実際に計算してみて思ったのですが、
自明解(1,0)に隣接する二つの解(a,±b)でなければ、全ての整数解を表せそうもないです
x^2-3y^2=1　では(1,0)(2,±1)(7,±4) などが見つけやすい解ですが
(7,-4) -A-> (1,0) -A-> (7,4)　を満たす一次変換Aはもちろん存在しますが
(x_n,y_n)=A^n(7,±4)(n:自然数)　では全ての解を表現できていないのは明らかです
事実nが自然数であることから(2,±1)はこの一般解に含まれていないように思えるのですが
どうなのでしょうか？