>>556-558
みんな詳しいね
下記だね（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
定義
整列集合
(A,<)に対して、
Aを定義域とする写像
GA,< を超限帰納法によって
GA,<(a)={GA,<(x)|x<a}
と定義したとき、
GA,< の値域
ran(GA,<) を
(A,<) の順序数といい、これを
ord(A,<) と表記する。
ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ[2]。
脚注
2^ 本項目では、各自然数が自分自身より小さな自然数全体の集合と等しくなるような仕方で自然数が定義されているものとする。例えば、0 = ∅ , 1 = { 0 } , 2 = { 0, 1 } である。
順序数は本来、上で述べた定義とは異なる仕方で定義されていた。その定義とは、順序集合全体の集まりを「同型である」という “同値関係” によって類別したとき、順序集合 (A, <) の “同値類” を (A, <) の順序型 (order type) と呼び、特に整列集合の順序型を順序数と呼ぶというものである。ところが現代の標準的な集合論においては、A が空集合でない限り (A, <) と同型な順序集合全体の集合といったものは存在しないことが示される。したがって、このような順序数の定義の仕方は正当な方法であるとは認められない。これを克服するために考えられたのが上で述べた定義であり、現在は上の定義（あるいはそれと同値な定義）が広く用いられている。だが、順序型というアイデア自体が排除されたわけではない。順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている。ただし、整列集合の順序型と順序数は別のものになる。詳細は「順序型」を参照。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%9E%8B
順序型（じゅんじょがた、order type）とは、順序集合（特に全順序集合や整列集合）同士の構造を比較するために、同型という観点からその構造のみに注目することによって得られる概念である[1]。
定義
略
前述の素朴な説明では (※) の性質を満たすような「型」の正体が不明であるため、集合論的に順序型 type(A, <A) を厳密に定義する必要がある。このとき、(A, <A) と同型な順序集合全体の集合を type(A, <A) と定義するアプローチが考えられるが、A が空集合でない限り、同型な順序集合の集まりは大きすぎて真のクラスとなり、（集合論の公理の枠組みにおいては）集合として扱うことができない。

この問題を回避し、同値類を適切な集合として定義するために、同型な順序集合のうちで階数が最小のものだけを集めて集合とする手法（スコットのトリック、Scott's trick[2]）が用いられる。すなわち、順序型は次のように定義される。

注
1^ 一般に、任意の集合上の二項関係に対しても同様に順序型を定義することができる。

https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number
Ordinal number