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巨大数研究 Wiki
宇宙 (数学)
数学において宇宙 (universe) とは議論領域を指す言葉であり、しばしば特定の集合ないしより巨大な構成物を指す。
Wikipedia:ja:宇宙 (数学)、Wikipedia:Universe (mathematics)なども参照。
一般名詞としての宇宙、および宇宙論に関する話題は宇宙論の巨大数を参照。

目次
1 「すべての集合」の集まり
1.1 グロタンディーク宇宙
1.2 真クラスとNBG集合論
1.3 真クラスとフェファーマンの'"`UNIQ--postMath-00000043-QINU`"'
2 集合論における宇宙
2.1 フォン・ノイマン宇宙
2.2 構成可能宇宙
3 脚注
4 参考文献

グロタンディーク宇宙
集合論においては、『すべての集合の集合』を筆頭として『(ある性質)を持つ集合すべての集合』を考えることはできない。これらの"集合"は、ラッセルのパラドックス、カリーのパラドックス、その他多数の類似のパラドックスを引き起こすためである。しかし、議論のために「集合の全体」など、様々なものの全体という概念が必要になることは多い。これを回避する方法のひとつがグロタンディーク宇宙である。

以下の定義はMac Lane[2]に基づいたものである[注 1]。
定義 (グロタンディーク宇宙)
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集合論における宇宙
集合論において宇宙とは、ZFやその他の集合論のモデルを与えるために構成されたものを指すことが多い。
フォン・ノイマン宇宙
フォン・ノイマン宇宙とはZFCで扱うことが出来る全ての集合を漸増的に定義する真クラスである。それは集合ではないが、「全ての集合の集合」とみなすことができる。それは累積階層という、次のように定まる超限列により定義される:
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構成可能宇宙
構成可能宇宙を定義するために、次のような関係を定義する必要がある:
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