代数学・幾何学・解析学スレッド

板が飛んだから
代数学と幾何学と解析学の話題をここでしよう

「せよ」を「しろ」にするの、流行ってるのか？すげーダセーんだけど。

「しやがれ」

必殺極悪人参上

「せよ」なんてのはもはや古語だからな。

数年前の主流は「しやがれですぅ」だったんだが今は何が流行ってるんだろう

>>231
天才乙

このスレの奴頭良すぎ

この程度の最低限のレベルについて行けない人はお帰り下さいまし。

猫

それじゃあ貴方の言う閉鎖社会だな｡

迷惑感情を持たれない程度に食い下がって必死に付いて行き､
やがては対等に論議できる様に努力するべきだな｡

猫は閉鎖的売国奴、つまり、猫は最悪｡

>>240
そういう誤解をされても困りますね。『レベルが低い人はレベルを上げてから
参加しなさい』という意味ですけどね、でも『誤解をスルのも貴方の勝手』で
すからね。だからお好きにどうぞ、私は貴方みたいな人は徹底的に攻撃スルだ
けですから。そもそも貴方みたいに議論が全く成立しない連中ばかりだから私
は何も気にはしてません。

まあでも私を『閉鎖的な売国奴』という記述があった事は鮮明に記憶に留めて
おきます。貴方とは今後何年にも亘って戦いが続くんでしょうね。

猫

>>241
氏んで下さい

>>242
そもそもはアンタ達が騒ぐから「こういう展開」になったんですね。だからもう
後悔しても遅いですね。つまり諦めるしか他にアンタ達には選択肢がアリマセン。

猫

∂1は∂2。。。こんな書き方許していいのか？D１、D２にしろよ。

は？

初等的な範囲で
代数、幾何、解析が交わる面白い分野といったらどこですか？

函数論とか表現論とかですかね。まだ他にもアルのかも知れんけど。

猫

数論

ああ、なるほど。

猫

z=f(x,y)
でx=rcosθ,y=rsinθのとき
って○+1/r∂z/∂r+○＝〜〜〜って関係があるんだけど

これってrの変わりにθでも

△+1/θ∂z/∂θ+△=〜〜〜って関係にもなるの？

x=rcosθ、y=rsinθの時に限るの？

>>250
教科書読め

>>251
いやいや教科書にのっているとかじゃなくて、何で連鎖律とか∇の事を
極座標で考えるの？一般的にz=f(x,y,z・・・)のとき

x,y,z=g(t1・・・・tl)のとき
△+1/θ∂z/∂θ+△=〜〜〜みたいな関係ってどこにあるんですか？

質問の意味がわからない。そもそも
＞○+1/r∂z/∂r+○＝〜〜〜
って何？○が二回出てくるのはなぜ？

>>252
普通にただ計算すればいいだけのことをいちいち訊くな

>>236
「するんだよ」

それにしても極座標のラプラシアン導出の面倒さは酷かった
シュレーディンガー方程式なんかに使うからしょうがないけど

ところでオイラーの公式使って複素平面での三角関数の合成って可能？

三角関数の合成って
http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/trifuncCombine/
のこと？

何でナブラからのラプラシアン導出を極座標で考えるの？
普通に１回微分と２回微分っていう説明でいいじゃん

猫

>>259
必要ないなら考えなくてもいいよ。

>>258
そうそう、普通はxy平面で三角関数の加法定理の応用として考えるけど
オイラーの公式exp(iθ)=cosθ+isinθの左辺も複素平面でやれば
√(1+i)sin(θ+π/4)=√2sin(θ+π/4)
ってなってまるっきり同じことができそうだけども
こんなんじゃあ整合性とれないよなぁ

何で微少変化df、f=(x,y)を考える
と
df=f(∂/∂x)dx+f(∂/∂y)dyなんですか？

例えば円の面積Sで半径r、円周aとします
微少変化dr,daとすると,(r,a)のときπ=a/2rより

dS=((r+dr)^2)・(a+da/2(r+dr))-r^2・a/2rとなりますよね？
この場合

dS=S(∂/∂r)・dr+S(∂/∂a)・daの関係になりますか？

円周は半径の函数だからならない

>>264
kwsk

f(∂/∂x)って何？

>>265
円の面積は半径のみで決まるからならない。

>>266
すまん

6f/6xって意味です・・・

３割で7500、7500の10割っていくら？

お願いします…

コピペでも喰らえや。

猫

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319 名前：ウザい猫 ◆MuKUnGPXAY ：2010/11/01(月) 23:59:31
ワシはアンタ達を許すという考え方は微塵もアリマセン。なので徹底してココ
に居座らせて戴きますから思いっきり嫌な思いをして下さいませ。ソレが無記
名で名誉棄損や誹謗中傷、はたまた他人のプライバシーを無責任に喰い荒した
報いというモノですワ。

猫

痴漢事件でプライバシーも何も無くなっちまったから
最後まで2chに付き合ってやるわｳﾞｫｹﾞってことですか

>>271
アンタは誤解してるワ。そういう事じゃないのや。ワシのプライバシーなんて
まあ自分でワザと小出しにしたっちゅうんもあってや、「釣りの餌」としては
結構巧く機能したのは見てて判ったやろ。そやから馬鹿共が仰山釣れたのや。
そやけどワシみたいに反撃せえへん無抵抗な人達のプライバシーをアンタ等は
思いっきり喰い物にしたやろ。そやからワシがアンタ等に報いてんのや。

まあ「頭が悪い」から理解が出来へんのやろけどナ。

猫

>>272
セックスボランティアを結成し、お金が無くても抜き放題、ヤリ放題の地上のパラダイスを創るのでは無かったのか？

>>272
撒餌を食われて不愉快ということか

>>274
そうではなくて「どういう順番でどういう餌を撒くか」を当初から考えながら
書き込みましたね。カミングアウトもかなり上手く行きましたしね。

猫

〔代数〕
　h(x) はm次の多項式とする。非負整数kに対して
　f(h(x)) = h(f(x)),
を満たす m^k 次の多項式f(x)が存在することを示せ。


http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1136720573/73-76
　casphy - 高校数学 - P(x)

中国剰余定理のネーミングがね。

猫が寝転んだ。

陰関数定理の問題です。

2変数関数
F(x,y)=e^(y-x)-sin(xy)-1において
G={(x,f(x);|x|<1/2,|y|<1}では
y=f(x)がただ一つ存在するそうなんですが
何ですか？y=f(x)がわかりません。

>>277　でもイデアルはいいよね。ネーミングが。

いま微分積分と線形代数勉強してるんだけど
これってどこが面白いの？
産業で教えて

う
ん
こ

>>281
その二つはただの道具

断層撮影・フーリエ変換とか

フーリエ解析極めれば株で大金持ちになれるよ

絵に描いた餅。

猫

>>283
でも線型代数の研究をしてる人もいるよね。
未解決問題が沢山あるけど。
ただの道具とは言い切れないのでは？

L^p空間の関数がどんな物か今一わからん
たとえばf∈L^p(0,1)なら ∫[0,s] |f| はどれくらいのペースで0に収束すると言えるんだか

>>288の書き込みは無かったことにしといてくれ

線形代数と微分積分勉強したら次何いくのがオヌヌメ？
教えてエロイヒチオ！

複素解析

数学は、その研究をしている人以外には、ただの道具。
数学の研究をしていても、専門外の数学はただの道具。

数学で何かをヤル場合は代数とか幾何とか解析を区別せずに、何が目的で何が
道具かを区別しないほうが格段に面白いと私は思いますね。何かをヤル時に道
具を開発スルのも研究のうち。

猫

>>293
ITA!

ヨッフム

∫_(0,1) f(t)dt < ∞ をみたす単調非増加関数 f : (0,1] → (0,∞) で
limsup(x→0) ∫_(0,x)f(t)dt / (xf(x)) = ∞ となるような関数はある？

奈良県 高校偏差値 ランキング 2010
http://momotaro.boy.jp/html/narahennsati.html

>>296
存在しない

このところ、不眠や

失業したら良く眠れる様にナルかも知れませんナ。

猫

なんだ十分眠れてるんじゃないか

もはや睡眠薬と精神安定剤と抗不安薬は不要にナリマシタね。お陰様ですワ。
なので今の病気は金欠病。クスリはアラヘンけどナ、既に国がその病気やさかいナ。

猫

退屈な授業中の暇つぶしに使えそうな数学的落書きありませんか？
ちなみに、数学的落書き紹介動画シリーズ「Doodling in Math Class」をご紹介。
http://www.frablo.jp/2010/12/07/doodling-in-math-class/

トリップの集合と４桁の数字英文字の集合とは全単射が存在しますか？

線形代数の分野での質問です
行列のn乗の有効利用としてのペル方程式の整数解を全て求められるはなぜでしょうか？

例えば具体的には x^2-3y^2=1 というペル方程式を満たし
連続する三つの整数解より
(2,-1)→(1,0)→(2,1)　⇒ A(2,-1)=(1,0),A(1,0)=(2,1)
これよりある二次正方行列Aを求め,ある整数解にこの一次変換を作用させると
次の整数解が得られることに着目して,A^nを求め
一般解(x_n,y_n)=A^n(2,±1)(n:自然数)を得る

実際に代入してみると当てずっぽうでは得られないような解も簡単に得られ
この不定方程式を確かに満たすようです。
非常にエレガントに行列が応用されているように感じるのですが
なぜ行列が出てくるのかの原理的な部分や解が網羅される理由等まったくわかりせん
色々やってみて今わかったことは
・行列の表す一次変換に対して満たすべき不定方程式である双曲線は一種の不動曲線
・行列の導出に使う三つの整数解は曲線上で隣接・連続していなければならない
ぐらいです…
詳しいことを知っている方がいらっしゃれば原理等お願いします

>>305
曲線を保つ一次変換を考えてるだけじゃねーの？

>>306
それはなんとなく分かります
ある解に一次変換を作用させて得られたものも解となっているのは
その点を通る曲線を一定に保つような一次変換なので当然なのですが
(x,y)A=(x',y')としたときの(x,y)と(x',y')の間には
整数解は存在しない(実際にやってみるとそうなる)ということが
説明できないように思うのですが…

別にあってもいいじゃん。

>>308
行列のn乗では表現できない解(解とその変換の解の間の解)
があっても問題ないってことですか？

別に一個で全部まかなう必要ないやん

>>310
えっと、一体その解はどうやって求めたらいいのでしょうか？

さあ？

>>311
そもそも種にする最初の解はどうやって求めたの？

ペル方程式x^2-Dy^2=1(D:自然数)
では(1,0)は必ず自明な解として存在するので後は地味にxを増やしていって
当てはまるyを気合で求める、その解を(α,β)とするとx軸対称だから
(α,-β)も解になるのである一次変換Aで(α,-β)→(1,0)→(α,β)
要するに(1,0)の次の解だけは自力で探さなないとだめそうです

>>305
Pell方程式の解(x,y)のが決まると必然的に解は(a,±b)の形で表わされる。
勿論、(1,0)も解になる。
そして、任意の解(a,±b)に対して
A(a,-b)=(1,0)、A(1,0)=(a,b)
を満たす行列Aは唯1つ存在する。
このとき、A^2(a,-b)=A(1,0)=(a,b)が成り立つ。
つまり、任意の自然数nに対して
A^{n+2}(a,-b)=A^{n+1}(1,0)=A^n(a,b)
が成り立つ。よって
A^n(a,b)、自然数nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(a,-b)
は解になっている。一方、
A(a,-b)=(1,0)、A(1,0)=(a,b)
を満たす正方行列Aが存在するとした時点で解(a,±b)は存在してる。
まとめると、解(a,±b)全体と
A(a,-b)=(1,0)、A(1,0)=(a,b)、(a,±b)はPell方程式、
を満たすような正方行列Aとの間には全単射が存在するから、
例として挙げたような一般解(a,±b)が正方行列Aを用いて求められる。
そして、一般解は1つ解(a,±b)を固定すると
A^n(a,b)、自然数nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(a,-b)
のように表わされる。

訂正：>>315の
>A(a,-b)=(1,0)、A(1,0)=(a,b)、(a,±b)はPell方程式、
は
A(a,-b)=(1,0)、A(1,0)=(a,b)、(a,±b)はPell方程式「の解」、
の間違い。

>>315
詳細な説明ありがとうございます
行列のn乗を使った一般解が当然Pell方程式を満足することは分かりました
ちなみにPell方程式を満たす全ての整数解が他に存在しないこと
を示すにはどうしたらよいでしょうか？
それとここで求めた行列の意味は、Pell方程式の表す図形を変形しない以外に何か意味があるのでしょうか
たとえば、基底ベクトルを変形させてできるその斜交座標にある意味、この行列を相似変換・回転行列とした時の意味等とか…

トーラスの有理点の集合を表現空間とするウンたらかんたら

>>318
二次不定方程式なのにトーラスが出てくるとは…
詳細は分からないですがこの問題も奥深いですね…

とりあえず複素変数で考えよう

>>317
>Pell方程式を満たす全ての整数解が他に存在しないこと
は次のようにして示せる。

1つ解(a,±b)を固定して定まる一般解
A^n(a,b)、自然数nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(a,-b)
の他に解(c,±d)が存在したとする。
すると解(c,±d)に対して或る正方行列Bが存在して一般解
B^n(c,d)、自然数nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
が構成される。このとき、(a,b)に対して或る自然数mが存在して
(a,b)=B^m(c,d)が成り立つ。よって一般解は
A^nB^m(c,d)、自然数nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
と表わされて、正方行列について、
任意の自然数nに対してA^nB^m=B^nが成り立つ。
つまり、n=mとすればA^mB^m=B^mであって、
Bは正則行列だから、A^m=Iとなる。
同じくAも正則だから、Aは一般線型群GL(2,R)に属し、A^m∊GL(2,R)。
従ってA=Iであって、B^m=I∊GL(2,R)から
(a,b)=B^m(c,d)=(c,d)が得られて矛盾。

>>317
>それとここで求めた行列の意味は、Pell方程式の表す図形を変形しない以外に何か意味があるのでしょうか
>たとえば、基底ベクトルを変形させてできるその斜交座標にある意味、この行列を相似変換・回転行列とした時の意味等とか…
これは複素平面上でPell方程式を考えないと意味がないと思うが、
そうするとPell方程式の解(x,y)が複素数解になって、
正方行列Aは一般線型群GL(2;C)に属することになるが、
単にA∊GL(2;C)っていうことだけだとAに特別な意味はないと思う。
ただ、解である基底ベクトル(a,±b)の間に
片方が他の片方に対する正則行列の作用によって表わせるということはいえる。
あと、相似変換っていうのは行列に対するスカラー積の作用のことをいっていると思うが、
解が
A^n(a,b)、自然数nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(a,-b)
の形で表わされる以上、それに意味はないと思う。

猫

>>317
>>321の
>(a,b)=B^m(c,d)が成り立つ。よって一般解は
>A^nB^m(c,d)、自然数nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
>と表わされて、…
このあたり、ギャップがあるというか、間違いがあるから、次のように訂正：

よって一般解は
A^nB^m(c,d)、自然数nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(a,-b)
または
B^n(c,d)、自然数nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
と表わされて、正方行列Bについて、或る自然数kが存在して(a,-b)=B^k(c,d)、が成り立つ。
このとき(a,-b)≠(c,d)だからB^kは正則行列で、(c,d)=B^{-k}(a,-b)。
従って一般解は
A^nB^{n-k}(a,-b)、自然数nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(c,-d)
の形で表わされる。
一方、(a,-b)及び(c,d)に対して或る自然数iが存在して(a,-b)=B^i(c,d)が成り立つ。
従って、一般解は
A^nB^{n-k+i}(c,d)、自然数nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(c,-d)
の形で表わされる。この形と
B^n(c,d)、自然数nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
の形で一般解は表わされるから、正方行列A、Bは正則であることに注意すれば、
任意の自然数aに対して或る自然数bが存在して、A^aB^{a-k+i}=B^b。
逆に、任意の自然数bに対して或る自然数aが存在して、A^aB^{a-k+i}=B^b。
つまり、A^aB^{a-k+i}=B^bを満たす自然数a、bの間には全単射が存在する。
a、bを共に非負整数としても同様。
一方、任意の整数a、bに対して、A^aB^{a-k+i}、B^b∊GL(2;R)。
従ってb=|-k+i|に対して定まる自然数aについて、A^aB^a=(AB)^a=Iからa=0。
そして、この自然数bについてb=-k+i≧0であって、このときb=-k+i=0。
故にk=iが得られて、一般解は
A^nB^n(c,d)、自然数nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(c,-d)
の形で表わされる。

>>324の続き：

よって一般解は
A^nB^n(c,d)、自然数nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
つまり
B^n(c,d)、自然数nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
と表わされて、正方行列について、
任意の自然数nに対してA^nB^n=B^nが成り立つ。
このとき、Bは正則行列だから、A^n=Iとなる。
同じくAも正則だから、Aは一般線型群GL(2,R)に属し、A^n∊GL(2,R)、nは任意。
従ってA=Iであって、一般解が(a,b)に限られて有限個存在することになり矛盾。

あとの細かいギャップ埋めは紙の上でして下さい。

掻い摘んで説明してくれ

たしかに。
読む気が起こらない。

>>326
>>324をまとめると、要は
A^aB^{a-k+i}=B^bを満たす自然数a、bの間には全単射が存在する。
a、bを共に負整数としても同様で、
A^aB^{a+k-i}=B^bを満たす負整数a、bの間には全単射が存在する。
これを示すことが重要ってことだ。
あとはk>i、k<i、k=iと場合分けするようにして考えればいい。

> このとき、(a,b)に対して或る自然数mが存在して (a,b)=B^m(c,d)が成り立つ。

のはなんで？

>>329
(a,±b)と(c,±d)は異なる解と仮定しているんだから、
これが成り立つと仮定しても一般性を失わないだろ。

？