スレタイ箱入り無数目を語る部屋35(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part9ｗ)

>VμがZFC+Uのモデルになる
Vμにはμより大きな強到達不能基数は入ってない、よろしい？
ZFC+Uからμより大きな強到達不能基数の存在が言える、よろしい？
VμはZFC+Uを充足しない、よろしい？
VμはZFC+Uのモデル足りえない、よろしい？

よろしくない場合は何がなぜよろしくないか答えて

>>247
>Vμにはμより大きな強到達不能基数は入ってない、よろしい？
これはいい
>ZFC+Uからμより大きな強到達不能基数の存在が言える、よろしい？
μより大きい順序数は考えなくて良い
それは
Uが∀α.∃κ:α<κ∈K
という論理式で
これをVμで解釈すると
∀α∈Vμ.∃κ∈Vμ:α<κ∈K∩Vμ
すなわち
∀α<μ.∃κ<μ:α<κ<μ∧κ∈K
でこれはμが
k(μ)=μ
を満たせば成立するよね？
つまり
VμはUを充足するよ

>>247
>ZFC+Uからμより大きな強到達不能基数の存在が言える、よろしい？
Uで言っているのは
どんな順序数にもそれより大きな到達不能基数がある
と言うことで
「どんな順序数」があるかはモデルに依存した話
Vμの持つ順序数はμ未満だから
その範囲でUが充足されていれば良いのよ

ただ
可測基数μが
k(μ)=μ
を満たすことはよく分からない
けど
ZFC+MからZFC+Uの無矛盾性が言えるそうだから
k(μ)=μ
を満たすんだろうなと思ったんだな
だってこれを満たさないと
∀α<μ.∃κ<μ:α<κ<μ∧κ∈K
は言えないはずだからさ

kはOrdとKの順序同型だから連続
つまり
α<μならk(α)<k(μ)
さらに
α+1<μだからk(α)<k(α+1)<k(μ)
α≦k(α)なのは
k(α)<αである順序数が存在したら
kは順序同型にならないから
よって
α≦k(α)<k(α+1)<k(μ)
なので
κ=k(α+1)∈K
とすれば
α<κ<k(μ)
だけど
μ<k(μ)
だとここから
α<κ<μ
が出ないはず
だから
μ≧k(μ)
すなわち
μ=k(μ)
である必要がある

Uは
∀α.∃κ:α≦κ∈K
と定義した方がイイかも
それだと
α≦k(α)<k(μ)=μ
だけで
κ=k(α)
とすればいいから1つずらさなくて言い

>>251
>kはOrdとKの順序同型だから連続
連続ではあるけどここで使ってるのはそれじゃなくて単調性だね
α<β→k(α)<k(β)
順序数から順序数へのクラス関数fが連続とは
f(∪α)=∪{f(β)::β<α}
謹んで訂正します

>>248
>∀α<μ.∃κ<μ:α<κ<μ∧κ∈K
これが成立するならVμは宇宙公理を充足するね

>でこれはμが
>k(μ)=μ
>を満たせば成立するよね？
なぜ？

>>254
それは>>246,252

>∀α:<κ.∃β<κ:β∈K∩κ
>順序同型k:Ord→Kの不動点がκなら
>α<κに対してα<k(α)<k(κ)=κ
>なのでこれが言える
k(α)∈Kが言えるのはなぜ？

>>256
k:Ord→Kは順序同型

>k(μ)=μ
が成り立つのはなぜ？

成り立てばということ
ZFC+MでZFC+Uの無矛盾性が言えると言うことだから
多分この流れでそれが示せるんだろうと思ったわけ
自分では証明できてるわけではないが
証明できるような気がする
ZFC+Mで言えるのは可測基数μの存在だけ
そのμでZFC+Uのモデルの存在が言えるというのは
おそらくVμがZFC+Uのモデルになるということだろうと思って
そこから>>246,252のように考えたけど
自分が言えたのは
κ=k(α+1)とすることで
∀α<μ.∃κ<k(μ):α<κ∈K
までで
これではVμがZFC+Uのモデルにならない
k(μ)≧μは一般に成り立つけれど
k(μ)=μでないとVμがZFC+Uのモデルにならないと思うんだよな

>成り立てばということ
じゃモデルと言えないね

しかし実はモデルと言えるらしい。
可測基数がマーロ基数である（これを理解するには巨大基数論の知識が必要）ことからVμ内で強到達不能基数の全体が非有界と言えて
>∀α<μ.∃κ<μ:α<κ<μ∧κ∈K
が成立するらしい。

以後宇宙公理は
U::=∀α.∃κ:α≦κ∈K
にする
VμがZFC+Uのモデルなら
∀α<μ.∃κ<μ:α≦κ∈K
が言えねばならない
k:Ord→K:順序同型
から
∀α≦k(α)∈K
∀α<∀β:k(α)<k(β)
は言えているので
∀α<μ:α≦k(α)<k(μ)
までは言える
ここで
もし
μ<k(μ)
だとすると
ｋが連続なので
μ<k(μ)=k(∪μ)=∪{k(α)::α<μ}
より
∃α<μ:μ<k(α)
となり
∀α<μ:α≦k(α)<k(μ)
に矛盾するので
μ=k(μ)
ああスッキリした

∀α<μ.∃κ<μ:α≦κ∈K
を充たすκは
κ=k(α)∈K
てことね
ああスッキリ

あいや
>ｋが連続
これを証明しなくてはいけないかな
順序同型なだけではこれが言えない
K={到達不能基数}
について
その部分「集合」L⊂Kを考えると
supL=min{α::∀κ∈L:κ≦α}∈K
を示せなくてはね
強到達不能基数κの条件は
∀λ<κ:p(λ)<κ（p(λ)=|P(λ)|・P(A)はAの冪集合）
と
κ=cf(κ)=min{α::∃f:α→κ:∀λ<κ.∃β<α:λ≦f(β)}
および
ω0<κ（これはこの際なくてもいい）
ちょっとこっちのスレに長居しすぎたので
以後基礎論スレに移ります

集合L⊂Kの順序型をλとし
f:λ→L:全単射
をとると
β<supL=sup{f(α)::α<λ}
についてあるα<λで
β<f(α)∈L⊂K
となるので
p(β)<f(α)
より
p(β)<supL
はOK

あ
スレを間違えた

箱入り無数目と囚人の帽子とまぜこぜにした問題をAIに作って貰った

悪魔が囚人たち（無限にいます）に、あるゲームを提案します。

1. 部屋に無限個の箱が1番から順番に並んでおり、それぞれの箱には「何らかの実数（1.414...や3.1415...など）」が書かれた紙が入っています。
2. 囚人たちは1人ずつ部屋に呼ばれます。
3. 呼ばれた囚人は、「1つの箱」を除いた、残りすべての無限個の箱を開けて中身を確認することができます。
4. そして、最後に残した「開けていないその1つの箱」の中身（実数）をピタリと当てなければなりません。実数は無限にあるため、勘で当たる確率は完全にゼロです。
5. 囚人同士の相談は、ゲームが始まる前に1回だけ許されますが、ゲーム中の合図などは一切禁止です。
6. 囚人達の記憶能力や情報処理能力は無限大とします。

この絶望的な状況で、囚人たちが事前に作戦を立てると、なんと「無限にいる囚人のうち、外れるのは『たった有限人数』だけで、残りの無限の囚人は全員ピタリと的中させることができる」という必勝法が存在します。

時枝正氏はなぜStanford大学教授になれたか？
URI:rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1793833383/