>>357
薄葉バクダン２発目

https://tenasaku.com/LWS-2/Usuba_202312logic_winter_02_rev.pdf
巨大基数と高次の論理2/4
薄葉季路 早稲田大 2023
Ｐ2
巨大基数と高次の論理(薄葉季路)巨大基数は、可算無限基数がもつ様々な性質を一般化することで得られてきた。可算無限基数は「一階述語論理のコンパクト性が成り立つ最小の基数」という性質を持つが、古典的な巨大基数の一つ、強コンパクト基数は「無限論理」のコンパクト性をもとにして定義されており、他にも「高階論理」のコンパクト性などにも対応する巨大基数が存在する。また、高階論理、無限論理などに対する、ある種のレーヴェンハイム・スコーレム性と巨大基数との対応なども盛んに研究されてきた。こういった一階述語論理を超える「高次の論理」と巨大基数との関係について紹介する
第一回目: 準備,到達不能基数
第二回目: 無限論理とコンパクト基数
略

Ｐ8
以下は一階述語論理では特徴づけ不可能だが,適当なLω1,ω-理論で特徴づけ可能:
1 torsion abelian groups;
2 finitely generated groups;
3 non-finitely generated groups;
4 linear orders isomorphic to (Z;<);
5 archimedian field;
6 connected graphs;
7 recursively saturated models of PA;
8 ω-models of ZFC (i.e., models of ZFC where the integers are standard);

Ｐ9
Theorem (コンパクト性定理)
T をLω,ω の理論とする. もしT の任意の有限部分理論がモデルを持てば, T はモデルを持つ.一般にinfinitary logic においてはコンパクト性定理は成り立たない.

P13
Questionでは, inaccessible は weakly compact になるか?
Answerならない. Weakly compactはinaccessibleよりずっと大きい.
Theorem
κがweakly compactならば, {α<κ∣αはinaccessible}はκでcofinal. 特に, weakly compact cardinal κ はκ番目のinaccessible cardinal である.

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Cofinality
Cofinality 共終性
(抜粋)
(google訳)
特に順序理論では、半順序集合Aの共終性cf( A ) は、Aの共終部分集合の濃度の最小値である。形式的には、
cf（A）=inf{|B|:B⊆A、（∀x∈A）（∃y∈B）（x≤y）}
この共終性の定義は選択公理に依拠しており、空でない基数集合には最小要素が存在するという事実を利用しています。半順序集合Aの共終性は、 xからAへの関数が存在し、その共終像が となるような最小の順序数 xとして定義することもできます。この 2 番目の定義は選択公理がなくても意味を成します。この記事の残りの部分で想定するように選択公理を仮定すると、2 つの定義は同等になります
共終結性は、有向集合に対しても同様に定義でき、ネットにおける部分列の概念を一般化するために使用されます
例
・最大要素を持つ部分順序集合の共終性は1 です
・特に、ゼロでない任意の有限順序数、あるいは任意の有限有向集合の共終数は1である
・A subset of the natural numbers N is cofinal in N if and only if it is infinite, and therefore the cofinality of ℵ0 is ℵ0.
Thus ℵ0 is a regular cardinal.