【グラフ理論】離散数学／情報数学 2【組合せ論】

グラフ理論面白い

とりあえず１乙。明日からがんがれ

【計算機科学】計算幾何学スレ【じゃないよ】
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1263048852/

離散数学の研究が盛んな大学は、どこだろう？
国内と海外それぞれ。

大学というより、むしろ秋山仁じゃね？

秋山仁というより、むしろペーターフランクル

>>7
国内・グラフ理論なら
慶應、横国、理科大、茨城大
辺りが院生も多い

グラフ理論の最先端ってどんなテーマがあるの？

グラフ理論というと
なんか情報やコンピュータ系の印象なのですが
数学科でやってるんですか？

結び目理論とかすか？

>>11
最先端というより、むしろ4色問題じゃね？

縁結びの理論

俺からあの娘まで、非連結グラフ。
ばかかー

でも、本当に「結婚定理」というのはあるよ。二部グラフが完全マッチングを持つ必要十分条件っていうやつね。

有向グラフで頂点に入ってくる辺と出ていく辺は何と呼べばいいですか？
それぞれの本数は入次数と出次数というのはWikiにも載ってるんですが。
教えてください。できれば英語もお願いします。

>有向グラフで頂点に入ってくる辺と出ていく辺は何と呼べばいいですか？

入力辺、出力辺でわかると思う。せいしきなことは知らんけど。

＞グラフ理論の最先端ってどんなテーマがあるの？

ｎ点の平面グラフを埋め込むのに必要な面積をｎの関数で表すこと。

整数ベクトル(a, c)^T, (b,d)^Tで、aとｃは互いに素、bとdは互いに素のとき
行列A=((a, c)^T, (b,d)^T)について

det(A)=ad-bc=N+1

ここで、Nは(a, c)^T, (b,d)^Tが張る平行四辺形に含まれる点の個数。

はどうですか？

>>20

ミンコフスキーの創始した数の幾何学の話題やな。
最先端と言うより古典的な範囲になるんとちゃうか。
最近では格子の幾何を暗号理論に応用する研究もされているらしいので
そういう意味では最先端なのかもしれん。

>>21
平面グラフの埋め込みの意味も知らないど素人なんですが
>>20は>>19と関係ありますか？

Aのはる平行四辺形の面積=det(A)=ad-bc=N+1

計算幾何学 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A8%88%E7%AE%97%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6

グラフ理論は、これからますます重要になると思う。

平面グラフの三角形の数、四角形の数、五角形の数、六角形の数・・・
というように、面の数だけでなくもっと詳しく面の構造を
求めるアルゴリズムってあるのでしょうか？

計算幾何学？

構造主義的離散数学

離散幾何学って、どんな幾何学なの？

位相幾何学的グラフ理論ってのも気になる。

>>18
ありがとうございます。
ググってみたら使用例もかなりあるようで使わせていただきます。

離散数学の授業を聴講したい

離散数学

数論は離散数学か否か？

スレタイに情報数学ってあるところをみると、
このスレって工学系の人もいるのかな？

情報工だけど何か

物理/工学系の数学
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284697219/

面白スレ発見
普通、情報数学って、群論とかの話ではないものなのかな？

群・環・体論は情報理論でちょっと出てきたぐらいか
授業まじめに聞いてなかったからかよくわからん

離散数学で群論やるね

>■離散数学に属する主な分野
>・グラフ理論
>・組合せ論
>・マトロイド理論
>・デザイン理論
>・離散幾何学

情報数学に含まれる分野についてもまとめておいてほしい。

123 名前:１３２人目の素数さん :2010/09/25(土) 09:52:02

＞純粋数学する人たちが集まって会社作って
＞どうやって収益あげるの？

Googleの検索システムは、グラフ理論の応用だってさ。

数論やってた人は、暗号ソフトの会社。
代数幾何やてた人は、符号ソフトの会社。
数値解析やってた人は、数値解析ソフトの会社。
確率やってた人は、トレーディングソフトの会社。

１．数論やってた人は、暗号ソフトの会社。
２．代数幾何やてた人は、符号ソフトの会社。
３．数値解析やってた人は、数値解析ソフトの会社。
４．確率やってた人は、トレーディングソフトの会社。

２だけ関連性がよくわからん。
符号理論は代数幾何のうえに組み立てられているのか？

やはり、グラフ理論の時代よの。

この世をばグラフ理論の世ぞと思う。

私は鳥が歌うように、グラフを描きたい。(クロ・モネ（画家）)

＞Googleの検索システムは、グラフ理論の応用だってさ。

共立出版から「ＰａｇｅＲａｎｋの数理」という本が出ている。
線形代数、グラフ理論、マルコフ過程などのおさらいになる。

＞数論は離散数学か否か？

整数という離散量を扱うので離散数学に含めてよいと思う。

googleの検索って、自己相関行列とかを使っているのかと思っていた。

＞離散幾何学って、どんな幾何学なの？

組み合わせ幾何とどう違うのかな？

>>47

これから「ＰａｇｅＲａｎｋの数理」を読んでいくのでわからんことがあったら教えてな。

符号理論は群論のイメージがあるけど。

誤り訂正符号とかには、多項式がいっぱいでてくるね

任意の整数xは、平衡３進法で
　x = Σ[n=0,h] 3^n･t_n,　
と表わされる。（ただし t_n =-1,0,1　n>h のとき t_n=0）　

0 と t の互換を σ(t) と表わす。
　σ(t)^2 = I,
　σ(0) = I,

これが〔問題１〕の答え？

>>55
〔問題２〕の下準備か・・・ゴメン

この等式を集合演算の性質を用いて示せ。
（１）A−（B∪C）＝（AーB）∩（AーC）
（２）Aー（B∩C）＝（AーB）∪（AーC）
（３）（¬A∪B）∪（A∪¬B）＝（A∩B）∪（¬A∩¬B）
（４）（¬A∩B）∪（A∩¬B）＝（A∪B）∩（¬A∪¬B）

幾何学的群論的グラフ理論

離散数学連盟

離散数学共和国

>>52 >>54
分子遺伝学的に云えば、遺伝子（DNAやRNA）の塩基が３種類 以上（望ましくは４種類 以上）あれば、
どんなに多くの種類の（RNAや蛋白質）でも表わすことができるってことでつね。

>>61
どういうことかkwsk

>>61
効率は悪いが塩基は２種類でも表せるのでは？
DNAは塩基対でペアを組むから偶数種類が都合がよい

>>61
　コンピュータは２値（2進数）ですべての情報を表現していまつが････

　同じパターンが繰り返す、ということが遺伝情報の発現に不都合なんでつか？

多項定理おもすれー。
ttp://www1.c3-net.ne.jp/kato/pascal/index.html

群論との絡みもあるのかな？

合同会社離散数学商事

>>61
非可算無限は表せないな。

グラフ理論は楽しい

>>64
　未解決問題

(a+b+c)^n
x(a,b,c)a^ab^bc^c
nCa(n-a)Cb(n-a-b)Cc=x(a,b,c)

n!/a!(n-a)!*(n-a)!/b!(n-a-b)!*(n-a-b)!/c!(n-a-b-c)!
=n!/a!b!c!(n-a-b-c)!=n!/a!b!c!

(a+b+c+d)^n
x(a,b,c,d)=n!/a!b!c!d!

x(a,b)=n!/a!b!

2!/1!1!=2
2!/0!2!=1
2!/2!0!=1

>>70 >>71
c=n-a-b だから３個目の (n-a-b)Cc はいらないのでは？

離散数学科作って！

コンビとれば？

解散でソロですか。

猫に小判、まで読んだ。

猫

グラフ理論的幾何学

　

グラフ理論は凄い

>>63
2種類で21種のアミノ酸を指定するにはコドンは5個必要になるな

コドンの区切りがどうなっているのかいつも不思議に思う。
例えば開始コドンを | 00000 | として
| 11000 | 00111 | ...
が
11 | 00000 | 111 ...
と解釈されてしまわないのか

聴講したい

これからは離散数学の時代かな？

離散数学

IT以外の分野で、離散数学を応用している分野は？

>>86
工学部（計算機使うから）

そう意味では、ないだろうｗ

>>88
正直すまんかったｗ
誰も突っ込んでくれないから、一人で悲しんでた(´・ω・｀)

かまってちゃん

>>89
（・へ・）

>>87
工学部の計算は大抵の場合、何でも線形問題に落として
行列計算することが多いから、間違いではないよ。

ここでいいのか分からないが、ラムゼーの定理について質問させてくれ。

ラムゼーの定理：ある６人がいて、それら６人は知り合いと知り合いでないそれぞれ３人づつに分けられる

６人を{a,b,c,d,e,f}として
鳩ノ巣の原理の拡張（知り合いか知り合いでないかは３人以上）により
aと知り合いの組は６−a＝５人なので{３人２人}と{４人１人}のみ分けられる。逆は同じことなので除く
このとき{３人２人}の証明は分かったのだが

{４人１人}に分けた場合グラフをつなげてみたら
aと知り合いである人らのグループとお互いに知り合いでない人らのグループが、
５人{a,b,c,d,e}と５人{b,c,d,e,f}でつくれる。
これから重複を取り除いて３人と¬３人のグループにしたいのだがどうやるの？

>>93
ラムゼーの定理を勘違いしていると思うよ。
確か、互いに知りあい同士の３人がいるか、もしくは、互いに全然知らない人３人がいるか、
どちらか一方は必ず成り立つ。という定理だった気がする。

グラフ理論大好き

巡回指数ってやつの証明が乗ってる日本語の本教えてください。

グラフ理論のオススメの教科書は？
学ぶにあたり、前提として知っておかなくてはならない知識は何？

秋山仁の仕事

グラフ理論

グラフ理論を義務教育の必修科目に！

巡回指数というかポリアの定理の証明が乗ってるやつでいいです。

「確率と計算：乱択アルゴリズムと確率的解析」（共立出版）
確率とアルゴリズムの両方に興味がある人にお奨めの１冊。

グラフ理論のオススメの教科書は？
ディステールの書いたグラフ理論の本が内容が充実していていいみたい。
（自分は持っていないのだけどね）

グラフ理論を義務教育の必修科目に！

中学：オイラー閉路、ハミルトン閉路、握手の定理
高校：クラフトスキーの定理、ラムゼーの定理、結婚の定理

離散数学って数学なの？

離散数学＝整数論

>>104
賛成

>>103
ググっても出ないけど誰それ？

amazonで検索したら一発で出たよ。
黄色い本だったよ。

ディーステルじゃねえか

グラフ理論の本というのは書棚を見てもあまりないな。
離散数学とか情報科学関係の本で自然と勉強していた感じだな。
数学的準備の章とかにグラフ理論の解説が出ていたりするしね。
自分の場合はグラフ理論は応用のための学問という感じやな。

基礎理論としての可能性を、感じるよ。

義務教育に離散数学を導入するの、良いと思われる。

r≧nであると仮定する．
このとき，二項係数をC(n,k)のように表現するとする．
ただし，C(n,k)はn個からk個を取 り出すときの，組み合わせの総数である．
n個の異なる箱に，区別がつかないr 個の玉を入れるとする．

ひとつの箱には少なくとも1つ以上の玉を入れなければ ならないとすれば，
その入れ方の総数は C(r-1,n) になることを説明せよ．

この↑の問題がよくわかりません。
数学が得意な方、解き方をご指導下さい。

>>113
場合の数と確率の単元がそれ。

>>114
C(r-1,r-n)じゃね？

>>116
C(r-1,n) と書いてあります。

>>115
グラフ理論を！

>>117
> C(r-1,n) と書いてあります。
そうだとすれば、r=nのときに計算できなくなるし、
n=1のときに一通りしかないことと矛盾する。

ラムゼーの定理は選択公理なしでは証明も反証もできない
不思議な定理。

Zornの補題は選択公理なしでは証明も反証もできない
不思議な定理。

>>114

ｒ個の玉を一列に並べてr−１個のスキマからｎ−１個のスキマを選んで
玉をｎ個の箱に分配すればいいから、C(r-1,n-1)通りになるな。

＜まろの定理＞
木のある頂点Ｓから別の頂点Ｇへの経路を深さ優先探索（ＤＦＳ）で探すことを考える。
ＤＦＳで走査した距離の最小値をｄ１、最大値をｄ２とするとき、木の全長をｄは
ｄ＝（ｄ１＋ｄ２）/２である。ただし隣接する頂点間の距離は１とする。

グラフ理論の用語はおもしろい。
木、林、葉、道、ひまわり、・・・
植物園にいるみたいだな。

>>124

ｄ１は１度も木の走査時にバックトラックしない場合の距離だな。
ｄ２はバックトラックしまくった場合の距離だな。

すいません。問題文に誤りがあったようです。

>>114は C(r-1,n)のところを

C(r-1,r-n) ＝ C(r-1,n-1) になることを説明しなさい。

にしてください。

もう解答出てるよ

>>122が解答ですか？

>>122のスキマとは何を指しているのですか？
教えてください。

隙間を指しています

>>130
何故、そのスキマが関係あるのか教えてください。

なんだ、愉快犯か

パイズリ

>>131
横レスですが、>>122の行間を埋めるとこうなります。

ｒ個の玉を一列に並べると切れる場所はr−１箇所ある。
そのうちｎ−１箇所で切ったら玉はnグループに分かれる。
nグループの玉をそれぞれ別の箱に入れるとｎ個の箱に分配される。
すなわち>>114はr-1個からn-1個を取り出すのと同じである。
したがって総数はC(r-1,n-1)になる。

グラフ理論を学ぶのに最適な日本国内の大学って、どこだろう？
東大計数工学科？

>>134
ご説明ありがとうございます！

最近は作用素環と関係あるんですか？
小沢先生がグラフのことやってた気がするんですけど。

G=(E,V)において,|V|=nのとき隣接行列をA(n×n)，単位行列をI(n×n)とすると
可到達行列は(I+A)^(n-1)で与えられるようですがどなたか説明お願いします

I-Aを掛けてみたくなるよな

>>135
グラフ理論やるなら有限群論や普通の純粋数学でもやった方がいい。
有限群の表現論の話になるとグラフ理論に似たことはいくらでも出てくる。
また、グラフ理論には有限群論からなだれ込んできた研究者が多くいる。
普通のグラフ理論の教科書を読むにも、途中からはジョルダンの閉曲線定理などが必要になる。

グラフ理論入門っていうの読んでるけど面白いね。

>>114の、玉と箱の問題って、
1個以上っていう制限があるから単純なコンビネーションの問題になるけど、
箱に0個以上何個でも入れていいって変えると、意外に素直に解けないな。
玉をn個増やして1個以上の制限をつけるっていうのを思いつく自信がない。

グラフ理論って理論じゃないよね。
体系だった理屈が何もないじゃん。

>>118
「グラフ」という言葉を函数のグラフに使ってしまっているので
指導要領的にはもう使えません。棒グラフとか折れ線グラフみたいに
なんらかの形容をつければ可能ですが。

具体的なグラフとして樹形図などをあつかったりはしますが、
グラフ理論としてある程度まとまりのある記述をするには
集合等の概念を習うまでは記述力が圧倒的に足りないので
その意味でもなかなか導入は難しいと思われます。

graphには図的な意味があるけど、
グラフ理論のグラフは図的に描くのは単に表現の一つに過ぎないんだから、
造語でも何でも、こっちの名前を変えた方がいいといつも思ってる。

俺案: NET理論
（ネットと、Nodes-Edges-Tupleをかけてるつもり）

箙理論にしようぜ

>>144
前半の事由は官僚的やね

>>146
読めねぇ……えびらか。
チェキラに似てる。

>>147
指導要領ってそんなもんよ。
行列による一次変換と複素平面がつねに二者択一なのも同じような理由。

グラフ理論なんて数学じゃないだろ。
よく言ってパズル。あんな陳腐で体系も糞もない素人数学者の遊び、
数学とよぶに値しないと思うが。

一般的に数学なんて数学と呼ぶに値しないパズルだぜ？

>>150
頭固いね

グラフ理論は、これからの分野だよ。

>>145
　ネットワーク構造を研究する分野だから、その〈NET理論〉って妙案だと思う。

そういえば、高校数学では複素平面を複素数平面と呼ぶけど、なんでだろ

今日からグラフ理論のことはNEET理論と呼ぶことに決定しました

複素平面は C^2 のことだから。

え？
大学でも複素平面ってCをｘｙ平面とみなすものだろ？

数学用語は英語の方が簡単

微分積分も英語の方がわかり易い

英語で実数や複素数を単に real や complex と呼ぶのは珍しくないので、
real line を (実) 数直線、complex plane を複素数平面と訳すのが
変だとは一概には言えない。

カバラもグラフ

位相幾何学的グラフ理論

あけおめ！

今年は俺も結婚定理

い

い

>>165
4回目に出会った人と結婚するのが吉

>>165
生涯結婚できんかもな

ピュアマスの良い入門書があまりないです。

包除の原理を，三つの集合の場合について説明しなさい。

これについて教えてください

普通に説明すればよい。つたなくても、自分の言葉で、自分の思ったことを伝えなさい。

>>172
解答例を教えてください

>>173
足したら足しすぎたので引いてみた、引いたら引きすぎたので足してみた。

>>174
ありがとうございます

母関数の問題です。数学が得意な方、解き方をご指導下さい。

�@ nを正整数とする。 5nセントを、1セント硬貨，5セント硬貨，10セント硬貨，25セント硬貨， 50セ ント硬貨で表現する方法は、 5n+3セントをこれら5種類の硬貨で表現する方法 と同じであることを説明せよ。


�A下の記述から、A1, A3, A5, A6を求めよ。 ただし、A1は「A」に「1」が添字として付いていることを意味している． A3, A5, A6も同様である。ただし，A1は「A」に「1」が添字として付いていることを意味している。 A3, A5, A6も同様。

負の二項展開から
1/(1 − z10)^5=∞Σk=0(k+4,4 )z^10kである。
また、 C'(z)=(A0+A1z+...+A31z31)/(1 − z10)^5=C'0+C'1+C'2z^2+C'3z^3+...

グラフ理論と位相幾何学的グラフ理論と線型代数的グラフ理論の違いは？

400 人の学年を考える。 英語， 数学， 国語の試験を実施した。 これらの科
目に合格した人数は、 それぞれ120, 140, 130 であったとする。 英語と数
学の両方に合格した学生は30 名， 数学と国語の両方に合格した学生が
50 名、 英語， 国語の両方に合格した学生が40 名であったとする。 すべて
の科目に合格した学生が10 名であったとする。 すべての科目に不合格
だった学生の数は？包除の原理を利用して説明しなさい。

>>178です。どうか模範解答をよろしくおねがいします！

こんな宿題、ベン図でも書いて自分で考えろ。

大学1年です。初心者向けの
おすすめの本あったら教えてください。

ペンズってなに？

肛門図です

サイエンス社から出てる
グラフ理論3冊組って網羅されてるの？

肛姦図です

>>180
わかりました
自分で努力します
アドバイスありがとうございました!!

母関数の問題ですが、どうしてもわかりません
どうか>>176の問題の解き方を教えてください

グラフ理論

>>188
この問題はグラフ理論なんですか？

<問題>二項係数をC(n,k)のように表現するとする。ただし，C(n,k)はn個からk個を取り出すときの，組み合わせの総数である。
n個の異なる箱に，区別がつかないr 個の玉を入れるとする。そのときの入れ方の総数は
C(n+r-1,r) = C(n+r-1, n-1) であることを説明せよ。

>>190の解き方をご指導下さい。
よろしくおねがいします！

ｒ個の玉○を横一列に並べる
○○○○○○○○...○○○○○○○
この中に、(n-1)本の仕切り“｜”を入れる
○○○｜○○｜○○○...○○｜○○○○○
(n-1)本の仕切りにより、玉は、nのグループに分けられる。（n個の箱に入れるのに対応）

上には、ｒ個の○と(n-1)個の｜がある。玉と仕切りは区別されない。
これの並べ替えは(r+n-1)!を、○同士の入れ替えの数n!と｜同士の入れ替えの数(n-1)!で割ったもの
(r+n-1)!/(r!(n-1)!)に等しい。

>>192
ありがとうございますm(_ _)m

構造主義とグラフ理論

離散フーリエ変換(DFT)、chirp-z変換(CZT)の問題です。お時間のある方、よろしくお願いします http://xfs.jp/j8pyX

>>189
いいえ、ただの叫びです。

>>195

質問で短縮URL書くとは、何たる自己中な奴ｗ

聞ける友達いないんだろうな。

p8r0

グラフ理論を義務教育に

どなたかこの問題を教えてください。おねがいしますm()m

■問題1

・ 0と1からなる、長さがnの系列で、0が連続していないものの数をa^nとする。
<例>01101011010

これの漸化式は、 a^n ＝ a^n-1 + a^n-2 である。
何故こうなるのかを求めよ。

[ヒント]一番最後が０、１の数を数えてみると見えてくる？

■問題2

・あるグラフがあるとする。
　そのグラフがハミルトングラフでないことを「次数が2の頂点」という言葉を用いて、説明せよ。

age

難しすぎ

>>200
■問題1









a^nのうち末尾0の個数をa^n(0)、末尾1の個数をa^n(1)としたとき

a^n = a^n(0) + a^n(1)

ここで、a^n-1に含まれる数列の末尾が1と0のどちらでも、その後に1を付加した数列は
a^nに含まれる。一方、0を付加することができるのは末尾が1の場合のみ。
このことから、

a^n(0) = a^n-1(1)
a^n(1) = a^n-1

つまり

a^n
= a^n(1) + a^n(0)
= a^n-1 + a^n-1(1)
= a^n-1 + a^n-2

５９５９５９
２９０８１１
の最大公約数の求め方ってどうやってもとめるんですか？？

（３）α∨t （４）α∧t （５）α∨f
（６）α∧f
αは任意の論理式で
３）ｆ
４）α　５）αとｆ？　６）ｆ
答え合わせと解説をどうかおねがいしますｍｍｍ

>>204
ユークリッドの互除法でググれ

>>205
> ３）ｆ
× t∨t とか f∨t は何になる？
> ４）α　
○
> ５）αとｆ？　
？ t∨f とか f∨f は何になる？
> ６）ｆ
○

>>205
基礎から勉強しなおし

P∧¬(R∨Q)∨S
これの積和って
ＰΛ（¬Ｒ∨Ｓ）Λ（¬Ｑ∨Ｓ）
であってますか？？

>205
悪いこと言わんから真理値表を手書きしてみ。

？？
αとｔとｆの真理値表の書き方がよくわかりません

>>210
あってない。積和の定義は？

そんな感じ。
真理値表は強力な地図だから、ブール式を弄るときは常に意識した方が良いよ。

>>214
Λ　∨が交互にでればいいってわけじゃないんですよね；；；；

ほんとのブール代数はt/fだけじゃないから、
定義からちゃんと演繹するしかないんだけどな

>>203
遅くなりましたが、ありがとうございました。
【問題2】のほうもよろしくおねがいしますm(__)m

グラフ理論を日常生活に！

>>219
2はほんとにその文面の問題？

ハミルトンではなくオイラー？

>218
ちょっと教えて。二元じゃないブール代数ってどんなのあったっけ？
ずっと真偽二値かと思ってたけど……

任意の集合のベキ集合

>224 ありがとう。
x∧¬x=偽, x∨¬x=真で一意に決まる束なら良いのね。ちょっと勘違いしてた。

ちょっと修正。
x∧¬x=下限（空集合）, x∨¬x=上限（全集合） ですね。

>>226

なんか違う。ちゃんと定義を調べたら？

>>221
はい。こういう文面でした
お願いします！

>>228
「次数が2の頂点の有無によらず、そのグラフにハミルトン閉路がないならばハ
ミルトングラフでない」でどう？

次数が2の頂点同士をつなぐ点がある場合、1回以上通るためハミルトングラフでない

そんな特殊な十分条件でいいのかよ

>>229-230
そうすればよかったのですね？
ありがとうございます。

すみません
>>200の"^n"は冪乗ですか？

上付きの添字だと思う。

ハーツフィールド

(５) 夏の高校野球トーナメントに出場したチームからなる集合上の2 項関係で、
xRy ⇔ x はy に勝った

反対称律
aRb かつ bRa ⇒ a=b
これがなんで反対称律なのかわかりません。
aといううチームがｂに勝つかつbといううチームがaに勝つならばaとbは同じチーム
aとbは同じチームではないのでなりたたないのではないのでしょうか？？

すみません。。。。これもおねがいしますｍｍ
自然数N 上の2 項関係で、xRy ⇔ x はy を割り切る
これの対称律
aRb ⇒ bRa　がなりたたないの自然数Ｎ上だからでしょうか例）２Ｒ４　４Ｒ２
推移律
だとすると推移がなりたつ理由がわかりません
おねがいしますｍｍｍｍ

>>236
＝は「aとbが引き分け」ってこと。
>>237
前半はその理解で良い。

推移律は、例えば...
2R(4m) ∧ (4m)R(8n) ⇒ 2R(8n) (m,n∊Z)

>>238
ありがとうございますｍｍｍｍかなりわかりましたｍｍｍ

集合A={1,2,3}上の2 項関係R,S,T を、それぞれ次のように定める。
R={(1,1),(1,2),(1,3),(3,3)}
S={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)}
T={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)}
このとき、2 項関係R,S,T は、反射律、対称律、反対称律、推移律を満たすか
って問題で反射と対象はなんとなくわかるんですが
反対象と推移律が全然わかりませんやり方をおしえてくださいｍｍｍ

>>239
すみません
対象律もよくわかりません
ただ(a.b)(b.a)があればいいってわけじゃないんですよねotz

>>239
以下すべてx≠yとする。
・反対称律
(x,y)∧(y,x)⇒(x,x)=(y,y)
対偶をとって
(x,x)≠(y,y)⇒¬((x,y)∧(y,x))
つまり
関係Rの中に(x,y)と(y,x)が両方あるとき、
(x,x)か(y,y)の両方がなければ（１つもなくてもOK）反対称律。
また、２つの(x,x)と(y,y)がRの中にあるとき、
(x,y)と(y,x)が両方なくても反対称律。

・推移律
Rの中に(x,y)(y,z)があるとき、常に(x,z)もあれば推移律。

>>241
推移律はＲ　Ｓ　Ｔ にないんですか？？

>>242
推移律
R,Sは推移律を満たす。
Tは推移律を満たさない。
なぜなら(1,2)と(2,3)があるのに、(1,3)がないから。
※(1,1)と(1,2)⇒(1,2)に注意。

Ｒはなぜ推移なのかがいまいちわかりません
Ｓは（１２）（２１）
ですよね；；；

>>244
証明:
R:
(1,1)∧(1,2)⇒(1,2)
(1,1)∧(1,3)⇒(1,3)
(1,3)∧(3,3)⇒(1,3)
S:
(1,1)∧(1,2)⇒(1,2)
(1,2)∧(2,1)⇒(1,1)
(1,2)∧(2,2)⇒(1,2)
(2,1)∧(1,1)⇒(2,1)
(2,1)∧(1,2)⇒(2,2)
(2,2)∧(2,1)⇒(2,1)
T:
(1,1)∧(1,2)⇒(1,2)
(1,2)∧(2,2)⇒(1,2)
(1,2)∧(2,3)⇒φ

>>245
本当ありがとうございますｍｍｍｍ
かなりわかりましたｍｍｍ
http://www.cs.miyazaki-u.ac.jp/~bisu/DIS/ensyu/ensyu3.pdf
ここの６は反射だけわかるんですが他はやり方がよくわかりませんorz

>>238
aRbは「aがbに勝つ」であって「aがbに負けない」ではないから、
引き分けは (¬aRb)∧(¬bRa) ではないのかな？
そのうえで、 aRb∧bRa は常に偽だから aRb∧bRa⇒a=b が
満たされるということじゃないかと。

１３．次の（a）〜（e）を、∀、∃、および、述語「P(x,y)：学生のx さんは、図書館の本y を借りて
読んだ」を用いて表しなさい。
（c）図書館の全ての本を読んだ学生がいる
（d）いずれの学生も、図書館のなんらかの本を読んだことがある
（e）学生全員が読んだ本が、図書館にある
（f）図書館のいずれの本も、必ず誰かが読んだことがある

f）などx,yどっちが先にくるかよくわかりませんどうかおねがいしますっm

（c） ∃x∀yP(x,y)　ある学生xが存在して、全ての本yに対して、xはyを読んだ
（d） ∀x∃yP(x,y)　全ての学生xに対して、ある本yが存在して、xはyを読んだ
（e） ∃y∀xP(x,y)　ある本yが存在して、全ての学生xに対して、yはxに読まれた
（f） ∀y∃xP(x,y)　全ての本yに対して、ある学生xが存在して、yはxに読まれた

（c）では、xを１つ見出せば、yは何でもよいのに対し、
（d）では、各xに対してyを見出さなければならず、yの候補の範囲はxによって異なることに注意。

なお、>>248の質問はスレ違いである。

まあ、いちおう情報数学といえなくもないような

>>249
いまいちわかりません
どうしてe)は∀x∃yじゃだめなんですか？？全ての学生がある本をよんだじゃだめなのか
全然わかりませんっm

>>251
＞各xに対してyを見出さなければならず、yの候補の範囲はxによって異なる

全ての人間が何らかの信仰を持っていると考えられるが（∀x∃y）、
全ての人間が共通して信仰する（∃y∀x）ものなどない。

>>251だと、任意のxに対して「それぞれ」適当なyが存在して…ということになる。
つまり、xに依存してyが変わってもよいということ。
これは(d)の文章に相当する。

ありがとうございますっmようやくわかりましたっm

<問題>Gを最低3個の頂点を持つ有限連結グラフとする。
Gには、次数が5以下の点が少なくとも1つはあることを示しなさい。

どなたかお願いしますm(_)m

どう考えても成り立っていないわけだが

単連結なら次数が1の点が少なくとも2つか

>>255
問題が何を聞いているのかが曖昧なのですが、
十分条件で良いならこんな事が言えます。
「Gの辺の数がGの頂点の数の3倍より小さければ、
Gには次数が5以下の点が少なくとも1つはある」

有限連結グラフって何？
頂点数が有限の連結グラフ？

>>259
有限連結“平面的”グラフでした
すいません！

「有限」じゃなくて「単純」じゃないのか？

無限の木構造を排除するのに「有限」はいるのか。
「連結」はいらなさそうだな。

>>260
平面グラフに関する定理を証明しろという問題だったのですね。
「次数が5以下の点」でググればすぐに証明が見つかります。

単純平面グラフには５次以下の点が少なくとも１点存在することを、以下の手順で示せ
http://q.hatena.ne.jp/1120236252

>>263
ありがとうございます！
わかりにくい文章ですいませんでしたｍ(× ×)ｍ

●問題1

定理：ある平面的グラフは5-彩色可能である。

グラフの頂点の個数pに関する帰納法による。p≦5のとき,定理は成立する。

『p≦5のとき,定理は成立する』の理由を説明しなさい。

●問題2

p>5で,p-1個以下の頂点を持つグラフに対して,定理が成り立つとする。
問題1により,グラフは次数が5以下の頂点を持つ。帰納法の定理により,グラフ-vは5-彩色可能である。
よってグラフ-vは5-彩色されていると仮定する。vに隣接している頂点が,4色以下で彩色されているならば,
vに残った一色で彩色すれば,5-彩色グラフが得られる。vが彩色された頂点と隣接している場合を考えればよい。
それらの頂点を,v1,v2,v5と呼ぶ。また,各頂点の色をc1,c2, ... ,c5とする。

c1とc3で彩色される頂点で形成されたグラフを部分グラフＫとする。Ｋはv1,v3を含む。
v1とv3がＫの異なる部分グラフに含まれているときは,v1が含まれている部分グラフの頂点に彩色
されている。c1,c3をグラフ-vの他の頂点の色を変更せずとも,そっくり並べ替えることができる。
このとき,v1,v3がc3で塗られ,ｖをc1で塗ることができる。よって,グラフの5-彩色ができる。

上の文章には,
『v1とv3がＫの異なる部分グラフに含まれているときは,v1が含まれている部分グラフの頂点に彩色
されている。c1,c3をグラフ-vの他の頂点の色を変更せずとも,そっくり並べ替えることができる。』とある。

なぜ,c1,c3をそっくり入れ替えることができるのか？理由を述べなさい。


おねがいします　っm

なに、ここって宿題代行スレだったのか。

文字列「っm」の含まれるレスは今後一切無視することに決めた

レポート丸投げって、ここは質問スレですらないんだがな……。

>>265
ところどころ変な記述があるが、答はともかくとして、問題文が何を言っているか
理解しているか？

>>255

背理法による。
Gの点の数をv(G), 枝の数をe(G), ループの数をf(G) とおく。
すべての点が6次以上だったとすると　e(G) ≧ 6v(G)/2 = 3v(G),,
各ループは3以上の辺をもつから、2e(G) > 2e(in) + e(out) ≧ 3f(G),
辺々たすと、3e(G) > 3v(G) + 3f(G),
∴　v(G) - e(G) + f(G) < 0,
これは平面におけるオイラーの定理 v(G) - e(G) + f(G) = 1 と矛盾する。(終)


http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1296542236/10-11
位相幾何学

>>270
ありがとうございます

２つの集合ＡとＢに対して、和集合を積集合と補集合で表現することは可能でしょうか？

A∪B＝A∩B＾c + B∩A＾c + A∩B
+ は集合の直和

>>273
よく理解できました。
ありがとうございました。

>>273
ちなみに直和を用いないで書くことは可能ですか？

A∪B＝（A＾c∩B＾c）＾c

>>276
よく思いつきますね・・・
頭が下がります

>>277
ただのド・モルガンの法則だから

∀a,b∈Ｎ（∃x∈X(a + x = b))

この論理式を成り立たせるには集合Ｘはどのような集合でないといけませんか？

X=Z

>>280
くわしく解説していただけませんか？

は？

X = { x | x = b -a ; a , b ∈ Ｎ } = Z

>>283
ありがとうございます！

{∅ , {a}} × {∅ ,{a}}　の要素を列挙するとどうなりますか？

∅　＝　空集合　
×　＝　直積

初学者ですが、御教示ください。

S={x, y} と置いて、直積集合S × S=S^2 の元を列挙しろ。
(x,x), (x,y), (y,x), (y,y)
の4つだな。この結果に、代入
x=∅, y={a}
を施したのが解だ。

>>286
ほんとうに初学者でもうしわけないのですが、（∅,∅)なんて要素はあるんですか？

もちろんある。

公理的ZF集合論の立場では、万物は集合で集合で無いものは存在しない。
0も1もπも集合。

素朴集合論はそこら辺がぼやかしてあって、集合で無い原子の存在を仮定するのかしないのかはっきりしない。

>>288
ありがとうございます。
とても勉強になります。

普通の数学やるときには、0や1が集合かどうかとか、含む元は何かなんてどうでも良いし、考えることも無い。
だから、自然数や実数のような基本的対象は無意識にアトム扱いしていると言える。

デーデキントの切断を使って、有理数から実数を作る様な作業中は別として。

これも基本的なことかもしれませんが、集合Ａの基数をa,集合Bの基数をbとしたとき
ＡからＢへの２項関係はいくつありますか？

自分で考えたのは、2^a^2×2^b^2 個だと考えたのですが・・・

>>291
ここでいちいち質問するより、集合論の本でも読んだ方がいいと思うよ
松坂和夫の本とか
言っちゃあナンだけど、さっきからの質問は、英語で言えば「３人称って何？」って尋ねるような初歩的レベル

ちなみにA×B上の２項関係ってのは、A×Bの部分集合のことだから
答えは 2＾（ab）

その本を探してみようとおもいます
ありがとうございました

>>292
> ちなみにA×B上の２項関係ってのは、A×Bの部分集合のことだから
そうだっけ？
A上の２項関係は、A×Aの部分集合かと

誤解の余地なく厳格に言えば
A×B上の２項関係　→　A（の元）とB（の元）の２項関係
A上の２項関係　→　A（の元）とA（の元）の２項関係

>>288
ZFには集合でないものが存在するんじゃないの。
真のクラスとか。
例えば{x∊z|x∉x}とか{x|x=x}とか{x|xは順序数の全体}...。
万物を集合とするのはむしろ素朴集合論の方じゃない？

そりゃ単に万物という言葉の指してるものが違うだけだろ
>>288は term を
>>296は formula を

ZF(C)は真のクラスを扱う能力が無いので、扱いたければBGNとかに拡大しようぜ。

>>296
一階の理論として構成されたZFでは集合しか記述でき無いよw

まったくその通りでした。
真のクラスはZFで形式的には記述できず、
メタ理論で仮にクラスと呼んでいるだけみたいでした（恥

>>291
AｘBの元の個数はab個です。
部分集合は、
ある元をとるかとらないかの2通りを
集合の個数だけ繰り返すことで作れます。
2ｘ2ｘ...ｘ2(mn回かける)通り作れます。

5p8s3a

7桁の数「1~7]を考える。各桁の数字を入れ替え、できる数字の中で「123」or「51」
を含むという条件を満たすものの総数を求めなさい。例：1234657、5147362

どなたかこの問題を解けますか？教えてください

５×４！＋６×５！−４×３！＝８１６

猫

>724 名前：１３２人目の素数さん ：2011/03/02(水) 22:28:23.32
> >>KuzuNOSeihanzaish
> 数学に捨てられ「た」性犯罪者でしょうか？
> 社会の屑の印象をどうしても受けます。
>

ω＋１と１＋ωの間の順序を教えてください
できれば解説のお願いしたいのですが…

あんた馬鹿？ 1+ω は ω と順序同型だろ。
後は分かるよな。

>>304
ありがとうございます(_)
そうすればよかったのですね

[問題]
ある数列[Xn]n=[a0,a1,a2…]の母関数をD(A)とする。
[Kn]n=[0,a0,a1,0,…]で定義された数列の母関数をK(A)とする。
このときD(A) ＝ AK(A^2) であることを証明（説明）しなさい。

何度やっても証明できないのです
解き方を教えてください　お願いします

もし、0,a0,0,a1,0,…の誤記ならば自明過ぎる話だが

[Kn]n=[0,a0,0,a1,0,…]の間違いでした
すいませんでした

なんか乞食が多いな

>>312
何と言ってもらっても結構です
ですが知りたいのです

D(A)の定数項はa_0
AK(A^2)の定数項は0
よってD(A)=AK(A^2)は成立しない

>>314
成立しないんですか！？
「証明せよ」って書いてあったので出来ると思ったのですが

逆なのは自明すぎるtypoと思って先では突っ込まなかったが
これは病気かもしらんね……

>>316
教えてください！おねがいします

ある平面グラフの領域は次数が6の領域と、次数が5の領域に分けることができる。
次数が6の領域の数をＦa、次数が5の領域の数をFbとする。
6*Fa+5*Fbは枝の数の2倍に等しいことを説明せよ。また、FaとFbの値を求めよ。

参考書に会った問題ですが、いまいちわかりませんでした。
説明をおねがいします。

>>317
数列の母函数の定義がわかっていれば、（もちろん誤記を訂正したらの話だが）
ただちゃんと書くだけのことなので、分からない理由が無い。
母函数の定義を知らないのならば、そもそも問題に取り掛かる段階ではない。

>>314
よくわかんないけど、[0,a0,a1,0,…]も[0,a0,0,a1,0,…]も定数項は0じゃないの？

>>320
> AK(A^2)の定数項は0
ってその通り書いてあるように見えるんだけど。

>>320
その通りK(A)の定数項は0なので、K(A^2)は一次まで、AK(A^2)は二次まで0が確定。

つまり、[0,a0,a1,0,…]も定数項が0だから成り立たないのは自明？
だったら「[0,a0,0,a1,0,…]なら自明」ってのはなんだったのかわからない。

>>323
釣りなら他所でやってくれよ。
[0,a0,a1,0,…]は今一切問題に出てコネーだろ。

>>323
最初に指摘された誤記（>>310）以外に
示すべきは
> D(A)=AK(A^2)
ではなくK(A)=AD(A^2)だろ、というもう一つの自明すぎる誤記（>>316）がある。

それだけの話だ。

>>323
おまえ、この問題やる段階じゃないし、やる意味無いからもう辞めて、市ね。

>>323

>>319

>>323
問題文が何箇所も間違ってるのを親切にも修正したうえで、自明な話だと言っているに過ぎない。

>>323
問題が間違ってるのが自明だという話と
間違いを修正したら証明するまでも無く自明に示せるという話が
両方出てるんだが、それらをお前が勝手に混同してる。

>>325
あぁ、逆ってのはそういう意味だったのか。

>>314で気づけないというのが信じられない。

「D(A) ＝ AK(A^2) とはいえないことを証明しなさい」の誤記かと思った。

死んだほうがいいね。脳味噌が腐りすぎてる。

>>333
本当に死んだらどうするんだよ？

人はみんな死ぬ。
僕も私も。

離散数学アンチスレッド
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1299144034/

>>335
にしてもこれは理不尽だ・・・

定番とされるグラフ理論の本格入門書を教えてください（和洋不問）

本格的なのはやはりこれ。


R.ディーステル　著　グラフ理論

>>339
ありがとうございます。
さっそく探してみます。

組合せ論＝確率論のような気がしてきた。
離散空間の確率論が組合せ論のような。

それ等号でいいのか

質問です
1/2(1-z)^2を級数展開するにはどうしたらいいんですか？
初心者なのでわかりません教えてください

微分学の２項定理を使う

どなたか数学得意な方、解説もよろしくお願いします。

漸化式 an = an-1+(1+(-1)^(n+1))/2,a0 = 1

この式の母関数は、次のようになることを示しなさい。

1/(1-z)+(1/(1-z))*(z/(1-z^2)) = (1-z^2+z)/((1-z)^2*(1+z))

>>344
できれば手順を説明してもらえるとありがたいです

>>346
とりあえず、式が一意に解釈可能な状態にしてくれ。

>>347
「1/(2*(1-z)^2）を展開してanを求めよ」と書いてありました

>>348
それなら、(1/2)*(1-z)^(-2)とみなせば後は二項定理そのまま。

>>349
どう二項定理を適用するんですか？

煤i-2,0)z^(-2)に変えればいいんですか？

>>350
え、（一般）二項定理のステイトメントは分かりますよね？
どういう風に書いてありますか、正確にここに書き写してみてください。

>>351
「1/(2*(1-z)^2）を展開してanを求めよ」としか書いてありません
たぶんこれを級数展開して求めるんだと思いますが、どうやってもzが残ってしまいます

え、一般二項定理の内容を知ってるのかと聞いてるのに……

> どうやってもzが残ってしまいます


ああ、なんだ、釣りなのかorz

>>348
anて何？

解答と解き方を教えて下さい
お願いします

>>354
一般二項定理の内容は本当に初歩しか習ってません
釣りではありません本当です
展開を行った結果znが出ました

>>355
母関数のことです

> 一般二項定理の内容は本当に初歩しか習ってません
> 母関数のことです

やっぱり釣りだな

>>357
君は一体何と二項定理とを混同してるの？

>>357
> 母関数のことです

anは何らかの方法で定まる数列のつもりだろうと思って聞いたのだが、
思いもよらないその答えに驚愕した。

>>357
母関数
>>358
釣りではない
釣りならこんな恥かくことしない
>>360
違うの？そうだと思ってた

釣りじゃなくて混同してたのも分かってるなら、はやく>>351に答えればいいのに。

そもそも数列と母関数との関係を誤解してる時点で、この問題を解こうとするレベルになってない罠。
二項定理を知らないということももちろん致命的杉。

>>363
だから、聞いてるんじゃねえの？
解けるなら、解いてやれよ、口だけの人

問題を解く段階へ進むために、問題の意味、したがってそこに使われてる用語の意味を
まずは確認せよという回答がきてるわけだ。言葉が分からんのにやっても無意味。
まあ、脳味噌が回らん奴には通じないかも知れんな。

>>364
そんなに解いてやりたいのなら、お好きにどうぞ。

>>364
ﾜﾗﾀｗｗｗ

>>366
おたく日本の方？　363の人？口だけなら誰でも言える
意味不明なこと言ってくんな　本当に解けるなら、解いてみろってこと
こっちは解けないよ、こんな変な問題

教わる立場の人間が煽って答え引き出そうとするとは…最悪だなコイツ

>>369
口だけのヤツに言われたくない
こっちに関係のない問題なんか、教えてくれなくて結構だよ
偉そうに、バカじゃないの（笑）解けないくせに

つか、二項定理そのままだって書いてあるんだから、もう解かれてるだろｗｗ

>>368>>370
禿げﾜﾛｽｗｗｗ

数列{a_n}の母関数をF(z)とおけば、与えられた漸化式から
F(z)-1=zF(z)+(1/2)(z/(1-z)-(-z)/(1+z))
となるのでこれをF(z)について解いておしまい。

二項定理を使った解答がお好きなら勝手にやってね。

この板で澪のAAを見るとは

>>373
その問題について話してる奴は誰もおらんぞ。
>>343（>>348）やぞ。

なにそれ。しょーもな。
そんなん一般二項定理使うだけで終わりでしょう。
なにをぐだぐだ騒いでるんですか。

>>376
わからん。
一番分からんのは、二項定理知ってるかどうかの確認をされての返答が
>>352や>>357だということ。

k次の非同次差分方程式によって定まる母関数ってなんですか？

10人の男性と７人の男性がいる。これらの人たちを一列に並べるとき、女性が隣り合うことがない並び方は何通りあるか答えなさい。

この問題をどなたかお願いします

17!

10人の男性と７人の男性がいる →　10人の男性と７人の『女性』がいる

の間違いでした。すいません

>>379
男の並びの間に女を挟み込むと考えれば、男の隙間は11箇所でそのうち女が
入らないのは11-7で4箇所。

男順列の総数 * 女順列の総数 * 女が入らない隙間の組合せの数

>>男の並びの間に女を挟み込むと考えれば、

エロいこと妄想してしまった
いや、すまない

嬲

>>382-383
丁寧なご説明ありがとうございました

数列{a_n}の母関数をF(z)とおけば、与えられた漸化式から
F(z)-1=zF(z)+(1/2)(z/(1-z)-(-z)/(1+z))
となるのでこれをF(z)について解いておしまい。

これの続きってないの？全部やってほしいよ...orz

まだいたのか。
続き以前に、
> 与えられた漸化式から
> F(z)-1=zF(z)+(1/2)(z/(1-z)-(-z)/(1+z))
> となる
のところもお前には自明じゃないだろ。

>>387
ここにきたの初めてなんですが...
迷惑行為はしません
模範解答があればすぐに帰ります

> ここにきたの初めて
初めてきた奴が他人の質問をかっさらって模範解答書けとかいってるってのか？
だったら、迷惑行為以外の何者でも無いな。

>>389
お願いしますよ

お願いしますよ、待ってるんだから
早くして下さいよ、お願いしてるのに
みたいな状態ｗ

mは0以上の整数

49|{5･3^(4m+2) +53･2^5m}を示せ

この問題をお願いします。

a＋b≡0 mod49 ⇒ 81a＋32b≡81a＋32(-a)≡49a≡0 mod49

R の同値関係を x − y ∈ Z で定め,商集合を R/Z で表わす.
　1. 実数 a ∈ R に対し, a 倍写像 R → R が, 写像 R/Z → R/Z をひきおこすための a の
条件を求めよ.
　2. a を 1. の条件をみたす実数とし, g_a : R/Z → R/Z をひきおこされた写像とする.
x ∈ R/Z に対し, 集合 g_a^-1 (x) の元の個数を求めよ.

解答
　1. a ∈ Z が必要十分である。
　2. a ≠ 0 ならば, x ∈ R/Z に対し, g_a^-1 (x) の元の個数は |a| 個である.
a = 0 のときは, x ≠ 0の類 なら g_a^-1 (x) の元の個数は 0 個であり,
x = 0の類 なら g_a^-1 (x) の元は無限個である.

解答を見ても意味が分かりません。
R/Zがどのような商集合かさえわかりません。
a倍写像の逆像が集合になるのも理解できません。
具体例付きで親切なわかりやすい解説をお願いします。

すみません、誤爆しました。

1. 箱の中に4人が自分の名前を書いた紙を入れる。4名がそれぞれ箱から1名ずつ名刺を抜き取る。このとき、抜き取った本人と紙の名前が一致するのが
　1名だけある確率を求めなさい。

2.ジョーカーを除いた52枚のトランプがある。このトランプから4枚のカードを引く。このとき、引いた4枚のカードの中にエースが1枚だけ含まれる確率求めなさい。

どなたかこの問題の模範回答をお願いします。

age

>>366

1.

一致する１人を選ぶのは４Ｐ４＝４通り
残り３人の間違え方は、２通りある
よって ４×２＝８通りになる

全ての通りは、４・３・２・１＝２４通り
よって ８／２４＝１／３

２．

カードの引き方は、52Ｃ4＝５２・５１・５０・４９／４・３・２・１＝２７０７２５通り

１枚だけ含まれるAは４通り。残りのＡ以外の３枚の選び方は、
48C3＝４８・４７・４６／３・２・１＝１７２９６

よって 48C3*4Ｃ1＝１７２９６×４＝６９１８４通り。

確率は （4Ｃ1＊48Ｃ3）／52Ｃ4 = ６９１８４／２７０７２５通り

訂正
>>398は>>366じゃなくて>>398へのレス

>>398-399
ありがとうございます

群論的グラフ理論的非可換幾何学的束論的位相幾何学

マイナー分野乙ｗ