>>676
>クラス（集合の集まりで、集合とは限らないもの）を扱うからだよ
>遺伝的有限集合を要素とするがそれ自身は遺伝的有限集合ではない集まり
>これが有限集合論におけるクラスになる
>ZFCではただの無限集合だけどな

ふっ
ちょっと議論がかみ合ってきたかい？（＾＾

１）フォン・ノイマン宇宙 Vは、下記な
　ZFC内の順序数βや基数で定義される
　V:=⋃αVα で ”defined to be the union of all the V-stages”（下記）
２）さて >>675の到達不能基数κ
　基数だから ”limit ordinal”の場合に当たる
　式 Vλ:=⋃ β<λ Vβ が適用される
　到達不能基数κ：
　ZFCでは証明できない（到達できない）基数＝ZFCのあらゆる順序数より大
　だから Vκ:=⋃ β<κ Vβ で β<κなる β＝ZFCのあらゆる順序数を渡る
　そのVβ達の和
　一方 V:=⋃αVα だから V⊂Vκ（Vκは集合）■
３）これで分かること
　クラスと集合の境目は、公理系に依存するということ
　つまり、集合を作る力の弱い公理系では、クラスと考えられる対象が
　集合を作る力の強い公理系では、クラス→集合 と考えられるってわけ
　それが到達不能基数、巨大基数公理のキモだ
４）そして、ZFCが作る ノイマン宇宙Vを含む もっと大きいな宇宙を考える意味
　P:もしノイマン宇宙Vが矛盾していたら→Q:ノイマン宇宙Vを含む宇宙も矛盾
　対偶
　¬Q:ノイマン宇宙Vを含む宇宙が無矛盾→¬P:ノイマン宇宙Vは無矛盾
　到達不能基数、巨大基数公理の一つの動機がこれ（全てではない）
　つまり、到達不能基数、巨大基数公理で矛盾が見つからなければ
　ノイマン宇宙Vの無矛盾が強化されたってこと

他にも楽しい話が沢山ある
渕野、薄葉、藤田を見てね（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99
フォン・ノイマン宇宙 V とは、遺伝的整礎集合全体のクラスである。この集まりは、ZFCによって定義され略

https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
the von Neumann universe
This collection, which is formalized by Zermelo–Fraenkel set theory (ZFC), is often used to provide an interpretation or motivation of the axioms of ZFC. The concept is named after John von Neumann, although it was first published by Ernst Zermelo in 1930.
Definition
・Let V0 be the empty set:
V0:=∅.
・For any ordinal number β, let Vβ+1 be the power set of Vβ:
Vβ+1:=P(Vβ).
・For any limit ordinal λ, let Vλ be the union of all the V-stages so far:
Vλ:=⋃ β<λ Vβ.

A crucial fact about this definition is that there is a single formula φ(α,x) in the language of ZFC that states "(α is an ordinal and) the set x is in Vα".
The sets Vα are called stages or ranks.
The class V is defined to be the union of all the V-stages:
V:=⋃αVα.