>>566
(引用開始)
>ポイントだけ つつくよ
>・”>順序数の全ては ZFC内で定義される 　も大間違い。”
>　これは ペアノ公理で 個々の任意自然数nが定義できることと
>　ペアノ公理では、自然数全体集合Nの存在が立証できないことの
>　混同に似ている
根本から分かってない。
ペアノの公理は二階述語論理上の理論であってそのモデルNは範疇的だからそもそも「モデル依存問題」自体が無い。
また理論のモデルの存在証明はメタ理論によって可能。実際Nは集合論で存在証明可能。
尚、ペアノ算術は一階述語論理上の理論であってレーヴェンハイムスコーレムの定理より非可算モデルを持ち、そこではやはり「任意の元は定義可能」が成立しない。
ちなみにペアノ算術の言語で「xは標準自然数」という述語は書けない。仮に書けるなら「すべての元は標準自然数」を数学的帰納法で証明できレーヴェンハイムスコーレムの定理と矛盾する。
つまり無限大自然数はメタ視点での見え方であって理論内視点では標準自然数と区別が付かない。
(引用終り)

大混乱している
下記 ペアノ公理 英語版を百回音読しよう！ｗ（＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms
Peano axioms
(google訳)
ペアノの公理
歴史的二次定式化
ペアノが公理を定式化した当時、数理論理学の言語はまだ黎明期にあった。
ペアノの原典では、帰納法の公理は二階述語論理の公理である。現在では、この二階述語論理の原理をより弱い一階述語論理の帰納法に置き換えるのが一般的である。二階述語論理と一階述語論理の定式化には重要な違いがあり、これについては後述の「 一階理論としてのペアノ算術」の節で論じる。

ペアノ算術を一次理論として捉える
ペアノの公理のうち、第 9 公理 (帰納公理) を除くすべては、一階述語論理の命題です。[ 24 ]
上記の帰納公理は、述語 (自然数ではなく自然数の集合) を量化しているため、二階述語論理です。代替案として、一階述語論理の帰納公理図式を考えることができます。このような図式は、ペアノ算術の一階述語論理で定義可能な述語ごとに 1 つの公理を含み、二階述語論理の公理よりも弱くなります。[ 25 ]弱い理由は、一階述語論理の述語の数は可算であるのに対し、自然数の集合の数は不可算であるためです。したがって、一階述語論理で記述できない集合が存在します (実際、ほとんどの集合はこの性質を持っています)。

決定不能性と不完全性
ゲーデルの不完全性定理によれば、 PA理論は（矛盾がなければ）不完全である。したがって、PAの標準モデルでは真であるが、一階述語論理（FOL）の公理化の結果ではないFOLの文が存在する。ロビンソン算術のような、より弱い公理を持つ理論においても、本質的な不完全性は既に生じている。

つづく