自己解決(かな?)
「シュ〜解 とは 固有関数解の重ね合わせで表せる解が全てである」
固有関数族が完全系をなすなら、ほぼ自明。
どっかの教科書で見たが、よくある幾種かのハミルトニアンでは完全系が示せる。
より一般的なハミルトニアンについては載ってなかった記憶。
有限次元エルミート行列なら単純な線形代数の問題。
その無限次元版と思えばいいが、厳密にはヒルベルト空間論を勉強しないと...。

「定常状態ならば常に固有関数解」これは嘘
V(x) = {互いに無限壁で隔てられた井戸型が左右２つあるポテンシャル}
ψ(x,t) = ψ1{左側局在の固有関数解} + ψ2{右側局在の固有関数解}
これも定常状態ではあるが、 E1≠E2 の時は固有関数解ではない。
(「無限壁で隔てられた」とかナシでなんての言い出すとキリがないので、この質問はここまで)