じゃ、重力のある場合を考えてみましょうか
重力のある時空のある座標系をKとします
Kのある点Pにおける局所慣性系をK0とします
K0に対してPでは等速度だけずらした座標系をK1とします
これはある意味ローレンツ変換ですね
あなたの考えによるとそうすると計量は変わってしまいます
つまり、K0を選ぶかK1を選ぶかで結果が変わってしまいましたね

困りましたね
Kでの固有時間や固有長は局所慣性系との比較によりはじめて意味が生まれるわけですが、Kにとってどの局所慣性系を選ぶのが正しいのか判断できませんねぇ