空気読まずに横ドップラー効果の話

観測者は慣性系 S1 (t, x, y) の原点で静止している。直線 y = L 上を、光源が速度 v で等速度運動している。
　　光源の運動： (x, y) = (vt, L)　　(v ＞ 0とする）
光源が時刻 t0 に発した光を、観測者が観測する時刻 をt1とすると
　　t1 = t0 + √{(vt0)^2 + L^2} / c
が成り立つ。t0から非常に短い時間 dt0 だけ経過した時刻 (t0 + dt0) に発した光が観測者に届く時刻を (t1 + dt1)とすれば、dt1 と dt0 の比は、微分係数
　　dt1/dt0 = 1 + v^2/c・t0/√{(vt0)^2 + L^2}
であらわされる。
光の周期は十分に「非常に短い時間」と言えるので、dt0 を光源から時刻 t0 に発せられた光の(S1の時間で計った）周期とすれば、その光を観測者が観測したときの光の周期が dt1 と言える。
したがって、光源から時刻 t0 に発せられた光の（S1の時間で測った）振動数を ν0、その光を観測者が時刻 t1 に観測するときの振動数をν1 とすれば、
　　ν1 = ν0 / [1 + v^2/c・t0/√{(vt0)^2 + L^2}]
t0 = 0、つまり光源が x = 0 を通過する時点で発した光の場合、ν1 = ν0 である。したがってこの時、相対論的な時間の遅れを考慮しない非相対論的ドップラー効果は生じない。
時間の遅れを考慮すると、時間 dt0 が経過する間の光源の時間（固有時間）dτは
　　 dτ = dt0・√(1 - v^2/c-2)
なので、固有時間で測った光源の振動数νは
　　　ν = ν0 / √(1 - v^2/c-2)
つまり、(t0 = 0 のときは)
　　　ν1 = ν0 = ν・√(1 - v^2/c-2)
なので、観測者が時刻 t1 (= L/c) に観測する光の振動数は、光源の時間で測った振動数 ν よりも小さくなる（つまり赤方偏移）。これを（狭義の）「横ドップラー効果」と呼ぶ。