e_xとe_yをそれぞれx方向とy方向の単位ベクトルとすると
(x_1 e_x + y_1 e_y)・(x_2 e_x + y2 e_y)
= x_1 x_2 e_x・e_x + x_1 y_2 e_x・e_y + y_1 x_2 e_y・e_x + y_1 y_2 e_y・e_y
e_xとe_yはお互いに直交して大きさが1のベクトルだから
e_x・e_x = 1
e_y・e_y = 1
e_x・e_y = 0
これらを代入して終わり