答えを言うと、ハウスドルフ化として提示した手続きはそのままでは上手くいきません。方針は合っていますが、やってみると同値関係を作れません。
そこで無理やり同値関係を作って商空間をとります。この操作をハウスドルフ空間になるまで反復します。