｎ次代数方程式が必ずｎ個の根を持つことを理解したければ
複素関数論を勉強して、偏角の原理を理解したほうが早道
十分構成的なので、解を具体的に求めることも可能である

２．代数方程式の根が根号で表せることを理解したければ
まず最も簡単な素数位数ｐの巡回群の場合について
ラグランジュ分解式が基礎体のｐ乗根となることを理解すべし

ついでにいうと１のＰ乗根はＰ−１次方程式で表せ
そこから（Ｐ−１）／２次の方程式に落とせるので
（Ｐ−１）／２が素数ｐなら、Ｐ＞ｐなる１のｐ乗根を使えばいい
１のＰ乗根を表すのに１のＰ乗根を使う必要があるなんて
間抜けなことには決してならないので、心配御無用！

>>614
>できない？　なら質問すればいい
>何で質問しない？　どこがどうわからんかも質問できん？

ふっ とどめを刺すか

下記
https://i.imgur.com/6sahCmH.jpeg
ガロア理論入門アルティンP104-105 素数次の既約方程式 寺田文行訳 東京図書1983

ここに、素数次の既約方程式のガロア理論の応用が記されている
右P105 下段に x^5-10x-2 が例示されている
これは「有理数を係数にもち、既約でしかも3つの実根をもつ5次方程式」
とある

さて、君の固有値ガロア理論で、この方程式
x^5-10x-2＝0 が べき根で解けないことを説明してみ

厳密で無くても良い（概略で可）
１）べき根で解けないことに、固有値が どこでどう使われているのか？
２）方程式 x^5-10x-2＝0 の固有値がどうなっているのか？
少なくともどちらか一方は盛り込んでくれたまえ！ｗ（＾＾

詰んだかな？

PS
アルティンも 雪江も 方程式のガロア理論に
「固有値いらね〜〜！」と言っていると思うぜよｗｗ

>アルティンも 雪江も 方程式のガロア理論に
>「固有値いらね〜〜！」と言っていると思うぜよｗｗ

数学者はあんたみたいなアホじゃないんで、巻き込まないように。
セタは「アルティンのゼータ函数」も知らないんだろう。
これが正に「ガロア群の行列表現」を用いて定義されるゼータ函数。
数学者は固有値も行列表現も、承知しているわけ。

>>619

>ふっ

また息切れ？

>とどめを刺すか

自分に？

>x^5-10x-2
>これは
>「有理数を係数にもち、既約でしかも3つの実根をもつ5次方程式」
>とある
>さて、君の固有値ガロア理論で、
>この方程式 が べき根で解けないことを説明してみ

その質問が切腹

そもそも、
解が巡回置換で生成される方程式が
べき根で解けることがある理論で説明できる
という話に対して、
ある方程式がその条件を持たないことを
その理論を用いて示せ
というのは、完全に検討違いで
「私は味噌と糞の区別がつきません」
と白状したのと同じ

>べき根で解けないことに、固有値が どこでどう使われているのか？

使われないけど、何か？

>方程式 x^5-10x-2＝0 の固有値がどうなっているのか？

方程式の固有値とは、何か？

>少なくともどちらか一方は盛り込んでくれたまえ！

「方程式の固有値」なんて
どこから妄想したのか
教えてくれたまえ

>詰んだかな？

介錯いたす

御免！（斬首）

南無阿弥陀仏

◆yH25M02vWFhP を往生させる念仏

「ガロア群の表現に対して、”いい基底”を選べば、表現行列が上三角化できる」

ただ、その際、固有値が一般に複素数となることは、許容せねばならないが

ついでにいうと、こんな話は
標準的なガロア理論の本には載ってないので
表現論の本を見るべし

以上、ChatGPTに訊ねた結果の受け売りでした（笑）

代数学の基本定理

久々に函数論をやってみようかな。

専門なのに遠ざかっていたからw

>>620-622
(引用開始)
「ガロア群の表現に対して、”いい基底”を選べば、表現行列が上三角化できる」
ただ、その際、固有値が一般に複素数となることは、許容せねばならないが
ついでにいうと、こんな話は
標準的なガロア理論の本には載ってないので
表現論の本を見るべし
以上、ChatGPTに訊ねた結果の受け売りでした（笑）
(引用終り)

ふっ
詰んだな（＾＾

下記 足立 ガロア本より
確かに ガロア理論で 体の拡大を
"LはK上のベクトル空間 と見なせる"
とあるが 使うのは ”体の拡大次数”が 主だ
固有値 お呼びでない！ｗ （＾＾

要するに、体の拡大については 既約方程式の根の置換によって
ガロア群に持ち込んで料理する
これが、ガロア氏の創案だった（＾＾

なお余談：線形代数の要素で 行列式が一番古く、次が行列で ベクトルが意外にも最後で 1890年辺り
また テンソルが意外に早く 行列からベクトルの間に考案されている（数学史を学べば分る）
出来たてほやほやの線形代数の視点で ガロア理論を切ったのが だれあろうアルティン先生だったのです（＾＾

繰り返すが、固有値 お呼びでない！
方程式のガロア理論では”体の拡大次数”くらいで終わりの話！ｗ

(参考)
https://i.imgur.com/VIR3LX4.jpeg
ガロア理論講義［増補版］P11 1.3体の拡大次数 足立恒雄 日本評論社 2010
P11
1.3 体の拡大次数
体Lが体Kの拡大体であるとする．このとき,LはK上のベクトル空間
と見なせる．すなわち,Lの元をベクトルと考え,Kの元をスカラーと見な
せば,Kの元α,βとLの元x,yに対して
略
など，ベクトル空間が満たさねばならない公理がすべて満足されるからである．
そこで,Lを体K上のベクトル空間と見なした際の次元を[L:K]と記し，
拡大次数と呼ぶ．これを正式に定義として書いておこう：
略

https://www.nippyo.co.jp/shop/book/2113.html
ガロア理論講義［増補版］P11 1.3体の拡大次数 足立恒雄 日本評論社 2010
目次
第１章　ギリシャの作図不能問題
１　３大作図不能問題とは
２　作図可能数
３　体の拡大次数
４　数の階層
５　Ｑは体を成す

第４章　体論
１　分離性
２　分離閉包
３　正規拡大

第５章　ガロア理論とその応用
１　ガロア群
２　ガロアの基本定理
３　方程式のガロア群の例
４　既約性の判定
５　対称式の基本定理
６　代数体
７　円分体

第６章　ガロア群の決定
１　方程式の代数的可解性
２　３次方程式
３　４次方程式
４　５次方程式
５　歴史覚書

代数学の基本定理はルーシェの定理で証明できるのね。

最小値の原理

>>577 余録
>ウェーバーの1895年の代数学の教科書

この話は、回顧と展望 高木貞治 青空文庫にあったのを思い出したので貼る
”書棚の隅っこに，ウェーバーの「代数学」の第１巻が来ていたので，それを探し出して，ガロアの理論に接したのだが，それが本当に分ったのだかどうだか．その後，段々いろいろ新しいものが来るようになって，ウェーバー第２巻も軈やがて来た”（下記より）

(参考)
https://www.aozora.gr.jp/index_pages/person1398.html
青空文庫
高木 貞治
https://www.aozora.gr.jp/cards/001398/files/50907_41899.html
回顧と展望 高木貞治
初出： 「改造」1941（昭和16）年
前略
　まあそんな風で，1894年から98年まで四年間の初めの二年間は過した．しかし，当時は相当学風が自由であって，藤沢先生などは，ドイツ仕込みの Lehr-und Lernfreiheit ということを鼓吹されて，なんでもいいから本は勝手に読め，そんなことを奨励されていたものだから，いろいろのものを読んだわけである．殊に三年になると，菊池先生が文部省の方に行って了われたものであるからして，藤沢先生御一人になって，講義の時間が非常に少なくなった．今はそうでもないけれども，一時はずいぶん沢山詰め込み主義の時代もあった．そういう時代に比べると，大分自由であったと謂いえる．それで，後の二年間は全く自由に暮して，最後の一年は大学院で，結局四年大学におったが，その間にいろいろな本を読んだのであるが，指導者なしの乱読で，本当に読んだと謂うよりは，図書室にあるだけの本を見境いもなく片っ端からひっ繰り返して見たという程のことであった．
　それからまあそんな風にいうと，いかにも不完全なようであり，事実不完全に相違ないけれども，藤沢先生はベルリンでクロネッカーの講義を聴かれたらしいのであって，代数を大学へ入れなくてはならぬということを絶えず言っていられたのであるが，当時日本では，代数は中学校でもう卒業してしまったもののように考えられていた．そこでその後セミナリが出来てからは，そういう処で頻りに代数の問題を与えられた．当時代数といえばセレーの「高等代数」で，それによって，私はアーベル方程式を読めと言われ，そこで謂わゆる高等代数の洗礼を受けたわけである．しかし，その当時，已すでに書棚の隅っこに，ウェーバーの「代数学」の第１巻が来ていたので，それを探し出して，ガロアの理論に接したのだが，それが本当に分ったのだかどうだか．その後，段々いろいろ新しいものが来るようになって，ウェーバー第２巻も軈やがて来た．
　その中に1898年になって，私はドイツへ留学を命ぜられてベルリンへまいることになりました．それは明治31年で，
略す

>>626
君は
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
ここが非常に面白いところですが、
巡回群　と　n乗根による拡大　の対応は、
実は「群の表現を対角化する」ことと
ほとんど同じ構造を持っています。

巡回群の生成元 σ に対して
1,ζn,ζn^2,…,ζn^(n−1)
という固有値が現れ、
それを使ったラグランジュ分解式が
固有ベクトルを抽出する離散フーリエ変換
になっている。

そして固有値が ζn^k だから、
その n 乗を取れば固有値が消えて
Rn∈K となる。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
が読めないの？　じゃあ国語からやり直そう

代数学の基本定理はリウヴィルの定理からも証明できる。
リウヴィルはガロアの論文を日の目に出した人らしい。

函数論の平均値の定理

>>626 追加
>（数学史を学べば分る）

”体”？ 始めて聞くと はてな？だが
独語 Körperの訳で 結構多義な単語で Körperには組織（人の集まり）とかの意味もあったらしい
デデキントの発案らしい
In 1881 Leopold Kronecker ”a domain of rationality”。流行らなかった

https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_(Algebra)
Körper (Algebra)
https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_(Algebra)#/media/Datei:%C3%9Cbersicht_K%C3%B6rper.svg

https://en.wikipedia.org/wiki/Field_(mathematics)#History
Field (mathematics)
History
Évariste Galois, in 1832, devised necessary and sufficient criteria for a polynomial equation to be algebraically solvable, thus establishing in effect what is known as Galois theory today. Both Abel and Galois worked with what is today called an algebraic number field, but they conceived neither an explicit notion of a field, nor of a group.

In 1871 Richard Dedekind introduced, for a set of real or complex numbers that is closed under the four arithmetic operations, the German word Körper, which means "body" or "corpus" (to suggest an organically closed entity). The English term "field" was introduced by Moore (1893).[21]

By a field we will mean every infinite system of real or complex numbers so closed in itself and perfect that addition, subtraction, multiplication, and division of any two of these numbers again yields a number of the system.
— Richard Dedekind, 1871[22]

In 1881 Leopold Kronecker defined what he called a domain of rationality, which is a field of rational fractions in modern terms. Kronecker's notion did not cover the field of all algebraic numbers (which is a field in Dedekind's sense), but on the other hand was more abstract than Dedekind's in that it made no specific assumption on the nature of the elements of a field. Kronecker interpreted a field such as Q(π) abstractly as the rational function field Q(X). Before this examples of transcendental numbers were known since Joseph Liouville's work in 1844, until Charles Hermite (1873) and Ferdinand von Lindemann (1882) proved the transcendence of e and π, respectively.[23]

The first clear definition of an abstract field is due to Weber (1893).[24]

>>626 追加
>（数学史を学べば分る）

環 これは独語”Ring”の訳で これもデデキントさん
（英語でもそのままご採用）

独語”Ring”の意味の中に サークル（仲間）みたいな意味があるらしい
”指輪”を連想した あなた！ それ誤解ですよｗ（＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)
Ring (mathematics)
History
See also: Ring theory § History
Dedekind
The study of rings originated from the theory of polynomial rings and the theory of algebraic integers.[11] In 1871, Richard Dedekind defined the concept of the ring of integers of a number field.[12] In this context, he introduced the terms "ideal" (inspired by Ernst Kummer's notion of ideal number) and "module" and studied their properties. Dedekind did not use the term "ring" and did not define the concept of a ring in a general setting.

＜独語＞
https://de.wikipedia.org/wiki/Ring_(Algebra)
Ring (Algebra)
(google訳)
ネーミング
リングの概念はリヒャルト・デデキントに由来するが、 「リング」という用語はデイヴィッド・ヒルベルトによって導入された。 [ 2 ] [ 3 ]特定の状況では、「リング」と並んで「領域」という用語もよく使われる。例えば、「インテグリティリング」よりも「インテグリティ領域」という用語の方が文献ではよく使われる。

>>626 追加
>（数学史を学べば分る）

Group ご存知「群」
だが、抽象代数学としての群の定義は、Arthur Cayley ” (1854) gives the first abstract definition of a finite group”
らしい
まあ、群環体の中では、一番分かり易いだろう

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)
Group (mathematics)
Main article: History of group theory
https://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)#History

History
(google訳)
19世紀のフランスの数学者エヴァリスト・ガロアは、パオロ・ルフィーニとジョゼフ＝ルイ・ラグランジュの先行研究を拡張し、特定の多項式方程式の解法可能性を、その根（解）の対称群によって規定しました。このようなガロア群の要素は、根の特定の置換に対応します。当初、ガロアの考えは同時代の人々に拒否され、死後にのみ出版されました。[ 13 ] [ 14 ]より一般的な置換群は、特にオーギュスタン・ルイ・コーシーによって研究されました。
Arthur Cayley's On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn=1 (1854) gives the first abstract definition of a finite group.[15]

幾何学は、特にフェリックス・クラインの1872年のエアランゲン・プログラムの一環としての対称群など、群が体系的に使用された2番目の分野であった。[ 16 ]双曲幾何学や射影幾何学などの新しい幾何学が登場した後、クラインは群論を用いてそれらをより首尾一貫した方法で整理した。これらの考えをさらに発展させ、ソフス・リーは1884年にリー群の研究を創始した。[ 17 ]

群論に貢献した3番目の分野は数論でした。特定のアーベル群構造は、カール・フリードリヒ・ガウスの数論的著作『算術研究』 （1798年）で暗黙のうちに使用され、レオポルド・クロネッカーによってより明示的に使用されました。[ 18 ] 1847年、エルンスト・クンマーは素因数分解を記述する群を開発することによってフェルマーの最終定理を証明する初期の試みを行いました。[ 19 ]

これらのさまざまな源泉が統一的な群の理論へと収束し始めたのは、Jordan (1870)のTraité des substitutions et des équations algébriquesからである。[ 20 ] von Dyck (1882)は生成元と関係によって群を指定するという考え方を導入し、また当時の用語で「抽象群」の公理的定義を初めて与えた人物でもある。

数学は数学史を学んでも分りません

>>626
>ふっ
>詰んだな

◆yH25M02vWFhP　御臨終

>ガロア理論で 拡大体Lを
>K上のベクトル空間 と
>見なせるとあるが
>”体の拡大次数”が 主だ
>固有値 お呼びでない！
>繰り返すが、
>固有値 お呼びでない！
>方程式のガロア理論では
>”体の拡大次数”で終わり！

最期の言葉にしては、しまらんな

ふぅ😮‍💨

>>633-635
群・環・体を理解したいが
数学書の定義が理解できない

だから辞書を調べて分かった気になる
素人◆yH25M02vWFhPなのでした

ガロア理論で　行列表現は要らんと　絶叫

ああ、憐れ

>>636,637
ですね

>>636
>数学は数学史を学んでも分りません

数学史を学ぶと 数学の理解に深みができる
Coxのガロア理論には 歴史ノートついているよ
あんた Coxよりえらいんか？ アホでしょｗ（＾＾

なお 加藤 文元さんの本があるよ
百回音読してねｗ

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>>612
>ガロア理論の解説書の良し悪しは
>演習問題で判定できそう

ID:l5XHNuW0は 御大か
巡回ご苦労さまです（＾＾

御大はガロア理論の専門家ではない

（歴史を学んでも数学にはならないのにね）

>数学史を学ぶと 数学の理解に深みができる
と、数学をまったく理解してない人が言ってもただのワードサラダ

>>644
>>数学史を学ぶと 数学の理解に深みができる
>数学をまったく理解してない人が言ってもただのワードサラダ

0に何を掛けても0みたいな感じ・・・🤔