ウィキペディアでは自然単位系というのを使ってるので、実質(-c,1,1,1)なんです

ds^2=-c^2dτ^2=-c^2(dt^2-dr^2/c^2)=-c^2dt^2+dr^2

上に書いたやつもそれと同じなんですけどねぇ
普通の意味でもあなたの意味でも平坦ですね

あと、ウィキペディアの式を書き換えましょう
dτ^2=-ds^2=dt^2-dr^2=dt^2√1-(dr/dt)^2=√(1-V^2)dt^2

平坦じゃなくなってしまったんですかね、、、