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時枝正「箱入り無数目」改変版

実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，
i番目から先のしっぽが一致するn >= m → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう
(iは自然数であればよいが、どれか一つに決めるものとする）

この同値関係をi尻尾同値とする

i尻尾同値 〜 は R^N を類別する
sの代表系は、1番目からi-1番目までが0で、i番目以降がsと一致する列とできる
つまり、1番目からi-1番目までが0で、i番目以降が任意の列全体を代表系とすることができる

このとき以下が成り立つ

１．ランダムにr∈R^Nを選んだ場合、決定番号がiである確率は1
２．このとき、i+1番目から先を開けてもどの同値類かは特定できない
３．したがって箱入り無数目戦略は確実に失敗する

さて、i<j のとき i尻尾同値⇒j尻尾同値が言える

つまり　sのi尻尾同値類　⊊　sのj尻尾同値類

そして　箱入り無数目のもともとの同値類は
ある自然数iが存在して、2列はi尻尾同値
という形で定義できる
そしてsの尻尾同値類は任意の自然数iについての
sのi尻尾同値類の和集合 (∪(i∈N)sのi尻尾同値類)
となる

しかしながら上記同値類の代表元は
i尻尾同値類のときと異なり
自然な形では定義できない

仕方ないので、選択公理で代表元を選ぶとする

このとき以下が成り立つ

１．ランダムにr∈R^Nを選んだ場合、各決定番号の確率は求まらない（非可測）
２．一方どの自然数iについても、i+1番目から先を開ければどの同値類か特定でき代表が選べる
３．選んだ列の決定番号よりも選んだ箱の番号が大きければ箱入り無数目は成功する
４．しかし出題がランダムの場合、成功する確率が計算できない

※なお、もともとの「箱入り無数目」では、出題は確率事象ではなく固定