>>539
横から。

定常状態の定義がおかしい（問題点は後述）。定常状態は、時間発展によって状態が不変なものとして定義される。
量子状態は射影ヒルベルト空間の元（ヒルベルト空間で複素数倍を同じ状態とみなす）なので、定常状態|ψ(t)>は
|ψ(t)>=c(t)|ψ(0)>
と書かれる（c(t)は複素数）。

シュレディンガー方程式に代入すると、
i c'(t)|ψ(0)> = c(t) H |ψ(0)>
となる（Hはハミルトニアン）。

したがって、
H |ψ(0)>= i c'(t)/c(t) |ψ(0)>
となるので、|ψ(0)>は、i c'(t)/c(t) をエネルギー固有値とする固有ベクトルとなる。

あなたの例(>>539)を使って、「|ψ(x,t)|^2 が不変なことを定常状態とする」ことの問題点を述べると、
|ψ1>, |ψ2>をそれぞれ左側、右側の局在状態として、

例えば物理量としてエルミート演算子
A=|ψ1><ψ2|+|ψ2><ψ1|
を考えると、これの期待値
( <ψ1|e^{i E1 t}+<ψ2|e^{i E2 t} ) A ( e^{-i E1 t}|ψ1>+e^{-i E2 t}|ψ2> )
は、時間に依存して変化してしまう。あらわには、
<A>=2 cos[(E2-E1)t]
となる。

物理量を測ると時間に依存してしまう状態を定常状態とは言わんよね。