到達不能基数・巨大基数研究

到達不能基数で
倒錯人がいる
中高生一貫校生も来るので
スレ立てる
まずは、下記など
以下順次

(google検索)
到達不能基数 モデル pdf
＜AI による概要＞
到達不能基数（inaccessible cardinal）が強到達不能基数である場合、フォン・ノイマン階層の Vκ は ZFC（ツェルメロ＝フレンケル集合論＋選択公理）の集合的モデルになります。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%B0%E9%81%94%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%9F%BA%E6%95%B0

到達不能基数とモデルの基本性質
・強到達不能基数 κ：κ が非可算正則極限基数であり、λ < κ → 2^λ < κ を満たすとき、強到達不能基数と呼びます。
・ZFCのモデル Vκ：κ が強到達不能基数ならば、累積階層の切り口であるVκ は ZFC公理系のモデル（標準モデルの構造）になります。
・無矛盾性の強さ：κ の存在は ZFC 自身からは証明も否定もできず（不完全性定理）、その存在を仮定することは ZFC の無矛盾性を ZFC よりも強い仮定として認めることに相当します。
・弱到達不能基数とLκ：κ が弱到達不能基数の場合、ゲーデルの構成可能集合の累積 Lκ は ZF（選択公理を含まない系）のモデルになります。
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~kota/ishii.pdf Lebesgue 可測性に関するSoloayの定理と実数の集合の正則性1石井大海筑波大学数理物質科学研究科数学専攻博士前期課程二年 2015
関連するオンラインの講義資料やPDFとしては、次のような解説が公開されています。
・公理論的集合論（情報科学特別講義 III）のPDFでは、到達不能基数と Vκ がモデルになる証明の概要が扱われています。
・ゲーデルの L とゼロ・シャープのPDFでは、可測基数や到達不能基数の性質について解説されています。
https://www.scribd.com/document/369587873/%E5%85%AC%E7%90%86%E8%AB%96%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96-%E6%83%85%E5%A0%B1%E7%A7%91%E5%AD%A6%E7%89%B9%E5%88%A5%E8%AC%9B%E7%BE%A9-III
公理論的集合論（情報科学特別講義 III）矢田部俊介 2013 京都大学

さらに詳しく知りたい場合は、以下の中からお知らせください。
•Vκが各公理（置換公理やべき集合公理など）を満たすことの証明の細部
・グロタンディーク宇宙（Grothendieck universe）との関連

(参考)
https://tenasaku.com/academia/
https://tenasaku.com/academia/notes/advent-20191204.pdf
ゲーデルのLとゼロ・シャープジタさん(fujitapiroc1964@twitter) 2019 年12月4日

>>445
＞各stage Vα は、ZFCで構成可能（＝証明可能）な集合である

第一の嘘　◆yH25M02vWFhPの勝手な妄想

各αがZFCから証明可能でなければならない、ということはない

＞到達不能基数κの公理は、このZFCの限界を広げるための公理よ
＞つまり、ZFC内のいかなるαより大の基数κ（即ちα＜κ かつ 2^α＜κ）を考える
＞κは基数だから ノイマン宇宙の定義を借用して Vk ⊇ ⋃α Vα.

第二の嘘　◆yH25M02vWFhPの勝手な妄想

「いかなる（順序数）α」である必要はない　典型的な素人の誤読

誤　Vk ⊇ ⋃α Vα.
正　Vk ⊇ ⋃(α<κ) Vα.

κは順序数だから、いかなる順序数よりも大きいとすると矛盾

残念でした　大学１年前期で落第

>即ち、ZFCのクラスであるノイマン宇宙Vの各ステージ Vαの全てを Vkは包含する
>到達不能基数κの公理は、そういうことを想定した公理だってこと

第三の嘘　◆yH25M02vWFhPの勝手な妄想

正確にいえば最小の到達不能基数κに関するVκをZFCのモデルとすることができ
その場合Vκのなかにはκより小さい基数しかないから、到達不能基数がない

到達不能基数は、単にZFCのモデルとなる集合を認めれば
そこで、通常ならクラスとなる大きい圏を、
クラスではなく集合として扱えるというだけのこと

>>445
>１）数学の初歩の初歩は、定義の確認。定義の確認を怠っては 全ての議論が上滑りだよｗ（＾＾
そっくりお返しします。
ノイマン宇宙の定義に
>各stage Vα は、ZFCで構成可能（＝証明可能）な集合である
などという条件は無い。実際、例えば強到達不能基数κの階層VκはZFCで構成不可能。
定義を確認して下さいね。

>３）ところで、全stage Vαを集めた V:=⋃α Vαは ZFCでは 集合とは出来ない（クラス）
大間違い。
いかなるZFCの拡大理論でもVは真クラス。
整礎集合全体のクラスVが仮に集合なら整礎集合2^Vが存在し2^V⊂Vであるはずだがカントールの定理と矛盾。

>このクラスVの存在 は ZFCでは証明できない。∵ ZFCはクラスを扱えないから
大間違い。
クラスを扱えるNBGからも存在証明できない。
仮にZFCのモデルであるVがZFCの保存拡大であるNBGから存在証明可能なら、
ZFCが矛盾している or 完全性定理が間違っている or 不完全性定理が間違っている
の少なくともひとつが言えてしまう。
初歩から分かってない。

以上より必然的に
>　κは基数だから ノイマン宇宙の定義を借用して Vk ⊇ ⋃α Vα.
>　即ち、ZFCではクラスのノイマン宇宙Vの各ステージ Vαの全てを Vkは包含する
>　到達不能基数κの公理は、そういうことを想定した公理だってこと■
も大間違い。

てか君、何回同じこと言わせるの？日本語読めないの？じゃあ小学校の国語からやり直して下さい。数学？小学校の国語が分からない人には到底無理です。

（彼の人はドンドンおかしくなりつつありますね）

（おそらく自分が嘘を吐いていることを自覚しているのでしょう）

テンプレ入りですね
>で、各stage Vα は、ZFCで構成可能（＝証明可能）な集合である
やはり彼の人はV=Lの信奉者でした

これはヒドイｗ
>つまり、ZFC内のいかなるαより大の基数κ（即ちα＜κ かつ 2^α＜κ）を考える
>　κは基数だから ノイマン宇宙の定義を借用して Vk ⊇ ⋃α Vα.

>>446-447
>＞各stage Vα は、ZFCで構成可能（＝証明可能）な集合である
>第一の嘘　◆yH25M02vWFhPの勝手な妄想
>各αがZFCから証明可能でなければならない、ということはない

ふっ
公理的集合論においては、使う公理を決めるものだ
つまり、ゲームのルールを決める
ZFC公理系の話ですよ ノイマン宇宙は
だから、ノイマン宇宙のαは、ZFC公理系で証明できるαに限られるべし
勝手に、公理にない到達不能基数κを導入することは許されませんよｗ（＾＾

後はゴミ

>>447
(引用開始)
>１）数学の初歩の初歩は、定義の確認。定義の確認を怠っては 全ての議論が上滑りだよｗ（＾＾
そっくりお返しします。
ノイマン宇宙の定義に
>各stage Vα は、ZFCで構成可能（＝証明可能）な集合である
などという条件は無い。実際、例えば強到達不能基数κの階層VκはZFCで構成不可能。
定義を確認して下さいね。
(引用終り)

イミフ
何を主張しているか 全く意味不明
下記 ”Von Neumann universe Definition”を 百回音読しよう
ポイント抜粋
・V:=⋃α Vα. ”The class V is defined to be the union of all the V-stages”
　但し、”The class V”なので class V自身は、ZFCの外だ。∵ZFC公理はクラスは扱えない
・V0:=∅、 any ordinal number βVβ+1:=P(Vβ)、any limit ordinal λ Vλ:=⋃β<λ Vβ・・・
　これを限りなく続ける。超限回。そして それら超限回の全ての集合和が ノイマン宇宙Vの定義■

後はゴミだから、流すよ（＾＾

(参考) >>445より再録
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Von Neumann universe
Definition
The cumulative hierarchy is a collection of sets Vα indexed by the class of ordinal numbers; in particular, Vα is the set of all sets having ranks less than α. Thus there is one set Vα for each ordinal number α. Vα may be defined by transfinite recursion as follows:
・Let V0 be the empty set:
V0:=∅.
・For any ordinal number β, let Vβ+1 be the power set of Vβ:
Vβ+1:=P(Vβ).
・For any limit ordinal λ, let Vλ be the union of all the V-stages so far:
Vλ:=⋃β<λ Vβ.
A crucial fact about this definition is that there is a single formula φ(α,x) in the language of ZFC that states "(α is an ordinal and) the set x is in Vα".
The sets Vα are called stages or ranks.
The class V is defined to be the union of all the V-stages:
V:=⋃α Vα.
(引用終り)
以上

>>452
>ZFC公理系の話ですよ ノイマン宇宙は
>だから、ノイマン宇宙のαは、ZFC公理系で証明できるαに限られるべし
相変わらずモデルを分かってない。全く進歩が無い。
>勝手に、公理にない到達不能基数κを導入することは許されませんよｗ（＾＾
誰も勝手に仮定してない。相変わらずストローマン論法。

>何を主張しているか 全く意味不明
じゃ小学校の国語からやり直し。

>・V:=⋃α Vα. ”The class V is defined to be the union of all the V-stages”
どこにもαはZFCから存在証明可能なんて書かれてない。君の妄想。だから定義を確認しろと言ってるのに、頑なに確認しない。

>>452
＞ノイマン宇宙はZFC公理系の話だから
＞基数αは、ZFC公理系で証明できるものに限られるべし
＞勝手に、公理にない到達不能基数κを導入することは許されませんよ

それ、超準解析とか、完全否定してるけど

無限小実数とか無限大実数は
実数論の公理から存在が証明できないので

>これを限りなく続ける。超限回。
数学において無限回の繰り返しなどというものは存在しない。超限再帰は無限回の繰り返しではなく写像の存在を主張している。根本的に分かってない。

>>455
>それ、超準解析とか、完全否定してるけど
>無限小実数とか無限大実数は
>実数論の公理から存在が証明できないので

すごく混乱している
中高生も来るので 厳しく赤ペンする

１）超準解析は、下記 磯野優介とか見てね
２）これは 下記 超実数（ hyperreal number）で 無限大と無限小を含む
　別に 拡大実数 通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 −∞ の2つを加えた体系（リーマン球面は無限大は一つ 複素数で+も-も同じ）
３）これZFCの中だろ？ しらんけど 磯野優介先生に聞いてみなよｗ（＾＾
　（少なくとも 拡大実数 +∞までは ZFCの中で あとは 無限小を ZFCでどう料理するかだけでしょｗ）
４）”実数論の公理”？ 筆が滑ったか？
　実数論は ZFCの中だから 公理ではなく定理ぞｗ
　これ解らないなら 小学校からやりなおしだな（＾＾

(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H29-isono.pdf
超準解析入門−超実数と無限大の数学
磯野優介∗
京都大学数理解析研究所特定助教
平成29年度(第39回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成29年7月31日〜8月3日
概要
「無限に大きい数」は存在しません．どんな数を持ってきても，それに1を足せば，より大きな数が出来るからです．同様に「無限に小さい数」も存在しません．このような無限数は，数学的に厳密に定義出来ないにもかかわらず，古くから研究に用いられてきました（いわゆる「無限小解析」）．その後19世紀に入り，厳密さを備えたε-δ論法が登場し，無限小解析は歴史から姿を消します．超準解析とは，「無限に大きい，小さい数」を，数学として厳密に定式化し，取り扱う学問です．この枠組みでは，無限数を用いた計算や証明が可能で，現代数学を用いた無限小解析の再現とも言えます．この講義では，そのような無限数を含む「超実数」を構成し，それを用いて解析学の基礎的な定理を実際に証明してみようと思います．

https://researchmap.jp/yisono
磯野 優介
経歴 6
2021年1月 - 現在京都大学, 数理解析研究所 応用数理研究部門, 准教授
2016年10月 - 2020年12月京都大学, 数理解析研究所, 特定助教

つづく

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析
導入
順序体
F の非零元が無限小であるとは、その絶対値が
1/n（n は標準的自然数）の形をした如何なる
F の元よりも小さいことをいう。無限小を持つ順序体は非アルキメデス的であるという。もっと一般に、超準解析は超準モデルと移行原理に基づくあらゆる形態の数学をいう。実数に対して移行原理を満たすような体を超実数体といい、超準実解析学はそういった体を実数の超準モデルとして用いる。
ロビンソン自身のアプローチはそれら実数体の超準モデルに基づく。彼のこの分野に関する古典的・基礎的な本 Non-standard Analysis は1966年に出版され、現在も販売されている。[10]
論理的枠組み
ふたつのアプローチ
超準解析には2つの非常に異なったアプローチがある：ひとつは意味論的あるいはモデル論的アプローチであり、もうひとつは構文論的アプローチ（公理論的アプローチ）である。これらのアプローチはどちらも、解析学以外にも、数論、代数やトポロジーを含む、他の数学の領域に適用される。
ロビンソンによる超準解析の元々の定式化は「意味論的アプローチ」のカテゴリーに分類される。彼が一連の論文で行ったように、これは理論のモデル（とくに飽和モデル）の研究に基づく。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%9F%E6%95%B0
超実数（ hyperreal number）または超準実数（ちょうじゅんじっすう、英: nonstandard real number）は、実数体の拡張として導入される数体系の元であり、無限小や無限大に対応する元を含む。超実数全体はしばしば {}^*R と書かれ、超準解析における基本的な対象である。[1][2]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0
拡大実数（英: extended real number）あるいはより精確にアフィン拡大実数（affinely extended real number）は、通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 −∞ の2つを加えた体系を言う
(引用終り)
以上

>>457
これは酷い

>>456
>>これを限りなく続ける。超限回。
>数学において無限回の繰り返しなどというものは存在しない。超限再帰は無限回の繰り返しではなく写像の存在を主張している。根本的に分かってない。

ふっ
中高生も来るので 厳しく赤ペンする

１）数学者は 数学をZFCの中ではやってない
　数学をZFCの外でやって 「これZFCの中だよね」って 確認するんだよ
　君は そこが 根本的に滑っている
２）例を示す 下記 Von Neumann universe First 5 von Neumann stages の図解があるよ
　"the set V6 contains 2^65536 elements, which very substantially exceeds the number of atoms in the observable universe"
　(集合V6は2^65536個の要素を含んでおり、これは観測可能な宇宙に存在する原子の数を大幅に上回っている)
　分かりますか？ Von Neumann universe 集合V6「これは観測可能な宇宙に存在する原子の数を大幅に上回っている」
　V6は当然序の口で これ以上は具体的に描けないし 描いても無駄だ
３）このステージが ωを越えて ω^2 も越えて ・・ ω^ω（可算）も越えて 非可算の2^ωになって さらにさらに限りなく（超限）つづく
　その外に 到達不能基数κさまが居るって想定なわけ
　到達不能基数κさまは、ZFCの外で ラスボスか神か という存在なわけ
　ZFCとは そういうゲームなんだよ 覚えておいてねｗ（＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Von Neumann universe

Finite and low cardinality stages of the hierarchy
The first five von Neumann stages V0 to V4 may be visualized as follows. (An empty box represents the empty set. A box containing only an empty box represents the set containing only the empty set, and so forth.)
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe#/media/File:Von_Neumann_universe_4.png
First 5 von Neumann stages

This sequence exhibits tetrational growth. The set V5 contains 2^16 = 65536 elements; the set V6 contains 2^65536 elements, which very substantially exceeds the number of atoms in the observable universe;

>>459
＞これは酷い

ふっ
お前がなｗｗ（＾＾

(google検索)
what is relationship between Nonstandard Analysis and ZFC
＜AI概要＞
Nonstandard analysis does not require any new axioms beyond ZFC (Zermelo-Fraenkel set theory with the Axiom of Choice).
The primary relationships between standard Nonstandard Analysis (NSA) and ZFC include:

1. ZFC is Sufficient for Construction
• Ultrapower & Superstructure Approaches: Abraham Robinson’s original formulation and Wilhelmus Luxemburg’s ultrapower construction of the hyperreal field (\(\mathbb{R}^{*}\)) are carried out entirely within ZFC (relying on the Axiom of Choice to build ultrafilters). No extra set-theoretic axioms are needed to define nonstandard models.
• You can read more about foundational perspectives on the Wikipedia Nonstandard Analysis page.

2. Conservativity over ZFC
• Conservative Extension: Standard nonstandard analysis is a conservative extension of ZFC (or standard real analysis). This means any theorem without nonstandard concepts (any standard theorem) that can be proved using NSA can also be proved using standard ZFC alone. NSA is a powerful proof technique rather than a tool that changes the range of true standard mathematical results.
• Discussions on this foundational relationship can be explored further on Math.StackExchange.

3. Axiomatic Variants (Internal Set Theory)
• Internal Set Theory (IST): Developed by Edward Nelson, IST takes a different route by adding a new primitive predicate st ("standard") directly to the language of ZFC, accompanied by three extra axioms: Idealisation, Standardisation, and Transfer.
• Even in Nelson's IST, the system is a conservative extension of ZFC: any standard statement provable in IST is already provable in ZFC.

Would you like to explore:
・How the transfer principle works inside ZFC models?
・The difference between the ultrapower construction and axiomatic approaches like IST?

>>459
ですね

＞（超準解析は）これZFCの中だろ？ しらんけど
＞実数論は ZFCの中だから 公理ではなく定理ぞ

また、口からデマカセ

◆yH25M02vWFhP君は、数学板の高市早苗？

＞数学者は 数学をZFCの中ではやってない
＞数学をZFCの外でやって
＞「これZFCの中だよね」って 確認するんだよ

また、口からデマカセ

◆yH25M02vWFhP君は、数学板の高市早苗？

ふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっ
ふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっ
ふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっ
ふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっ
ふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっ
ふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっ
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ふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっ
ふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっ
ふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっ
ふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっ
ふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっ
ふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっ
ふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっ
ふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっふっ

>>460
これは酷い

>>457
>実数論は ZFCの中だから 公理ではなく定理ぞｗ
実数論はZFCとは異なる理論で、実数全体の集合が完備順序体であることを主張している。
一方超実数体は完備でない。実際有限元全体の集合は空でないが上限を持たない。仮に上限xを持つならxは無限大でなければならず、x/2も上界だから矛盾。

実数はZFで、超実数がZFCでモデルを構成できる。
有理コーシー列全体の集合X上の二項関係〜を a〜b⇔lim[n→∞](a-b)=0 で定義すれば〜は同値関係。X/〜上の加法、乗法、順序、極限を適当に定義したものが実数体Rのモデル。
選択公理を仮定すればN上の自由超フィルタUが存在し、R^N上の二項関係〜を a〜b⇔{n∈N|an=bn}∈U で定義すれば〜は同値関係。(R^N)/〜上の加法、乗法、順序を適当に定義したものが超実数体R*のモデル。
その意味で実数論・超実数論と集合論は関連があるが、実数論・超実数論は必ずしも集合論を必要としていない。つまり集合論の拡大理論ではない。

>>459
>>>457
>これは酷い
確かに
特に
>４）”実数論の公理”？ 筆が滑ったか？
>　実数論は ZFCの中だから 公理ではなく定理ぞｗ
は大学一年生なら絶対に言わない酷さ

>>466
ホントニ

>>469
タシカニ

>その意味で実数論・超実数論と集合論は関連があるが、実数論・超実数論は必ずしも集合論を必要としていない。つまり集合論の拡大理論ではない。
まったく同じことがペアノ算術についても言える。
集合論が現代数学の大黒柱と言われるのは、数学のほとんどの理論を集合論上でエミュレートできてしまうほど強力な表現力を持つから。

瀬田爺は教養課程レベル（線形代数、実数論、集合論）がまるで分ってないね。
大学1年4月に習う実数の公理がまるで分かってないってことは大学に行ったことが無いのでは？
ノイマン宇宙？到達不能基数？そりゃ無理ですわ。

>>466-473
>>実数論は ZFCの中だから 公理ではなく定理ぞｗ
>実数論はZFCとは異なる理論で、実数全体の集合が完備順序体であることを主張している。

ふっ 分ってないね
１）ZFC公理系においては 追加公理なしで 実数論が展開できる
　デデキントやカントールがやったような 実数論が展開できる
　逆に言えば もし 実数論が展開できないなら ZFCに追加公理が必要てことだが
　この話は 逆数学と言われる（逆数学の結果は下記な）
２）ZF+Cになったのがそれで ZFでは不足だが フルパワー選択公理Cでなく 従属選択公理で実数論は展開できる（下記）

>>その意味で実数論・超実数論と集合論は関連があるが、実数論・超実数論は必ずしも集合論を必要としていない。つまり集合論の拡大理論ではない。
>まったく同じことがペアノ算術についても言える。
>集合論が現代数学の大黒柱と言われるのは、数学のほとんどの理論を集合論上でエミュレートできてしまうほど強力な表現力を持つから。

その通り
ZFCで、殆どの現代数学は展開できることが分っている（下記）
できないのが 圏論で グロタンディク宇宙を使う ここに 到達不能基数κが登場する（＾＾

あとはゴミだから流すねｗ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理
従属選択公理(英語: axiom of dependent choice; DCと略される)とは、選択公理(AC)の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である。これはパウル・ベルナイスによって1942年の、解析学を実行するのに必要な集合論的公理を検討する逆数学の論文で導入された。[a]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E6%95%B0%E5%AD%A6
逆数学（ぎゃくすうがく）とは、数学の定理の証明に必要な公理を決定しようとする数理論理学のプログラムである

（通常の圏論はクラスを使って定義してるんだけどね）

（実数の定義と連続性（単調増加で上に有界なら極限を持つ）はACなしのZFで十分だったと思うけどね）

>>460
>２）例を示す 下記 Von Neumann universe First 5 von Neumann stages の図解があるよ
>　"the set V6 contains 2^65536 elements, which very substantially exceeds the number of atoms in the observable universe"
>　(集合V6は2^65536個の要素を含んでおり、これは観測可能な宇宙に存在する原子の数を大幅に上回っている)
>　分かりますか？ Von Neumann universe 集合V6「これは観測可能な宇宙に存在する原子の数を大幅に上回っている」
>　V6は当然序の口で これ以上は具体的に描けないし 描いても無駄だ
何の例を示したつもりになってるのか知らんが、まったくトンチンカン。

>３）このステージが ωを越えて ω^2 も越えて ・・ ω^ω（可算）も越えて 非可算の2^ωになって さらにさらに限りなく（超限）つづく
仮に最大の順序数χが存在するならそれより大きい順序数χ∪{χ}が存在し矛盾。
最大の順序数が存在しない以上限りなく続くのは当たり前。サルでも分かる。

>　その外に 到達不能基数κさまが居るって想定なわけ
大嘘。
到達不能基数κが存在するならκは基数であり基数は順序数であるから「その中」に居る。
君の主張は「到達不能基数は基数でない」という矛盾した主張に他ならない。サルでも分かる。

>　到達不能基数κさまは、ZFCの外で
仮に到達不能基数がZFCから存在証明可能なら
ZFCが矛盾している or 完全性定理が間違っている or 不完全性定理が間違っている
の少なくともひとつが成立してしまう。よって仮にZFCが矛盾していないならZFCから存在証明不可能。
数理論理学の初歩。

>ラスボスか神か という存在なわけ
ZFCとの対比でラスボスだ神だと言うなら巨大基数がそれに当たる。到達不能基数は巨大基数の中では最底辺。

>　ZFCとは そういうゲームなんだよ 覚えておいてねｗ（＾＾
集合論も数理論理学も初歩から分かってない君は持論を語るなかれ

結局「数学において無限回の繰り返しなるものは存在しない」に対する何の反論にもなっていない。
超限再帰は無限回の繰り返しではなく写像の存在を主張している。

>>474
>ふっ 分ってないね
と、初歩から分かってない君に言われても

>１）ZFC公理系においては 追加公理なしで 実数論が展開できる
>　デデキントやカントールがやったような 実数論が展開できる
そもそも実数論はひとつの完結した理論であって、実数論の展開（実数の公理からいかなる定理を導出できるかを論ずること）に集合論は不要。
実数論に限らず群論でも環論でも線形代数でも自然数論でもそう。
例えばモデルの範疇性を論ずるには集合論が必要だが、それはそもそも実数論ではない。
というか君、大学1年4月に実数の公理って習わなかった？　実は大学行ってない？　さもありなん。

>　逆に言えば もし 実数論が展開できないなら ZFCに追加公理が必要てことだが
>　この話は 逆数学と言われる（逆数学の結果は下記な）
>２）ZF+Cになったのがそれで ZFでは不足だが フルパワー選択公理Cでなく 従属選択公理で実数論は展開できる（下記）
>従属選択公理(英語: axiom of dependent choice; DCと略される)とは、選択公理(AC)の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である。これはパウル・ベルナイスによって1942年の、解析学を実行するのに必要な集合論的公理を検討する逆数学の論文で導入された。
また勝手読みしてるね。実数論と解析学を混同している。
解析学は実数論を基礎におく学問領域であって、実数論のような単一の理論ではない。従って実数論とは違い解析学のモデルというものは存在しない。
というかそもそも数理論理学の初歩である理論やモデルを分かってない。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6#%E5%AE%9F%E6%95%B0%E8%AB%96
の「解析学の基礎付け」の「実数論」を読んでごらん。君の悪い癖である勝手読みをせずにね。

>解析学は実数論を基礎におく学問領域であって、実数論のような単一の理論ではない。
実際「実数の公理」と違い「解析学の公理」なんて見たこと無いでしょ？
君の場合よく存在しないものを見てしまうようだけど

>というかそもそも数理論理学の初歩である理論やモデルを分かってない。
君の大間違いの持論「ノイマン宇宙の任意の元はZFCから存在証明可能」も結局そこから来ている。
君は背伸びをし過ぎ。初歩の初歩から分かってないのだから初歩の初歩から勉強すべし。それが嫌なら数学やめな。

>>480
ですね

>「数学において無限回の繰り返しなるものは存在しない」
無限回の操作の繰り返しが存在するということはどういうことか？
集合論においては、ある集合（たち）に対し何らかの集合操作（べきをとる、対をとる、和をとる、差をとる、共通部分をとる、置換をとる等）を無限回行ったものも集合であると主張することに他ならない。
それは無限長の証明を認めることに他ならない。
しかし証明は有限長でなければならない。これは数理論理学の初歩。やはり初歩から分かってない。
尚、無限集合Xの和∪Xや共通部分∩Xは無限回の操作ではなく問題無い。例えば可算和とは可算集合の和に他ならない。

そもそも無限回の操作を認めるなら、無限個の集合それぞれについて元を任意にひとつ取る操作が認められるのだから選択公理はZFの定理である。
実際は無限回の操作なるものは認められないから選択公理はZFから独立。

数学を初歩の初歩から分かってないと断ぜざるを得ない

しかも分かってないくせに分かったといって自慢したがるのがイタイ

>中高生も来るので 厳しく赤ペンする
とかな

瀬田爺さんの口癖だけど糞スレには来ないよ
>中高生も来るので

＞中高生も来るので 厳しく赤ペンする

なぜか中高生レベルで添削指導したがるエッタ

＞あとはゴミだから流すね

といって数学的ウソを大量に流すエッタ

>>477
ふっ
自爆したかｗ（＾＾
下記 Kanamor 百回音読してねｗ（＾＾


(参考)（有名なAkihiro Kanamori氏の本）>>320より
https://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/xbooks/The-Higher-Infinite-optimized.pdf
The Higher Infinite (Springer)
Akihiro Kanamori The Higher Infinite Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings Second Edition
北見工業大学 2004
より
PXIV
but shorn of these features it became the standard Zermelo-
Fraenkel (ZFC) one when recast in the soon to emerge terms of first-order logic.
The Foundation Axiom had been prefigured as a restricting possibility by Dmitry
Mirimanov [17], Skolem [23], and von Neumann [25]. Zermelo offered a synthetic
view of a succession of natural models for set theory, each a member of
a next, essentially realizing that Foundation ranks the sets in these models into a
cumulative hierarchy. In current terms the axiom stratifies the formal universe V
of sets as ∪αVα, where V0 is ∅,Vα+1 is the power set of Vα, and Vδ for limit
ordinals δ is the union of the Vα’s for α < δ.
In a notable inversion this iterative
conception came to be accepted after Godel’s later advocacy as a heuristic for
motivating the axioms of set theory generally, its open-endedness moreover promoting
a principle of tolerance for motivating new hypotheses mediating toward
Cantor’s Absolute. Foundation is the one axiom unnecessary for the recasting
of mathematics in set-theoretic terms, but it came to be the salient feature that
distinguishes structural investigations specific to set theory. Indeed, it can be
fairly said that modern set theory is the study of well-foundedness, the Cantorian
well-ordering doctrines adapted to the Zermelian combinatorial conception of sets.

つづき

つづく

PXV
Large Cardinals

PXVII
The set-theoretic universe V viewed as the cumulative hierarchy
∪αVα is open-ended and under-determined by the set-theoretic axioms, and invites further
postulations based on reflection and generalization. In 1946 remarks G¨ odel
[90: 151] suggested reflection in terms of a set-theoretic proposition being provable
in “the next higher system above set theory”, which proof being replaceable
by one from “an axiom of infinity”. This ties in with V cast as Cantor’s Absolute
being mathematically incomprehendable, so that any property ascribable to it
must already hold in some sufficiently large Vα, some properties leading directly
to large cardinal hypotheses. In a 1966 footnote G¨ odel [90: 260ff] acknowledged
“strong axioms of infinity of an entirely new kind”, generalizations of properties
of ℵ0 “supported by strong arguments from analogy”. This ties in with Cantor’s
unitary view of the finite and transfinite, with properties like inaccessibility and
measurability technically satisfied by ℵ0 being too accidental were they not also
ascribable to higher cardinals. Both reflection and generalization are latent in the
eternal return of successive domains as envisioned by Zermelo [30]. Whatever
the heuristics, the theory of large cardinals like other mathematical investigations
was to be driven by open problems and growing structural elucidations. (These
matters are taken up in §3. Other heuristic arguments are described in Maddy
[88, 88a].)
(引用終り)
以上

>>491
(参考)
(google訳)
PXV
巨大基数

PXVII
累積的階層 $\bigcup_{\alpha} V_{\alpha}$ として捉えられる集合論的宇宙 $V$ は、開かれた構造を持っており、集合論の公理系だけではその全容が完全に決定されるわけではない。
そのため、反射（reflection）や一般化に基づいたさらなる公理の導入が促されることになる。
1946年の論考において、ゲーデル [90: 151] は「反射」の概念を示唆した。これは、ある集合論的な命題が「集合論よりも一段上の体系」において証明可能であるという考え方であり、その証明は「無限公理」を用いた証明に置き換えることができるとされる。これは、カントールの「絶対無限（Absolute）」としての宇宙 $V$ という概念と結びついている。
この宇宙は数学的に把握不可能であり、それゆえ、そこに帰属させうるいかなる性質も、十分大きな $V_\alpha$ においてすでに成立していなければならない。
実際、そうした性質の中には、巨大基数公理へと直接つながるものもある。
ゲーデルは1966年の脚注 [90: 260ff] において、「全く新しい種類の強力な無限公理」に言及している。
これらは $\aleph_0$（アレフ・ゼロ）が持つ性質を一般化したものであり、「類推に基づく強力な論拠」によって支持されるものである。この考え方は、有限と超限を統一的に捉えるカントールの見解と合致する。例えば、「到達不能性」や「可測性」といった性質が $\aleph_0$ において満たされているのは、もしそれらがより大きな基数にも帰属しうると考えなければ、単なる偶然に過ぎないことになるからである。
ツェルメロ [30] が構想したような、次々と現れる領域の「永遠回帰」という概念には、「反映（reflection）」と「一般化」の双方が潜在している。
どのような発見的推論（ヒューリスティクス）によるものであれ、巨大基数の理論は、他の数学的研究と同様に、未解決問題や、構造の解明が進展していく過程によって推進されるものである。（これらの問題については第3節で扱う。その他の発見的論拠については、マディ [88, 88a] を参照のこと。）
(引用終り)
以上

>>490-492 補足

１）>>490 フォンノイマン宇宙 ここで 各ステージ Vαの αは あくまでZFC内部で
”Zermelo offered a synthetic
view of a succession of natural models for set theory, each a member of
a next, essentially realizing that Foundation ranks the sets in these models into a
cumulative hierarchy. In current terms the axiom stratifies the formal universe V
of sets as ∪αVα, where V0 is ∅,Vα+1 is the power set of Vα, and Vδ for limit
ordinals δ is the union of the Vα’s for α < δ.”

２）>>491-492
"累積的階層 $\bigcup_{\alpha} V_{\alpha}$ として捉えられる集合論的宇宙 $V$ は、開かれた構造を持っており、集合論の公理系だけではその全容が完全に決定されるわけではない。
そのため、反射（reflection）や一般化に基づいたさらなる公理の導入が促されることになる。
1946年の論考において、ゲーデル [90: 151] は「反射」の概念を示唆した。これは、ある集合論的な命題が「集合論よりも一段上の体系」において証明可能であるという考え方であり、その証明は「無限公理」を用いた証明に置き換えることができるとされる。これは、カントールの「絶対無限（Absolute）」としての宇宙 $V$ という概念と結びついている。
この宇宙は数学的に把握不可能であり、それゆえ、そこに帰属させうるいかなる性質も、十分大きな $V_\alpha$ においてすでに成立していなければならない。
実際、そうした性質の中には、巨大基数公理へと直接つながるものもある。
ゲーデルは1966年の脚注 [90: 260ff] において、「全く新しい種類の強力な無限公理」に言及している。"

つまり 上記１）のフォンノイマン宇宙 V ∪αVαを拡張するために
巨大基数を考えるってことだ
その一例が 到達不能基数κ なり！

Akihiro Kanamoriを 百回音読しよう！！ｗ（＾＾

（引用しても理解しない彼の人）

（Vが何で有るとしているか明確に書かれているのに）

>>493
>フォンノイマン宇宙 ここで 各ステージ Vαの αは あくまでZFC内部で
また妄想か　病院行け

>>490
>自爆したかｗ（＾＾
妄想にとらわれて「到達不能基数は基数でない」と自爆してるのが君

>この宇宙は数学的に把握不可能であり、それゆえ、そこに帰属させうるいかなる性質も、十分大きな $V_\alpha$ においてすでに成立していなければならない。
>実際、そうした性質の中には、巨大基数公理へと直接つながるものもある。
Vに帰属させる「Vの中のある集合はZFCのモデルである」という性質は、十分大きなVκにおいてすでに成立していなければならない。
この性質こそ巨大基数公理へと直接つながるものである。なぜなら巨大基数κの存在を仮定しなければVκはZFCのモデル足りえないからである。
⇒つまり Vκ∈V であり、Vは推移的クラスだから Vκ⊂V である。

正しい基礎知識を持って文章を正しく読めば正しい理解が得られる。
基礎勉強を怠り予断を持って文章を読めば誤読して間違った理解しか得られない。

と言うか理論もモデルも分かってない入門レベルですらない瀬田爺がノイマン宇宙だのグロタン宇宙だの巨大基数だのを論じるのがそもそもの間違い。
数学では初歩が分からなければ応用は分からない。入門レベルですらない瀬田爺はまず入門レベルから勉強すべし。

何度説明しても瀬田爺に響かないのは説明を受け取れる学力がないから。
こちらが言ってることが何かの呪文のように聞こえ右の耳から左の耳へ素通りしその結果何度も同じことを言われてしまう。
分からなかったことを質問するなり勉強するなりしない典型的なダメ生徒。落ちこぼれたのも当然だ。

>>501
>>498
ですね

>>493 補足
現代思想201912月号 特集 巨大数の世界「巨大基数と巨大な巨大基数、超数学での無限と集合論的無限、それらに対する有限の諸相」 渕野昌 青土社
が入手できたので そこから2枚（4ページ）ご紹介します

１）https://i.imgur.com/S5lESNq.jpeg
現代思想201912月号 特集 巨大数の世界「巨大基数と巨大な巨大基数、超数学での無限と集合論的無限、それらに対する有限の諸相」P56-7 渕野昌 青土社.jpg
（補足）
ここで、Vαの累積階層として 集合の全体のなすクラスVを導入している
ここに αは順序数で
Vがノイマン宇宙であることは 渕野昌は ここでは述べていないが
自明だろう

２）https://i.imgur.com/DN5Xpv5.jpeg
現代思想201912月号 特集 巨大数の世界「巨大基数と巨大な巨大基数、超数学での無限と集合論的無限、それらに対する有限の諸相」P58-9 渕野昌.jpg
（補足）
ここで、到達不能基数κを導入している
渕野先生は
「正則基数となっている極限基数κが λ→2^λに関して閉じているとき
　つまり λ<κなら2^λ<κが常に成り立つとき」
として 到達不能基数κを定義する

”λ<κなら2^λ<κが常に成り立つとき κは到達不能基数である”
この定義を 百回音読しよう！（＾＾

>>493 補足
現代思想201912月号 特集 巨大数の世界「巨大基数と巨大な巨大基数、超数学での無限と集合論的無限、それらに対する有限の諸相」 渕野昌 青土社
が入手できたので そこから2枚（4ページ）ご紹介します

１）https://i.imgur.com/S5lESNq.jpeg
現代思想201912月号 特集 巨大数の世界「巨大基数と巨大な巨大基数、超数学での無限と集合論的無限、それらに対する有限の諸相」P56-7 渕野昌 青土社.jpg
（補足）
ここで、Vαの累積階層として 集合の全体のなすクラスVを導入している
ここに αは順序数で
Vがノイマン宇宙であることは 渕野昌は ここでは述べていないが
自明だろう

２）https://i.imgur.com/DN5Xpv5.jpeg
現代思想201912月号 特集 巨大数の世界「巨大基数と巨大な巨大基数、超数学での無限と集合論的無限、それらに対する有限の諸相」P58-9 渕野昌.jpg
（補足）
ここで、到達不能基数κを導入している
渕野先生は
「正則基数となっている極限基数κが λ→2^λに関して閉じているとき
　つまり λ<κなら2^λ<κが常に成り立つとき」
として 到達不能基数κを定義する

”λ<κなら2^λ<κが常に成り立つとき κは到達不能基数である”
この定義を 百回音読しよう！（＾＾

>>503-504
あら ダブったな
音読は 100回でいいよ （＾＾

（2回無駄コピペ）

>>504 補足
”λ<κなら2^λ<κが常に成り立つとき κは到達不能基数である”

要するに κは
常に λより大かつ 2^λより大
な（＾＾

>>506
>（2回無駄コピペ）

ポスター2連（連貼り）下記
と思ってくれ（＾＾

https://help-cheering-ad.jeki.co.jp/hc/ja/articles/16360279085593-B0%E3%82%922%E9%80%A3-2%E6%9E%9A%E8%B2%BC%E3%82%8A%E5%90%88%E3%82%8F%E3%81%9B%E3%81%A6-%E3%81%A7%E3%83%87%E3%82%B6%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%97%E3%81%9F%E3%81%84%E3%81%A7%E3%81%99
応援広告（センイル広告） Cheering AD｜ よくあるご質問 ヘルプセンターのホームページ
B0ポスター2連（連貼り）は、B0サイズのポスターを横に2枚並べ、1つの大きなデザインとして掲出するものです。

>>503
>集合の全体のなすクラスV
じゃあVκは集合だからVκ∈V、Vは推移的だからVκ⊂Vってことだね。
毎度おなじみの自爆コピペ乙

>”λ<κなら2^λ<κが常に成り立つとき κは到達不能基数である”
>この定義を 百回音読しよう！（＾＾
それは強極限基数の定義。誰も「強到達不能基数は強極限基数でない」と言ってない。
毎度おなじみのストローマン論法乙。

>>508
二回目が無駄
じゃなく
二回とも無駄
と言われてるのに相変わらず理解力が崩壊している瀬田爺

コピペさえしてれば必勝
と思ってる瀬田爺、自分のコピペで論破される頭の悪さ

>>510
です

>>504 補足
いつもお世話になっている
藤田博司先生、参ります

１）
https://i.imgur.com/41ysTI9.jpeg
現代思想201912月号 特集 巨大数の世界「無限と連続の数学」P46-7 藤田博司 青土社
ここに
”4 順序数とフォンノイマン宇宙”の章がある
明確に フォンノイマン宇宙とは、順序数による累積階層を集めたもの
順序数は、ZFCの中で
”ZFCは、現代数学の舞台としてのフォンノイマン宇宙の理論を公理化するものである”とある

２）
https://i.imgur.com/5tKQ1r1.jpeg
現代思想201912月号 特集 巨大数の世界「無限と連続の数学」P48-9 藤田博司 青土社
”6 連続体仮説と独立性と巨大基数”の章がある
巨大基数：”どこまでも繰り返すという反復の原理を強化する公理を追加する”と述べられている

３）
https://i.imgur.com/sbfFTDb.jpeg
現代思想201912月号 特集 巨大数の世界「無限と連続の数学」P49 藤田博司 青土社
”巨大基数公理は、略 反復の原理の強化を目的とした公理”
”ZFCだけでは存在が証明できないほど大きな順序数、とくに基数の存在を主張するものである”
とある

まとめると
１）フォンノイマン宇宙Vは、ZFCの中で 順序数による累積階層を集めたもの
２）巨大基数：”どこまでも繰り返すという反復の原理を強化する公理を追加する”
３）巨大基数公理：”反復の原理の強化を目的とした公理”、”ZFCだけでは存在が証明できないほど大きな順序数、とくに基数の存在を主張するものである”

藤田博司先生を、百回音読しよう！！（＾＾

>>513 補足

素人向けに解説を追加すると
１）集合とクラスの境目は、公理系によって異なる
　例：ZFC と NBG （下記）
２）>>513にあるように 巨大基数 あるいは到達不能基数κの公理は
　ZFCの集合の高さ方向の限界を広げる公理です
　この公理で、ZFCでは集合扱いできない対象（クラス）が 集合になる
　例：Vκ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%8A%E3%82%A4%E3%82%B9%EF%BC%9D%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG) とはツェルメロ＝フレンケル集合論＋選択公理 (ZFC)の保存拡大である公理的集合論である。NBGでは、量化子の範囲を集合に限定した論理式によって定義される集合の集まりとして、クラスの概念を導入する。NBGは、すべての集合というクラスやすべての順序数というクラスといった、集合よりも大きいクラスを定義できる。モース＝ケリー集合論 (MK) は量化子の範囲がクラスである論理式によるクラスの定義を許容する。NBGは有限公理化できる一方、ZFCやMKではできない。

(K={κ::κは強到達不能基数}はZFCで定義できるのにね)

>>513
>いつもお世話になっている
>藤田博司先生、参ります
君に名前を使われる藤田氏はさぞ迷惑だろう

>”ZFCは、現代数学の舞台としてのフォンノイマン宇宙の理論を公理化するものである”
は、言葉遣いが乱暴で（特に「フォンノイマン宇宙の理論」）、この文単体だと意味が取りづらいが、文脈から
「VはZFCのモデルでありかつ現代数学の舞台であるから、ZFCは現代数学の理論を公理化する」
という意味だろう。これはまさに
>>472
>集合論が現代数学の大黒柱と言われるのは、数学のほとんどの理論を集合論上でエミュレートできてしまうほど強力な表現力を持つから。
と同じことを言っている。
そして重要なのはどこにも「Vの任意の元はZFCから存在証明可能」と書かれていない。モデルの定義から当たり前。
（実際、作図可能数体^2がユークリッド幾何学のモデルであるという事実は、同じくモデルであるR^2がユークリッド幾何学から存在証明不可能な点を持つことの決定的証拠。）
当然、
>順序数は、ZFCの中で
なる独自付け足しは大嘘。
瀬田爺、またしても妄想の裏付けに失敗。

>巨大基数：”どこまでも繰り返すという反復の原理を強化する公理を追加する”と述べられている
誰も巨大基数をZFCから存在証明可能と言ってない。
瀬田爺、またしてもストローマン論法に失敗。

>”巨大基数公理は、略 反復の原理の強化を目的とした公理”
>”ZFCだけでは存在が証明できないほど大きな順序数、とくに基数の存在を主張するものである”
>とある
誰もそうでないと言ってない。
瀬田爺、またしてもストローマン論法に失敗。

>まとめると
嘘をまとめても嘘にしかならない。

>藤田博司先生を、百回音読しよう！！（＾＾
百回の誤読より一回の正読の方が∞倍価値あることを知れ。

>>514
>素人向けに解説を追加すると
ど素人の君は解説する側ではなく解説される側。
しかも分からないところを質問なり勉強なりしない怠け者だから解説されても理解できない典型的ダメ生徒。

>１）集合とクラスの境目は、公理系によって異なる
>　例：ZFC と NBG （下記）
大嘘。
ZFCに真クラスは存在しない。（但しメタ的に論理式を真クラスと見做すことは可能。）
かつZFCの保存拡大であるNBGでもVは真クラス。仮に整礎集合全体のクラスであるVが集合なら整礎集合2^Vが存在して2^V∈V、Vは推移的だから2^V⊂Vのはずだがカントールの定理と矛盾。

>２）>>513にあるように 巨大基数 あるいは到達不能基数κの公理は
>　ZFCの集合の高さ方向の限界を広げる公理です
κはZFCから存在証明不可能なのだから言わずもがな。

>　この公理で、ZFCでは集合扱いできない対象（クラス）が 集合になる
>　例：Vκ
大嘘。ZFCには集合でない対象は無い。
ZFC+巨大基数公理においてVκが集合であることは誰もそうでないと言ってない。またまたストローマン論法。

基礎勉強を怠り、誤読して妄想し、間違いを解説されても理解できない落ちこぼれ
しかし重度NPDを患っており自らが解説者でないと気が済まない
それが瀬田爺

NPDは自尊心が脆弱だから起きる

>>517
ですね

無理解を理解しないことは
理解していることを意味しない

>>521
何を言いたいのか理解できない
特に
>理解していることを意味しない
の「理解していること」とは「何を」？

同じ「理解」という単語に
様々な「意味」を含ませているのは最悪かも

理牌

最小理牌問題

>>516
>>藤田博司先生、参ります
>君に名前を使われる藤田氏はさぞ迷惑だろう

そういうな
藤田博司先生のいいところは
我々下々にも分るように 丁寧な説明であることだ
（まあ、それでも 君らには分らないらしいなｗ）

>>”ZFCは、現代数学の舞台としてのフォンノイマン宇宙の理論を公理化するものである”
>は、言葉遣いが乱暴で（特に「フォンノイマン宇宙の理論」）、この文単体だと意味が取りづらいが、文脈から
>「VはZFCのモデルでありかつ現代数学の舞台であるから、ZFCは現代数学の理論を公理化する」
という意味だろう。

言葉遣いが乱暴というよりも わざと歴史の順と入れ替えている
つまり、ZFCが先で フォンノイマン宇宙Vがあと。これが 歴史の順だ
が 素人向けの説明だろう（現代思想は哲学雑誌で 文系の哲学系の人読むだろうから）

>これはまさに
>>472
>集合論が現代数学の大黒柱と言われるのは、数学のほとんどの理論を集合論上でエミュレートできてしまうほど強力な表現力を持つから。
>と同じことを言っている。

認識が根本から間違っている
19世紀 ZFCの前のカントールの集合論では、ラッセルパラドックス（矛盾）が問題となった
集合の作り方に恣意性があった
なので パラドックス（矛盾）を避けるために、集合論を公理化した
パラドックスを避けるべく 集合の構成を極力簡素にしたのだ
（余計な要素は入れない。そうして 極力シンプルにしてパラドックスを避けるべし！）
但し、公理化の過程で 選択公理は必要と分った
また、無限公理も必要だった
置換公理も必要だった
基礎の公理は、集合の生成を抑制して理論をすっきりさせるために入れた（これがいまノイマン宇宙構成に役立つ）
強力と言えるのは、フルパワー選択公理と置換公理くらいよｗ（＾＾
だが、グロタンディクの圏論には 力不足だった
そこで到達不能基数κさまの出番となったｗ

>そして重要なのはどこにも「Vの任意の元はZFCから存在証明可能」と書かれていない。モデルの定義から当たり前。

V内の任意のステージVαで
このαは順序数であり
任意の順序数αはZFCで構成できる■
QED

あとはゴミだから流す（＾＾

（集合論とはなんであるかをそもそも理解してないようです）

（到達不能基数も順序数なのにね）

（彼の人は構成可能とはなんであるかを知らないようです）

>>513
>３）
>https://i.imgur.com/sbfFTDb.jpeg
>現代思想201912月号 特集 巨大数の世界「無限と連続の数学」P49 藤田博司 青土社
>”巨大基数公理は、略 反復の原理の強化を目的とした公理”

このページの最後に 参考文献
註(5)がある。それが下記で ここから関連を引用する
結論
１）ZFC からすべての集合は　V に属する V = ∪α Vα
２）最小の到達不能基数が存在するならば、ℵ1, ℵ2, ℵω などの名前がついたどの基数よりも大きなものであることがわかる
３）定理 基数κが到達不能基数ならば、集合VκはZFCのモデルになる
４）P36 いくつかの巨大基数概念を、公理としての強さの順に並べた表を次に掲げる
　（到達不能基数の下に ZFCのみ が来る）

(参考)
https://www.tenasaku.com/academia/
藤田博司
https://www.tenasaku.com/academia/notes/UsubaFujita_JSPS2012.pdf
【論文】科学基礎論研究Vol.39, No.2 (2012) 33〜42
現代集合論における巨大基数
薄葉季路∗ 藤田博司∗∗

P34
ZFC からすべての集合はV に属する、すなわち集合は上の構成法を用いて得られるものが全てであることが証明される。
これよりV = ∪α Vαを集合の宇宙（universe）と呼ぶこともある。

1.2 到達不能基数とマーロ基数

まずある意味で最小の巨大基数である到達不能基数を定義する。
定義 不可算、正則かつ強極限基数κ を到達不能基数と呼ぶ。
ℵ0 は不可算という条件を除いて到達不能基数の条件を満たしている。
このことからわかるように、到達不能基数はℵ0 がもつ“正則かつ強極限”という性質という性質を不可算基数が持ち得るか？ という問題意識から導入されている。
簡単な計算により最小の到達不能基数が存在するならば、ℵ1, ℵ2, ℵω などの名前がついたどの基数よりも大きなものであることがわかる。
あとで触れるとおり、実際のところ到達不能基数は大きすぎて、その存在はZFCから証明不能である。
到達不能基数の重要な性質として次があげられる。
定理 基数κが到達不能基数ならば、集合VκはZFCのモデルになる。
上の定理の逆は一般には成立しない。
すなわちVκがZFC のモデルであるからといって、κ が到達不能基数である保証はない。
これは基数κが正則かどうかがVκ において一階述語論理で記述できないという事情による。
しかし、二階述語論理を用いてZFCを自然に拡張したものを
略

P36
いくつかの巨大基数概念を、公理としての強さの順に並べた表を次に掲げる。
詳しくはカナモリ（A.Kanamori）のモノグラフ3)を見られよ。

　略
マーロ基数
　⇓
PM 到達不能基数
　⇓
(ZFCのみ）

>>526
>言葉遣いが乱暴というよりも わざと歴史の順と入れ替えている
>つまり、ZFCが先で フォンノイマン宇宙Vがあと。これが 歴史の順だ
>が 素人向けの説明だろう（現代思想は哲学雑誌で 文系の哲学系の人読むだろうから）
理論もモデルもちんぷんかんぷんな瀬田爺、「言葉遣いが乱暴」がピンと来ないようだ
そして数学はさっぱりなので数学史に逃げるいつものパターン

>19世紀 ZFCの前のカントールの集合論では、ラッセルパラドックス（矛盾）が問題となった
>集合の作り方に恣意性があった
大嘘。
逆。パラドックス回避のためどのような集合が存在可能かを恣意的に制限した。

>なので パラドックス（矛盾）を避けるために、集合論を公理化した
大嘘。
公理化とパラドックス回避は別の話。実際パラドックスを生む原因である無制限な内包公理も公理である。

>パラドックスを避けるべく 集合の構成を極力簡素にしたのだ
>（余計な要素は入れない。そうして 極力シンプルにしてパラドックスを避けるべし！）
大嘘。
パラドックスを避けるべく無制限な内包公理を制限した。つまりルールを厳しくした。簡素化は嘘。

>また、無限公理も必要だった
大嘘。
無制限な内包公理から帰納的集合 {x|{}∈x∧∀y:(y∈x⇒y∪{y}∈x)} の存在が言えるので無限公理は必要無かったが、制限したために必要となった。

>置換公理も必要だった
大嘘。
置換公理が必要となった理由も無限公理とまったく同じ。

>基礎の公理は、集合の生成を抑制して理論をすっきりさせるために入れた（これがいまノイマン宇宙構成に役立つ）
大嘘。
原因と結果が真逆。
ノイマン宇宙Vが正則性公理を充足することはVの定義からの帰結であって、正則性公理によってVが整礎となっているのではない。
理論も相変わらず分かってない。

>強力と言えるのは、フルパワー選択公理と置換公理くらいよｗ（＾＾
置換公理がどう強力か自分の言葉で説明してみて。

>だが、グロタンディクの圏論には 力不足だった
>そこで到達不能基数κさまの出番となったｗ
大嘘。
完全性定理と不完全性定理より理論のモデルを構成するにはメタ理論が必要。
これは自然数論を含む一階理論一般に言えることであってZFCに限った話ではない。
圏論との関係で言えば真クラスではなく集合としてのZFCモデルが欲しかったということ。

>V内の任意のステージVαで
>このαは順序数であり
>任意の順序数αはZFCで構成できる■
大嘘。
順序数は非可算個存在するが、存在証明可能な順序数はたかだか可算個。つまりほとんどすべての順序数は存在証明不可能。
この事実はほとんどすべての実数は定義不可能であること本質的に同じ原因。

>あとはゴミだから流す（＾＾
じゃあ数学板から君の存在を流すべき　ジャーーー

（公理が強力だとモデル（宇宙）の条件が厳しくなるのにね）

>>531,532
彼の人は理論とモデルの関係を全く理解してないようですね

>>530
>１）ZFC からすべての集合は　V に属する V = ∪α Vα
「ZFCから」が意味不明。
すべての集合は言い過ぎ。実際非整礎集合はVに属さない。
逆にすべての整礎集合はVに属す。Vκは整礎集合だからVκ∈V、Vは推移的だからVκ⊂V。
V⊂Vκは間違い。

>２）最小の到達不能基数が存在するならば、ℵ1, ℵ2, ℵω などの名前がついたどの基数よりも大きなものであることがわかる
「などの名前」が何を指してるかによる。
最小の到達不能基数κが存在するなら、基数である以上基数列のどこかに居るはず、すなわち何らかの順序数χが存在して κ=アレフχ であるはず。
κは極限基数であり仮にχ<κならκが正則基数であることと矛盾するので κ=アレフκ。

>>531-535

ふっ

おサルと、(ですね)人と
この二人は、無茶苦茶だね

いいか、到達不能基数とか巨大基数とかは
あなた達が考えた概念ではなく
何十年も前 前世紀に考えた数学者がいて
そして、その後100年ちかい積み重ねがあるんだ
まずは、素直に謙虚に 数学者たちの議論を
キチンと読んで理解することから 始めるべし

君達がやっていることは、マウントごっこだ
ここは中高一貫生も来るから 徹底的に叩く

同じ構図が、箱入りスレでも ガロアスレなど 例 https://itest.5ch.io/rio2016/test/read.cgi/math/1789750665/1-
でも繰り返された

特に 箱入りは、世間に流布する数学文献が
ほとんど皆無だから 水掛け論になった

そこで、舞台を 到達不能基数や巨大基数に移して
二人を徹底的に叩く
到達不能基数・巨大基数については、二人を叩くための文献は山ほどあるよ

この二人の数学の理解力の無さ
これを徹底的にあばくのが このスレのもう一つの目的

>>536
>無茶苦茶だね
具体的にどうぞ

>まずは、素直に謙虚に 数学者たちの議論を
>キチンと読んで理解することから 始めるべし
そう思うならなぜそうしない？

>特に 箱入りは、世間に流布する数学文献が
>ほとんど皆無だから 水掛け論になった
水掛け論？　君がヒト語を理解できないだけだろ

>そこで、舞台を 到達不能基数や巨大基数に移して
>二人を徹底的に叩く
そんな宣言要らない。さっさとやれ。

>到達不能基数・巨大基数については、二人を叩くための文献は山ほどあるよ
山ほどあるのに君の持論 V⊂Vκ が書かれてる文献を未だに一つも出せてないのはなぜ？

>この二人の数学の理解力の無さ
>これを徹底的にあばくのが このスレのもう一つの目的
御託はいいからさっさとやれ。

>この二人の数学の理解力の無さ
>これを徹底的にあばくのが このスレのもう一つの目的
君の理解力の無さが徹底的にあばかれてるけど
目的に合ってないぞ　頑張れよ

>>530 追加
(引用開始)
https://www.tenasaku.com/academia/notes/UsubaFujita_JSPS2012.pdf
【論文】科学基礎論研究Vol.39, No.2 (2012) 33〜42
現代集合論における巨大基数
薄葉季路∗ 藤田博司∗∗
(引用終り)

ここで、二人をぶちのめす棍棒を用意しよう
１）まず、下記薄葉季路先生：名古屋大 計算機数理科学・・か。いまｗ大か（＾＾
２）P35 定義 基数κがマーロ基数であるとは略
　なお、基数の概念はモデルに依存する相対的な概念であることに注意しよう。例えば順序数 α が L では基数になっていたとしても、V で基数になっているとは限らない。一方、κ が到達不能基数ならば、κは L においても到達不能基数になる。よって L はZFC+V =L+“到達不能基数が存在する”のモデルとなり、よって理論ZFC+“到達不能基数が存在する”が無矛盾ならばZFC+V =L+“到達不能基数が存在する” も無矛盾であることがわかる。この事情はマーロ基数においても同様である。

３）P35 1.3 可測基数 巨大基数理論の中でもっとも重要であり、よく研究されてきた可測基数を紹介する。
　定理（Scott） 可測基数が存在するならば V ≠L である。実際、可測基数κが存在するならば、V の不可算基数は（ℵ1, ℵω などすら）Lの中ではマーロ基数などの巨大基数になっていることがわかっており、したがって可測基数の存在はLがV に比べて果てしなく薄いクラスであることを保証してしまう。

４）P36 2. 無矛盾性の強さの階層 さて、これらさまざまな巨大基数のうち、いちばん「小さい」到達不能基数ですら、通常のZFCの範囲を超えた存在である。到達不能基数が存在するとして、そのうち最小のものをκとすれば、そこまでの累積階層Vκ だけでもZFC のすべての公理を満たす。しかもκ の最小性により、Vκ は“到達不能基数は存在しない” という命題のモデルにもなっている。ということは、とりもなおさずZFCからは到達不能基数の存在が証明できない。

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%96%84%E8%91%89%E5%AD%A3%E8%B7%AF
薄葉 季路（うすば としみち）は、日本の数学者。早稲田大学基幹理工学部数学科教授。
専門は公理的集合論で、日本数学会賞建部賢弘賞を受賞。
人物・経歴
2001年東京学芸大学教育学部卒業[1]。
2003年に名古屋大学大学院情報科学研究科計算機数理科学専攻後期課程に総代で進学し、2008年同修了、博士（情報科学）[2][3]、東北大学大学院理学研究科教育研究支援者、山形大学理学部・教育学部非常勤講師。
2009年ライン・フリードリヒ・ヴィルヘルム大学ボンハウスドルフ数学センター （ HCM ）博士研究員。
2010年名古屋大学高等研究院特任助教。2013年神戸大学自然科学系先端融合研究環重点研究部助教。
2014年度日本数学会賞建部賢弘賞受賞。2016年早稲田大学基幹理工学部数学科准教授。
2021年早稲田大学基幹理工学部数学科教授。
専門は公理的集合論[1]。

>>539
>到達不能基数が存在するとして、そのうち最小のものをκとすれば、そこまでの累積階層Vκ だけでもZFC のすべての公理を満たす。
だけでもってことは同じくZFCのモデルであるVはもっと巨大ってことじゃん。君の持論 V⊂Vκ はまたまた否定された。
瀬田爺、妄想の裏付けにまたしても失敗。瀬田爺の理解力の無さがまたしてもあばかれた。

瀬田爺が奇妙かつ不要な宣言をしたのは
>>強力と言えるのは、フルパワー選択公理と置換公理くらいよｗ（＾＾
>置換公理がどう強力か自分の言葉で説明してみて。
をごまかすため。
ごまかさずに説明してごらん。君がその口で言ったんだろ？置換公理は強力だと

>>538
ですね

（基数には絶対性がなく順序数には絶対性があるのにね）

そもそも基数列は決定不能。実際GCHはZFCから独立だからアレフ1＝可算順序数全体の集合ω1が何者であるかZFCからは決定できない。例えばZFC+CHならω1=2^ω。
基数は、特に巨大基数はそれが持つ性質によって定義される。その性質が成立するか否かはモデルに依存する。
ノイマン宇宙Vにおいてある順序数λがある基数の性質を持っていたとして、λが構成可能宇宙Lにおいて同じ性質を満たす保証は無い。

ぶちのめすための
棍棒が落ちていたので貼るｗ（＾＾
東京理科大だって
ノーベル賞大学

(参考)
https://ryoya9826.github.io/
Ryoya ANDO
https://ryoya9826.github.io/miscellaneous/zfcu/
ZFC+Uのおはなし (An Invitation to ZFC+U)
Published in 2021年度 東京理科大学理工学部数学科 大橋研究室卒業論文集, January 2022. Link: PDF
Citation: 安藤遼哉 (2022) 「ZFC+U のおはなし」，『2021 年度 東京理科大学理工学部数学科 大橋研究室卒業論文集』，101–158 頁
https://ryoya9826.github.io/files/note/ZFC+U.pdf
ZFC+U のおはなし
安藤遼哉∗ 2022 年1月31日
∗ 東京理科大学理工学研究科数学専攻修士課程２年
はじめに[松坂68]における集合の濃度，順序数の定義は素朴には理解しやすい．しかし「集合全体」を「同値関係で割る」という議論は（公理的）集合論的にはアヤシイを通り越してやってはいけない議論である．本稿は公理的集合論入門と銘打って，集合論的に問題のない濃度の定義を紹介するものである．その後筆者の時間が許す限り可換代数について公理的集合論と関係する話題，すなわち選択公理と同値な命題群の紹介やGrothendieck宇宙の話などを述べたい．本稿で引用した数々の文献について，年代が古いものが多いことからインターネット上であっても原文を見つけるのが困難な作品も少なくないが，引用したもののうち[Pea91],[Zer04],[Zer08], [Fra22a], [Sko22], [Neu23], [Neu25] については [Hei66] に英訳が収録されていることを注意しておく．

目次公理的集合論入 . . 1
§ 1 公理系ZF
§ 2 選択公理
§ 3 順序数
§ 4 順序数と正則性公理
§ 5 選択公理と同値な命題群
§ 6 Tychonoffの定理
§ 7 PITと制限されたTychonoffの定理
§ 8 選択公理と加群論
付録—Grothendiec 宇宙. . . . 45
§ A 圏とGrothendieck宇宙
§ B 強到達不能基数
§ C宇宙公理の同値性