スレタイ箱入り無数目を語る部屋35(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part9ｗ)

前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる
(”ヘンテコスレ”が別にあります https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1711570726/ 箱入り無数目を語る部屋19 )

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1789040887/
前スレ スレタイ箱入り無数目を語る部屋34(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part8ｗ)

(参考)時枝記事
https://imgur.com/uMqtRwr
時枝 箱入り無数目（数学セミナー201511月号の記事）の最初
https://imgur.com/YAdz2Mz
時枝 箱入り無数目（数学セミナー201511月号の記事）の後

数学セミナー201511月号「箱入り無数目」
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1620904362/401-406 純粋・応用数学（含むガロア理論）8 より
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^nを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」

２．続けて時枝はいう
　私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列s に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.
更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ， したがってd= d(s)も決まり，
結局sd (実はsd，sd+1，・・・，sD ごっそり)が決められることに注意しよう.
(補足)
sD+1， sD+2，sD+3，・・・：ここでD+1などは下付添え字

つづく

このページが詳しいらしい
https://konn-san.com/math/measurable-cardinals.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Measurable_cardinal
If a measurable cardinal exists, every set of reals at level Σ21 of the projective hierarchy is Lebesgue-measurable.
可測基数の存在を仮定してもルベーグ可測なのはΣ21（上が1・下が2）レベルまでのようです。

なお可測基数の存在を仮定すれば、κ加法的確率測度μ:2^κ→{0,1}の存在（2^κ上のκ交叉性を持つ自由超フィルタUの存在と同値）が言えますが、ルベーグ測度と違って0と1のみを取る確率になります。

>>229
>平行移動不変性は成り立たないけれど
ああ、そういうことね

だから、ヴィタリ集合もルベーグ可測ではないけど
(平行移動不変性を犠牲にして)拡張した測度で可測ってことか

Rのあるいは[0,1]の全ての部分集合を可測にするには
ルベーグ測度を拡張するらしいよ
その世界では実数の濃度は最小の可測基数になるらしい

>>224
個人的には
「有限列だとダメだが無限列ならOK」
っていいかたは頭悪いとおもってたんで
「尻尾の開始位置を固定した i尻尾同値だとダメだが
尻尾の開始位置の制限を外した尻尾同値ならOK」
っていうほうが分かりやすいと感じている

拡張だから
ルベーグ可測集合については測度は通常のものであるため
ルベーグ可測集合については平行移動不変性が成り立つけれど
ルベーグ非可測集合についてはそうではないということで
ヴィタリ集合も平行移動それぞれで別々の測度になるみたいね
可算個の平行移動の直和で覆えるわけだから
合計したら1になるような適当な測度の値を取れるのかな

けれど可測基数はとんでもなく大きな基数で
その存在を公理Mとして導入すると
ZFC+MはZFC+Uの無矛盾性を証明できるらしい

その拡張測度μでのヴィタリ集合Vの測度μ(V)は？

>>238
さあ？多分何でもありだと思うよ
そんなものが存在するということが言えるらしいが
具体的には計算できないんだろうし

Mというのは任意の可測基数が存在するという主張？
「任意」じゃなく「ある」だとそのある可測基数より大きい到達不能基数が存在するからZFC+Uの無矛盾性を証明できないはず

>>240
到達不能基数の全体KはOrdと順序同型なクラスで
k:Ord→Kをその順序同型とするとき
おそらく可測基数μはkの不動点になるんだと思う
k(μ)=μなので
μより小さな到達不能基数全体について
∀α<μ.∃β∈K:α<β
が言えるので
VμがZFC+Uのモデルになる
（同様の考察を基礎論スレに書いているけれどそっちは可測基数は関係ない）

>>241
>∀α<μ.∃β∈K:α<β
∀α<μ.∃β∈K:α<β<μ

Mはだから可測基数が1つ存在すればよいという公理で良いんだと思う

U⇔Cだから、ZFC+Uからある可測基数μに対しそれより大きい強到達不能基数κの存在を言える。つまり ∃κ:(μ<κ) を証明できる。
一方、¬κ∈VμだからVμはZFC+Uのモデルになりえないと思うけど。

モデル内に到達不能基数が全部なくてもいいでしょう
そのモデル内のすべての順序数について
それより大きな到達不能基数が必ずそのモデル内にあればいい
U::=∀α∈Ord.∃β∈Ord:β∈K
だから
VκがUのモデルであるためには
∀α:∈Ord∩Vκ.∃β∈Ord∩Vκ:β∈K∩Vκ
が成立すればいいわけで

>>245
>∀α:∈Ord∩Vκ.∃β∈Ord∩Vκ:β∈K∩Vκ
Ord∩Vκ=κなのでこれは
∀α:<κ.∃β<κ:β∈K∩κ
順序同型k:Ord→Kの不動点がκなら
α<κに対してα<k(α)<k(κ)=κ
なのでこれが言える

>VμがZFC+Uのモデルになる
Vμにはμより大きな強到達不能基数は入ってない、よろしい？
ZFC+Uからμより大きな強到達不能基数の存在が言える、よろしい？
VμはZFC+Uを充足しない、よろしい？
VμはZFC+Uのモデル足りえない、よろしい？

よろしくない場合は何がなぜよろしくないか答えて

>>247
>Vμにはμより大きな強到達不能基数は入ってない、よろしい？
これはいい
>ZFC+Uからμより大きな強到達不能基数の存在が言える、よろしい？
μより大きい順序数は考えなくて良い
それは
Uが∀α.∃κ:α<κ∈K
という論理式で
これをVμで解釈すると
∀α∈Vμ.∃κ∈Vμ:α<κ∈K∩Vμ
すなわち
∀α<μ.∃κ<μ:α<κ<μ∧κ∈K
でこれはμが
k(μ)=μ
を満たせば成立するよね？
つまり
VμはUを充足するよ

>>247
>ZFC+Uからμより大きな強到達不能基数の存在が言える、よろしい？
Uで言っているのは
どんな順序数にもそれより大きな到達不能基数がある
と言うことで
「どんな順序数」があるかはモデルに依存した話
Vμの持つ順序数はμ未満だから
その範囲でUが充足されていれば良いのよ

ただ
可測基数μが
k(μ)=μ
を満たすことはよく分からない
けど
ZFC+MからZFC+Uの無矛盾性が言えるそうだから
k(μ)=μ
を満たすんだろうなと思ったんだな
だってこれを満たさないと
∀α<μ.∃κ<μ:α<κ<μ∧κ∈K
は言えないはずだからさ

kはOrdとKの順序同型だから連続
つまり
α<μならk(α)<k(μ)
さらに
α+1<μだからk(α)<k(α+1)<k(μ)
α≦k(α)なのは
k(α)<αである順序数が存在したら
kは順序同型にならないから
よって
α≦k(α)<k(α+1)<k(μ)
なので
κ=k(α+1)∈K
とすれば
α<κ<k(μ)
だけど
μ<k(μ)
だとここから
α<κ<μ
が出ないはず
だから
μ≧k(μ)
すなわち
μ=k(μ)
である必要がある

Uは
∀α.∃κ:α≦κ∈K
と定義した方がイイかも
それだと
α≦k(α)<k(μ)=μ
だけで
κ=k(α)
とすればいいから1つずらさなくて言い

>>251
>kはOrdとKの順序同型だから連続
連続ではあるけどここで使ってるのはそれじゃなくて単調性だね
α<β→k(α)<k(β)
順序数から順序数へのクラス関数fが連続とは
f(∪α)=∪{f(β)::β<α}
謹んで訂正します

>>248
>∀α<μ.∃κ<μ:α<κ<μ∧κ∈K
これが成立するならVμは宇宙公理を充足するね

>でこれはμが
>k(μ)=μ
>を満たせば成立するよね？
なぜ？

>>254
それは>>246,252

>∀α:<κ.∃β<κ:β∈K∩κ
>順序同型k:Ord→Kの不動点がκなら
>α<κに対してα<k(α)<k(κ)=κ
>なのでこれが言える
k(α)∈Kが言えるのはなぜ？

>>256
k:Ord→Kは順序同型

>k(μ)=μ
が成り立つのはなぜ？

成り立てばということ
ZFC+MでZFC+Uの無矛盾性が言えると言うことだから
多分この流れでそれが示せるんだろうと思ったわけ
自分では証明できてるわけではないが
証明できるような気がする
ZFC+Mで言えるのは可測基数μの存在だけ
そのμでZFC+Uのモデルの存在が言えるというのは
おそらくVμがZFC+Uのモデルになるということだろうと思って
そこから>>246,252のように考えたけど
自分が言えたのは
κ=k(α+1)とすることで
∀α<μ.∃κ<k(μ):α<κ∈K
までで
これではVμがZFC+Uのモデルにならない
k(μ)≧μは一般に成り立つけれど
k(μ)=μでないとVμがZFC+Uのモデルにならないと思うんだよな

>成り立てばということ
じゃモデルと言えないね

しかし実はモデルと言えるらしい。
可測基数がマーロ基数である（これを理解するには巨大基数論の知識が必要）ことからVμ内で強到達不能基数の全体が非有界と言えて
>∀α<μ.∃κ<μ:α<κ<μ∧κ∈K
が成立するらしい。

以後宇宙公理は
U::=∀α.∃κ:α≦κ∈K
にする
VμがZFC+Uのモデルなら
∀α<μ.∃κ<μ:α≦κ∈K
が言えねばならない
k:Ord→K:順序同型
から
∀α≦k(α)∈K
∀α<∀β:k(α)<k(β)
は言えているので
∀α<μ:α≦k(α)<k(μ)
までは言える
ここで
もし
μ<k(μ)
だとすると
ｋが連続なので
μ<k(μ)=k(∪μ)=∪{k(α)::α<μ}
より
∃α<μ:μ<k(α)
となり
∀α<μ:α≦k(α)<k(μ)
に矛盾するので
μ=k(μ)
ああスッキリした

∀α<μ.∃κ<μ:α≦κ∈K
を充たすκは
κ=k(α)∈K
てことね
ああスッキリ

あいや
>ｋが連続
これを証明しなくてはいけないかな
順序同型なだけではこれが言えない
K={到達不能基数}
について
その部分「集合」L⊂Kを考えると
supL=min{α::∀κ∈L:κ≦α}∈K
を示せなくてはね
強到達不能基数κの条件は
∀λ<κ:p(λ)<κ（p(λ)=|P(λ)|・P(A)はAの冪集合）
と
κ=cf(κ)=min{α::∃f:α→κ:∀λ<κ.∃β<α:λ≦f(β)}
および
ω0<κ（これはこの際なくてもいい）
ちょっとこっちのスレに長居しすぎたので
以後基礎論スレに移ります

集合L⊂Kの順序型をλとし
f:λ→L:全単射
をとると
β<supL=sup{f(α)::α<λ}
についてあるα<λで
β<f(α)∈L⊂K
となるので
p(β)<f(α)
より
p(β)<supL
はOK

あ
スレを間違えた

箱入り無数目と囚人の帽子とまぜこぜにした問題をAIに作って貰った

悪魔が囚人たち（無限にいます）に、あるゲームを提案します。

1. 部屋に無限個の箱が1番から順番に並んでおり、それぞれの箱には「何らかの実数（1.414...や3.1415...など）」が書かれた紙が入っています。
2. 囚人たちは1人ずつ部屋に呼ばれます。
3. 呼ばれた囚人は、「1つの箱」を除いた、残りすべての無限個の箱を開けて中身を確認することができます。
4. そして、最後に残した「開けていないその1つの箱」の中身（実数）をピタリと当てなければなりません。実数は無限にあるため、勘で当たる確率は完全にゼロです。
5. 囚人同士の相談は、ゲームが始まる前に1回だけ許されますが、ゲーム中の合図などは一切禁止です。
6. 囚人達の記憶能力や情報処理能力は無限大とします。

この絶望的な状況で、囚人たちが事前に作戦を立てると、なんと「無限にいる囚人のうち、外れるのは『たった有限人数』だけで、残りの無限の囚人は全員ピタリと的中させることができる」という必勝法が存在します。

時枝正氏はなぜStanford大学教授になれたか？
URI:rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1793833383/