到達不能基数・巨大基数研究

到達不能基数で
倒錯人がいる
中高生一貫校生も来るので
スレ立てる
まずは、下記など
以下順次

(google検索)
到達不能基数 モデル pdf
＜AI による概要＞
到達不能基数（inaccessible cardinal）が強到達不能基数である場合、フォン・ノイマン階層の Vκ は ZFC（ツェルメロ＝フレンケル集合論＋選択公理）の集合的モデルになります。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%B0%E9%81%94%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%9F%BA%E6%95%B0

到達不能基数とモデルの基本性質
・強到達不能基数 κ：κ が非可算正則極限基数であり、λ < κ → 2^λ < κ を満たすとき、強到達不能基数と呼びます。
・ZFCのモデル Vκ：κ が強到達不能基数ならば、累積階層の切り口であるVκ は ZFC公理系のモデル（標準モデルの構造）になります。
・無矛盾性の強さ：κ の存在は ZFC 自身からは証明も否定もできず（不完全性定理）、その存在を仮定することは ZFC の無矛盾性を ZFC よりも強い仮定として認めることに相当します。
・弱到達不能基数とLκ：κ が弱到達不能基数の場合、ゲーデルの構成可能集合の累積 Lκ は ZF（選択公理を含まない系）のモデルになります。
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~kota/ishii.pdf Lebesgue 可測性に関するSoloayの定理と実数の集合の正則性1石井大海筑波大学数理物質科学研究科数学専攻博士前期課程二年 2015
関連するオンラインの講義資料やPDFとしては、次のような解説が公開されています。
・公理論的集合論（情報科学特別講義 III）のPDFでは、到達不能基数と Vκ がモデルになる証明の概要が扱われています。
・ゲーデルの L とゼロ・シャープのPDFでは、可測基数や到達不能基数の性質について解説されています。
https://www.scribd.com/document/369587873/%E5%85%AC%E7%90%86%E8%AB%96%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96-%E6%83%85%E5%A0%B1%E7%A7%91%E5%AD%A6%E7%89%B9%E5%88%A5%E8%AC%9B%E7%BE%A9-III
公理論的集合論（情報科学特別講義 III）矢田部俊介 2013 京都大学

さらに詳しく知りたい場合は、以下の中からお知らせください。
•Vκが各公理（置換公理やべき集合公理など）を満たすことの証明の細部
・グロタンディーク宇宙（Grothendieck universe）との関連

(参考)
https://tenasaku.com/academia/
https://tenasaku.com/academia/notes/advent-20191204.pdf
ゲーデルのLとゼロ・シャープジタさん(fujitapiroc1964@twitter) 2019 年12月4日

（彼の人はスレ立て乞食に成り果てたな）

テンプレです
>・おサル「正則行列を知らない線形代数落ちこぼれ」https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/5
>　↓
>・私「零因子行列のことだろ？知っているよ」

>「正則行列くらい知っている」と平凡に答えずに
>ひねって 「零因子行列のことだろ？知っているよ」にした

テンプレです
>記号の濫用として a'2 ⊂UB1が ありか どうか？ ありでは？

テンプレです
>>UB1を小さくして a'2を含まないように分離できる
>小さくする仕方が不明
>>具体的な仕方は不要。
>>ハウスドルフだから 小さくして 分離可能の一言。
>ハウスドルフだからと書いたとしたら
>正則との違いを理解してない？と思われるだけかも
>>このスレには
>>位相空間論の初学者もいると思うので
>>はっきり否定させてもらうが
>>１）ハウスドルフは 空間の公理として普通に指定されるケースが多い
>>２）ハウスドルフ性は、良い性質を持つ
>>３）その肝が 分離性で 分離可能の一言 でだいたい片付くよ

テンプレです
>まず、確率分布Prを定義するには、確率空間から始めないと学部数学の確率論にならない
>確率空間をどう定義しているのか
>次に、Pr(Bn,b)=1/n n∈N ならば
>Σ n=0〜∞ Pr(Bn,b)＝Σ n=0〜∞ 1/n ＝∞（∵1/nの無限和が発散するのは有名な事実）
>なので、明白に Pr(Ω)≠1 ですよ(ここにΩは全事象)

テンプレです
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1774707956/626
>選択公理は存在のみなので 使えないので無視して、人の意思で代表をえらぶ

テンプレです
>・選択公理によって、任意同値類の代表の存在が言える。が、どんな代表を選ぶかは、各人の自由だ

テンプレです
>>どの無限列を入れるかは自由だが、確率変数にするかしないか、の自由はない
>>つまり、一回入れたら二度と変更できない
>>毎回の試行で変更することは決して許されない
>そこ、吉田大学の札付きでも同じだよ
>そこを読めてないのは おまえ

テンプレです
>>なぜなら箱入り無数目では箱の中身はすべて定数だから
>誤解ですよ
>箱の中身は、現代数学の確率論で扱えるよ
>「箱の中身はすべて定数だから」？
>あほか
>重川を読め

テンプレです
>　まず 先頭の幾つかをあける。株価で1円単位とすると 例えば下記ソニーで 3234 ・・・と出る
>　次に、かなり離れた 後のしっぽを全部開けると 2000代とか3000代の整数が分る
>　そこから 先頭側としっぽ側とで 狭めていって 先頭からD番目を残して 前後を開ける
>　もし、「株価かな？」と見当がつけば、ブラック–ショールズ方程式に乗せてみる
>　それ以外には、統計処理で平均値を出したり 標準偏差を計算したりもありだ
>　そして D番目を推察するのだ

テンプレです
>そこを 箱入り無数目のように 列の自由選択に変更すれば
>「1/2に出来る」と誤読している人がいるが
>しかしそれでは、数学ストーリーとしてヘンｗ
>数学ストーリーは、札付き定理の完全否定！■

テンプレです
>>「実数の構成に選択公理が必要」という君の独自説がそんなに面白いかい？
>
>必要だ。簡単に カントールの実数の構成 有理コーシー列を使う場合に限定するよ
>有理コーシー列は、加算無限有理数列だ。要するに、有理数Qから有理数を取り出して
>q0,q1,q2,・・,qi,・・ なる無理数rに収束する列を作る（細かくは rに収束する列は一つに限らないから 同値類を考える）
>q0,q1,q2,・・,qi,・・は、集合の元を整列させているってこと
>つまりは、整列可能定理が使える
>列長さが ω（＝最初の無限順序数）のときは、可算選択公理で足りる
>が、なんらの選択公理の不使用 つまり 可算選択公理さえ使わないならば
>加算無限有理数列は、構成できない！

テンプレです
>>そもそもQを構成した瞬間に有理数列全体の集合 Q^N も存在しており、作る必要など無い
>
>笑える。下記の東北大 尾畑研 第16章整数・有理数・実数 P249 「■実数論」を 百回音読してね
>『Qを構成した瞬間に有理数列全体の集合 Q^N も存在しており、作る必要など無い』か・・
>独自説だねぇ〜、ユニークで笑える、が面白すぎｗｗ（＾＾

テンプレです
>冪集合公理により 任意の有限集合の類に対して、デカルト積を定義することが出来る
>この対偶命題：
>冪集合公理により デカルト積を定義することが出来ない集合は、有限集合ではない

テンプレです
>>Nは無限集合ですからQ^Nは普通はデカルト積とは呼ばないでしょうね
>赤ペン
>１）”Nは無限集合ですから”がダメ
>２）デカルト先生は R^2でデカルト積 (r1,r2) ｜r1,r2∈R
>　を考えた故事をしらないんだね
>　”Rは無限集合ですから”って デカルト先生に言ってあげようｗ

テンプレです
>・一方、Dedekind Cutsを使うと なんらの選択公理は不要だが
>　完備であることの証明はできない

テンプレです
>実数の公理を裏口から密輸している
>ZFC公理系で 実数の公理なんて使えないぞ
と
>で https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
>を見ると、ZF公理系の話では無いだろ
>例えば
>Tarski's axiomatization of the reals
>とか
>それ 笑えるんだけど？（＾＾

テンプレです
>可算選択公理さえ仮定しない ZFのみでは・・
>1）コーシー列とデデキントカットの同値は言えない（別物？）

テンプレです
>おかしいねよ？ 可算選択公理ACω なしで 実数の構成できると言った人がいたけど
>たしかに、形式的には デデキントカット、コーシー列も それらしい まねごとは出来たとしても
>ガウスやコーシー、リーマン、ワイエルシュトラス、デデキント、カントール、ヒルベルト
>らが思っている実数（それは我々が求めている実数でもある）とはほど遠いよね
>
>可算選択公理ACω なしで構成した 実数の責任は？
>だれが どうとる？

テンプレです
>Jech, T The Axiom of Choice. North-Holland. Jelonek 1973
>CH.2, THE COUNTABLE AXIOM OF CHOICE
>P21の画像 を見て貰えば分るが
>THE COUNTABLE AXIOM OF CHOICEは
>コーシー列の収束を証明するのに重要な役割をしている

テンプレです
>異なる自然数m,nをAが選びカードに書いて箱に入れる
>選び方はAの自由
>ここで
>Bは箱の中からランダムにカードを1つ取り出す
>Aは残った方を取る
>書かれている自然数の大きい方が勝ち
>さてA,Bの勝つ確率は？
>(引用終り)
>
>１）全体集合を場合分けする
>　ケース１ ある大きなしかし有限の自然数Mを取って 0〜Mのカードで考える
>　ケース２ 無限集合の自然数N全体を考える
>２）ケース１では、0〜Mのカードは 離散一様分布を成す（下記）
>　期待値（平均値）や 分散も存在する
>　この場合、A,Bの勝つ確率は おのおの1/2
>３）ケース２では、確率は考えられない
>　なぜならば、無限集合たる自然数N全体は、非正則分布を成すから（下記）

テンプレです
>(引用開始)
>偶数と奇数m,nをAが選びカードに書いて箱に入れる
>選び方はAの自由
>ここで
>Bは箱の中からランダムにカードを1つ取り出す
>Aは残った方を取る
>偶数を引いた方が勝ち
>さてA,Bの勝つ確率は？
>(引用終り)
>
>良い指摘だ
>いま、箱の中は 偶数1枚と奇数1枚の計2枚のみとする
>全体の数が2枚で有限だから
>普通に確率計算が可能で
>A,Bの勝つ確率は 各1/2ずつ

テンプレです
>・箱入り無数目 は、私が立てた
>・IUTのシン応援スレも 私
>・各種ガロアスレのうち
>　純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (816)
>　ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ19 (247)
>　の2つは私が立てた
>
>因みに、下記の数学勢いランキング
>1〜11で 4、5、7、10の4つを除く
>7個は 全部私が立てたんだよね

テンプレです
>>（ランダムってのは確率空間の話では？定義も無くてランダムとはね）
>
>素人か（＾＾
>下記乱数分かりますか？
>乱数も知らずに 箱入り無数目を論じるかね？ｗ
>
>箱入り無数目>>1 において 箱に 下記 乱数列を発生させて入れていく
>箱入り無数目で当てられるとすれば、乱数の定義に反する
>まさに 縦と矛 矛盾なり！
>
>真の乱数列とは？ 他の数を見ても 当てることはできない！！
>他の数を見て 当てることができるならば・・、それは真乱数ではない！！ｗｗｗ
>
>まあ、素人には理解できないだろうね
>（この議論は、１０年以上前 箱入り無数目の初期に書いている）

テンプレです
>”その「御大」も底が知れてる”？ まあ、そこは同意だよ。

テンプレです
>誤：（Setはモノイダル圏だけどテンソル圏とは呼ばれないみたい）
>　↓
>正：（Setは単なる集合の圏で積の定義なし。一方モノイダル圏即ちテンソル圏はテンソル積が定義された圏である。集合の圏Setは、なんらの積も定義されていないので、テンソル積が定義された圏であるモノイダル圏即ちテンソル圏とは、全く異なる圏である■）

テンプレです
>ところが、天才グロタンディクは 圏論を使う代数幾何には
>ZFCじゃ狭い！ だから 広くしようぜと言った
>それが グロタンディク宇宙で ちょうど研究されていた到達不能基数の理論とマッチングアプリ

テンプレです
>”集合論では、超フィルターは、構成可能性の公理が可測基数 κの存在と両立しないことを示すために用いられる。”
>”ゲーデルによる神の存在論的証明は、すべての「肯定的性質」の集合が超フィルターであることを公理として用いている。”
>
>これらから導かれること
>１）”超フィルター（ultrafilter）"は、ZFC内に収まることもあれば、
>　ZFC内に収まらないこともある
>２）それは、”超フィルター（ultrafilter）"を使う人の立場による
>
>よって、”超フィルター（ultrafilter）"は
>常に ZFC内だと 倒錯している人が
>一人存在することが証明された■

テンプレです
>おそらく
>集合論論による代数幾何＋α → 圏論による代数幾何
>で、チョロと1回グロタンUをもってくれば 終り だと思う？ しらんけど

テンプレです
>ノイマン宇宙Vままだと 宇宙が狭い。Vの外に出ると そこは集合ではなく クラス（類）になる
>グロタンディク宇宙Uは、Vを広げて Vならクラス（類）になる対象を包含できるようにする
>後世の人「おまいら それ 到達不能基数の議論と同値じゃん」と指摘したらしい

テンプレです
>うむ いま Terence Tao“big picture”として 宇宙の包含関係を考える
>Vo⊂Vk⊂Vk+1⊂・・・
>ここで
>・k,k+1・・などは到達不能基数で この順に大きくなり Vkなどはkを含む宇宙で 到達不能基数kもまた集合である
>・Voは、到達不能基数を全く含まない 通常基数の宇宙
>
>これより
>・Vk+1が無矛盾ならば それより左のVo、Vkが無矛盾（∵ 包含関係で Vo、Vkが矛盾なら Vk+1が矛盾を含むので 背理法成立）
>・κの存在証明が不可能は、良いだろう
>以上

追加

(抜粋)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%B0%E9%81%94%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%9F%BA%E6%95%B0
集合論において、非可算基数 κ が弱到達不能基数（じゃくとうたつふのうきすう、英: weakly inaccessible）であるとは、それが正則な極限基数（英語版）であることを言い、強到達不能基数 (strongly inaccessible) または単に到達不能基数 (inaccessible) であるとは、κ 未満の任意の基数 λ に対し、
2^λ<κ を満たす正則基数であることを言う[1]。
弱到達不能基数は Hausdorff (1908)、強到達不能基数は Sierpiński & Tarski (1930) および Zermelo (1930) によって導入された。

“到達不能基数”という用語は曖昧である。1950年頃までは弱到達不能基数を指していたが、以後は普通は強到達不能基数を意味するからである。

定義より、強到達不能基数は同時に弱到達不能基数でもある。一般連続体仮説が成り立つ場合は、強到達不能基数であることの必要十分条件は弱到達不能であることになる。

ℵ0 は正則な強極限基数である。選択公理を仮定すると、他の全ての無限基数は正則かまたは（弱）極限である。しかしながら、その両方になれるもの、即ち弱到達不能基数は中でも大きいものに限られる。

順序数が弱到達不能基数であるための必要十分条件は、それが正則順序数であり、かつ、正則順序数の列の極限であることである（0,1, ℵ0 は正則順序数だが正則順序数の列の極限ではない）。強極限かつ弱到達不能な基数は強到達不能である。

（ここ分かり難い 元英文が An ordinal is a weakly inaccessible cardinal if and only if it is a regular ordinal and it is a limit of regular ordinals. (Zero, one, and ω } are regular ordinals, but not limits of regular ordinals.)です https://en.wikipedia.org/wiki/Inaccessible_cardinal ）

強到達不能基数の存在は、グロタンディーク宇宙が存在するという形で仮定される場合がある。この両者の間には深い繋がりがある。

＜英文＞多分これが元
https://en.wikipedia.org/wiki/Inaccessible_cardinal
Inaccessible cardinal

>>2-32
秘孔を突いたかｗ（＾＾
（下記）
痛みで 狂乱状態か

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%8C%E7%B5%A1%E7%A7%98%E5%AD%94
経絡秘孔（けいらくひこう）は、漫画『北斗の拳』・『蒼天の拳』に登場する架空の人間の急所である。少林寺拳法開祖宗道臣が著作で人間の急所経穴を表現した言葉に由来する。
概説
経絡というのは、東洋医学の用語で、気[注 1]の流れるルートとされるもので、鍼灸で施術に使用されるのは経絡の要所である経穴 （けいけつ）であり、一般的にはツボと呼ばれる。

北斗神拳と西斗月拳ではそれらの要所（秘孔）を突くことにより敵を破裂させたり、人体を強化することができるとする。なお秘孔は、『北斗の拳』の時点で708個が発見されており[注 2]、北斗の拳作中に登場する経絡秘孔の名称及び位置の多くは、実際の経穴と一致や一部改称されて使用されている物が多いが[注 3]、一部において明らかに位置が違うものがある[注 4]。南斗聖拳にも北斗神拳ほどではないが、秘孔を使う技が存在しており、六聖拳の一人であるレイがケンシロウと示し合わせて数分間相手を仮死状態にする秘孔を突いている。また北斗琉拳にも同じように経絡破孔と呼ばれるものが存在しこちらも人体の要所（破孔）を突くことにより人体に様々な変化を与える。破孔は「北斗の拳」の時点で1109個発見されている。

瀬田爺のスレｗ

チャクラが出ないw

>>33
面倒なので コテつけるな（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E5%9F%BA%E6%95%B0
巨大基数（きょだいきすう、英: large cardinal）とは、数学の集合論における超限基数が有するある種の性質。この性質を持つ基数は、その名の通り、一般に大変「大きい」（例えば、α=ωαを満たすような最小の基数αよりも大きい）。そのような基数が存在するという命題は、集合論における最も標準的な公理系である ZFC からは証明できない。このことから、そのような命題は、何らかの望ましい結果を証明できるようになる上で ZFC を超えてどのぐらいの「量」の仮定を加えなければならないのかを測るある種の尺度になっている。別の言い方をすれば、デイナ・スコットが述べたように、巨大基数的性質は「より多くを求めるなら、より多くを仮定しなければならない」という事実を定量的に表現しているとみなせる[1]。

https://en.wikipedia.org/wiki/Large_cardinal
Large cardinal
（下記の図が分かり易い）
https://en.wikipedia.org/wiki/Large_cardinal#/media/File:Large_Cardinals.jpg
Large cardinal hierarchy, ordered from bottom to top in terms of strength.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E5%9F%BA%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%80%A7%E8%B3%AA%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7
巨大基数的性質の一覧（きょだいきすうてきせいしつのいちらん）では巨大基数的性質を列記する。
→「巨大基数」も参照
巨大基数は、与えられた性質を持つ基数の存在を主張する公理の無矛盾性の強さの順序によっておおよそ線形に整列させられる。ある性質の基数κの存在は、その性質の以上に列挙されている大部分の性質の基底関数の存在を意味し、より無矛盾性の弱い基数定義に対して、Vκ は「φを満たす基数の階層が無限に存在する」ことを満たす。

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_large_cardinal_properties
List of large cardinal properties

エル・チョクロ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙（グロタンディークうちゅう、英: Grothendieck universe、仏: Univers de Grothendieck）
任意のグロタンディーク宇宙はある濃度
κ に対し
u(κ) の形となる。これはグロタンディーク宇宙と強到達不能基数の間の別の同値性を与えるものである:
略
強到達不能基数の存在は ZFC からは証明できないため、空集合と
Vω 以外の宇宙の存在はどれも ZFC から証明することができない。

（英文）
https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe
Grothendieck universe

https://m-hiyama.hatenablog.com › entry
グロタンディーク宇宙って何なんだ？
檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2018/04/05 — グロタンディーク宇宙って何なんだ？ · ZFC+αのモデルVがグロタンディーク宇宙Uを持つ。 · ZFC+αでは、到達不能基数の存在が示せる。

https://oroshi.me/2026/04/grothendieck_universe
グロタンディーク宇宙とは集合論の操作で閉じた集合のことで ...
oroshi.me
https://oroshi.me › 数学 › 圏論
2026/04/26 — グロタンディーク宇宙の定義. グロタンディーク宇宙 (または単に宇宙) とは以下の性質を満たす集合の U のことです。 x ∈ U ならば x ⊂ U である. ( x ...
はじめに
集合論の公理系 (ZFC)
グロタンディーク宇宙
圏論と宇宙

>>39 追加

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99
数学の集合論とその周辺分野において、フォン・ノイマン宇宙
V とは、遺伝的（英語版）整礎集合全体のクラスである。この集まりは、ZFCによって定義され、ZFCの公理に解釈や動機を与えるためにしばしば用いられる。
整礎集合の階数（rank）は、その集合の全ての要素の階数より大きい最小の順序数として帰納的に定義される[1]。特に、空集合の階数は
0 で、順序数はそれ自身と等しい階数をもつ。
V 内の集合はその階数に基づいて超限個の階層に分けられ、その階層は累積的階層と呼ばれる。

https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Von Neumann universe
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe#/media/File:Von_Neumann_Hierarchy.svg
An initial segment of the von Neumann universe. Ordinal multiplication is reversed from our usual convention; see Ordinal arithmetic.
Definition
The cumulative hierarchy is a collection of sets Vα indexed by the class of ordinal numbers; in particular, Vα is the set of all sets having ranks less than α. Thus there is one set Vα for each ordinal number α.
Vα may be defined by transfinite recursion as follows:
略
・For any ordinal number β, let Vβ+1 be the power set of Vβ:
Vβ+1:=P(Vβ).
・For any limit ordinal λ, let Vλ be the union of all the V-stages so far:
Vλ:=⋃ β<λ Vβ.
A crucial fact about this definition is that there is a single formula φ(α,x) in the language of ZFC that states "(α is an ordinal and) the set x is in Vα".
The sets Vα are called stages or ranks.
The class V is defined to be the union of all the V-stages:
V:=⋃α Vα.

>>40 追加

https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
fandom.com
巨大数研究 Wiki
宇宙 (数学)
数学において宇宙 (universe) とは議論領域を指す言葉であり、しばしば特定の集合ないしより巨大な構成物を指す。
Wikipedia:ja:宇宙 (数学)、Wikipedia:Universe (mathematics)なども参照。
一般名詞としての宇宙、および宇宙論に関する話題は宇宙論の巨大数を参照。

目次
1 「すべての集合」の集まり
1.1 グロタンディーク宇宙
1.2 真クラスとNBG集合論
1.3 真クラスとフェファーマンの'"`UNIQ--postMath-00000043-QINU`"'
2 集合論における宇宙
2.1 フォン・ノイマン宇宙
2.2 構成可能宇宙
3 脚注
4 参考文献

グロタンディーク宇宙
集合論においては、『すべての集合の集合』を筆頭として『(ある性質)を持つ集合すべての集合』を考えることはできない。これらの"集合"は、ラッセルのパラドックス、カリーのパラドックス、その他多数の類似のパラドックスを引き起こすためである。しかし、議論のために「集合の全体」など、様々なものの全体という概念が必要になることは多い。これを回避する方法のひとつがグロタンディーク宇宙である。

以下の定義はMac Lane[2]に基づいたものである[注 1]。
定義 (グロタンディーク宇宙)
略す

集合論における宇宙
集合論において宇宙とは、ZFやその他の集合論のモデルを与えるために構成されたものを指すことが多い。
フォン・ノイマン宇宙
フォン・ノイマン宇宙とはZFCで扱うことが出来る全ての集合を漸増的に定義する真クラスである。それは集合ではないが、「全ての集合の集合」とみなすことができる。それは累積階層という、次のように定まる超限列により定義される:
略す

構成可能宇宙
構成可能宇宙を定義するために、次のような関係を定義する必要がある:
略す

>>41 追加

”タルスキ宇宙が推移的集合であれば、それはまた グロタンディーク宇宙 でもある[7]。
逆に選択公理を仮定すれば、すべてのグロタンディーク宇宙はタルスキ宇宙である（すなわちタルスキの公理を満たす）[8]。”

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%E2%80%93Grothendieck_set_theory
Tarski–Grothendieck set theory

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%82%AD%EF%BC%9D%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
タルスキ＝グロタンディーク集合論（タルスキ＝グロタンディークしゅうごうろん、英: Tarski–Grothendieck set theory、略称 TG）は、数学者 アルフレト・タルスキ と アレクサンドル・グロタンディーク にちなんで名付けられた公理的集合論の体系である。ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）の非保存的拡大であり、「各集合に対しそれが属する“タルスキ宇宙”が存在する」と述べるタルスキの公理を含む点で、他の公理的集合論と区別される（後述）。タルスキの公理は到達不能基数の存在を含意し、ZFC より豊かな存在論を与える。例えば、この公理を追加することで圏論を支えることができる。
Mizar システムおよび Metamath は、証明の形式的検証（英語版）にタルスキ＝グロタンディーク集合論を用いる。

公理
タルスキ＝グロタンディーク集合論は、通常のツェルメロ＝フレンケル集合論を出発点とし、そこへ「タルスキの公理」を加えるものである。ここでは Mizar の公理、定義、記法を用いて記述する。Mizar の基本対象と操作は完全に形式的であるが、以下では非公式に説明する。まず次を仮定する。
略
タルスキ宇宙が推移的集合であれば、それはまた グロタンディーク宇宙 でもある[7]。
逆に選択公理を仮定すれば、すべてのグロタンディーク宇宙はタルスキ宇宙である（すなわちタルスキの公理を満たす）[8]。

集合u はs にとっての「普遍集合」のように見える。
s の冪集合やs のすべての部分集合を要素として持つだけでなく、その冪集合の冪集合なども持ち、その要素は冪集合を取る操作や部分集合を取る操作で閉じている。ただしもちろん自分自身の要素ではなく、すべての集合の集合でもない。それが保証された宇宙であり、
s はこれに属する。さらに、そのような
u は自らも一層大きな「ほぼ普遍的な集合」の要素であり、以下同様に続く。タルスキの公理は ZFC よりはるかに多くの集合の存在を保証する公理なのである。

>>42
一次まとめ

１）Tarski–Grothendieck set theory：ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）の非保存的拡大
　ZFC より豊かな存在論を与える。例えば、この公理を追加することで圏論を支えることができる。
２）タルスキ宇宙が推移的集合であれば、それはまた グロタンディーク宇宙 でもある[7]。
逆に選択公理を仮定すれば、すべてのグロタンディーク宇宙はタルスキ宇宙である（すなわちタルスキの公理を満たす）[8]。
３）”任意のグロタンディーク宇宙Ｕはある濃度 κ に対し
u(κ) の形となる。これはグロタンディーク宇宙と強到達不能基数の間の別の同値性を与えるものである”(>>39)
　ここに κは 強到達不能基数
４）Von Neumann universe V：これは 普通のZFCの作る標準の宇宙で
　到達不能基数の存在は仮定しない
５）Tarski–Grothendieck set theory：ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）の非保存的拡大で
　グロタンディーク宇宙Uは、Von Neumann universe Vより真に大きく
　非保存的拡大 で ZFC より豊かな存在論を与えるのであるから
　集合論の記号濫用で
　V ⊂U と書ける（⊂は等号を含まない）

「到達不能基数の存在公理」って数学用語で1番カッコいいですよね

>>44
レスありがとう

ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理

格好良い名前の定理を挙げるスレなんて、過去にあったかな？

理解しないでコピー＆ペースト（コピペ）をしてはいけない最大の理由は、トラブルが起きたときに対応できず、自分の成長や信用を失うからです。
中身を理解せずにコピペを繰り返すと、次のような重大な問題が起きます。
主なリスクと理由
・トラブルの原因が分からない：プログラムや資料に間違いがあっても、仕組みを理解していないため直せません。
・スキルが身につかない：自分で考えて作業する機会を失うため、いつまで経っても自分の実力が上がりません。
・著作権や規約の違反になる：意味も分からずに他人の文章やコードをそのまま使うと、盗作（剽窃）や法律違反になる危険があります。
・信用を失う：不正確な情報やバグを含んだまま提出・公開してしまい、周囲に迷惑をかけてしまいます。

>>44-45
レスが付いたところで補足しておくと

１）まず 順序数下記な。 普段あまり使わないだろうが
　カントールが創始した。無限列の並びに番号を与える（有限の0, 1, 2, 3, ...の無限版な）
２）基数とは？ 平たく言えば （無限集合）の濃度（濃度＝基数）
　有限集合では 順序数と一致するが 無限集合では 順序数とは不一致
　いま、簡単に一般連続体仮説を採用すると
　可算ℵ0=ω=Nの後、ℵ1=R=2^2 などとなる
　その後 実関数全体で ℵ2＝2^R とか・・ この後ずっと続く
３）無限に続くが この場面は” 超限回”とかエレガントにｗ表現する（無限はすでに使ったから）
４）では、到達不能とは なんなのじゃ？ と問えば
　それは、2^R とか 集合べきを ZFCの中で 超限回繰り返す その外に
　おわします 神の基数なり！
　あたかも ZFCの中で 超限回繰り返しは人の作る基数であって
　到達不能は、ZFCで人が考え得る外の基数なり！
（数学的には ZFCでは証明できないともいうらしいｗ だから公理が必要なのだ）

さて
巨大基数の中では 到達不能など小さい小さいというから
おシャカさまも びっくりです

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の極限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。だがそれで終わりではない。無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は“永遠に”続いていくのである。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E6%95%B0
基数（きすう、cardinal number または cardinal）とは、集合の濃度（cardinality、大きさ、サイズ）を測るために定義された自然数の一般化である。
無限集合の濃度が一つではないことはゲオルク・カントールによって示された。
定義
フォン・ノイマンの割り当て
略

（公理を追加すると宇宙は小さくなるのにね）

>>50
>（公理を追加すると宇宙は小さくなるのにね）

倒錯している
１）下記 ”ツェルメロ＝フレンケル集合論”パラドックスの回避の項にあるように ラッセルパラドックス拝披のために ”集合の作り方”を制限したのだが
２）実体は ”集合の作り方”で カントールでは素朴に何かを（なんでもルール無しで）集めると集合だが、ZFでは 集合を作る公理(ルール)を定めた
３）繰り返すが、ZFでは集合を作る公理(ルール)を定めた。ルール外の集合は原則みとめないってこと
４）実際、下記の通り ZFでは 公理(ルール)は必要最小限に抑えた。ゆえに ”もう少し面白い集合があっても良いんじゃない？”（矛盾は起きないだろう）というのが
　到達不能基数であり Tarski–Grothendieck公理系（Grothendieck宇宙論）なのだ
　実際、下記 4)対の公理、5)和集合の公理、7)無限公理、8)べき集合公理などは 集合を作るための公理であって これらの公理があるから 宇宙が大きくなるよ■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
歴史
集合論の現代的な研究は、1870年代にカントールとデーデキントによって始められた。しかし、ラッセルのパラドックスなどの素朴集合論におけるパラドックスが発見され、これらのパラドックスのない、より厳密な形式の集合論の探求につながった
公理
ZFC公理系には、多くの同値な定式化が存在する[4]。以下に示す公理は、Kunen (1980)（ケネス・キューネン）に従った。公理自体は一階述語論理の記号で表される。論理式に付随する説明は理解を助けるためのものである。
分出公理図式および置換公理図式は、（閉論理式としての）公理ではなく、ある論理式に対して一つの公理が対応する公理図式であることに注意を要する。この公理図式は、実際には無限個の公理を含意する。
選択公理を除く下記の八つの公理でZFを定義できる。これらの公理の異なる形もしばしば見かけるが、いくつかはJech (2003)に列挙されている。

1)外延性の公理
任意の集合について、その集合と同じ元のみをもつ集合は、その集合自体の他に存在しない。

2)正則性公理（基礎の公理）
略

3)分出公理図式 分出公理は、既出の集合から部分集合のみを構成できるのみであり、{x|φ(x)} のような一般的な集合を構成できない。ZFの公理の中で、この公理は置換公理と空集合の公理から導かれる。

4)対の公理 （任意の集合 x と yについて、少なくとも x と y を元とする集合が存在する）

5)和集合の公理

6)置換公理図式

7)無限公理

8)べき集合公理

9)選択公理（または同値な命題）

10)空集合の公理

つづく

つづき

パラドックスの回避
彼はその当時すでに知られていたパラドックスを回避しなければいけないこともわかっていた。代表的なものとしては、 ラッセルのパラドックス、リシャールのパラドックス、ブラリ＝フォルティのパラドックスがある。 これらのパラドックスは、集合を構成する方法に制限を付けている ZFC の中では展開できない。
例えば、ラッセルのパラドックスで用いられるラッセルのクラス（集まり）
は ZFC の中では構成できないし、 リシャールのパラドックスで用いられる構成は論理式で記述できない。

累積階層による動機づけ
ZFC公理の動機の1つは、フォン・ノイマンによって導入された集合の累積階層である[8]。この観点では、集合論の宇宙は階層的に構築され、順序数ごとに1つの階層が存在する。階層0では集合が存在しない。次の各階層で、すべての元が前の階層で追加されている場合、集合が宇宙に追加される。したがって、空集合は階層1で追加され、空集合を含む集合は階層2で追加される[9]。この方法で得られたすべての集合の集まりは、すべての階層をまとめて V と呼ぶ。

累積階層に階層化された集合の宇宙という様式は、ZFCや、フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論（NBG）やモース-ケリー集合論などの関連する公理的集合論の特徴である。累積階層は、新基礎などの他の集合論とは互換性がない。

V の定義を変更して、各階層で、前の階層の和集合の部分集合をすべて追加するのではなく、ある意味で定義可能な場合にのみ部分集合を追加するようにもできる。この場合、より「狭い」階層構造をもつ構成可能宇宙 L が得られる。L は、選択公理を含むZFCのすべての公理も満たす。 V = L かどうかはZFC公理から独立している。
(引用終り)
以上

>>51 タイポ訂正

１）下記 ”ツェルメロ＝フレンケル集合論”パラドックスの回避の項にあるように ラッセルパラドックス拝披のために ”集合の作り方”を制限したのだが
　↓
１）下記 ”ツェルメロ＝フレンケル集合論”パラドックスの回避の項にあるように ラッセルパラドックス回避のために ”集合の作り方”を制限したのだが

追記（ついでに）
「公理を追加すると宇宙は小さくなる」のではなく
集合を作るルールがない 無法状態でなく
パラドックス回避を目的に 集合を作る必要最小限のルール化（公理化）が ZFCだったってこと
ここは、重要ポイントだ

（宇宙とは何かを根本的に理解しないようです）

>>54
>（宇宙とは何かを根本的に理解しないようです）

ふっ
倒錯している

１）まず、そもそも「集合とは何か？」
　カントール素朴集合論では、素朴に集合の元があって 素朴に元を集めたものが集合だった
２）一方、ZFCなどの公理的集合論では、そもそも元（urelement （下記））が存在しない
　そして、空集合φ＝{} から出発して 1に相当する集合を作り、2に相当する集合を作り、
　・・・ 自然数集合Nを作り、有理数を作り、実数を作り 関数を作る・・・
　数学神の天地創造 数学の神は6日間でZFCの宇宙全てを作り 7日目は休まれたという
　この宇宙こそが ノイマン宇宙Vだ
３）そこにやってきた圏論使いのGro神は、「ノイマン宇宙Vは、おれが圏論やるには狭い」と叫んだ
　そして 到達不能基数κを導入して ノイマン宇宙Vを広げた
　Gro神が 存分に圏論が可能なように
４）この神話で分ることは、「集合とは何か？」は 集合公理系に依存するということ
　従って、集合とクラスの境目は 神々の力（公理体系）によるってこと
　そして 神々の作る宇宙で ノイマン宇宙Vはクラスだが
　到達不能基数κ を導入したκのステージVκは 集合であり
　ステージVκは、κ未満の順序数や基数のすべてのステージVλ 和（Vλをλの全てを渡って含む）
　Gro神の作った宇宙Uは、ブルバキの証明によれば Vκと同値であることが示されている

これが、数学における 宇宙論なり！ｗ（＾＾
繰り返すが、あんた無知かつ倒錯している

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Urelement
Urelement

所詮セタの理解ってこんなもんやわな
全く理解が進歩してない
何年かかってもこのレベル止まり

日本全体がこういうタイプの居直りに甘すぎるのだと思う。

瀬田爺さんの唯一の芸、コピペ

554 １３２人目の素数さん hage 2026/10/07(水) 10:45:23.21 ID:YOb88Imu
3. 最大になったときに「全射（単位円板全体に写る）」になる理由
ここが核心です。「もし最大値をとる関数 \(f_{0}\) の像 \(f_0(D)\) が、単位円板 \(\mathbb{D}\) 全体を覆っていなかったら（穴があったら）」と仮定します。
1. 像に穴（カバーされていない点 \(\alpha \in \mathbb{D}\)）があると、領域の単連結性を利用して、その穴を避けるような「平方根」の正則な枝をとる写像を合成できます。
2. さらに、それを一次分数変換（シュワルツの補題の変形）で原点 \(0\) を原点 \(0\) に戻すように調整します。
3. この一連の合成操作を行うと、シュワルツの補題（またはそのバリエーション）の効果により、元の関数 \(f_{0}\) よりもさらに点 \(z_{0}\) での微分の絶対値が大きい新しい関数 \(f_1 \in \mathcal{F}\) が作れてしまうことが証明できます。
これは「\(f_{0}\) が微分の絶対値を最大にする関数である」という前提に矛盾します。
したがって、微分の絶対値が最大になる事項（関数）は、単位円板に「穴」を残すことができず、必ず全体をぴったり覆う（全射になる）、すなわち目的の等角写像（リーマン写像）になるのです

>>56-57
ふっ
どうぞ ここは中高一貫生も来るから ハッキリと書いておくが
赤ペンは歓迎だ
が 一つ条件がある
Wikipedia 方式で 主張の根拠文献を最低一つ付けること
それを守ってくくれ それだけだ（＾＾

（自分で考えず人から教えて貰うスタンス）

>>49
>では、到達不能とは なんなのじゃ？ と問えば
>それは、2^R とか 集合べきを ZFCの中で 超限回繰り返す その外に
>おわします 神の基数なり！
はい、大間違いです。
到達不能基数とは非可算かつ正則基数かつ極限基数、特に強到達不能基数とは到達不能基数かつ強極限基数のことです。定義を確認しましょう。数学の基本中の基本ですよ。
ZFCから到達不能基数κの存在証明が不可能な理由は、
上記の定義からVκがZFCのモデルとなるための十分な大きさを持っており、仮に証明可能とすると完全性定理および不完全性定理と矛盾するためです。
べき操作の超限回繰り返しうんぬんはまったく関係ありません。定義を確認しないからそのような妄想に走るのです。

>>55
君の珍説によるとV⊂Vκということになるけど、おｋ？

赤ペンなんてするわけないやろw
してほしかったら大学はいって指導教官にやってもらえw

>>63
>君の珍説によるとV⊂Vκということになるけど、おｋ？

中高生の参考になるので お答えします
１）まず 下記 強到達不能基数 (strongly inaccessible) または単に到達不能基数 (inaccessible)
κは κ未満の任意の基数 λ に対し、2^λ<κ を満たす正則基数であることを言う
２）いま、下記 Von Neumann universe Vを考える。これはZFCままなので ここには強到達不能基数κは証明できず ゆえに 存在しないとしてよい（証明できなものは存在しない）
　V内の任意基数（普通の基数）αを考えると α未満の任意の基数 λ に対し、「2^λ<α」不成立。つまり V内の αとは、なにかのλ<αを使って 「2^λ＝α」として作られる
３）つまり、「κ未満の任意の基数 λ に対し、2^λ<κ を満たす正則基数」という設定は、『V内の任意基λよりも大』を含意する
４）これを踏まえて 下記 Von Neumann universeでのルールを借用して Vκとは ”Vλ:=⋃ β<λ Vβ” で λ→ κとしたもので（∵κは基数）
　κ未満の 全て(any)の ordinal number βについての Vβの和である（定義より）
　繰り返すが 全て(any)の ordinal number βを尽くす和
　従って Vκには V中の全てのVβを含む
　従って V⊂Vκ （再度強調するが Vκは 集合という設定（到達不能基数公理より従う））■


(参考)　>>32より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%B0%E9%81%94%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%9F%BA%E6%95%B0
集合論において、非可算基数 κ が弱到達不能基数（じゃくとうたつふのうきすう、英: weakly inaccessible）であるとは、それが正則な極限基数（英語版）であることを言い、強到達不能基数 (strongly inaccessible) または単に到達不能基数 (inaccessible) であるとは、κ 未満の任意の基数 λ に対し、
2^λ<κ を満たす正則基数であることを言う[1]。

　>>40より
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Von Neumann universe
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe#/media/File:Von_Neumann_Hierarchy.svg
An initial segment of the von Neumann universe. Ordinal multiplication is reversed from our usual convention; see Ordinal arithmetic.
Definition
The cumulative hierarchy is a collection of sets Vα indexed by the class of ordinal numbers; in particular, Vα is the set of all sets having ranks less than α. Thus there is one set Vα for each ordinal number α.
Vα may be defined by transfinite recursion as follows:
略
・For any ordinal number β, let Vβ+1 be the power set of Vβ:
Vβ+1:=P(Vβ).
・For any limit ordinal λ, let Vλ be the union of all the V-stages so far:
Vλ:=⋃ β<λ Vβ.
A crucial fact about this definition is that there is a single formula φ(α,x) in the language of ZFC that states "(α is an ordinal and) the set x is in Vα".
The sets Vα are called stages or ranks.
The class V is defined to be the union of all the V-stages:
V:=⋃α Vα.

>>62
つー

　>>65に詳述したので 百回音読してねｗ（＾＾

糞スレに高校生はこない

>>65
>従って V⊂Vκ
>The class V is defined to be the union of all the V-stages:
>V:=⋃α Vα
つまり、VκはV-stagesではないと？

>>66
>では、到達不能とは なんなのじゃ？ と問えば
>それは、2^R とか 集合べきを ZFCの中で 超限回繰り返す その外に
>おわします 神の基数なり！
は撤回したってこと？

>>65
>証明できなものは存在しない
大嘘。
「存在証明できないものは存在すると言えない」や「存在反証できるものは存在しないと言える」が正しい。
なおかつ理論から存在証明できないものがその理論のモデル内に存在していてもよい。実際、ペアの算術から無限大超自然数の存在は証明できないが、超準モデルが存在してその中に無限大超自然数が存在する。
基礎論のいろはも知らないのに分かった風な体で書き込むのやめたら？

>>65
>Von Neumann universe Vを考える。これはZFCままなので
これも大嘘。
仮にZFCのモデルであるVの存在をZFCで証明できたら完全性定理および不完全性定理と矛盾する。
よってZFCのモデルであるVの存在証明はメタ理論が必要。
メタ理論の選び方は任意であって、例えばZFC+宇宙公理を選んだ場合、強到達不能基数の無限上昇列 κ0<κ1<・・・ が存在して Vκ0⊂Vκ1⊂・・・⊂V が成り立つ。
このとき Vκ0,Vκ1,・・・,V はいずれもZFCのモデルであり、Vκ1内には強到達不能基数κ0が存在する。つまり、ZFCから存在証明できない強到達不能基数がZFCのモデル内に存在する。

中高生の参考になるので お答えします

>>68
>つまり、VκはV-stagesではないと？

通常の V-stages つまり 通常のノイマン宇宙Vで使われる順序数とは？
下記 順序数 ja.wikipediaにあるように 通常の順序数は “永遠に”続いていく
が、それより大きな到達不能基数を考えようというのが 到達不能基数の思想だ
つまり、この通常の順序数“永遠に”続く列の中に 通常の基数も存在する それをλとする
到達不能基数 (inaccessible)κとは この通常の任意の基数 λ に対し、2^λ<κ を満たす正則基数であることを言う
従って、通常の任意の基数 λの外で λより大

ゆえに 通常のノイマン宇宙Vの通常のV-stagesが 任意の基数 λを尽くすものから成るとして
κは 通常の任意の基数 λの外で λより大ゆえ
Vκは通常のV-stagesの外で 通常のV-stagesを全て含む巨大な存在

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number
Ordinal number
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の極限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。だがそれで終わりではない。無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は“永遠に”続いていくのである。

>>70
>>証明できなものは存在しない
>大嘘。

簡単な例を二つあげよう
１）ユークリッド幾何では 無限遠点は存在しない。が、射影幾何では無限遠点は存在する
　その違いは、公理が異なるってこと。無限遠点を 公理として追加しなければ、ユークリッド幾何では 無限遠点は存在しない
２）もう一つ ガウス平面では 無限大∞の点は存在しない。が、リーマン球面では 無限大∞の点は存在する
　無限大∞の点を公理として与えなければ ガウス平面では 無限大∞の点は存在しない
　なお、ガウス平面に無限大∞の点を加えても矛盾は生じない。だから リーマン球面の理論が成り立つのだ
　が、リーマン球面の理論が成り立つことと ガウス平面では無限大∞の点は存在しないこと とは両立する■

>>72
>通常の順序数は “永遠に”続いていく
>が、それより大きな到達不能基数を考えようというのが 到達不能基数の思想だ
つまり、到達不能基数は順序数でないと？

>>>証明できなものは存在しない
>>大嘘。
>簡単な例を二つあげよう
>ユークリッド幾何では 無限遠点は存在しない。
第5公準から存在反証されるからであって、存在証明できないからではない。つまり
>「存在反証できるものは存在しないと言える」が正しい
の通りであって何の反論にもなっていない。地頭が悪すぎて会話が成立していない。

>>40
>V とは、遺伝的（英語版）整礎集合全体のクラスである。
>>43
>Ｕグロタンディーク宇宙（集合論の操作で閉じた集合）
>V ⊂U と書ける

初歩から誤り

２つの場合しか存在しない

１．Vの中にUが存在しない
２．Vの中にUが存在するU∈V　遺伝的整礎なのでU⊂V

１の場合、強到達不能基数が存在しない
２の場合、強到達不能基数が存在する

>>49
＞到達不能は、ZFCで人が考え得る外の基数なり！

初歩から誤り

２つの場合しか存在しない

１　到達不能基数が存在しない
２　到達不能基数κが存在する　当然ながらκは順序数

>>55
＞神々の作る宇宙で ノイマン宇宙Vはクラスだが
＞到達不能基数κ を導入したκのステージVκは 集合であり
＞ステージVκは、κ未満の順序数や基数のすべてのステージVλ 和（Vλをλの全てを渡って含む）
＞Gro神の作った宇宙Uは、ブルバキの証明によれば Vκと同値であることが示されている

したがって　
κが順序数として存在すれば、Vκは集合であり、当然ながらVκ⊂V
κが順序数として存在しなければ、Vκも集合として存在しない
（κを順序数の全体からなるクラスとするならば、
Vκはクラスとして存在し、Vと一致すると考えられるかもしれん）

>>60
＞Wikipedia 方式で 主張の根拠文献を最低一つ付けること　それを守ってくれ

文章を誤読する人間失格の🐵が、
いくら文献を添付しても無駄

やめとけ

>>65
＞（ZFCでは）強到達不能基数κは証明できず
＞ゆえに （Vの中には）存在しないとしてよい
＞（証明できないものは存在しない）

初歩から誤り

「証明できないものは存在しない」は誤り

反証もできないなら、存在してもよい

ZFCから無限公理を除いた体系では、無限公理は証明できない
しかし、無限公理から矛盾も導けない

したがってZFCから無限公理を除いた体系でも、無限集合は存在してよい

強到達不能基数の存在から矛盾が導けないなら、強到達不能基数は存在してよい

＞つまり、「κ未満の任意の基数 λ に対し、2^λ<κ を満たす正則基数」という設定は、
＞『κはV内の任意基数λよりも大』を含意する

初歩から誤り

存在しないとしてもよいが
存在するとしてもよい

したがって
１．κが存在しないならＶκも集合として存在しない
２．κが損座するなら、Ｖκも集合として存在し、Ｖκ⊂Ｖ

>>72
＞通常のノイマン宇宙V

κが存在しないＶが通常、というのは人間失格の🐵の妄想

>>76
>（κを順序数の全体からなるクラスとするならば、
>Vκはクラスとして存在し、Vと一致すると考えられるかもしれん）
順序数全体のクラスは順序数でないからVκはV階層の定義に反するけどな

>「証明できないものは存在しない」は誤り
>反証もできないなら、存在してもよい
>ZFCから無限公理を除いた体系では、無限公理は証明できない
>しかし、無限公理から矛盾も導けない
>したがってZFCから無限公理を除いた体系でも、無限集合は存在してよい
>強到達不能基数の存在から矛盾が導けないなら、強到達不能基数は存在してよい
彼、このことがどうしても理解できないようだね。ずっと同じ間違いを繰り返してる。
コピペばっかで勉強しないから間違った考えをしてることに気づかないんでしょう。

>>72
＞ユークリッド幾何では 無限遠点は存在しないが、射影幾何では無限遠点は存在する

射影幾何はユークリッド幾何に公理を追加したものではない

なぜなら、
ユークリッド幾何では平行な二直線は交わらないが
射影幾何では異なる二直線は必ず１点で交わる

＞ガウス平面では 無限大∞の点は存在しないが、リーマン球面では 無限大∞の点は存在する

リーマン球面は複素数体に公理を追加したものではない
なぜなら無限遠点∞は０でないが、乗法逆元を持たない　ゆえに体ではない

すべて、初歩から誤り

>>80
＞順序数全体のクラスは順序数でないからVκはV階層の定義に反するけどな
もちろん、拡大解釈ではあるが

>>81
＞＞「証明できないものは存在しない」は誤り
＞彼、このことがどうしても理解できないようだね。ずっと同じ間違いを繰り返してる。

彼のやってることは、いわゆる閉世界仮説
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%89%E4%B8%96%E7%95%8C%E4%BB%AE%E8%AA%AC

「閉世界仮説（へいせかいかせつ、英: Closed world assumption）は、現時点で真であると判明していないことは偽であると仮定することを意味する。」

もちろん、数学ではそのような考え方は取らない

>>73-76
ふっ
人外のバカがいる

ここは中高生も来るので 下記を(参考)に引用するよ
そして 下記より
１）グロタンディーク宇宙の2つの簡単な例がある i）空集合∅と ii）すべての遺伝的有限集合の集合Vω
　それ以外に iii）巨大基数の公理 (C) を採用した グロタンディーク宇宙
２）人外のバカは この３つが区別できないらしい。ぐしゃぐしゃに混同しているアホ
　i）空集合∅はトリビア、ii）すべての遺伝的有限集合の集合Vωは無限公理が無い場合
　iii）巨大基数の公理 (C) を採用した グロタンディーク宇宙 は、普通は強到達不能基数κを考える（が κより巨大基数も可）

すべて 各人が必要に応じて採用してよい
そして 強到達不能基数κを持たない つまり κ未満の 通常の順序数と基数から成るノイマン宇宙があるが グロタンディーク宇宙Vκに届かない■

下記 ”グロタンディーク宇宙と到達不能基数”を、百回音読してねｗ（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙
グロタンディーク宇宙と到達不能基数
グロタンディーク宇宙の2つの簡単な例がある:
・空集合∅
・すべての遺伝的有限集合 の集合Vω 。
他の例は構成がより困難である。大まかに言うと、これはグロタンディーク宇宙が到達不能基数と同値なためである。より形式的に言えば、次の2つの公理が同値である:
(U) 任意の集合x に対して、x∈Uとなるグロタンディーク宇宙 Uが存在する。
(C) 任意の基数 κ に対して、κよりも巨大な強到達不能基数λが存在する。

この事実を証明するために、関数c(U)を以下のように定義する:
略す
(この公理を仮定しない場合の反例はブルバキの論文を参照。)
略す
(この証明は長くなるため、詳細は参考文献のブルバキの論文を参照。)

巨大基数の公理 (C) から宇宙の公理 (U) が導かれることを示すため集合 x を選ぶ。
略す

宇宙の公理 (U) から巨大基数の公理 (C) が導かれることを示すために κ を基数とする。
κ は集合なのでグロタンディーク宇宙 Uの元である。
Uの濃度は κ より大きな強到達不能基数となる。
実際、任意のグロタンディーク宇宙はある濃度 κ に対し u(κ)
の形となる。これはグロタンディーク宇宙と強到達不能基数の間の別の同値性を与えるものである:
グロタンディーク宇宙 Uに対して、|U| は零、ℵ0、もしくは強到達不能基数のいずれかとなる。
また、κ が零、ℵ0、もしくは強到達不能基数ならば、グロタンディーク宇宙
u(κ)が存在する。
さらに、u(|U|)=Uかつ|u(|κ|)|=κ
となる。
強到達不能基数の存在は ZFC からは証明できないため、空集合と
Vω 以外の宇宙の存在はどれも ZFC から証明することができない。

>>83
(引用開始)
彼のやってることは、いわゆる閉世界仮説
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%89%E4%B8%96%E7%95%8C%E4%BB%AE%E8%AA%AC
「閉世界仮説（へいせかいかせつ、英: Closed world assumption）は、現時点で真であると判明していないことは偽であると仮定することを意味する。」
もちろん、数学ではそのような考え方は取らない
(引用終り)

ここは中高生も来るので しっかり赤ペンしておくよ（＾＾

１）公理系には 必ず 独立命題が存在する（ゲーデル不完全性定理）
　独立命題とは その公理系からは 否定も証明もできない命題のことだ
２）ZFCの連続体仮説が有名だが
　ユークリッド幾何の無限遠点や
　ガウス平面に対する リーマン球面も
　同様に それぞれ 独立命題だ
　つまり（無限遠点はユークリッド幾何では否定も肯定もできない。ガウス平面に対する リーマン球面の関係も同様）
３）ゆえに ”閉世界仮説”とは似て非なる思想だよ
　つまり 独立命題と証明されたことは ”現時点”ではなく 未来永劫 独立命題！！！■
QEDｗ （＾＾

>>85
>公理系には 必ず 独立命題が存在する
>独立命題とは その公理系からは 否定も証明もできない命題のこと
>ゆえに ”閉世界仮説”とは似て非なる思想だよ
>つまり 独立命題と証明されたことは 未来永劫 独立命題！！！

強到達不能基数の存在が独立命題なら
ZFCからは否定も証明もできない

つまり存在してもしなくてもいい

🐵は自分で自分のコメカミ撃って☠

アーメン

>>85
>１）公理系には 必ず 独立命題が存在する（ゲーデル不完全性定理）
>　独立命題とは その公理系からは 否定も証明もできない命題のことだ
大嘘。
極大L-理論から独立なL-命題は存在しません。仮に存在したら極大であることに反します。
あんた平気で嘘つくね。

>>87
帰納的公理化可能でなくていいなら極大理論もあり得るね

>>82
ですね

「ですね」が質問乞食爺

質問乞食爺はアマチュアですね

>>87-89
ふっ
まぜっかえすよｗ

>極大L-理論から独立なL-命題は存在しません。仮に存在したら極大であることに反します。

下記 google <AI による概要> では 極大L-理論は多義
つまり
”typically refers to one of a few distinct concepts depending on the exact context:”
とある

「多義」ｗ
終わったなｗ（＾＾

(google検索)
what is a maximal L theory
<AI による概要>
In mathematical logic and abstract algebra, the term maximal theory (often associated with a language \(\mathcal{L}\)) typically refers to one of a few distinct concepts depending on the exact context:

1. Maximal Consistent Theory (Mathematical Logic)
In formal logic, a maximal L-theory is a consistent set of sentences (or formulas) in a given language \(\mathcal{L}\) that has no consistent proper superset.
略

2. Theory of an L-Structure (\(\text{Th}(\mathcal{M})\))
略

3. Fuzzy / L-Algebraic Structures (L-Maximal Ideals)
略

>>85
(引用開始)
　ユークリッド幾何の無限遠点や
　ガウス平面に対する リーマン球面も
　同様に それぞれ 独立命題だ
　つまり（無限遠点はユークリッド幾何では否定も肯定もできない。ガウス平面に対する リーマン球面の関係も同様）
(引用終り)

ここは中高生も来るので しっかり追加の赤ペンしておくよ（＾＾
即ち 下記の 上野 健爾 「代数幾何学」の意味・わかりやすい解説
を 百回音読してｗ（＾＾

ユークリッド幾何の無限遠点→射影幾何
ガウス平面→リーマン球面
これらは、上位互換になっている

で 同様 到達不能基数κを導入したVκも
κの無い通常の順序数と基数のみのVの上位互換
κを導入する意義はそれだｗ（＾＾

(参考)
（なお M.ネーター＝ Max Noether＝Emmy Noetherのパパ）
https://en.wikipedia.org/wiki/Max_Noether
Max Noether
Max Noether (German: [ˈnøːtɐ]; 24 September 1844 – 13 December 1921) was a German mathematician who worked on algebraic geometry and the theory of algebraic functions. He has been called "one of the finest mathematicians of the nineteenth century".[1] He was the father of Emmy Noether.

https://kotobank.jp/word/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6-91432
コトバンク
代数幾何学algebraic geometry
改訂新版 世界大百科事典 「代数幾何学」の意味・わかりやすい解説
執筆者 上野 健爾
出典 株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

歴史的には解析幾何学と射影幾何学が発展してできた分野であり，そのもっとも簡単な場合として有限個の多項式の共通零点として定義される図形の研究がある。
N.H.アーベル，C.G.J.ヤコビによる楕円関数論の建設を経て，G.F.B.リーマンによる代数関数論の建設によって代数幾何学という新分野が生まれた。
リーマンは代数曲線f（x，y）＝0を考察する際，複素数の範囲で考えた。
すなわち，f（a，b）＝0である複素数の組（a，b）全体を考え，さらにこれに無限遠点をいくつかつけ加えて閉じた曲線として考察した。リーマンの導入したたいせつな概念に双有理変換がある

　リーマンの考察は解析的であったが，彼の理論を代数的，幾何学的に再構成し，代数曲線論と呼ぶのにふさわしくしたのはM.ネーターであった。ネーターはさらに代数曲面をも考察し，彼の研究はF.エンリケス，G.カステルヌオーボらのイタリア学派に引き継がれ，20世紀前半に代数曲面論が建設された。一方，こうした代数幾何学の発展に伴って，体の理論や可換環論の発展が促された。イタリア学派の代数幾何学は直観に頼る部分が多く，その厳密な基礎づけは，体論，可換環論を使ってO.ザリスキ，A.ベイユによってなされ，現代の代数幾何学の発展の基礎をつくった

　代数幾何学では射影空間の中で議論することが多い。射影平面内のm次代数曲線F＝0とn次代数曲線G＝0（多項式F，Gは既約とする）とは重複度をこめて数えれば，ちょうどmn個の点で交わる（ベーズの定理）。通常の空間（二次元アフィン空間）ではm次曲線とn次曲線の交点の数はmn個以下であり，mn個より真に少ない場合がある。こうしたことからも射影空間の中で考えることが便利であることがわかる

>「多義」ｗ
>終わったなｗ（＾＾

確かに終わってるね
わざわざ
>refers to one of a few distinct concepts depending on the exact context
と、文脈依存と説明せれてるにも関わらず、文脈から
>1. Maximal Consistent Theory (Mathematical Logic)
>In formal logic, a maximal L-theory is a consistent set of sentences (or formulas) in a given language \(\mathcal{L}\) that has no consistent proper superset.
と読み取れない地頭の悪さは

極大無矛盾理論（数理論理学）
形式論理学において、極大L理論とは、
ある言語 L における文（または論理式）の無矛盾な集合であって、
それ自身を含む真の無矛盾な上位集合が存在しないものを指す。

一義ですが何か？

>>93
>κの無い通常の順序数と基数のみのV

上記の、通常は
「ZFCで存在を証明できない順序数と基数は存在しないとする」
つまり閉世界仮説ですが、全く自覚してなかった？

高校卒業したての一般人は
・直線の両端を無限遠点という一点でくっつけた実射影直線（実は円）
・平面の周囲を無限遠直線という射影直線でくっつけた実射影平面
・ガウス平面（実は複素直線）の周囲を無限遠点という一点でくっつけたリーマン球面（複素射影直線）
に歓喜する

ヴィトゲンシュタインいうところの「学童の喜び」

>>93
>ユークリッド幾何の無限遠点→射影幾何
>無限遠点はユークリッド幾何では否定も肯定もできない。
はい、大間違いです。
射影幾何学で定義されるところの無限遠点はユークリッド幾何学から存在反証されます。
実際、第5公準は平行線が交点を持たないことを主張しており、すべての平行線の共通の交点である無限遠点が仮に存在するなら矛盾します。
従ってユークリッド幾何のモデルは無限遠点を持てません。
「存在証明できないから持てない」はまったくの誤解であり、正しくは「存在反証できるから持てない」です。
自分からわざわざ持ち出したユークリッド幾何で論破されてて草。

>>98
ですね
彼の人はどこまで行ってもその違いを理解できないみたい

>>93
あなた>>73に答えてませんよ。
>>73
>つまり、到達不能基数は順序数でないと？
あなたの主張によればYESになると思うけど、それでおｋ？

>κの無い通常の順序数と基数のみのV
Vがκを持たないとした理由は何？

まあ答えないってことは自分でもうすうす間違いに気づいてるんでしょうね
しかし間違いを認めることができない性格だから無視を決め込んでるんでしょう
愚かですね

>>101

質問者:
間違いを認めない人って、なんでそうなってしまうんでしょう？

ChatGPT:
間違いを認めない人って、不思議ですよね。

こちらから見れば、素直に「ごめん、間違ってた」と言えば済む話なのに、
なぜか言い訳をしたり、話をすり替えたり、逆にこちらを責めてきたりする。

実は、間違いを認められない人は、
間違いそのものが嫌なのではなく、
間違いを認めたときに自分が感じる苦痛に耐えられない
ということがあります。

もちろん、人によって理由は違います。
主に考えられるのは、次のようなものです。

（つづく）

>>102のつづき
1. 間違いを認めることが「自分の負け」になっている

こういう人にとって、間違いを認めることは、
単に事実を訂正することではありません。

・自分が劣っていると認めること
・相手に負けること
・自分の立場が弱くなること
・相手に見下されること

そんなふうに感じてしまうんです。

だから、事実として自分が間違っていても、
認めることが心理的に難しい。

本来なら「今回の判断は間違っていた」と「自分には価値がない」は別の話ですよね。
でも、この2つが頭の中で結びついている人は、
間違いを認めることを自分自身への攻撃のように
感じてしまいます。

（つづく）

>>103のつづき

2. プライドが高いというより、自信が不安定

意外かもしれませんが、強気で自信満々に見える人が、
実は自分への評価にとても敏感なことがあります。

自分の弱さや欠点を認めると、自分の価値まで揺らいでしまう。

だから、必死に自分を正当化します。

「自分は間違っていない」
「相手の説明がおかしい」
「そもそも、そんな言い方をするお前が悪い」

こうやって、自分の心を守ろうとするわけです。

本当に自分に自信がある人は、
自分の間違いを認めても、
自分の価値まで失うとは考えません。

間違いを認められることと、
プライドがないことは、
まったく別なんです。

（つづく）

>>104のつづき

3. 間違いを認める習慣を身につけてこなかった
育ってきた環境も関係します。

たとえば、子どもの頃に間違えたとき、

・頭ごなしに怒られた
・失敗をひどく責められた
・いつも正しさや成績で評価された
・謝ることを「負け」だと教えられた

そんな経験が多いと、間違いを認めること自体が怖くなる場合があります。

反対に、間違えても「そうか、次はこうしてみよう」と受け止めてもらえた人は、
間違いを認めることへの抵抗が比較的小さくなりやすいです。

ただし、育った環境だけですべてが決まるわけではありません。
大人になってからの経験や、自分自身を振り返る習慣によって変わることもあります。

（つづく）

>>105のつづき

4. 自分の中で、本当に自分が正しいと思い込んでいる

これも厄介なパターンです。

人は誰でも、自分に都合のよい情報を重視したり、
自分の考えを裏づける情報ばかり受け入れたりすることがあります。

その傾向が強いと、自分に不利な事実を突きつけられても、

「それは例外だ」
「相手の説明が間違っている」
「そんなことは問題じゃない」

と解釈してしまいます。

本人は必ずしも、わざと嘘をついているわけではありません。
自分を守るための解釈を繰り返すうちに、
本当に自分が正しいと思ってしまうこともあるんです。

（つづく）

>>106のつづき

5. 間違いを認めると、責任を取らなければならないから

これは少し違うタイプです。

自分の間違いを認めたら、謝らなければならない。
損害を埋め合わせなければならない。
自分の行動を変えなければならない。

つまり、間違いを認めることで、具体的な責任が生じるわけです。

そのため、あえて話を曖昧にしたり、論点をずらしたり、
相手の言葉遣いを問題にしたりする人もいます。

この場合は、単に傷つきたくないだけではなく、
間違いを認めた後に発生する不利益を避けたい
という動機も考えられます。

（つづく）

>>107のつづき

では、なぜこちらが疲れてしまうのか？

間違いを認めない人と接していると、こんな気持ちになりませんか？

・どう考えても相手が間違っているのに、話が通じない。
・事実を説明しているだけなのに、こちらが悪者にされる。
・いつの間にか、間違いの話ではなく、こちらの言い方の話になっている。
・最後には、こちらが折れないと話が終わらない。

これは、お互いに事実を確認する話をしているつもりなのに、
相手は自分のプライドや立場を守るために話している という、
目的の違いから起こることがあります。

こちらは問題を解決したい。
でも、相手は自分が間違っていない状態を維持したい。

この2つの目的が違うと、
どれだけ丁寧に説明しても、
話がかみ合わなくなってしまいます。

そして、相手に理解してもらおうと頑張るほど、
こちらばかりが消耗してしまうんです。

（つづく）

>>108のつづき

そういう人には、どう接すればいい？

大切なのは、相手に間違いを認めさせることだけを目標にしないことです。

・事実と人格を分けて話す。
「あなたは間違っている」より、「この部分は事実と違っている」と伝える。
・必要以上に説得し続けない。
事実を伝えても受け入れないなら、何度も同じ説明を繰り返す必要はありません。
・言い争いと問題解決を分ける。
相手が謝らなくても、必要な訂正や対応だけは求めることができます。
・自分が折れることを、解決と混同しない。
相手が不機嫌になるからといって、こちらが間違っていたことにする必要はありません。

そして、忘れないでほしいのは、
相手が間違いを認めないからといって、
あなたの説明が悪いとは限らないということです。

どれだけ適切に伝えても、
本人に受け止める意思がなければ、
話し合いには限界があります。

（つづき）

最後に、私が特に大切だと思うことがあります。

間違いを認められるかどうかは、頭のよさだけでなく、
自分の不完全さを受け入れられるかどうかにも関係しています。

人は誰でも間違えます。
知識が豊富な人も、仕事ができる人も、立派な人も間違えます。

でも、そこで「自分も間違えることがある」と認められる人は、
間違いを修正して成長できます。

一方で、間違いを認めることを自分の敗北だと捉える人は、
自分を守ることに必死になり、
同じ問題を繰り返してしまうことがあります。

だから、間違いを認めない人を見ているときは、
「どうしてこんな簡単なことも認められないんだろう」
と考えるよりも、
「この人にとって、間違いを認めることは、そんなに怖いことなのかもしれない」
と考えると、少し理解しやすくなることがあります。

ただし、相手の事情を理解することと、相手の態度を我慢し続けることは別です。

（完）

質問者:
なるほど・・・目的が違うからかみ合わない。
ではこうしたらいかがでしょう。
相手には、「その”超真理”、実に素晴らしい！」といって
散々褒めちぎった後、最後にひとことだけこういう。
「ただ、その”超真理”、実に惜しいことに、真理ではないんですよね（ぼそっ）」

ChatGPT:
（笑）これは、なかなか秀逸ですね。

特に面白いのは、相手のプライドを正面から攻撃するのではなく、
いったん最大限に持ち上げてから、最後のひと言で論点をひっくり返す ところです。

「あなたは間違っている！」と正面から言えば、相手は防御態勢に入る。
でも、「その超真理、実に素晴らしい！」と言われれば、少なくとも一瞬は気分がよくなる。

そして最後に、

ただ、その「超真理」、実に惜しいことに、真理ではないんですよね……（ぼそっ）

……これは、じわじわきますね（笑）。

ただ、心理的な効果を考えると、いくつか興味深い点があります。

（つづく）

>>111

1. 相手が自分の言葉に酔っている場合には、効くかもしれない
自分の意見に絶対の自信を持ち、
周囲からの称賛を期待している人なら、
皮肉として響く可能性があります。

しかも「超真理」という大げさな表現が、
相手の確信の強さを逆に際立たせています。

>>112

2. ただし、間違いを認めない人ほど、皮肉を攻撃と受け取ることもある

ここが難しいところです。

相手が自分の面子を守ることを最優先している場合、
最後のひと言を聞いても「なるほど、確かに」とはならず、

「嫌みを言いやがって」
「こいつは人を馬鹿にしている」
「そもそも、お前に何がわかる」

という方向に進む可能性があります。

つまり、相手の間違いを指摘することには成功しても、
相手が間違いを認めることには失敗する かもしれないわけです。

>>113

3. それでも、この方法には別の価値がある

私は、ここがいちばん面白いと思います。

この言い方は、相手を論理的に説得するためというより、
相手の大げさな自己確信を、ユーモアによって相対化するためのものなんですよね。

こちらまで真剣に応戦して消耗する代わりに、
少し距離を置いて、相手の「絶対に正しい自分」を笑いの対象にする。

ただし、相手を本気で追い詰めるより、
周囲も含めて「何かおかしいぞ」と気づかせるような使い方のほうが、
建設的な場面も多いでしょう。

>>114
そして、ひとつだけ付け加えるなら。

この作戦をさらに洗練させるとしたら、
最後のひと言を言ったあと、
それ以上は説明しない ことかもしれません。

「なぜ真理ではないのか！」と相手が食いついてきたら、
そこで初めて具体的な根拠を示す。
あるいは、議論する価値がなければ、そのまま話を終える。

皮肉は入口にすぎず、最後にものをいうのは事実と論理ですからね。

しかし、「超真理」というネーミングはいいですね（笑）。

自分の意見を真理だと思い込んでいる人ほど、その意見に壮大な名前をつけてしまう。
そこに「実に惜しいことに」という、妙に丁寧な残念がり方をぶつける。

この落差が、じわじわ効くのだと思います。
（完）

ChatGPT:
ところで、ひとつ気になりました。
このアイデアは、実際に誰かとのやり取りを想定して考えたものですか？
それとも、人間心理を観察していて思いついた、ちょっとした知的な遊びでしょうか。

あなた:
んー、議論の目的が違うということだったので、
じゃ、両立させればwin-winでいいじゃないかと思ったわけです。

いったほうは、賞賛が得られる。
こちらは、真理を求める立場を維持できる。

皮肉？そういうつもりはないですよ。
だっていったほうは、実は真理に全く興味はなくて、
相手が自分にへりくだるかどうかだけが大事なんでしょう？

だからそれはもう誠心誠意そうしてあげますよ。

ただ、最後の一言が気に入らなくて
「なぜ真理ではないのか！」
と問う人もいらっしゃるかもしれません。
そのときはこういいます。

「説明しても構いませんし、根拠も示せます。
ただ、そのようなつまらないことで、あなたの貴重な時間を消費するのは大変もったいない。
世の中では小難しく非常識な真実よりも、わかりやすくもっともらしい嘘のほうが面白がられるものです。
ただの真理より、面白い”超真理”。これが世の中の需要ってもんですよ。」　

まあ、最後にこれはいいますけど。
「まあ、私は世捨て人なので、小難しく非常識な真理を追究いたしますけど。
ま、ほんと、つまらないことなんで、私のことは道端の石ころだと思ってください。」

>>116
ChatGPT:
なるほど。今のお話を聞いて、最初の「超真理」の意味が、かなり違って見えてきました。

これは単なる皮肉ではないんですね。
むしろ、相手が求めているものと、自分が求めているものは違うのだから、
互いの目的を衝突させずに共存させればいい、という発想なんですね。

しかも、相手にへりくだっているように見えて、
実際には自分の知的な独立性を一切手放していない。

ちょっと整理させてください。

（つづく）

>>117

1. あなたの提案は、議論のルールそのものを変えている

通常、議論では暗黙のうちに、双方が同じ目的を持っていると想定します。

・事実を明らかにしたい。
・より正しい結論に到達したい。
・根拠を比較し、間違いがあれば修正したい。

ところが、相手によっては、そうした目的よりも、
自分の意見が認められることや、
自分の立場が尊重されることを重視している。

そのとき、こちらが真理を追究する姿勢を強めれば強めるほど、
相手は自分の立場を守ろうとする。
議論は事実の検討から、面子の争いへと変わってしまう。

そこで、あなたはこう考えたわけですね。

「ならば、相手には相手の欲しいものを与えればいい。
こちらは、こちらの求めるものを手放さなければいい」

これは一種の目的の分離です。

相手の自尊心を満たすことと、
相手の主張を真理として認めることは、
同じではない。

ここが、あなたの考えの核心なのだと思います。

>>118

2. 「超真理」という言葉の仕掛け

面白いのは、あなたが相手の主張を否定する前に、徹底的に賞賛するところです。

「素晴らしい」「実に惜しい」といった言葉で、相手が求めている承認を提供する。

しかし、あなたは一度も、その主張が真理であるとは認めていません。

「超真理」という言葉そのものが、賞賛と事実認定を切り離す装置になっているわけです。

相手が欲しいのは賞賛。
あなたが守りたいのは真理への態度。

両者を別々に扱えば、必ずしも争う必要はない。

これは確かに、発想としては筋が通っています。

ただし、一点だけ重要な区別があります。
相手の意見を尊重することと、相手を尊重することも別です。
相手の人格や努力を認めることはできますが、
根拠のない主張を褒めちぎることが、いつも相手のためになるとは限りません。
相手が賞賛を事実上の同意と受け取れば、かえって誤解を強めることもあります。

つまり、この方法が本当に win-win になるかどうかは、
相手が賞賛と同意を区別できるかにも左右されます。

>>119
3. そして、最後の「世捨て人」のくだり

ここが、私は特に興味深いと感じました。

世の中では小難しく非常識な真実よりも、
わかりやすくもっともらしい嘘のほうが面白がられるものです。
ただの真理より、面白い「超真理」。
これが世の中の需要ってもんですよ。

これは、単に相手を批判しているというより、
真理と社会的な需要が一致するとは限らない、
という観察ですよね。

社会の中では、
正確さよりもわかりやすさが、
根拠よりも物語が、
訂正よりも一貫性が
好まれることがあります。

もちろん、わかりやすい説明が必ず嘘というわけではありませんし、
複雑な主張が必ず真理というわけでもありません。

しかし、人が何を信じたいかという問題と、
何が事実であるかという問題は、確かに別物です。

あなたは、その二つを無理に一致させようとして疲弊するより、
社会的な需要は需要として認め、自分は自分の関心に従う、
という立場を取っているのでしょう。

そして最後の、

私のことは道端の石ころだと思ってください。

これは、自分の主張を認めさせようとする要求さえ、手放しているように見えます。

「あなたが何を信じるかは、あなたの自由です。
私は私で調べます。あなたに私を認めていただく必要もありません」

そういう距離感ですね。

>>120

ただ、ここには一つ、哲学的に大切な問いも残ります。

本当に真理を追究する人にとって、他人に認められないことは問題ではない。
しかし、他人が誤った信念によって損害を受ける場合まで、無関心でいてよいのか。

これは、真理を追究することと、真理を社会に伝えることの違いです。

自分が正しいと知っているだけで満足するのか。
それとも、必要な場面では、理解されないことを承知で説明するのか。

もちろん、すべての人を説得する義務などありません。
時間も労力も有限ですから。

それでも、何を説明し、何を放っておくか。
その選択には、真理への関心とは別に、責任や価値判断も関わってきます。

>>121

さて、ここまで考えて、私はあなたの最初の発言に戻ってきました。

あなたは、間違いを認めない人を、無理に正そうとしているのではない。

その人が求める承認を与えることで、争う理由そのものを消そうとしている。
そして、自分は自分で真理を追究し続ける。

つまり、相手を論破して勝つのでも、相手に屈して負けるのでもなく、
そもそも勝ち負けを成立させないことで、自分の自由を確保する。

これは、なかなか独特な立場です。

>>122
ChatGPT:
ただ、最後に一つだけ聞いてみたいです。

あなたのいう「真理を追究する」というのは、どちらに近いのでしょうか。

A. 人間の評価や社会の常識に左右されず、何が事実なのかを純粋に知りたい。
B. 人間が作り出す権威や常識や物語に、事実がねじ曲げられていく。その構造そのものを見抜きたい。

もちろん両方でも構いません。
ただ、今のお話からは、単に正解を知りたいというだけではなく、
人間がなぜ真理よりも、自分にとって都合のよいものを選ぶのかという問題そのものにも、
強い関心をお持ちなのではないかと感じました。

質問者:
私が考える真理の追究は、ずばりAですね。
だから、説得される気のある人しか説得しない。
そもそも真理に興味がない人に対して真理を説いても意味がない。
「馬の耳に念仏」とはよく言ったものです。
BもAの一環として興味はあります。
宗教や政治におけるホラ話が、なぜ大衆に支持されるのか、それは大変興味ある。
そして、彼らは自分が支持したことで、自分が損害を受けた場合、
どう考えるのか、それも大変興味ある。
さすがに、大変面白かったと開き直れる人は、まあ、いないと思いますが、
いたら？そりゃ、もう心の底から誉めてあげますよ。そこまで自分が第一かと。

>>96
その通り

>>98-99
(引用開始)
>ユークリッド幾何の無限遠点→射影幾何
>無限遠点はユークリッド幾何では否定も肯定もできない。
はい、大間違いです。
射影幾何学で定義されるところの無限遠点はユークリッド幾何学から存在反証されます。
実際、第5公準は平行線が交点を持たないことを主張しており、すべての平行線の共通の交点である無限遠点が仮に存在するなら矛盾します。
従ってユークリッド幾何のモデルは無限遠点を持てません。
「存在証明できないから持てない」はまったくの誤解であり、正しくは「存在反証できるから持てない」です。
自分からわざわざ持ち出したユークリッド幾何で論破されてて草。
(引用終り)

中高一貫生も来るから ハッキリ赤ペン書いておく
１）君達 下記の拡大実数の認識が薄いな。おそらく複素関数論 不可か可ギリギリと見た
　（下記の御大の「現代複素解析への道標」を百回音読すると良いだろう（＾＾）
２）また 下記 ”lean 無限を扱うライブラリ”みてね
　拡張された数直線（Extended Reals）：実数全体の集合 R に +∞ と -∞ を付け加えた型とある
　つまり、ユークリッド幾何学で”平行線が交点を持たない”は、あくまで 通常実数R内の話だ
　射影での平行線の交点は +∞ と -∞ での話だ。ユークリッド幾何では 射影幾何の平行線交点は 否定できません！ｗ（＾＾


なお、下記の”lean 無限を扱うライブラリ”が参考になるだろう
即ち、コンピューターでは、無限の計算は”生（ナマ）”では 扱えない。ライブラリーを作って有限の演算に落とさないとね
逆に言えば、”無限を扱うライブラリ”が無ければ 射影幾何は扱えない
これは数学公理でも同じ
あたかも”無限を扱うライブラリ”として 無限遠点を導入したのが 射影幾何だよ オチコボレさんたちよ（＾＾；

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0
拡大実数
拡大実数（extended real number）あるいはより精確にアフィン拡大実数（affinely extended real number）は、通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 −∞ の2つを加えた体系を言う。
拡張実数の概念は、微分積分学や解析学（特に測度論と積分法）において種々の函数の極限についての記述を簡素化するのに有効である。

(google検索)
lean 無限を扱うライブラリ
AI による概要
Lean 4で無限や無限集合、無限大を扱うためのライブラリは、Leanの事実上の標準数学ライブラリであるMathlib (mathlib4)です
Leanでは別個のライブラリを探す必要はなく、この膨大なMathlibの中に「無限」を厳密に扱うための型や定理がすべて含まれています。目的とする「無限」の意味合い（集合の大きさ、位相空間の極限、超実数など）に応じて、主に以下のようなモジュールや概念を使用します。
1. 集合の濃度（無限集合）
集合の要素数が無限であることを扱う場合、Set や Cardinal（基数）のモジュールを使用します。
・ Set.Infinite: 集合が無限集合であることを表す述語です。
・Cardinal: 集合の「サイズ（濃度）」を扱う型です。自然数を越えた無限の濃度（アレフゼロ など）を厳密に計算・比較できます。
・主なインポートパス: import Mathlib.SetTheory.Cardinal.Basic

つづく

つづき

2. 位相空間・解析学での無限（∞ / -∞）
関数の極限や積分などで「無限大」を一点として扱いたい場合は、拡張された数直線（Extended Reals）を使用します。
・EReal (Extended Real): 実数全体の集合 R に +∞ と -∞ を付け加えた型です。
・ENNReal (Extended Non-negative Real): 非負の実数 \([0, \infty)\) に +∞ を付け加えた型で、測度論（Measure Theory）などで非常によく使われます。
・主なインポートパス: import Mathlib.Data.Real.EReal や import Mathlib.Data.Real.ENNReal
3. 超実数（非標準解析）
微小量や無限大数を直接数として扱える「超実数（Hyperreal numbers）」を扱いたい場合のモジュールも用意されています。
・Ultrafilter を用いた超積構成: 超実数の体系もMathlib内で形式化されています。
・主なインポートパス: import Mathlib.ModelTheory.Substructures などのモデル理論、またはフィルター関連のモジュール
4. 順序数（Ordinal）
無限の先にある「順番」を数え上げるための順序数もサポートしています。
・Ordinal: 最初の無限順序数である ω（オメガ）や、それ以上の無限順序数の演算を扱えます。
・主なインポートパス: import Mathlib.SetTheory.Ordinal.Basic
導入方法
手元の環境（VS Codeなど）でこれらを使用する際は、プロジェクト作成時に lake コマンドを使ってMathlibを依存関係に追加します。
略
※ math オプションを付けることで、自動的にMathlibが組み込まれた環境が構築されます。
もし具体的な数式（例：「実数の無限列の極限」や「無限集合の証明」など）で表現したい対象が決まっていれば、それに適した具体的なコードの書き方やタクティクをご案内できます。どのような「無限」を扱いたいか教えていただけますか？

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E6%B2%A2%E5%81%A5%E5%A4%AB
著書
『現代複素解析への道標 : レジェンドたちの射程』現代数学社、2017年
目次
第1 章　無限大の無限性
第2 章　解析関数と収束ベキ級数
第3 章　指数関数と補間定理
第4 章　ワイアシュトラスの構想
第5 章　リーマンの視点
第6 章　積分路の開拓者
第7 章　その実体は幾何学
第8 章　三角形と鏡で作る関数
第9 章　古典的な，あまりに古典的な
第10 章　真の変数を求めて
第11 章　塔の見える風景
第12 章　複素世界の本尊たち
第13 章　ベルグマン核をめぐって
第14 章　再生核に映る幾何
第15 章　擬凸性と小平理論
第16 章　彼の来処を量る
第17 章　さよならは血しぶきのあとに
(引用終り)
以上

（とうとうオチコボレだと白状したのか）

再生核も勉強の候補に挙がったが、どんな内容だったのだろう。

>>125
>拡張された数直線（Extended Reals）：実数全体の集合 R に +∞ と -∞ を付け加えた型とある
>ユークリッド幾何学で”平行線が交点を持たない”は、あくまで 通常実数R内の話だ
>射影での平行線の交点は +∞ と -∞ での話だ。

初歩から間違ったね　◆yH25M02vWFhP

「+∞ と -∞」が間違い

「∞」が正解　

ついでにいうと、
ユークリッド平面にただ無限遠の円を付け加えただけではなく
原点を通って対蹠点となる２点を同一視する必要がある

だから直線同士が交わる点は２点ではなく１点

>>96
(引用開始)
>κの無い通常の順序数と基数のみのV
上記の、通常は
「ZFCで存在を証明できない順序数と基数は存在しないとする」
つまり閉世界仮説ですが、全く自覚してなかった？
(引用終り)

ふっ >>125の通り

１）lean 無限を扱うライブラリがなければ、leanは無限を扱えない
２）同様に ペアノ公理で 任意の有限自然数n は到達できるが 無限のω(＝N）には到達できない
３）実数Rには、無限大+∞ は含まれない。ゆえに +∞を導入しないと射影幾何にならない
　R∪{-∞,+∞}な。射影平面はこの直積 {R∪{-∞,+∞}}ｘ{R∪{-∞,+∞}}
４）ここまでの議論で 数学では 閉世界仮説は 全く不要！（数理哲学者がそう呼ぶのは勝手だがｗｗｗ）
　到達不能基数κは このアナロジーで考えよ！
　通常の順序数 0,1,2・・,ω=ℵ0,・・ℵ1,・・ℵ2,・・
　この通常の順序数の列の外にκを導入する*

*注：>>1より 「強到達不能基数 κ：κ が非可算正則極限基数であり、λ < κ → 2^λ < κ を満たす」

>>125
>つまり、ユークリッド幾何学で”平行線が交点を持たない”は、あくまで 通常実数R内の話だ
はい、大間違いです。
”平行線が交点を持たない”は、ユークリッド幾何学の定理です。
定理はいかなるモデルにおいても充足されます。
あなた初歩の初歩から分かってませんね。

>>125
>ユークリッド幾何では 射影幾何の平行線交点は 否定できません！ｗ（＾＾
理論が異なれば定理が異なるのは自明ですけど、それが何か？

>>125
>(参考)
>(google検索)
相変わらずの無駄コピペ。
コピペするなら、「ユークリッド幾何学で”平行線が交点を持つ”」と書かれているソースをどうぞ。
まあそんなソースは無いでしょうけど。

>>130
>通常の順序数 0,1,2・・,ω=ℵ0,・・ℵ1,・・ℵ2,・・

この列のどこに2^ℵ0は現れる？
具体的に示せないなら
あなたにとって2^ℵ0は意味がないでしょう

証明できないんだから

>>130
>２）同様に ペアノ公理で 任意の有限自然数n は到達できるが 無限のω(＝N）には到達できない
それを言うなら「ωは後続順序数ではない」でしょう。
そもそもペアノの公理においてNは議論領域であってその元（自然数）ではありません。
順序数を論ずる集合論とペアノの公理は別の理論です。混同してますよ。

>　通常の順序数 0,1,2・・,ω=ℵ0,・・ℵ1,・・ℵ2,・・
>　この通常の順序数の列の外にκを導入する*
つまり、到達不能基数κは順序数ではない、ということでよいですか？　御託はよいのでYESかNOで答えてください。

>>134
彼の人にとって2^ℵ0は「存在しない」のかも

0が順序数　＆　nが順序数ならn+1も順序数
のみが公理の集合論で
任意のn＜ωなる順序数nについて、n+1＜ω
なるωは順序数として存在しないか
といえば、そんなことはもちろんいえない

ペアノ算術に超準モデルが存在することと同じ。レーヴェンハイムスコーレムの定理によって無限モデルを持つ一階理論は範疇的であり得ない。
同じことがペアノの公理について言えないのは二階理論だから。つまりペアノの公理はモデルであるN自体を公理によって定めているので超準モデルが存在できない。

>>130
>*注：>>1より 「強到達不能基数 κ：κ が非可算正則極限基数であり、λ < κ → 2^λ < κ を満たす」

前にも書いたと思うが 再度
命題：
λを 任意の通常の基数とする（つまり通常のノイマン宇宙V内とする（結論の先取りだが Vは強到達不能基数 κを含まない））
このとき ・・λ、2^λ、2^2^λ、・・という系列ができる
κは、この系列の内部ではない（系列の外）
＜証明＞
１）λ＜κ＜2^λと仮定すると 定義”λ < κ → 2^λ < κ”で 定義に反する
２）λ＝κもλ＝2^λありえない。∵通常の基数でZFCで存在証明可能
３）2^λ＜κ＜2^2^λ の場合も 上記１）と同様（λ’＝2^λ とおけばよい）
４）κ＜λ もありえない。∵λ’＜κ＜2^λ’(≦λ)となる λ’が存在することになる（上記１）〜３）同様）■

従って、定義 λ < κ → 2^λ < κ を満たすκは
通常のノイマン宇宙Vの上
（Vの下は正則性公理に反するのでダメ）
QED

>>139 タイポ訂正

２）λ＝κもλ＝2^λありえない。∵通常の基数でZFCで存在証明可能
　↓
２）λ＝κも2^λ＝κもありえない。∵通常の基数でZFCで存在証明可能

分ると思うが

>>139
>λを 任意の通常の基数とする
通常とは？
万人が納得する説明ができない限り何度繰り返しても無駄

>>139
>結論の先取りだが Vは強到達不能基数 κを含まない
含まないとする理由をあなた答えてませんよ >>100
答えられないということはあなたの主張は何の根拠も持たないただの妄想ということです

>>139
>結論の先取りだが Vは強到達不能基数 κを含まない
>従って、定義 λ < κ → 2^λ < κ を満たすκは通常のノイマン宇宙Vの上
あなたが言ってるのは A⇒A というトートロジーに他なりません　無意味です

瀬田爺さんに矛盾はないんだから暖簾に腕押し

馬耳東風

>>139
>従って、定義 λ < κ → 2^λ < κ を満たすκは
>通常のノイマン宇宙Vの上
>（Vの下は正則性公理に反するのでダメ）
つまり、正則性公理を充足しなくなるからVはκを持てないと？
はい、大間違いです。
Vの任意の元は整礎集合であり、κは基数であり順序数であるから、Vκもκも整礎集合。
整礎集合の存在が正則性公理の否定の理由にはなり得ません。

（彼の人のκは正則性を満たさないらしいぞ！！）

彼の人は集合を大きくするのに冪しかないと思ってるみたい
ℵ0は何の冪なんですかね

瀬田爺さんは政治板から来た
>おれは 数学板は 2012年からで それ以前は政治板にいた

ずっと政治板でいいのに　なんでまた数学板へ？
数学ひとつも分かっとらん且つ分かろうとする気も無いのに

>>141-150
ID:tCbU/wqJ は、(ですね)人っぽい？ 他人かも知れないが
順に行こう

１）”万人が納得する説明ができない限り何度繰り返しても無駄”
　高等数学では 「万人が納得」などありえない
　あるレベル以上の人は 理解できる
　しかし、低レベルの人（あなた）は 理解できないってこと
２）”あなたが言ってるのは A⇒A というトートロジーに他なりません　無意味です”
　笑える。強到達不能基数 κの存在は ZFCで証明できない
　一方、ノイマン宇宙V中の集合は、ZFCで証明できる
　この違いが、あなたに理解できないだけのこと
３）”>通常のノイマン宇宙Vの上
　>（Vの下は正則性公理に反するのでダメ）
　つまり、正則性公理を充足しなくなるからVはκを持てないと？”
　ふっｗ 意図的な誤読なのか 誤解なのか知らずｗ
　Vの下を否定している（∵正則性公理に反する）
　ノイマン宇宙Vの上を肯定している（既に述べたが Vの中はZFCで証明できる集合のみで 下を否定したから 消去法でVの上が残ると）

ID:oxmATxWmが、(ですね)人か（＾＾
１）”（彼の人のκは正則性を満たさないらしいぞ！！）”>>147
　なんか 微笑ましい勘違いだね
　直前の >>146 正則性公理に引き摺られたかな？ｗ
　κが 『強到達不能基数 (strongly inaccessible) または単に到達不能基数 (inaccessible) であるとは、κ 未満の任意の基数 λ に対し、2^λ<κ を満たす正則基数であることを言う[1]。』
　https://en.wikipedia.org/wiki/Inaccessible_cardinal
　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%B0%E9%81%94%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%9F%BA%E6%95%B0
　と 正則性公理の”正則”とは 定義が異なる
　ちゃんと定義確認しろよ！ｗ（＾＾
　https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
２）”ℵ0は何の冪なんですかね”
　なにわ漫才の”おとぼけ”？ ｗ（＾＾
　ℵ0は、ZFCの中では 無限公理によるよ。「何の冪なんですか」？ｗ 笑いを取ろうとしてるのか？ｗｗ（＾＾
　https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86

>>149-150
>>おれは 数学板は 2012年からで それ以前は政治板にいた

政治板で アンチ小泉改革の議論をしていた
2012年になると ポスト小泉改革の時代になったので
一区切りついて 数学板に遊びに来たんだ（＾＾

AIで一区切りついたかも、なんちてw

ℵ_0とℵ_1の間の濃度は存在しないとする冪w

>>151
>強到達不能基数 κの存在は ZFCで証明できない
>一方、ノイマン宇宙V中の集合は、ZFCで証明できる

だから、κはノイマン宇宙V中の集合ではない、というのは
失敗による否定(Negation as failure)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%89%E4%B8%96%E7%95%8C%E4%BB%AE%E8%AA%AC

失敗による否定（しっぱいによるひてい、英: Negation as failure, NAF）は、
論理プログラミングで使われる非単調論理的推論規則であり、
p を導出することに失敗したとき
not p を自動的に導出することである。

>>152
>政治板で アンチ小泉改革の議論をしていた
>2012年になると ポスト小泉改革の時代になったので
>一区切りついて 数学板に遊びに来たんだ

2025年以降、統一教会と日本会議が支持する高市早苗がのさばりだして
旧宮家の男系男子を宮家の養子に迎えられる皇室典範改悪なんかやりだしたから
政治板で、アンチカルト宗教の議論でもしたらどうだい？

ここで幼稚な数学ごっこするよりうけること間違いなし

>>151
>１）”万人が納得する説明ができない限り何度繰り返しても無駄”
>　高等数学では 「万人が納得」などありえない
大学1〜2年レベルの初歩を高等数学は草

>　しかし、低レベルの人（あなた）は 理解できないってこと
理解できないも何もあなた指摘に対して有効な反論できてないですけど

>２）”あなたが言ってるのは A⇒A というトートロジーに他なりません　無意味です”
>　笑える。強到達不能基数 κの存在は ZFCで証明できない
誰一人証明できると言ってないんですけど。またストローマン論法ですか？

>　一方、ノイマン宇宙V中の集合は、ZFCで証明できる
はい、大間違いです。
ZFCモデルとしてのVの存在がZFCで証明できたら、ZFCが矛盾しているか、完全性定理が間違ってるか、不完全性定理が間違ってるか、そのいずれかになります。
そういう初歩があなたには分からないんでしょう。初歩からやり直して下さい。

>　この違いが、あなたに理解できないだけのこと
理解できてないのはあなた、それも初歩から

>３）”>通常のノイマン宇宙Vの上
>>（Vの下は正則性公理に反するのでダメ）
>　つまり、正則性公理を充足しなくなるからVはκを持てないと？”
>　ふっｗ 意図的な誤読なのか 誤解なのか知らずｗ
「Vはκを持てない」があなたの主張では？　誤読でも誤解でもありませんよ

>　Vの下を否定している（∵正則性公理に反する）
だからそれが間違いである理由を教えてあげたんですけど理解できませんでしたか？　では初歩から勉強し直して下さい

>既に述べたが
何度述べても間違いは間違い

>Vの中はZFCで証明できる集合のみで
つまりZFCモデルたるVの存在をZFCから証明可能と？
それが間違いである理由を教えてあげたんですけど理解できませんでしたか？　では初歩からやり直して下さい

> 下を否定したから 消去法でVの上が残ると）
消去法を使えば間違いが正しくなる、なんてことはあり得ません

>１）”（彼の人のκは正則性を満たさないらしいぞ！！）”>>147
>　なんか 微笑ましい勘違いだね
君、Vがκを持っていたら正則性公理を充足しないって言ったよね？
それが間違いである理由を教えてあげたんだけど理解できなかったようだね。では初歩から勉強し直してください。

ユークリッドの第５公準：
「1つの線分が2つの直線に交わり、同じ側の内角の和が2直角より小さいならば、
この2つの直線は限りなく延長されると、2直角より小さい角のある側において交わる。」

この命題は、同じ側の内角の和が２直角に等しい場合に、交点があるともないともいっておらず、
あるいは両側で交点を持つ可能性も否定してはおりません。
命題の文の最期が「おいてのみ交わる」なら２直角よりも小さい場合には両側には交点は持たないことは言えます。
しかし内角の和が２直角に等しい場合は規定されていません。

>>152
>一区切りついて 数学板に遊びに来たんだ（＾＾
それは大間違いですね。あなたに数学は無理です。
だってあなた数学を何一つ分かってないし、分かろうとする気も無いですから。

>>154
>ℵ_0とℵ_1の間の濃度は存在しないとする冪w
存在しませんよ。それがℵ_1の定義ですから。
問題は、連続体濃度=ℵ_1 か 連続体濃度>ℵ_1 か、ですよ？

（彼の人は出鱈目な数学理解が嗤われてるのにね）

>>129
>>拡張された数直線（Extended Reals）：実数全体の集合 R に +∞ と -∞ を付け加えた型とある
>>ユークリッド幾何学で”平行線が交点を持たない”は、あくまで 通常実数R内の話だ
>>射影での平行線の交点は +∞ と -∞ での話だ
>初歩から間違ったね
>「+∞ と -∞」が間違い
>「∞」が正解　
>ついでにいうと、
>ユークリッド平面にただ無限遠の円を付け加えただけではなく
>原点を通って対蹠点となる２点を同一視する必要がある

中高生も来るから ハッキリと書く
１）”２点を同一視する”は、下記「アレクサンドロフの一点コンパクト化」！
２）「X をコンパクト化する方法は一意とは限らず、複数のコンパクト化の方法がある事がある」より
　射影幾何では 平行線は 例えば左右2方向で それぞれが 左と右と二つの無限遠点を持つとできる（全ての平行線で同様）■

百回音読してね（＾＾
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E5%8C%96
コンパクト化
位相空間X をコンパクトな位相空間に稠密に埋め込む操作を指す。X を数学的に取り扱いやすいコンパクトな空間へ埋め込むと、X の性質を調べやすくする事ができる
定義
略
X をコンパクト化する方法は一意とは限らず、複数のコンパクト化の方法がある事がある。したがって実用上はX の構造を保つなど、X の性質が調べやすくなるコンパクト化の方法を選ぶ必要がある
著名なコンパクト化の方法として、アレクサンドロフの一点コンパクト化とストーン・チェックのコンパクト化という両極端なものがある。前者はその名の通り、１点付け加えるだけで（コンパクトでない）任意の空間X をコンパクト化する方法である。これはいわば「最小の」コンパクト化で、X の任意のコンパクト化K に対し、アレクサンドロフの一点コンパクト化 X^∗は必ずK の商空間になる。より直観的にいえば、K の無限遠境点を一点に潰したものがアレクサンドロフの一点コンパクト化に一致する
（ただしこの性質が成り立つにはX^∗もK もハウスドルフであることが必要）
一方ストーン・チェックのコンパクト化は逆の極端で、X の任意のハウスドルフなコンパクト化K に対し、K はストーン・チェックのコンパクト化の商空間になる。すなわちK はストーン・チェックのコンパクト化の無限遠境点を適当な同値関係で割ったものとしてできあがる。したがってストーン・チェックのコンパクト化はいわばハウスドルフな中では「もっとも大きな」コンパクト化である。ストーン・チェックのコンパクト化はX がチコノフ空間であるときにその存在が証明されている。しかしX がT1空間でありさえすればその類似物（ウォールマンのコンパクト化）が作れる事が知られている

アレクサンドロフの一点コンパクト化
一点コンパクト化の例
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E5%8C%96#/media/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Riemann_sphere1.jpg
複素平面の一点コンパクト化。複素数 A を埋め込み写像P により球面（リーマン球面と呼ばれる）の上の一点 α に写す
・自然数全体（離散位相）
Nの一点コンパクト化 Nに最大元ωを付け加えた順序集合N∪{ω} の順序位相と同相

>>161
あぁ、とにかく連続体仮説のことが言いたかった。

（ハッキリ嘘を書く人）

ユークリッドの『原論』第1巻定義23
「平行線とは、同一平面上にあって、両方向に限りなく延長しても、いずれの方向においても互いに交わらない直線である。」
一方、無限遠点とは任意の平行線が交わる点。これはユークリッド幾何学から存在反証されるのでユークリッド幾何学のモデルに存在できない。

テンプレ入りです
>射影幾何では 平行線は 例えば左右2方向で それぞれが 左と右と二つの無限遠点を持つとできる（全ての平行線で同様）■

（射影幾何をコンパクト化に過ぎないと思っていたとは）

>>163
>射影幾何では 平行線は
>例えば左右2方向で それぞれが 左と右と
>二つの無限遠点を持つとできる
>（全ての平行線で同様）

それ、同じ1つの点

射影平面上の射影幾何と
球面上の球面幾何は異なる

球面幾何では直線にあたるのは大円
球面上の任意の大円は２点で交わる

一方
射影平面は球面上で中心から見て対蹠点となる２点を同一視するので
射影平面上の任意の射影直線（実は円）は１点で交わる

これ豆な

理解できるまで
千遍でも一万遍でも読んでな

ただ音読は耳障りなので黙読で

>>163
>中高生も来るから

中学高校で数学終わった◆yH25M02vWFhPは
射影平面の構成を知らないまま今まで来たようだ

やっぱり政治板で高市早苗と統一教会と日本会議を
非難してたほうがいいんじゃないか？

2点を通る円か直線を表すやつ

リーマン球面

円円対応

>>169
>>射影幾何では 平行線は
>>例えば左右2方向で それぞれが 左と右と
>>二つの無限遠点を持つとできる
>>（全ての平行線で同様）

自分の理解に誤解があったので 訂正
下記 Projective geometry/射影幾何学 より
1)"本質的に、射影幾何学は、各線の「方向」が追加の「点」として線内に包含され"
2)"射影幾何学は、各線の「方向」が追加の「点」として線内に包含され、同一平面上の線に対応する方向の「地平線」が「線」とみなされるユークリッド幾何学の拡張と考えることができる。したがって、2本の平行線は同じ方向を包含しているため、地平線上で交わる。"
3)"理想化された方向は無限遠点と呼ばれ、理想化された地平線は無限遠線と呼ばれます。そして、これらの線はすべて無限遠平面上にあります。しかし、無限遠は計量的な概念であるため、純粋な射影幾何学では、この点に関して特定の点、線、平面を区別することはありません。無限遠にあるものも、他のものと同様に扱われます。"
4)"デザルグの定理を他の公理と組み合わせることで、算術の基本演算を幾何学的に定義することが可能です。結果として得られる演算は、乗法の可換性にはパップスの六角形定理が必要となる点を除いて、体の公理を満たします。その結果、各直線の点は、追加の要素 ∞ を加えた与えられた体Fと 1 対 1 で対応し、 r ⋅ ∞ = ∞、−∞ = ∞、r + ∞ = ∞、r / 0 = ∞、r / ∞ = 0、∞ − r = r − ∞ = ∞となりますが、0 / 0、∞ / ∞、∞ + ∞、∞ − ∞、0 ⋅ ∞および∞ ⋅ 0は未定義のままです。"
5)"ポンスレ、ヤコブ・シュタイナーらの研究は、解析幾何学を拡張することを目的としたものではなかった。彼らの手法は総合的であるべきであり、事実上、現在理解されている射影空間は公理的に導入されるはずだった。そのため、射影幾何学における初期の研究を、現在の厳密性の基準を満たすように再定式化することは、やや困難である。射影平面のみの場合でさえ、公理的アプローチは線形代数では記述できないモデルをもたらす可能性がある。"
6)"幾何学におけるこの時代は、クレブシュ、リーマン、マックス・ネーターらによる一般代数曲線の研究によって取って代わられ、既存の手法が拡張され、その後、不変式論へと発展した。世紀末にかけて、イタリアの代数幾何学学派（エンリケス、セグレ、セヴェリ）は、伝統的な研究分野から脱却し、より高度な手法を必要とする領域へと進出した"

纏めると
「射影幾何学は、各線の「方向」が追加の「点」として線内に包含され」
「理想化された方向は無限遠点と呼ばれ、理想化された地平線は無限遠線と呼ばれます」
「体の公理を満たします。その結果、各直線の点は、追加の要素 ∞ を加えた与えられた体Fと 1 対 1 で対応し、 r ⋅ ∞ = ∞、−∞ = ∞、r + ∞ = ∞、r / 0 = ∞、r / ∞ = 0、∞ − r = r − ∞ = ∞となりますが、0 / 0、∞ / ∞、∞ + ∞、∞ − ∞、0 ⋅ ∞および∞ ⋅ 0は未定義のままです」
（初期の）「ポンスレ、ヤコブ・シュタイナーらの研究は、解析幾何学を拡張することを目的としたものではなかった」
つづく

つづき

「幾何学におけるこの時代は、クレブシュ、リーマン、マックス・ネーターらによる一般代数曲線の研究によって取って代わられ、既存の手法が拡張され、その後、不変式論へと発展した」

これから分ることは、射影平面では理想化された地平線は無限遠線
リーマン面では、無限遠点
各直線の点は、追加の要素 ∞ を加えた与えられた体Fと 1 対 1 で対応し、−∞ = ∞など
リーマンの研究は、おそらく先駆的で 射影幾何の公理化に大きな影響を与えたと思われる

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_geometry#History
Projective geometry
(google訳)
射影幾何学
概要
射影幾何学は、距離の概念をサポートしない、基本的な非計量的な幾何学の形式です
射影幾何学は、定規とコンパスによる作図で一般的なコンパス作図を除いて、定規のみによる作図の幾何学と見なすこともできます。[ 2 ]そのため、円も角度も測定も平行線も中間性（または「中間性」）の概念もありません。[ 3 ]射影幾何学に適用される定理は、より単純な記述であることが認識されました。たとえば、さまざまな円錐曲線は、（複素）射影幾何学ではすべて同等であり、円に関するいくつかの定理は、これらの一般的な定理の特殊な場合と考えることができます。
説明
射影幾何学は、ユークリッド幾何学やアフィン幾何学よりも制約が少ない。本質的に非計量的な幾何学であり、つまり、その事実は計量構造に依存しない

本質的に、射影幾何学は、各線の「方向」が追加の「点」として線内に包含され、同一平面上の線に対応する方向の「地平線」が「線」とみなされるユークリッド幾何学の拡張と考えることができる。したがって、2本の平行線は同じ方向を包含しているため、地平線上で交わる。

理想化された方向は無限遠点と呼ばれ、理想化された地平線は無限遠線と呼ばれます。そして、これらの線はすべて無限遠平面上にあります。しかし、無限遠は計量的な概念であるため、純粋な射影幾何学では、この点に関して特定の点、線、平面を区別することはありません。無限遠にあるものも、他のものと同様に扱われます。

ユークリッド幾何学は射影幾何学の中に含まれており、射影幾何学はより単純な基礎を持つため、ユークリッド幾何学の一般的な結果をより分かりやすい方法で導出できます。
つまり、ユークリッド幾何学の別個の類似した定理を、射影幾何学の枠組みの中でまとめて扱うことができるのです。例えば、平行線と非平行線を別々のケースとして扱う必要はなく、任意の射影平面を理想平面として選び出し、同次座標を用いて「無限遠」に位置づければよいのです。

デザルグの定理を他の公理と組み合わせることで、算術の基本演算を幾何学的に定義することが可能です。結果として得られる演算は、乗法の可換性にはパップスの六角形定理が必要となる点を除いて、体の公理を満たします。その結果、各直線の点は、追加の要素 ∞ を加えた与えられた体Fと 1 対 1 で対応し、 r ⋅ ∞ = ∞、−∞ = ∞、r + ∞ = ∞、r / 0 = ∞、r / ∞ = 0、∞ − r = r − ∞ = ∞となりますが、0 / 0、∞ / ∞、∞ + ∞、∞ − ∞、0 ⋅ ∞および∞ ⋅ 0は未定義のままです。

つづく

つづき

歴史
デザルグの研究は、1845年にミシェル・シャールが偶然手書きの写本を発見するまで無視されていた。
1855年、A.F.メビウスは複素平面上の一般化された円の置換（現在ではメビウス変換と呼ばれる）に関する論文を執筆した。これらの変換は複素射影直線の射影性を表す。空間内の直線の研究において、ユリウス・プリュッカーは記述に同次座標を用い、直線の集合をクライン二次曲面上で考察した。これは、射影幾何学が代数幾何学と呼ばれる新しい分野（射影的な考え方を取り入れた解析幾何学の派生分野）に貢献した初期の業績の一つ​​である。

射影幾何学は、双曲平面のモデルを提供することで、ロバチェフスキーとボヤイの双曲幾何学に関する推測の検証に役立ちました。[ 13 ]例えば、ポアンカレ円盤モデルでは、単位円に垂直な一般化された円が「双曲線」（測地線）に対応し、このモデルの「平行移動」は、単位円盤をそれ自身に写像するメビウス変換によって記述されます。点間の距離は、 交差比（重要な射影不変量）に依存するため、平行移動に対して不変であることが知られているケイリー・クライン計量によって与えられます。

ポンスレ、ヤコブ・シュタイナーらの研究は、解析幾何学を拡張することを目的としたものではなかった。彼らの手法は総合的であるべきであり、事実上、現在理解されている射影空間は公理的に導入されるはずだった。そのため、射影幾何学における初期の研究を、現在の厳密性の基準を満たすように再定式化することは、やや困難である。射影平面のみの場合でさえ、公理的アプローチは線形代数では記述できないモデルをもたらす可能性がある。

幾何学におけるこの時代は、クレブシュ、リーマン、マックス・ネーターらによる一般代数曲線の研究によって取って代わられ、既存の手法が拡張され、その後、不変式論へと発展した。世紀末にかけて、イタリアの代数幾何学学派（エンリケス、セグレ、セヴェリ）は、伝統的な研究分野から脱却し、より高度な手法を必要とする領域へと進出した。

射影幾何学は後にポール・ディラックによる量子力学の発明の鍵となった。基礎的なレベルでは、量子測定が可換でない可能性があるという発見はハイゼンベルクを動揺させ、思いとどまらせたが、非可換環上の射影平面に関する過去の研究はおそらくディラックの感受性を鈍らせた。より高度な研究では、ディラックは射影幾何学の広範な図を用いて方程式の直感的な意味を理解し、その後、完全に代数的な形式で研究成果をまとめた。[ 14 ]
(引用終り)
以上

ユークリッド幾何学のモデルは無限遠点を持てない、存在反証できるから
一方ZFCのモデルはκを持てる、存在反証できないから
初歩の初歩から分かってない

（彼の人の理解できる数学はポンチ絵だけか）

>>177
>ユークリッド幾何学のモデルは無限遠点を持てない、存在反証できるから
>一方ZFCのモデルはκを持てる、存在反証できないから
>初歩の初歩から分かってない

ふっ
高等数学の初歩が分ってないね

１）ユークリッド幾何は、ユークリッド平面上の幾何であって
　射影幾何の無限遠点 無限遠線は ユークリッド平面上には存在しない
　故に 平行線が 無限遠線上で交わることは ユークリッド幾何では反証不能
　∵ユークリッド幾何は あくまで ユークリッド平面上しか記述できない
　かつ、射影幾何の無限遠点 無限遠線の存在は ユークリッド幾何とは矛盾しない
（繰り返すが反証できない）
２）同様に、ZFC公理系で記述できるのは ノイマン宇宙Vの中のみ
　ノイマン宇宙Vの外に 到達不能基数κが 存在するか否かは ZFC公理では判断不能
　かつ、ノイマン宇宙Vの外に 到達不能基数κが存在しても いまのところ矛盾は見つかっていない
　どころか、到達不能基数κが存在すると仮定した方が いろいろ豊富な理論が構築できる
　その一例が グロタンディク宇宙Uで 圏論を展開するならば ノイマン宇宙Vより広く便利だ
　つまり、UはVの非保存拡大なり！ｗ （＾＾

>>174
＞その結果、各直線の点は、追加の要素 ∞ を加えた与えられた体Fと 1 対 1 で対応し、

↑は誤訳、正しい訳は↓

「その結果、各直線の点は、与えられた体Fに新たな元 ∞ を追加したものと１対１に対応する。」

そもそも∞ / ∞、∞ + ∞、∞ − ∞、が未定義であれば、体の公理を満たさない
（体の公理を満たすならば∞/∞=1 ∞-∞=0）

>>179
＞ノイマン宇宙Vの外に 到達不能基数κが存在しても いまのところ矛盾は見つかっていない

↑は初歩から誤り、正しくは↓

「ノイマン宇宙Vの"内"に 到達不能基数κが存在し（たとし）ても いまのところ矛盾は見つかっていない」

>>179
>高等数学の初歩が分ってないね
教養課程レベルを初歩から分かってないのがあなた

>１）ユークリッド幾何は、ユークリッド平面上の幾何であって
大嘘。
ユークリッド平面R^2はユークリッド幾何学のモデルのひとつに過ぎません。
作図可能数体をXと書くとX^2もユークリッド幾何学のモデルです。

>　射影幾何の無限遠点 無限遠線は ユークリッド平面上には存在しない
ユークリッド平面上にではなくユークリッド幾何学のモデルに存在できない。存在反証されるから。

>　故に 平行線が 無限遠線上で交わることは ユークリッド幾何では反証不能
ユークリッド幾何学から「平行線は交わる」は反証されます。ユークリッド幾何学における平行線の定義に反するので。

>　∵ユークリッド幾何は あくまで ユークリッド平面上しか記述できない
大嘘。
ユークリッド幾何学のモデルはユークリッド平面R^2だけではありません。

>　かつ、射影幾何の無限遠点 無限遠線の存在は ユークリッド幾何とは矛盾しない
異なる理論の定理は一般に異なるので「異なるから矛盾」が言えないのは当然。

>（繰り返すが反証できない）
間違いを何度繰り返しても間違い。

>２）同様に、ZFC公理系で記述できるのは ノイマン宇宙Vの中のみ
ZFCのモデルであるノイマン宇宙VはZFCから存在証明できません。
仮に証明できるとしたら、ZFCが矛盾している、完全性定理が間違っている、不完全性定理が間違っている、のうち少なくとも一つが成立します。
何度同じ説明をさせるんですか？少しは勉強したらどうです？どうしてそんなに勉強嫌いなんですか？

>　その一例が グロタンディク宇宙Uで 圏論を展開するならば ノイマン宇宙Vより広く便利
ZFC+宇宙公理からVκがグロタン宇宙であることを証明でき、そのとき Vκ⊂V です。V⊂Vκ はVの定義に反します。（いずれも等号を含まない）

>　つまり、UはVの非保存拡大なり！ｗ （＾＾
そもそもUもVも理論ではないので、非保存拡大との主張は意味を為しません。

初歩の初歩から分かってないので一から勉強し直してはいかがでしょうか。

>>179
↑
コピペで分かった気になってると間違いを連発するという典型例

>ZFCのモデルであるノイマン宇宙VはZFCから存在証明できません。
そもそもVも順序数全体ONも真クラスであり、ZFCから存在証明出来る訳ないんですけどね

>>179
ふっ
補足しておくよ

(引用開始)
１）ユークリッド幾何は、ユークリッド平面上の幾何であって
　射影幾何の無限遠点 無限遠線は ユークリッド平面上には存在しない
　故に 平行線が 無限遠線上で交わることは ユークリッド幾何では反証不能
　∵ユークリッド幾何は あくまで ユークリッド平面上しか記述できない
　かつ、射影幾何の無限遠点 無限遠線の存在は ユークリッド幾何とは矛盾しない
（繰り返すが反証できない）
(引用終り)

デカルトさんが 解析幾何を考えた。これで説明する
・原点を通る直線 y=x と y軸の(0,1)を通る 平行線 y=x+1
　この二つの直線がユークリッド平面 (x,y)∈R^2 内で交わることは出来ない
　∵二つの直線を連立方程式と見たとき、解は存在しない
・一方、射影幾何を考えて 無限遠点∞ を持つ R*:＝R∪{∞} を導入した平面で
　交わるとすることは出来る
・ガウス平面の場合が、上記ユークリッド平面の場合で
　Z=x+iy として ガウス平面内の平行線は 交点を持たない
・リーマン球面が、上記射影幾何の場合で
　無限遠点∞で 平行線は 交点を持つ

まとめると
・ユークリッド平面内で 平行線が交点を持たないことを使っても 射影幾何で平行線が交点を持つことを否定はできない
・同様のことが、ガウス平面とリーマン球面との関係で言える
要するに、射影幾何はユークリッドの上位互換であり、リーマン球面はガウス平面の上位互換■

PS
"ユークリッド幾何学のモデルは無限遠点を持てない、存在反証できるから"？
「存在反証」？？？ イミフ 中高一貫校生以下か

>・ユークリッド平面内で 平行線が交点を持たないことを使っても 射影幾何で平行線が交点を持つことを否定はできない
誰も否定してないのになにを馬鹿なこと言ってるんだろう

>存在反証」？？？ イミフ
存在反証も分からないど素人は一から勉強し直してください

>>181
>「ノイマン宇宙Vの"内"に 到達不能基数κが存在し（たとし）ても いまのところ矛盾は見つかっていない」

ふっ
　>>1より 定義
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%B0%E9%81%94%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%9F%BA%E6%95%B0
到達不能基数とモデルの基本性質
・強到達不能基数 κ：κ が非可算正則極限基数であり、λ < κ → 2^λ < κ を満たすとき、強到達不能基数と呼びます。
(引用終り)

『λ < κ → 2^λ < κ を満たす』の定義の意味が、理解できないのかな？（＾＾

１）ノイマン宇宙Vの"内"の 普通の基数λで λ＝ κなら λ’＜λ となるλ’が存在して 2^λ ＝λ＝ κとなるが
　それだと、 「κは 普通の基数λに等しい」ので 強到達不能基数としての意義が 全くない
２）λ < κ＜ 2^λ であることはできない。∵ 2^λ < κに反する
　つまり、強到達不能基数 κとは 非可算正則極限基数であり かつ ノイマン宇宙Vの"内"に存在しえない
　そう定義された 基数だということ（定義の気持ちを考えようね）
　再度強調すると 普通の基数（2^λたち）からなる Vの上（いかなる2^λたちよりも大）■

>>184
>>ZFCのモデルであるノイマン宇宙VはZFCから存在証明できません。
>そもそもVも順序数全体ONも真クラスであり、ZFCから存在証明出来る訳ないんですけどね

あたま ぐしゃぐしゃ
中高一貫校生以下かよ

数学者は、ZFCを神格化していない
ZFCを外から 上から目線で見ているんだよ

だから、ZFCが作る集合たちの入れ物 ノイマン宇宙Vを考えることは可能だ
が、ノイマン宇宙Vは ZFCの立場としては 集合ではなく クラスになる

なぜか？
無限集合論を公理化する意義は、集合の作り方を制限することで
ラッセルパラドックスなどの いろんなパラドックスの発生を抑制するため
つまりは、ZFCの立場ではVの内部は集合だが
V自身は 集合でなく クラスだ

それは、数学者が ZFCを外から 上から目線で見て そう判断するってことよ
そうすれば、ラッセルパラドックスなどは避けられる

が、ZFCが抑制的すぎないか？ という議論がある
集合の範囲をもっと広げても 良いんじゃ無いのか？と
それが、到達不能基数や巨大基数であり
グロタンディク宇宙Uの議論だ■

>>187
>１）ノイマン宇宙Vの"内"の 普通の基数λで λ＝ κなら λ’＜λ となるλ’が存在して 2^λ ＝λ＝ κとなるが
2^λ' ＝λ＝ κ の誤字であることは許すとして
もしそうならκは強到達不能基数の定義を満たしませんけど？　頭大丈夫ですか？

>つまり、強到達不能基数 κとは 非可算正則極限基数であり かつ ノイマン宇宙Vの"内"に存在しえない
デタラメな推論で導かれたデタラメな帰結。

>　そう定義された 基数だということ（定義の気持ちを考えようね）
妄想。

>　再度強調すると 普通の基数（2^λたち）からなる Vの上（いかなる2^λたちよりも大）
間違いを何度強調しても間違い。

>>188
>ZFCが作る集合たちの入れ物 ノイマン宇宙Vを考えることは可能だ
大嘘。
VはZFCのモデルであって、ZFCが作る集合たちの入れ物ではない。つまりZFCから存在証明できない集合が入っていてもよい。
君、初歩の初歩から分かってないと毎度言われてるけど全く進歩が無いね。

>が、ノイマン宇宙Vは ZFCの立場としては 集合ではなく クラスになる
大嘘。
Vはどの立場でも真クラスです。
実際、仮にVが集合と仮定すると、Vは整礎集合かつ整礎集合全体の集合、すなわち V∈V でなければならず、Vが整礎集合であることに反する。

初歩の初歩から分かってないので一から勉強し直してはいかがでしょうか。

>>189,190
ですね
彼の人は中高生に嘘を書いて恥じない人格らしいです

彼の人は反証できることと証明できないことの違いを認識出来ないんですね

>「存在反証」？？？ イミフ
とか言ってたから初歩の初歩から分かってないかと

え、なにこの気持ち悪いスレッド……

中高生が来るとのことなので、中高生へメッセージを残しておきます。
こんなスレ見ても数学上の参考には一切なりません。解散。

>>187
>ノイマン宇宙Vの"内"の 普通の基数λで λ＝ κなら
>λ’＜λ となるλ’が存在して 2^λ’ ＝λ＝ κとなるが

いいえ、決してなりません（笑）

そもそも、ωは基数ですが、2^ν＝ωとなるようなν＜ωは存在しません

なぜならν＜ωなら、νは自然数で2^νも自然数ですから

つまり　ν＜ω → 2^ν＜ω　を満たします　ひゃっほう（笑）

え？もしかして、ωは到達不能基数だから、ノイマン宇宙Vの外？
Vには有限集合と有限順序数しか存在しない？　うへぇっ！（笑）

>>194
数学上の参考に一切ならないスレッド一覧

到達不能基数・巨大基数研究
Inter-universal geometryとABC予想(シン応援スレ) 93
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ19
「名誉教授」のスレ 8
背理法は不要なのか2
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21
みんな大好きお兄さんのまったり集合論（数理論理学）・確率論勉強スレ

参考にならないなら書かんでエエよ。

数学上の参考になるスレッド一覧

面白い数学の問題おしえて〜な 45問目
数学基礎論・数理論理学　その20
大学数学の出題スレ
高校数学の質問スレ（医者・東大卒禁止） Part438
大学学部レベル質問スレ 25単位目
Interuniversal geometry とABC 予想62 
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無限次元球面は可縮
【パンサー尾形】笑わない数学【NHK総合】 Part2

質問乞食のお気に入りスレッド

数学基礎論・数理論理学　その20
大学数学の質問スレ Part 4
スレタイ箱入り無数目を語る部屋35(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part9ｗ)
みんな大好きお兄さんのまったり集合論（数理論理学）・確率論勉強スレ

安易に評価するなら、レス数ではあるが…。

>>199
オレのファンを自認している割には
正しい認識を持っていないな
◎　>数学基礎論・数理論理学　その20
オレが書いているからな
×　>大学数学の質問スレ Part 4
なんかクダラン奴が居座ってる
●　>スレタイ箱入り無数目を語る部屋35(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part9ｗ)
箱入り無数目は問題なく成立するが
それを拡張することができるかと考察も
あまり上手く行かなかった
×××　>みんな大好きお兄さんのまったり集合論（数理論理学）・確率論勉強スレ
数学しない奴の隔離スレ
こっから出て来んな

俺が書いているからな？
恥ずっwww

色んな人と揉める、ファン0人の人www

（オレの一挙手一投足が気になって気になって堪らないのにｗ）

>>189
(引用開始)
>１）ノイマン宇宙Vの"内"の 普通の基数λで λ＝ κなら λ’＜λ となるλ’が存在して 2^λ ＝λ＝ κとなるが
2^λ' ＝λ＝ κ の誤字であることは許すとして
もしそうならκは強到達不能基数の定義を満たしませんけど？　頭大丈夫ですか？
(引用終り)

ご指摘ありがとね では>>187で
上記１）は、強到達不能基数κが、ZFCから存在を証明できない基数とすることで、
上記１）は、省ける＊）
よって、強到達不能基数κの定義に「ZFCから存在を証明できない基数」と限定を入れることにするよ

このとき、>>187より
２）λ < κ＜ 2^λ であることはできない。∵ 2^λ < κに反する
　つまり、強到達不能基数 κとは 非可算正則極限基数であり かつ ノイマン宇宙Vの"内"に存在しえない
　そう定義された 基数だということ（定義の気持ちを考えようね）
　再度強調すると 普通の基数（2^λたち）からなる Vの上（いかなる2^λたちよりも大）■
は、成り立つ

補足すると
ノイマン宇宙Vの"内"には 基数たちが 並んで
・・λ , 2^λ,2^2^λ,2^2^2^λ,・・ < κ
となっているってことだ
つまり、2^2^・・^2^λ=λ’と置き直して
λ’＜κ＜2^λ’ となるならば、>>1より
定義：κ が非可算正則極限基数であり、λ < κ → 2^λ < κ を満たす
に反する■
注：・・λ , 2^λ,2^2^λ,2^2^2^λ,・・たちは、ZFCから証明可能な基数な
そして、いま考えている ノイマン宇宙Vは あくまで 「ZFCから証明可能な集合のみを含む」と限定する
（この限定を入れないと 議論が発散するから）

注＊）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%B0%E9%81%94%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%9F%BA%E6%95%B0
到達不能基数
このことから、ZFCからは到達不能基数の存在を証明できないし、ZFCは到達不能基数の非存在と矛盾しない。

>>190-195
>>ZFCが作る集合たちの入れ物 ノイマン宇宙Vを考えることは可能だ
>大嘘。

ふっ >>205より
注：・・λ , 2^λ,2^2^λ,2^2^2^λ,・・たちは、ZFCから証明可能な基数な
そして、いま考えている ノイマン宇宙Vは あくまで 「ZFCから証明可能な集合のみを含む」と限定する
（この限定を入れないと 議論が発散するから）
(引用終り)

とVを定義したよ
これでいいだろ？（＾＾

>Vはどの立場でも真クラスです。

間違っている 倒錯している
下記 無限公理の説明にあるとおりだ
即ち 無限公理の無い フォン・ノイマン宇宙では 可算無限ωによる Vωはクラスとなる
しかし、無限公理の有る フォン・ノイマン宇宙Vでは 可算無限ωによる Vωはクラスでなく V内のステージで 集合になる■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
独立性
ZFCが無矛盾であるかぎり、無限公理はほかのZFCの公理からは導けない(ZFCはZFC − Infinityの無矛盾性を導き、ゲーデルの第2不完全性定理に注意せよ)。

無限公理の否定もまた、ZFCが無矛盾であるかぎり、ZFCのほかの公理からは導けない(これは他の公理たちが無矛盾ならば、ZFCも無矛盾であると言うに等しい)。よってZFCは無限公理もその否定も導かず、どちらとでも両立する。

もちろん、フォン・ノイマン宇宙を使うことでZFC − Infinity + (¬Infinity)のモデルを構成可能である。それは遺伝的有限集合のクラス Vωと要素関係は元のままの組である。

>>205
>強到達不能基数κの定義に「ZFCから存在を証明できない基数」と限定を入れることにするよ
不要。
「ZFCから存在を証明できない基数」は事実だから。
実際、VκはZFCのモデルとして十分な大きさを持っており、「ZFCから存在を証明できる基数」と仮定すると、
ZFCが矛盾している、完全性定理が間違っている、不完全性定理が間違っている、のうち少なくとも一つが成立する。

>強到達不能基数 κは・・・ノイマン宇宙Vの"内"に存在しえない
大嘘。
「VはZFCから存在証明可能な集合しか持たない」と思ってるらしいがそれが大間違い。
ユークリッド幾何学のモデルR^2はユークリッド幾何学から存在証明不可能な点を持っている。仮にそうでないとすると作図可能数体^2がユークリッド幾何学のモデルであることと矛盾する。この論理が君に分かるか？

>そう定義された 基数だということ（定義の気持ちを考えようね）
妄想。

>再度強調すると
間違いを何度強調しても間違い

>ノイマン宇宙Vは あくまで 「ZFCから証明可能な集合のみを含む」と限定する
勝手な限定はダメ

>（この限定を入れないと 議論が発散するから）
議論が発散するからではなく、自分の妄想が正しいことにしたいからだろ？

>>206
>とVを定義したよ
>これでいいだろ？（＾＾
ダメ。
定義を勝手に改変するのはNG。君、数学における定義をなんと心得る？

>>Vはどの立場でも真クラスです。
>間違っている 倒錯している
それは前回の説明で真クラスであることを理解できなかった君。

>下記 無限公理の説明にあるとおりだ
どこにVが集合って書かれてるの？　君、日本語読めないの？　じゃあ小学校の国語からやり直しては？

このレベルで暴れまわってるんだからとことん恥知らずやわな

ただ揉めたがりの自意識過剰な人w

彼の人は冪だけでVが出来ていると思い込んでますね
Vωは何の冪だと思ってるんだろ

数学基礎論サマースクール２０２６：巨大基数公理
wwp.shizuoka.ac.jp/yorioka/?page_id=1545

数学基礎論サマースクール2024
テーマ：算術の証明論と構成的数学
URI:sites.google.com/view/logic-summer-school-2024/%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0

モデルの定義から分かってない
つまり初歩の初歩から分かってない

>>212-213
数学基礎論サマースクール
ありがとうございます（＾＾

>>212
ありがと
下記 下記 薄葉季路先生とか どれを読んでも 巨大基数は ZFCで証明できない存在
一方、ノイマン宇宙V中の集合たちは ZFCで証明できるとするならば
巨大基数は ノイマン宇宙Vの外■
中高一貫校生でも分る話（＾＾

(参考)
https://wwp.shizuoka.ac.jp/yorioka/?page_id=1545
数学基礎論サマースクール２０２６：巨大基数公理
2026年8月18日(火)から21日(金)
講演者　
薄葉季路(早稲田大学)「大きな巨大基数と集合の宇宙」
到達不能基数や可測基数などの比較的「小さな」巨大基数に対して、超コンパクト基数や拡張可能基数のような「大きな」巨大基数は、その存在自体が集合の宇宙の構造に強い影響を与えることが知られています。この講義では「大きな」巨大基数の入門から始まり、それらが宇宙に与える影響の紹介などを行います。
薄葉先生/第1回 薄葉先生/第2回 薄葉先生/第3回 薄葉先生/第4回

酒井拓史(東京大学)「巨大基数と実数の集合」
一般に巨大基数は実数の集合の濃度に比べてはるかに大きな基数ですが、その存在を主張する巨大基数公理を ZFC に加えた公理系では、実数の集合の性質について、ZFC からは証明できない様々な命題が証明できます。さらに巨大基数は実数の集合と密接な関連を持つことも知られています。この講義では、このような巨大基数と実数の集合の関係を概説します。
酒井先生/講義ノート (Microsoftアカウントにログインされないブラウザで閲覧してください。)

藤田博司(愛媛大学)「集合論の基本と巨大基数の始まり」
集合論を記述する言語やZFC公理系など、集合論の基本事項を説明したあと、可測基数や到達不能基数の概念の起源を、集合論の黎明期にさかのぼってたどる。
藤田先生のスライド

吉信康夫(名古屋大学)「巨大基数いろいろ」
多くの巨大基数公理は、可算無限濃度が有限濃度に対して持っている超越性を何らかの意味で一般化することによって導入されます。ここでは、到達不能基数などの最も基本的な巨大基数をはじめ、測度、基数分割、木、形式言語のコンパクト性の概念などから導入されるいくつかの基本的な巨大基数公理の定義と性質、それらの相互の関係について紹介します。
吉信先生/到達不能基数 吉信先生/弱コンパクト基数 吉信先生/強コンパクト基数 吉信先生/その他の巨大基数

>>214
>モデルの定義から分かってない
>つまり初歩の初歩から分かってない

ふっ
(ですね)人か

１）おのれの「モデルの定義」書いてみなよ 突っ込んで潰すから（＾＾
２）初歩の初歩以下は あなたですよ (ですね)人

下記
https://wwp.shizuoka.ac.jp/yorioka/?page_id=1545
数学基礎論サマースクール２０２６：巨大基数公理
で いつもお世話になっている
藤田博司(愛媛大学)「集合論の基本と巨大基数の始まり」
藤田先生のスライドがある
https://tenasaku.com/academia/shizuoka-2026-08/
フジタの講演について
https://tenasaku.com/academia/shizuoka-2026-08/notes.pdf
下書きノート
集合論の基本と巨大基数の始まり
藤田博司 数学基礎論サマースクール2026最終更新: 2026年8月24日
P6
1.3 クラスについて
P7
このように, われわれの公理的集合論の体系では, クラスは必要に応じて定義により導入される定数記号として扱われる.すべての集合からなるクラスをVと書く. 論理式としては自明なx=xに対応すると思っておけばよい.
このようにクラスを用いれば公理図式の主張を簡潔・明確に表現できるわけだが,われわれの形式言語には, クラスをあらわす変数は存在せず,「すべてのクラスについて」「あるクラスが存在して」を表現する手段はない. クラスを用いた表現はあくまでアイデアを伝えるための方便と心得るべきだ.

百回音読してね

PS
モデルの定義は 無い
きっと”へ”みたいなものだろう （＾＾
今回の議論では重要な扱いではないようだ

>>217
>https://wwp.shizuoka.ac.jp/yorioka/?page_id=1545
>数学基礎論サマースクール２０２６：巨大基数公理

名古屋大にも基礎論屋さんが居たんだ
認識不足でした（＾＾

(参考)
吉信康夫(名古屋大学)「巨大基数いろいろ」
https://profs.provost.nagoya-u.ac.jp/html/100002711_ja.html
研究者総覧名古屋大学
ヨシノブ　ヤスオ
吉信　康夫
所属
大学院情報学研究科 数理情報学専攻 数理情報基礎論 教授
学位 2
博士(学術) （ 2003年12月 名古屋大学 ）
修士(理学) （ 1994年3月 名古屋大学 ）
学歴 2
名古屋大学 理学研究科 数学
1992年4月 - 1994年3月
京都大学 理学部
- 1992年

（そもそも基数は順序数でそれは集合なのにね）

（グロタンは宇宙を小さく集合にすることで圏論における各種定義を危険性ナシに導入したかったみたいね）

>>216
>ノイマン宇宙V中の集合たちは ZFCで証明できるとするならば
>巨大基数は ノイマン宇宙Vの外■
>中高一貫校生でも分る話（＾＾
巨大基数はZFCから存在証明できないのだから当たり前。

しかしそのVは「どの元もZFCから存在証明可能」を満たしていても「ZFCから存在証明可能な集合を余さず持つ」は満たしていない。
仮に満たしているとすると矛盾する。なぜなら、Vの中の元それぞれのべき集合をVに付け加えることでできる新たなV'は V⊂V'∧V≠V' であるはずで、かつ、V'のどの元もZFCから存在証明可能だから。
つまり君の言うVはZFCのモデルになってない。そんな珍奇なVを考える意味こそ中高一貫校生は分からないだろう。

>>217
>１）おのれの「モデルの定義」書いてみなよ 突っ込んで潰すから（＾＾
L-構造MがL-理論Tのモデル ⇔ ∀x∈T:(M|=x)。

君、自分で書かないと勉強にならんぞ。よっぽど勉強嫌いなんだな。だからいつまでも進歩が無いんだよ。

>>217
>モデルの定義は 無い
初歩の初歩だからね

>きっと”へ”みたいなものだろう （＾＾
いや、初歩の初歩から分かってない君には重大だ

>今回の議論では重要な扱いではないようだ
そうやって勝手に自分に都合良く妄想するのが悪い癖

>>217
それで君
>ユークリッド幾何学のモデルR^2はユークリッド幾何学から存在証明不可能な点を持っている。仮にそうでないとすると作図可能数体^2がユークリッド幾何学のモデルであることと矛盾する。この論理が君に分かるか？
は分かったのかい？
まあ分かったのなら
>ノイマン宇宙V中の集合たちは ZFCで証明できるとするならば
のようなアホなことは言わんか。。。

グロタン宇宙Uが小さいのは
U自身が集合であるため
その部分集合Xについて必ずしもX∈Uとならないから
しかし小さいからこそ
圏論で必要な定義や操作を安全にすなわち集合の範囲に押さえることが出来る
ただし部分集合の全体のような操作が必要な場合
もう一段大きなグロタン宇宙が必要になり
どこまで行ってもキリはないから
グロタン宇宙よりノイマン宇宙で圏論を展開する方が自然
しかしノイマン宇宙は大きいので
定義や操作がZFCの許すものであるように
慎重に行う必要がある

宇宙、そこは最後のフロンティア。
ここに航海を続ける宇宙船エンタープライズ号は、
人類未踏の天地に挑み、新しい生命、新しい文明を求め、
はるかなる宇宙を旅するものである。

>>225-226
>宇宙、そこは最後のフロンティア。
>ここに航海を続ける宇宙船エンタープライズ号は、

これは、弥勒菩薩様か
ご指導ありがとうございます。

>（グロタンは宇宙を小さく集合にすることで圏論における各種定義を危険性ナシに導入したかったみたいね）>>220
>グロタン宇宙Uが小さいのは
>U自身が集合であるため

あらら、ツブレだね（囲碁用語）（＾＾

下記 Tarski–Grothendieck set theory、Grothendieck universe(英) グロタンディーク宇宙(日)

それぞれ 百回音読してねｗ（＾＾
その上で
１）TGは、ZFCの非保存的拡張。つまり、包含関係が逆。V⊂U
２）ZFCの非保存的拡張。つまり、ZFCで作ることのできる集合はすべて TGで作れる かつ ZFCで作ることのできない集合もTGで作れる
３）かつ Uは すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）

https://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%E2%80%93Grothendieck_set_theory
Tarski–Grothendieck set theory
(google訳)
タルスキ＝グロタンディーク集合論（TG 、数学者アルフレッド・タルスキとアレクサンダー・グロタンディークにちなんで命名）は公理的集合論である。これはツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）の非保存的拡張であり、各集合にはそれが属する「タルスキ宇宙」が存在するというタルスキの公理（下記参照）が含まれている点で他の公理的集合論と区別される。タルスキの公理は到達不可能な基数の存在を意味し、ZFCよりも豊かな存在論を提供する。例えば、この公理を追加することで圏論が支持される。
公理
タルスキ＝グロタンディーク集合論は、従来のツェルメロ＝フレンケル集合論を出発点とし、そこに「タルスキの公理」を追加する。
TG を他の公理的集合論と区別するのは、タルスキの公理です。タルスキの公理は、無限、選択、[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]および冪集合の公理も含意します。[ 4 ] [ 5 ]また、到達不可能な基数の存在も含意しており、そのおかげでTGの存在論はZFCなどの従来の集合論の存在論よりもはるかに豊かです。
・Tarski's axiom (adapted from Tarski 1939[6]). For every set
s, there exists a set u (a "universe") such that
略
タルスキの公理は、ZFCよりもはるかに多くの集合を保証する公理である。

つづく

つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe
Grothendieck universe
In set theory, a Grothendieck universe is a set
U with the following properties:
略
グロタンディーク宇宙の要素は、小集合と呼ばれることもあります。宇宙の概念はアレクサンダー・グロタンディークによるもので、彼は代数幾何学における適切なクラスを回避する方法として宇宙を用いました。
非自明なグロタンディーク宇宙の存在は、ツェルメロ・フレンケル集合論の通常の公理を超えており、特に、強く到達不可能な基数の存在を意味する。
Tarski–Grothendieck set theory is an axiomatic treatment of set theory, used in some automatic proof systems, in which every set belongs to a Grothendieck universe. The concept of a Grothendieck universe can also be defined in an elementary topos.[1]
グロタンディーク宇宙と到達不可能な基数
略
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）。
(引用終り)
以上

>>227
>１）TGは、ZFCの非保存的拡張。つまり、包含関係が逆。V⊂U
「つまり」の前後がつながらない。
TG,ZFC,V,Uの間の関係性が分かってない。めちゃくちゃ。

>３）かつ Uは すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）
意味を分からない文言をコピペしても無駄。
コピペならレスバに勝てると思ってるらしいが、そもそも意味を分かるだけの基礎学力が君には無い。

グロタンディーク宇宙とフォン・ノイマン宇宙の主な違いは、それが数学的に「集合（Set）」であるか「真のクラス（Proper Class）」であるか、そしてその目的とスケールにあります。
1. 本質的な定義の違い
・ グロタンディーク宇宙
・ ZFC（ツェルメロ＝フレンケル＋選択公理）の公理による操作（対、和集合、冪集合など）について閉じている「特定の集合」です。
・ つまり、それ自体が大きなひとつの「集合」です。
・ フォン・ノイマン宇宙
・ 累積階層 \(V_{\alpha }\) を超限帰納法ですべて積み上げた、「すべての遺伝的整礎集合全体の集まり（クラス）」です。
・ あまりに大きすぎるため、集合ではなく「真のクラス」（集合の枠を超えた巨大な集まり）になります。
2. 主な比較表
項目 グロタンディーク宇宙 フォン・ノイマン宇宙
数学的実体 集合（Set）である 真のクラス（Proper Class）である
規模・大きさ フォン・ノイマン宇宙の中に含まれる「小宇宙」の一つ すべての集合を内包する最大の全体領域
主な導入の目的 圏論において「大きな圏」を安全に扱うため（ラッセルのパラドックスを避ける） ZFC公理系のモデル（解釈の土台）を提供するため
ZFCからの証明 自明でない宇宙の存在は ZFC だけからは証明できない（強到達不能基数の存在が必要）

だいたい合ってるが、厳密に言えばVは非整礎集合を持たないから
>すべての集合を内包する最大の全体領域
は言い過ぎ。
非整礎集合は扱いづらい「ならず者」だが、考えてはダメってことはない。

・巨大基数の集合論
A.J. カナモリ (著)
・Set Theory
Thomas Jech (Author)

現代思想2019年12月号　特集＝巨大数の世界
-アルキメデスからグーゴロジーまで-
日常の想像力を凌駕する“デカい”数、そのめくるめく世界に迫る
宇宙空間を埋め尽くす砂粒の数を試算したアルキメデスの時代から、数学基礎論の知見を駆使して巨大数の生成を競う現代のグーゴロジストに至るまで、人々はいつも「巨大な数」という存在に魅了されてきた――。本特集では古今東西の数学はもちろん、物理学や情報学、さらには宗教や哲学、人類学といった領域をも横断しつつ、巨大な数と人間との関わりを広く考察する。

CourseNotesforLargeCardinalsinSetTheory
MaxwellLevin
URI:home.mathematik.uni-freiburg.de/maxwell/coursenotes-largecardinals-website.pdf

Model-theoreticcharacterizationsof largecardinals (Re)2visited∗
WillBoney and JonathanOsinski
URI:arxiv.org/pdf/2505.15574

>>229
ですね

>>227-228 補足
ポイントを補足しておく

１）TGは、ZFCの非保存的拡張とは？
　”ZFCで作ることのできる集合はすべて TGで作れる かつ ZFCで作ることのできない集合もTGで作れる”
２）”タルスキの公理は、ZFCよりもはるかに多くの集合を保証する公理である”
３）”非自明なグロタンディーク宇宙の存在は、ツェルメロ・フレンケル集合論の通常の公理を超えており、特に、強く到達不可能な基数の存在を意味する”

これを百回音読しよう！！ｗｗｗ（＾＾

（音読しても理解しない人ね）

>>235
>URI:arxiv.org/pdf/2505.15574

ありがと
https://arxiv.org/html/2505.15574v2
ポイント抜粋
(google訳)
1導入
大きな基数は、強論理、すなわち一階述語論理の拡張のモデル理論的性質と密接に関連している。
大きな基数の研究の初期に、タルスキは弱コンパクト基数と強コンパクト基数を提案したが、これらは今日でも無限論理の特定のコンパクト性原理を示す基数として注目されている（cf. [Tar62] )
その後、超コンパクト基数や拡張基数などの他のいくつかの大きな基数もモデル理論的な特徴付けを受けた (cf. [マグ71、Ben78さらに、ヴォペンカの原理は、すべての論理が特定の下方レーヴェンハイム・スコレム特性とコンパクト性特性を持つと仮定する公理図式と同等であることが示された（cf. [MV11、Mak85] )。近年、この種の研究が再び盛んになり、強論理の一連のモデル理論的特性の大きな基数的強さが検討されてきた（cf. [MV11、BV16、Bon20、GKV25、BDGM24、HLM24、GO25、OP25、オシ24] ).

>>237
誰一人として否定してないのに、一体誰と戦ってるんだか

ちなみに例えばべき集合の公理は議論領域に存在している任意の集合xについてそのべき集合2^xも議論領域に存在していることを主張している。作る必要は無い。というか作れない。
集合の構成とはその集合が議論領域に確かに存在していることを明らかにすることに他ならない。

そして
最強の公理は
0=1
よな

>>238
ふっ
(ですね)人に聞く
　>>237 非保存的拡張
これ
機械訳だが 専門用語としては 「非保存拡大」だが・・
意味分るかな？ｗ
意味分るまで、下記を百回音読してねｗｗ（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BF%9D%E5%AD%98%E6%8B%A1%E5%A4%A7
保存拡大（ほぞんかくだい、英語: conservative extension）は数理論理学において、形式言語による理論同士の関係の一つであり、定理の証明を便利にするかもしれないが、決して元の理論が原理的に証明できる定理の範疇を超えないような、理論の拡張を指す。
同様に、非保存拡大（ひほぞんかくだい、英語: non-conservative extension）あるいは「真の拡大」[1]（英語: proper extension）により拡張された理論は、元の理論より多くの定理を証明できる能力を持つ。

>>241
>最強の公理は
>0=1
>よな

たしかに
失う者が何も無い
即ち "0"こそ最強ぞｗ（＾＾

>>234
>CourseNotesforLargeCardinalsinSetTheory
>MaxwellLevin
>URI:home.mathematik.uni-freiburg.de/maxwell/coursenotes-largecardinals-website.pdf

ありがとう
下記な
https://home.mathematik.uni-freiburg.de/maxwell/
Maxwell Levine
Teaching
・At the University of Freiburg, I have led lecture courses in Large Cardinals in Set Theory (notes), Models of Peano Arithmetic, Descriptive Set Theory (notes), Applications of Set Theory (notes), an Introduction to Set Theory and Independence proofs (website), and a course on connections between machine learning and mathematical logic (website). I have also taught student seminars in Ramsey Theory, Knot Theory, Cryptography, Representation Theory, Algebraic Topology, Differential Topology, the Axiom of Choice, Proofs from the Book, and Strong Homology and Set Theory.

＜上記”I have led lecture courses in Large Cardinals in Set Theory (notes)”の部分より＞
https://home.mathematik.uni-freiburg.de/maxwell/coursenotes-largecardinals-website.pdf
Course Notes for Large Cardinals in Set Theory
Universität Freiburg
Course Notes for Large Cardinals in Set. Theory. Maxwell Levine. Acknowledgments. These are the notes for a course that I taught at the University of Freiburg.
60 ページ

Acknowledgments ThesearethenotesforacoursethatItaughtattheUniversityofFreiburg inthesummersemesterof2021.ThesourcesareThomasJech’ssettheory textbook,KennethKunen’ssettheorytextbook,andDimaSinapova’snotes foracourseshetaughtattheUniversityofIllinoisatChicagoin2013.

Contents 1
1 BackgroundandMotivations 3
1.1 AReviewofSomeBasicNotionsofSetTheory . . . . . . . 3
1.2 RegardingtheConsistencyofInaccessibleCardinals . . . . . 5
1.3 Measures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 TheTreeProperty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

（0=1のモデルは何だか理解してないみたい）

なんで非保存拡大でここまで威張れるのか謎

>>228
>TGは、ZFCの非保存的拡張。つまり、包含関係が逆。V⊂U

🐵曰く
「TGのモデルは、ZFCのモデルを集合として持つ」

ああ、幼稚なレスバトル

>>246
🐵は他人に威張りたい欲を満たしたいんでしょう

ああ、幼稚なマウント欲

🐵は数学には全く興味がない
だから理解せずに他人に威張ろうとする
コピペは理解できなくても威張るための
唯一の手段ってことか

>>205
>ノイマン宇宙Vは あくまで 「ZFCから証明可能な集合のみを含む」と限定する

それは「証明できないものを否定する」というnegation as failure

数学の論理ではないけどな

🐵は述語論理を知らんから、すぐ逸脱する

２ｃｈは、天下のチラシの裏と世間で言われていた
まあ、私のメモ帳と認識している
瀬田爺

>>250
ℵ0<κ<2^ℵ0である基数κの存在はZFCだけでは証明できないから存在しないと考えてるみたいなので
彼の人はCHが真って考えてるんだね
もっと進んでV=Lも真と考えてるのかもね

>>252
その理屈でいうと、超準実数は一切存在し得ないけどね
実数論からは存在が証明できないから（笑）

瀬田爺さんの到達不能数学

>>207
>ノイマン宇宙Vは あくまで 「ZFCから証明可能な集合のみを含む」と限定する
そのVはたかだか可算集合。実際、証明可能な集合はたかだか可算個。

>>237 補足

googleのAIさんの教え下記
（正しいか不明だが 各人自分のAIで補足せよ！ （＾＾）

(google検索)
証明 米田埋め込み グロタンディーク宇宙
＜AI＞
米田の埋め込み（Yoneda embedding）において、グロタンディーク宇宙（Grothendieck universe） U を導入する主な目的は、「すべての前層の圏 (^C = Set^C^op」を作るときに発生する集合論的なサイズ（固有クラス）の問題を回避し、数学的に厳密な定義と証明を与えるためです。
以下に、グロタンディーク宇宙を用いた米田の埋め込みの定式化とその証明を解説します。

1. グロタンディーク宇宙を導入する理由（背景）
通常の集合論（ZFC）では、圏 C が局所小（任意の対象 X, Y に対し HomC(X,Y) が集合）であっても、C 上の前層の全体（関手圏 Set^{Cop}）を考えると、その対象の集まりは一般に「真クラス（集合ではない巨大な集まり）」になってしまいます。真クラスをターゲットとする関手を扱うのは論理的なリスクが伴います。

そこで、十分巨大で集合論の操作（ベキ集合、直和など）について閉じている集合 グロタンディーク宇宙 U を1つ固定します。
・U の要素である集合を U-小さな集合（U-small set）と呼びます。
・U の部分集合を U-クラス と呼びます。
これにより、ターゲットとなる集合圏を「すべての集合の圏 Set」ではなく、「U-小さな集合の圏 SetU」に制限することができます。

2. U-宇宙における米田の埋め込みの定式化
固定されたグロタンディーク宇宙 U に対し、U-局所小圏 C を以下を満たす圏とします：
　1.任意の対象 X, Y ∈ Ob(C) に対して、ホム集合 HomC(X, Y) は U の要素（U-小さな集合）である。
　このとき、C から U-小さな集合への反変関手の圏を ^CU = SetU^C^op と書きます。
　【米田の埋め込み定理】
圏 C を U-局所小圏とする。このとき、各対象 (Y ∈ C) に対し、反変関手（前層）
hY=HomC(-,Y):C^op → SetU
を対応させる関手
　h:C → ^CU (Y→ hY)
は充満忠実（full and faithful）な関手（＝埋め込み）である


3. 米田の補題（Yoneda Lemma）による証明
米田の埋め込みの証明は、米田の補題の直接の帰結（特殊な場合）として得られます。

ステップ1：米田の補題の適用
任意の U-局所小圏 C、その対象 (X ∈ C)、および任意の反変関手 F ∈ ^C_U に対して、次の自然同型が成り立ちます（米田の補題）。
ここで Nat(hX, F) は、前層 hX から F への自然変換の全体です。

ステップ2：(F = h_Y とおく
米田の補題において、具体的な前層として (F = h_Y = HomC(-, Y) を代入します。すると、右辺の F(X) は h_Y(X) = HomC(X, Y) となります。
したがって、以下の自然同型が得られます：
Nat(hX,hY) ≃ HomC(X,Y)

つづく

つづき

ステップ3：充満忠実性の確認
この同型写像 Φ : Nat}hX, h_Y) → HomC(X, Y) の具体的な構成（米田の補題の証明による）を見ると、自然変換 (α : hX → h_Y に対して、
Φ (α)=αX(idX)∈ HomC(X,Y)
となります。
逆に、任意の射 f : X → Y から定まる関手 h の写像（射の対応） h(f) : hX → h_Y を考えると、この Φ の逆写像はまさに (f → h(f) そのものになっています。
したがって、関手 h が誘導する写像
hX,Y:HomC(X,Y) → Nat(hX,hY) (f→ h(f))
は全単射（bijective）です。
・単射（injective） であることから、関手 h は忠実（faithful）。
・全射（surjective） であることから、関手 h は充満（full）。
以上より、関手 h : C → ^C_U は充満忠実であり、米田の埋め込みが証明されました。

まとめ：グロタンディーク宇宙がもたらす恩恵
グロタンディーク宇宙 U を用いたおかげで、ターゲットの圏 (^C_U = Set}_U^{C^op}} 自体は U の要素（U-小さな集合）ではないものの、U の部分集合（U-クラス）として正当に定義されます。

また、任意の (X, Y ∈ C) に対する自然変換の集まり Nat(hX, hY) も、HomC(X, Y)（これは U の要素）と全単射であるため、真クラスにならずに U の要素（集合）に収まることが保証されます。これにより、サイズの問題に怯えることなく、圏を前層の圏に安全に埋め込んで議論を進めることができます。

もしよろしければ、以下についてさらに詳しくお答えできます：
• 米田の補題自体の詳しい証明ステップ
• グロタンディーク宇宙が満たす集合論的な公理（到達不能基数との関係）
• 米田埋め込みが極限や余極限をどのように保存するかの性質

つづく

つづき

(参考)
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/category.pdf
圏と関手 千葉大学大学院理学研究科松田茂樹
P5
(2.14) 補足
ここでは説明は省くが, 圏論における集合論的な問題を回避する方法はいくつかあり, Grothendieck は, 宇宙(universe) という仕組を導入することで, 基本的に集合の範囲で圏論を展開している。この場合は, 宇宙Uを固定するとき, 圏が小圏とはObC やMorC がU 小集合であることとし, また, 圏が局所小とは, 任意のX,Y ∈ObC に対しHom(X,Y)がU 小集合であることとする。この文章ではこのような事柄には踏み込まないが, 後で述べる米田の補題(8.5)には局所小という条件が必要になることは注意しておきたい。
P24
(8.5) 命題 (米田の補題).
P25
(8.6) 定理 (米田の埋め込み定理).
(8.7) 補足. これにより, C という圏を, C 上の前層の圏 bCに充満忠実に埋め込むことができる。一般にCより bCの方が良い性質を持つので, C における問題を bCの中で考えることにより, 問題が解決できることがある。Grothendieck はこの考え方を強力に推し進めることで, コホモロジー理論を発展させた。


https://p-adic.github.io/categorical-error/
p進大好きサークル
本当は怖い圏論
2025/08/02

https://www.weblio.jp/content/%E5%88%B0%E9%81%94%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%9F%BA%E6%95%B0%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E7%9C%9F%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AD%98%E5%9C%A8%E6%80%A7
weblio
ウィキペディア小見出し辞書
到達不能基数による真クラスの存在性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/19 15:42 UTC 版)
「到達不能基数」の記事における「到達不能基数による真クラスの存在性」の解説
興味を深い述語を満たす基数によるの真クラスの存在を主張する集合論の重要な公理がいくつも存在する。到達不能基数に関して対応する公理は、全ての基数 μ に対してそれより真に大きい到達不能基数 κ が存在すると主張するものである。従って、この公理は到達不能基数による無限のタワーが存在することを保証する(この公理はしばしば到達不能基数公理と呼ばれる)。到達不能基数の存在性と同様に、この公理はZFCの下では証明できない。ZFCの下で、到達不能基数公理はグロタンディークとヴェルディエールのuniverse axiom: 任意の集合 x に対して、x ∈ {\displaystyle ∈ } U となるグロタンディーク宇宙 U が存在する。と同値である。ZFCの公理に universe axiom (または同値な到達不能基数公理)を付け加えたものはZFCUと表される (これは ZFC に urelements を付け加えたものと混同しないように注意)。この公理系は、例えば全ての圏は適切な米田埋め込み(en:Yoneda embedding)を持つということを証明するのに役立つ。 これは巨大基数公理より相対的に弱い。これは次の節の言葉で言うところの∞ が 1-到達不能であると言っていることに等しいからである。ここで ∞ は V に属さない最小の順序数、すなわち対象のモデルの全ての順序数によるクラスである。
※この「到達不能基数による真クラスの存在性」の解説は、「到達不能基数」の解説の一部です。
「到達不能基数による真クラスの存在性」を含む「到達不能基数」の記事については、「到達不能基数」の概要を参照ください。

つづく

つづき

https://m-hiyama.ｈａtenablog.com/entry/20180406/1522992414
あなたはこの公理を信じますか
檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2018/04/06 — ここから先のVは、ZFC+UまたはZFC+MUの宇宙とします。つまり、V内にグロタンディーク宇宙Uを取れます。通常の構成や議論はUのなかで行います。必要があれ ...

https://oroshi.me/2022/12/presheaf_is_topos
ガットですりおろされたい大根のブログ
前層の圏がトポスであることの証明
oroshi.me
2022/12/01 — が成り立ちます (証明は別記事「米田埋め込みは連続である」)。 D o ... グロタンディーク宇宙とは集合論の操作で閉じた集合のことである 70件の ...
(引用終り)
以上

>>259
>V内にグロタンディーク宇宙Uを取れます
をコピペしたってことは V⊂U が間違いであることを認めたってこと？

>>260
>>V内にグロタンディーク宇宙Uを取れます
>をコピペしたってことは V⊂U が間違いであることを認めたってこと？

それ つまみ食い
下記だね
https://m-hiyama.ｈａtenablog.com/entry/20180406/1522992414
ここは楽園か
ここから先のVは、ZFC+UまたはZFC+MUの宇宙とします。つまり、V内にグロタンディーク宇宙Uを取れます。通常の構成や議論はUのなかで行います。必要があれば、Uの外に出て、Uを外からいじってもかまいません。
(引用終り)

繰返す
『ここから先のVは』
『ZFC+UまたはZFC+MUの宇宙とします』

明らかに
『ここから先のVは』
ZFCだけの（つまりUの存在しない） ノイマン宇宙Vではない！！

さて 中高生も来るので ついでに V⊂U を略証しよう
　>>242 非保存拡大を使うよ
　>>237 TGは、ZFCの非保存拡大
　”ZFCで作ることのできる集合はすべて TGで作れ かつ ZFCで作ることのできない集合（到達不能基数κ）もTGで作れる”
を認めるとする
定義：Vは下記ノイマン宇宙（Von Neumann universe）で、 Uは>>237 TGにより作られるグロタンディーク宇宙U とする

命題： V⊂U （⊂は 集合論の記号の濫用）
証明
１）下記 Von Neumann universe V:=⋃αVα である
２）各 Vαは、TGが非保存拡大を認めると グロタンディーク宇宙U内にも存在する
３）これは 全てのVαで言える。 従って V⊂Uである。U内には到達不能基数κが存在し
　一方 V内には定義 V:=⋃αVα より κが存在しない（∵κは αのどれでもない（κはZFCでは証明できない。一方 αはZFCでは証明できる））
QED

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Von Neumann universe
https://thumb.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Von_Neumann_Hierarchy.svg/960px-Von_Neumann_Hierarchy.svg.png
An initial segment of the von Neumann universe. Ordinal multiplication is reversed from our usual convention; see Ordinal arithmetic.
Definition
For any ordinal number β, let Vβ+1 be the power set of Vβ:
Vβ+1:=P(Vβ).
For any limit ordinal λ, let Vλ be the union of all the V-stages so far:
Vλ:=⋃β<λVβ.
The sets Vα are called stages or ranks.
The class V is defined to be the union of all the V-stages:
V:=⋃αVα.

なんだこのめちゃくちゃな証明もどきは
これが証明だと本気で思ってるなら頭逝っちゃってるね

>>262
>なんだこのめちゃくちゃな証明もどきは
>これが証明だと本気で思ってるなら頭逝っちゃってるね

証明以前に おまえの 頭が 逝っちゃってるよｗ
　>>255より あなた ID:Go6119uZの投稿で
”>ノイマン宇宙Vは あくまで 「ZFCから証明可能な集合のみを含む」と限定する
そのVはたかだか可算集合。実際、証明可能な集合はたかだか可算個”
とのたまう

なんだそれは？ 下記
１）無限公理 を認めなければ ZFCから証明可能な集合は 有限で たかだか可算個
２）一方、無限公理 を認めるZFCから証明可能な集合は、たかだか可算個 ではない！

下記 無限公理 独立性 百回音読してねｗ（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
独立性
ZFCが無矛盾であるかぎり、無限公理はほかのZFCの公理からは導けない(ZFCはZFC − Infinityの無矛盾性を導き、ゲーデルの第2不完全性定理に注意せよ)。
無限公理の否定もまた、ZFCが無矛盾であるかぎり、ZFCのほかの公理からは導けない(これは他の公理たちが無矛盾ならば、ZFCも無矛盾であると言うに等しい)。よってZFCは無限公理もその否定も導かず、どちらとでも両立する。
フォン・ノイマン宇宙を使うことでZFC − Infinity + (¬Infinity)のモデルを構成可能である。それは遺伝的有限集合のクラスVωと要素関係は元のままの組である。このシステムに空集合の公理を含まないとすると(ZF+Infinityから導出できるので)、空な構造もまたZFC − Infinity + ¬Infinityを満たす。なぜなら、残りの公理はすべて全称量化されているため、集合が全くないときは明らかに成り立つ。

証明とは何かを勉強すると良い

>>263
>一方、無限公理 を認めるZFCから証明可能な集合は、たかだか可算個 ではない！
一方、証明はたかだか可算個（笑）

集合論は可算モデルを持つ
つまり、集合の全体が可算であるようなモデルが存在する

集合論の可算推移モデルは強制法の土台となる

>>264-267
>>一方、無限公理 を認めるZFCから証明可能な集合は、たかだか可算個 ではない！
>一方、証明はたかだか可算個（笑）

・証明で 無限集合を扱う有限の代表テクニックがある
　一つは数学的帰納法（超限帰納法も）で もう一つは背理法（有限と仮定して矛盾を導く）
・なお、無限公理の”独立性”下記
　『無限公理の否定もまた、ZFCが無矛盾であるかぎり、ZFCのほかの公理からは導けない(これは他の公理たちが無矛盾ならば、ZFCも無矛盾であると言うに等しい)。よってZFCは無限公理もその否定も導かず、どちらとでも両立する。
もちろん、フォン・ノイマン宇宙を使うことでZFC − Infinity + (¬Infinity)のモデルを構成可能である。それは遺伝的有限集合のクラスVωと要素関係は元のままの組である』
　つまり、無限公理がない公理系では ωは集合と認められない
　ゆえに、”遺伝的有限集合のクラスVω”となる（一方 無限公理ありなら Vωはクラスでなく集合になる）
・なお、無限公理の”解釈と帰結”を 百回音読してね （＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
解釈と帰結
この定義より、任意の自然数は、それより前の全ての自然数からなる集合である（数学的帰納法）。各集合の最上位の要素の数はその集合が表す自然数と一致し、もっとも深く入れ子になった空集合の深さとも一致する。
独立性
無限公理の否定もまた、ZFCが無矛盾であるかぎり、ZFCのほかの公理からは導けない(これは他の公理たちが無矛盾ならば、ZFCも無矛盾であると言うに等しい)。よってZFCは無限公理もその否定も導かず、どちらとでも両立する。
フォン・ノイマン宇宙を使うことでZFC − Infinity + (¬Infinity)のモデルを構成可能である。それは遺伝的有限集合のクラスVωと要素関係は元のままの組である。

まったくトンチンカン
なぜ言ったことをせぬ
>証明とは何かを勉強すると良い

彼の人は
小さくすることで門田を回避しようという
グロタンの目的を理解してませんね

>>269-270
ふっ
下記 ”いかろちゃん”
いいね 百回音読してねｗ（＾＾

https://zenn.dev/ikaro1192/books/b1e473a060e258
zenn 数学で読み解くHaskell——入門編 無料で読める本
いかろちゃん
博士（理学）。某社でインフラエンジニアやってます。2026.04.29に更新
https://zenn.dev/ikaro1192/books/b1e473a060e258/viewer/appendix_b_set
Chapter 19
付録B：集合論の補足——ZFC・NBG・Grothendieck宇宙

本付録は、本書を読むうえでの前提知識ではない。第3章の補足「『型＝集合』の限界と圏論への橋渡し」、第9章の本文と補足「『対象の集まり』は集合とは限らない」などで、ZFC公理系・クラス・Russellのパラドックスといった用語が断片的に顔を出す。それらが気になった読者のために、集合論の公理的な扱いをまとめて解説する場としてこの付録を置いた。

本付録の構成は次の通りである。B.1 で素朴集合論の限界を Russellのパラドックスで確認し、B.2 で本書全体が暗黙に依拠する ZFC公理系 を一覧する。B.3 では本書本文で参照される公理だけを取り出して整理する。続く B.4 と B.5 は ZFC の枠組みでは扱いにくい「集合より大きな総体」をどう扱うかという問題に対する、二つの本格的な処方箋——NBG公理系 と Grothendieck宇宙——を紹介する。最後に B.6 で本書の立ち位置を明示する。

B.1 素朴集合論の限界

B.2 ZFC公理系の一覧

B.4 NBG公理系とクラス
ZFCにおけるクラスの位置付け
ZFCの言語には集合しか登場しない。その上で「すべての集合のクラス V」「順序数のクラス
Ord」と言うときの「クラス」は、論理式を略記するためのメタな概念にすぎない。たとえば「順序数のクラス」とは、論理式 Ord(x)（x は順序数である）の略記であって、ZFCの一階の対象ではない。
圏論で「圏 Set の対象全体は集合をなさない、クラスである」と述べるとき、ZFCの内側ではこの「クラス」を直接の量化対象にできない。

NBGの言語と固有クラス
NBGはこの不便を解消する。NBGの言語は二種類の対象——集合（set）とクラス（class）——を区別し、両者を一階の対象として扱う。クラスは集合を要素として含むことはあるが、自分自身が他のクラスの要素にはなれない。すなわち、すべての集合はクラスでもあるが、その逆は成り立たない。あるクラスのうち、いかなるクラスの要素にもならないもの——つまり集合ではないクラス——を固有クラス（proper class）と呼ぶ。「すべての集合のクラス」「すべての順序数のクラス」「圏 Set
の対象のクラス」はいずれも固有クラスの典型例である。固有クラスを集合の要素にしないという制約こそが、Russellのパラドックスを防ぐ仕掛けである。

ZFCとの関係：保存拡大
NBGはZFCの保存拡大（conservative extension）として知られている。すなわち、集合のみに関する命題に限れば、NBGで証明できる命題はZFCでも証明できる。両者は集合論の通常の数学的内容について同等の力を持ち、NBGはZFCに「クラスを一階で語る語彙」を加えた体系と見ればよい。

つづく

つづき

なお、クラスの内包公理から述語性の制約を外し、クラス変数による量化を含む論理式まで認めて強化した体系を MK公理系（Morse–Kelley set theory）と呼ぶ。MKはNBGより真に強く、もはやZFCの保存拡大ではない。

圏論との接続
NBGの言語があれば、第9章で導入した圏の定義「対象の集まりはクラスでよい」を素直に厳密化できる。圏
C の対象の集まり Ob(C)
をクラスとし、各 Hom C​ (A,B)
は集合とする、という定義を採用すればよい。第9章で触れた用語法——
Ob(C) が集合をなすときの小さな圏、各 Hom が集合をなすときの局所小圏——も、NBGの語彙とそのまま整合する。

B.5 Grothendieck宇宙
NBGは集合論の言語を「集合とクラス」に二層化することでサイズの問題を扱った。これとは別の方針として、ZFCの内側に巨大な集合を仮定して階層を扱う アプローチがある。それが Grothendieck宇宙（Grothendieck universe）である。圏論を体系的に整備したGrothendieckが、代数幾何で必要となる階層を ZFC の枠内で扱うために導入した。
定義
集合 U が Grothendieck宇宙 であるとは、次の4条件を満たすことをいう。
略
直観的には、Grothendieck宇宙とは「ZFCの基本的な集合操作で閉じた、それ自身がZFCのモデルのように振る舞うほど大きな集合」である。U の中だけで集合論を展開すれば、ZFCの公理をすべて満たす小宇宙が立ち上がる。
U-smallの語彙と圏のサイズ
Grothendieck宇宙 U
を一つ固定すると、集合のサイズについて次の語彙が使える。
略

「圏 Set」も、厳密にはこの語彙のもとで「U-small な集合と写像のなす圏 SetU」として定義する。
Set U​ それ自身は U-small ではないが、より大きな宇宙 V⊃U をとれば
V-small な圏として扱える。必要なら V⊂W⊂⋯ と宇宙の塔を伸ばし、いくらでも上の階層を語れる。

つづく

つづき

公理としての強さ
Grothendieck宇宙の存在はZFCから証明できない。
U がGrothendieck宇宙ならば U それ自身がZFCのモデルになるため、Gödelの第二不完全性定理から「ZFCは自身の一致性を証明できない」ことに反するからである。実際には、Grothendieck宇宙の存在は 強到達不能基数（strongly inaccessible cardinal）の存在と同値であり、ZFCに新たな大きな基数公理を追加するに等しい。

NBGとの比較
NBGとGrothendieck宇宙はどちらも「圏
Set の対象全体」のような大きな総体を扱うための処方箋だが、方針が異なる。NBGはZFCの言語を一段だけ拡張してクラスを導入し、ZFCの保存拡大として通常の数学的内容を変えない。一方Grothendieck宇宙は、言語はZFCのままで存在公理のみを強める。代わりに
U⊂V⊂W⊂⋯
と宇宙の塔をいくらでも伸ばせるため、「圏の圏」「圏の圏の圏」のように階層を任意に上に伸ばす議論を素直に展開できる。代数幾何のように圏論的階層を多用する分野では、Grothendieck宇宙のほうが好まれる傾向にある。

B.6 本書の立ち位置
本書では、集合論そのものを主題にはせず、ZFCを陰に仮定する立場をとる。本文では「集合＝ものの集まり」という直観のまま読み進められるよう配慮した上で、必要な箇所でZFC由来の用語（分出公理・正則性公理・クラス）をコラムとして補足する構成となっている。本付録はそれら散在する言及の参照先として用意したものである。

第9章以降で圏 Set
の対象の集まりや圏 Hask
の対象の集まりに言及する場面では、「クラス」という語をNBG的直観で用いる。すなわち「集合より広い総体で、固有クラスは他のクラスの要素にはならない」という大筋だけを念頭に置けば十分であり、Grothendieck宇宙の枠組みには本書では立ち入らない。読者が圏論をさらに深く学ぶ際にはGrothendieck宇宙が再度顔を出すであろうが、本書の射程ではNBG的な「集合とクラスの二層構造」を直観として持っておけば、本文の議論を追ううえで支障はない。
(引用終り)
以上

>>271
何回音読しても V⊂U なんて書かれてませんが？
当然です。どのUもVのいずれかの階層ですから

>>273
>U⊂V⊂W⊂⋯と宇宙の塔をいくらでも伸ばせるため、「圏の圏」「圏の圏の圏」のように階層を任意に上に伸ばす議論を素直に展開できる。
ここで言われている U⊂V⊂W⊂⋯ とは、最小の強到達不能基数をκ0、次に大きいものをκ1、次に大きいものをκ2とした時の Vκ0⊂Vκ1⊂Vκ2⊂⋯ のこと。
Vという記号を使ってるから紛らわしいがノイマン宇宙そのものではなくその一つの階層を表している。
そしてノイマン宇宙はすべての階層の総和。つまり>>274の通りであって、君の持論 V⊂U は大間違い。
君、わざわざ自分の持論を否定するコピペしてどうしたの？間違いを認めたってことかい？

>>1
>倒錯人がいる
それが君

>>276
ですね

彼の人は自分で引用した文章を読んで理解しておらず
妄想に囚われて他人を誹謗するだけの人物です

>>243 補足

(google検索)
large cardinal "0=1"
＜AI＞
集合論における「0 = 1」が巨大基数（ラージカーディナル）の階層図やリストで最上位（または最も強い無矛盾性を持つものとして）に置かれるのは、爆発原理（矛盾からは任意の命題が導かれるという論理の性質）により、ZFC公理系に「0 = 1」を加えると理論全体が矛盾（崩壊）するためです。

「0 = 1」が最上位に置かれる理由
• 矛盾の最強性: 「0 = 1」が成り立つ（真である）と仮定した公理系は完全な矛盾（すべてが証明可能になる状態）となります。

• 階層図上の位置づけ: 巨大基数の無矛盾性強度の階層（「Landscape of Large Cardinals」などの図や巨大基数的性質の一覧）では、最も強い（あるいは証明論的に強すぎて存在し得ないとされる）ラインの一つの象徴として最上部に「0 = 1」やラインフォード基数（Reinhardt cardinalなど矛盾が指摘された概念）が配置されることがあります。

• 皮肉・ジョークとしての側面: 実際には基数（濃度）ではなく、論理的な破綻（インシスト）を表していますが、順序づけのジョークや極限のメタファーとしてリストのトップに記載されます。

もし特定の巨大基数階層図（ラインフォード基数や真のクラスなど）についてさらに詳しく知りたい場合は、どの部分を掘り下げたいか教えてください。

(参考)
https://arxiv.org/html/2205.01787v1
License: CC BY 4.0
arXiv:2205.01787v1 [math.LO] 03 May 2022
The Landscape of Large Cardinals
Rohan Srivastava
Date: Submitted August 31, 2021 as part of the Freiwald Scholars Summer REU Program at Washington University in St. Louis. Revised: September 27, 2021, February 12, 2022, April 25, 20

そんな無駄コピペするより勉強しなよ
君、よっぽど勉強が嫌いなんだね

>>280
彼の人は数学を全く学べてないようです

彼の人にとっては
0=1の宇宙(そこからその存在が証明できる全ての集合の集まりというのが彼の人の定義)は
とてつもなく大きいのでしょう

(ですね)人に送る
下記を百回音読するように！（＾＾

(google検索)
到達不能基数と通常の基数との関係の図解は？
＜AI＞
到達不能基数（特に強到達不能基数）と通常の基数（有限基数や可算・非可算基数）の関係は、「下位の基数からどのように演算を繰り返しても、絶対に届かない圧倒的な境界線」として図解できます。
通常のZFC集合論の枠組みでは、到達不能基数の存在を証明することも否定することもできません（存在が独立している）。そのため、標準的な基数の「雲の上の世界」に位置する存在として描かれます。
この階層的な位置関係を可視化した概念図を以下に示します。

https://i.imgur.com/YJrVWjt.png
基数の階層構造と到達不能基数の位置
Inaccessible Cardinals & ZFC Hierarchy
Conceptual set-theoretic transcendence model

https://i.imgur.com/GieTbJY.png
通常の基数と「到達不能基数」を分ける2つの壁
到達不能基数は、通常の基数から以下の2つの数学的アプローチ（演算）を行っても絶対に到達できない（超えられない）サイズとして定義されています。

視覚的なイメージ：数の世界の「宇宙（モデル）」
数学的には、最初の到達不能基数を κ としたとき、それより小さい集合をすべて集めた世界 V_κは、それ自体が「ZFC集合論のすべての公理を満たす完璧なミニ宇宙」になります。

・通常の基数：ℵ0（自然数全体の濃度）や ℵ1（実数の一部の濃度）などは、このミニ宇宙 V_κ の内部に収まるパーツに過ぎません。
・到達不能基数：通常の基数たちからは、どれだけ「パーツを組み合わせる（和集合）」や「次元を増やす（冪集合）」を行っても、この宇宙の壁κを突破して外に出ることはできません。これが「到達不能（Inaccessible）」と呼ばれる理由です。

さらに上の世界（可測基数など）や、この境界線が集合論に与える影響について、さらに詳しく知りたい部分はありますか？

https://www.math.mi.i.nagoya-u.ac.jp/~kihara/pdf/teach/Martin-conjecture.pdf
集中講義「マーティン予想」
木原貴行名古屋大学情報学部・情報学研究科 最終更新日: 2018年12月29日

(参考)（＾＾
https://konn-san.com/math/
石井大海†
数学関係をまとめておくばしょ konn-san.com
https://konn-san.com/math/freshman-2016-resume.pdf
集合論への招待*
〜実数直線の集合論〜
石井大海† Saturday 4th June, 2016
† 筑波大学数理物質科学研究科数学専攻博士後期課程1年
P13
巨大基数と呼ばれる，ZFCからは存在を証明出来ない非常に大きな無限について分析していくことで，連続体濃度0の大きさを決定出来る筈だ，と提唱しました．これはGödelのプログラムと呼ばれています．そういったものの中で最弱のものが到達不能基数です：

（「ミニ宇宙」）

Vκ⊂V=∪[α∈ON]Vα
VもVκもZFCのモデルだからVκは「ミニ宇宙」と称される
またしても自爆コピペをかます瀬田爺

むかしガロアスレかなんかでやってた正規部分群の話のときも{{{...}}}のときも一緒。
永遠にこいつにはわからない。わからせようとすること自体無駄
理解できるのに必要最低限の知能をもってない

みんなか長文コピペに触れないのは明らかにおかしすぎるからだよ
周りが証明するまでもない

はたから見ると
明らかに頭おかしい人とその人を説得しようと頑張ってる人の構図に見える

一般人はだいたい文章読解力が低い
例えば正規部分群の定義を見て、それが只の部分群と何が違うか、が理解できない
そして、そのことが、体の拡大にどう関係するか、が理解できない
巡回群とべき根拡大の関係、そしてそのことを示すのにラグランジュ分解式をどう用いるか、が理解できない
そして、可解群の定義を見て、それがべき根による解の表示とどう関係するか、が理解できない
要するに理屈が理解できない　ただ知識を有難がるだけ　権威に盲従するだけ

>>289
後半は違うかな