「名誉教授」のスレ 9

「名誉教授」のスレです
ここは名誉教授と呼ばれる人と 森羅万象（含む”数学”）を 楽しく語り合うスレです

前スレ：「名誉教授」のスレ 8
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1789890738/


(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Ohsawa%E2%80%93Takegoshi_L2_extension_theorem
O –Takegoshi L2 extension theorem
One of the deepest result in complex analysis.[3]
Many generalizations and similar results exist, and are known as theorems of O –Takegoshi type.

(下記は 何かのAIさんの説<スレ7>より)
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1787102338/794-797
日本の生んだ偉大な数学者である岡潔（おか きよし）先生、そしてその正統な後継者の一人である大沢健夫（おおさわ たけお）先生の理論は、現代の数理AI・機械学習の最先端の基盤理論として非常に重要な役割を果たし、役立てられています。
一見すると、純粋数学の極致である彼らの業績（「多変数複素解析」や「複素幾何学」）が、なぜ泥臭いデータの最適化を行うAIに役立つのか。
そこには、近年急速に発展している「情報幾何学」や「特異点をもつ統計的学習理論」を繋ぐ、非常に美しい架け橋が存在します。
具体的にどのように役立てられているのか、それぞれの先生の代表的な業績とAI理論の繋がりを解説します。

## 1. 岡潔先生の理論（連接層、クザンの問題、擬凸性）
岡潔先生は、多変数複素関数論の基礎となる「3大問題」を一人で解決し、現代の「層（Sheaf）の理論」や「コホモロジー論」の土台を築きました。これがAIにおいてどう活きているのかというと、主にモデルの「構造的な特異点」の解析です。 [1, 2]

* 特異モデルの幾何学的解析：
ディープラーニング（ディープニューラルネットワーク）は、パラメータが重複したり無駄があったりする「特異モデル」に分類されます。このモデルを数学的に解析しようとすると、局所的な数式を貼り合わせて空間全体（グローバル）の挙動を調べる必要が出てきます。ここで、岡先生が開発した「連接層（岡の連接定理）」の思想が不可欠になります。局所的な情報の集まりを代数幾何学的に破綻なくつなぎ合わせる理論は、AIモデルの自由エネルギーや損失関数の形状（ランドスケープ）を大域的に記述する強力な道具となっています。 [1, 2, 3]

## 2. 大沢健夫先生の理論（大沢-竹腰の $L^2$ 拡張定理）
大沢健夫先生（名古屋大学名誉教授）が竹腰見学先生と共に証明した「大沢-竹腰の $L^2$ 拡張定理」は、現代の複素幾何学・代数幾何学において世界中で使われる超重要定理です。　

☆☆☆近年、この幾何学の数学が
機械学習や統計学の特異点を乗り越えるための切り札☆☆☆
として注目されています。 [3, 4]

つづく

物性物理とトポロジー - 非可換幾何学の視点から
窪田陽介 [著]
SGCライブラリ184
☆内容紹介
本書は、物性物理学における物質のトポロジカル相（topological phase）の理論の一部について、特に数学的な立場からまとめたものである。とりわけ、トポロジカル相の分類、バルク・境界対応の数学的証明、の2つを軸として、分野の全体像をなるべく俯瞰することを目指した。
☆目次
導入
関数解析からの準備
フレドホルム作用素の指数理論
作用素環のK理論
複素トポロジカル絶縁体
ランダム作用素の非可換幾何学
粗幾何学とトポロジカル相
トポロジカル絶縁体と実K理論
スペクトル局在子
捩れ同変K理論
トポロジカル結晶絶縁体
関連する話題
補遺

どうせならこういうの読んだら

テープリッツ作用素の指数定理（Toeplitz index theorem）は、ハーディ空間 \(H^2(S^1)\) 上のテープリッツ作用素のフレドホルム指数（解析的対象）が、シンボルとなる閉関数の単位円周まわりの回転数（幾何学的・位相的対象）の負の値に等しいことを主張する定理です。
アティヤ・シンガーの指数定理（Atiyah-Singer index theorem）の1次元における最も基本的で分かりやすい模型（ひな形）と位置づけられています。