３項演算子を考えるスレ

加減乗除は全て
(a,b) |→ c
となる２項演算子です。
群環体もこの２項演算子をモデルに作られています。
横に文字を連ねるとどうしても a □ b = c と
２項演算子が考えやすいのか…。

３項演算子を考えればもっと計算の世界が広がるのでは？
このスレでは３つの数 (a, b, c) に対して数 d を割り当てる３項演算子
(a,b,c) |→ d
を考えます。

交換法則と結合法則はどうなるんだ

>>3
結合法則は >>4 により定義します

何十年も前にコンピュータプログラムで解決済っぽいな これ

コンピュータや計算機がない手作業の時代のｳﾝ百年前に
理論自体は完結済

>>6
コンプータなんて人間様にはまだまだ及びませんよ。
簡単な有限群の計算だって、力ずくの解法では
少し大きくなれば |S_n| = n! の指数爆発で手に負えなくなりますし。

>>8
そうななのですか？ 参考資料はありますか？

ググレ

カス

>>11
３項演算子で軽くググッタがプログラミング言語関連ばかりでした。

深くググレ

>>15
Wikipedia には書いてなかったでつ

完結済だからさ

>>18
完結済みならなおさら Wikipedia に書いてありそうだけど…

書く価値や意味がないのだろ

この理論について知っているなら
研究した人の名前なり理論の名称なりを教えてくださいませんか？

ググレ

>>1
ジョルダン三項積などの例は知らない、ということか？
どちらにせよ、演算と演算子の区別くらいつけれ。

3項のみならず、4項〜5項…一般にn項になると
簡単な有限群の計算だって、もう人間の力ずくの解法では
手に負えなくなる から
電子計算機やコンピュータにぶち込む方法じゃなかったか？

（当時）電子計算機が世に出て
何十年も前に解決済らしいので、もう誰も気にも留めないそうだがな…

>>24
情報サンクス。
Jordan三項積についての話題も歓迎です。

どうやら島根県からの書き込みで島根県民であり
Google先生によれば島根県にはパソコンがないらしい。
だからパソコンやコンピュータといった
電子計算機という文明の利器も知らなかったのだろう。

>>26
コンピュータにぶち込むといったって、上手に処理しなければ
宇宙が終わるまで計算が終わらないということになる。

まず人間が効率のより理論・アルゴリズムを構築する必要がある。
ｎ項演算の理論は完成済みでしょうか？

>>28
どうして分かったの？ｗｗ
ってかコンピュータ無いのにどうやって書き込むｗｗｗ

島根県ってパソコンないのか？

ってググッたらほんとに出てきた！！！

自然数の集合に２項演算の和と積を定義するだけで
整数論の難しい未解決な問題が生じるのに、
３項演算が全て分かっているなんて言えるでしょうか

>>28
はるばるパソコンがある神戸などへ出かけて
ネットカフェから書き込む

by 40代男性 海＠保安官

>>32
>>24

>>34
Jordan三項積が３項演算子の全ての場合だということですか？

＃ ググったけど Jordan三項積 のめぼしいサイトが見つかってないのよ

書く価値や意味がないのだろ

ジョルダン３項代数とは k 上のベクトル空間 A で
演算 {-, -, -} : A × A × A → A

(1)

ってか島根県ってどこ？

鳥取県の隣

>>39
じゃあ鳥取県ってどこ？

島根県の隣

('A`)

http://en.wikipedia.org/wiki/Triple_system

>>37

(1) {xyz} = {zyx}

(2) ４項関係 {xy{zuv}} + {z{yxu}v} = {{xyz}uv} + {zu{xyv}}

を満たすものを ternary Jordan algebra または Jordan triple system という。

>>43
ありがトン。

>>1
よってこのスレ終わっていいか？

Jordan triple system でも Lie triple system でも

２項の入れ替え

{xyz} = {zyx}

or

[u,v,w] = - [v,u,w]

だからどうした？

>>47

２項の入れ替えを要求している。
一方、三角乗法では今のところその要件は入れていない。
今後の発展によれば分からないが…

よって上記の三角乗法と triple systems とは異なる

可換環と非可換環では理論が異なってくる。
２項の入れ替えが必ずしも一致しないという条件で
対象が広がるかもしれない

だからどうした？

>>51
まあ進んでいけば分かるって！

>>40
じゃあ嵯峨県ってどこ？

3項って2項の組合せで表現できないの？

>>55
確かに任意の２項演算を使ってよいなら
３項演算を２項演算の組み合わせで表現できますね。

しかし和や積などの簡単な表現で表わされるかどうかは分かりません。

そうすると３項であつかうメリットを得るには
対称性などから２項のときよりスッキリ書ける
ような３項演算であるのが望ましいのか…

なるほどん

このスレでの私の目標は
数に対して加減乗除に次ぐ第５の演算で
加減乗除に類する素直な性質を持つものを見つけることです。

そのためにまず有限基数 S = {0, 1, ..., n-1} に対して
三角乗法△を定義し、それを N → Q → R と拡張する方針です。

ひとまず昨晩の探索の結果をまとめます。

S = {0, 1, 2} 上には上記の三角乗法△は存在しません。
それを示すにはもう少し定理の充実が必要なので進めます。

[例 ９: |S| = 4]

S = {0, 1, 2, 3} 上においては
等項定理の他には
□(0123) が唯一のプリミティブの定義です。

この定義が矛盾しないことは
コンピュータにより確かめましたが
今後の展開のためには矛盾しないことを
数式で示す方法が望ましいです。

どうやったら無矛盾性を示せるでしょうか？

[例 １０: 4 < |S|]

4 < |S| においても、S の数字のラベルを適切に貼り替えれば
□(0123) が言えます。

よって 4 < |S| なる S は T = {0, 1, 2, 3} 上の三角乗法系を
部分系として含みます。

いま {0, 1, 2, 3} 以外の数 4 をとり
△(04a) ＞→ b を考えると、a = {1, 2, 3} の３つの選び方それぞれに
対して {0, 1, 2, 3, 4} と異なる数 b_a が必要です。
それらを b = {5, 6, 7} とすると S の基数は最低でも 8 <= |S| 必要なことが分かります。

実際は |S| = 8 に三角乗法が定義できます。
上の考察から □(0145)、□(0246)、□(0347) と定義し
△(124) ＞→ 7、△(134) ＞→ 6、△(234) ＞→ 5 を導きます。
さらに □(0167)、□(0257)、□(0356)、□(1256)、□(1357)、□(2367) が導けます。
最後に □(4567) を追加して定義を完成します。

この定義が結合法則 >>59 および頂点を保つ縮約公理 >>60 と
矛盾しないことはコンピュータにより確かめました。

コンピュータさんは |S| = 8 だとしばし考え込む感じです。
まあ私のプログラムが効率等あまり考えないヘボなのも原因ですが。
しかし結合法則 >>59 より (a, b, c, x, y, z) 〜 n^6 の
６重ループを本質的には回さなければならない（と思う）ので
これは時間がかかっても仕方ないと思われます。

とくに次の |S| = 16 だと 64 倍以上も時間がかかってしまうので
より効率の良い無矛盾性チェックのアルゴリズムがあるといいなあ。

l の展開が l →＜ △(ijk)、l →＜ △(i' jk) と１文字違いであったとすると
i →＜ △(ljk) ＞→ i' より i = i' でなければなりません。
よって１文字違いの展開は存在しません。

それでは２文字違いの展開はどうでしょうか？
(*) l →＜ △(ijk) かつ l →＜ △(i' j' k) ⇒ {i, j} = {i', j'}
が成り立つとすると
□(ijkl) かつ □(i' j' kl) ⇒ {i, j} = {i', j'}
つまり
△(jkl) ＞→ i のとき △(akl) ＞→ b ならば {a, b} = {i, j}
となります。
よって k, l を定めると組

>>76 つづき

よって k, l を定めると {i, j} が一意に定まるので
２文字違いの展開が互いに等しいとすれば
△は本質的には２項演算子となるかもしれない。

しかし実際には {i, j, i', j'} が全て異なる
□(ijkl) と □(i' j' kl) が存在する >>75

よって △(jkl) は j, k, l を３つとも定めないと
値は確定しない。ヨカッタヨカッタ

>>75 の構成を見ると何となくだが
クライン４元群という音楽グループと
関連がありそうな気配がしている。

明日は２項の群演算の観点から少し探索する予定。

はたして△は２項の群演算で完全に統制されているのか。

今日はまもなく就寝です…

猫に小判、まで読んだ。

>>79
ご愛読感謝します
一日で猫に小判まで読むとはさすが読むの早いですね

もしかしたら >>8 かもしれない。
しかし自然数に対する和と積だけでも
まだ理論が完結とは言えないのだから…

>>26 の言うように確かに
簡単な有限群の計算だって
人間の計算スピードでは手に負えなくなるから
コンピュータに投入して計算させるでしょう。

例えばモンスター群なんかはそういうのじゅないか？

しかしそのような計算が可能なのも
群の指標の理論や生成基底による一意表現などの
理論や公式が発達してきたからでしょうね。
そのような理論を駆使して効率のよい
プログラムを書いたのだと思います。

単にコンピュータのスピードにまかせて力ずく計算するのでは
位数が大きくなると手に負えません。

整数論に未解決な問題がたくさんあるのも
きっとそのためでしょう。

さて

△(abc) ＞→ d

という式から始めます。

ある a、b について c に d を対応させる写像

f_{ab} : c → d

を考えます。この写像は単射であることが分かります。
なぜなら

f_{ab} : c' → d

も成り立つとすると

c →＜ △(abd) ＞→ c'

より c = c' となり、d に対して一意な c が対応しているからです。

よって f_{ab} は１対１対応であり
基数集合に作用する置換であることが分かります。

f_{ab} は |S| = n 文字の置換なので、巡回置換を使って

f_{ab} = (x_1 ... x_k) (x_{k+1} ... x_l) ... (x_m ... x_n)

と書けます。

いま a, b を異なる S の元とし、任意の c_i ∈ S に対して

△(ab c_i) = d_i

とします。 a と b が異なるので、c_i と d_i も S の異なる元です。
また

△(ab d_i) = c_i

も成り立つので f_{ab} は c_i と d_i を入れ替えます。
よって、f_{ab} は文字の被らない n'個の互換の積

f_{ab} = (c_1 d_1) (c_2 d_2) ... (c_n', d_n')

であることが分かります。

とくに基数 n は偶数で n = 2n' です。

一方、a = b の場合を考えます。
すると等項定理より

△(aa c_i) = c_i

であるので、f_{aa} は恒等置換です。

ここで

G_a ∋ b_a = f_{ab} と置いて G_a が群になることを期待します。

まず

a_a = e

つまり b = a のとき G_a の単位元です。

また

b_a = (c_1 d_1) ... (c_n' d_n')

であったので、(b_a)^2 = e より

b_a の逆元は b_a 自身です。

最後に b_a b'_a が G_a の元であれば G_a は群を成すことを示せます。

なしのつぶて

>>86
シクシク (TдT) ﾀﾞﾚｶｶﾏｯﾃｰ

G_a が群を成すことを示そうとしている。

b_a ∈ G_a は独立な n' = |S| / 2 個の互換の積で

b_a = (c_1 d_1) ... (c_n' d_n')

と書ける。
b_a と異なる b'_a ∈ G_a をとる。
上の議論より、適当な c_i に対して
b'_a (c_i) = {c_j, d_j} であるとき

b'_a = (c_i, {c_j, d_j}) ({d_j, c_j}, d_i) ... ：左右同順

となる。まだ出てきていない c_k を選んで同様に行う、
ということを繰り返すと

b'_a = Π^{n''} (c_i, {c_j, d_j}) ({d_j, c_j}, d_i) ： 左右同順

となる。

b_a ∈ G_a を

b_a = (c_1 d_1) ... (c_n' d_n')

と表示したとき、任意の b'_a ∈ G_a は

b'_a = [i_1, j_1] ... [i_n', j_n']

となる。ここで

[i, j] は (c_i d_j) (c_j d_i) または (c_i c_j) (d_i d_j) を意味し
i1, j_1, ..., i_n', j_n' は n 個の異なる数字である。

このとき b_a と b'_a の積は

b_a b'_a = Π^{n''} (c_i d_i) (c_j d_j) [i, j]

となる。ここで 2n'' = n' である。
因子を計算すると

(c_i d_i) (c_j d_j) (c_i d_j) (c_j d_i) = (c_i c_j) (d_i d_j)

または

(c_i d_i) (c_j d_j) (c_i c_j) (d_i d_j) = (c_i d_j) (c_j d_i)

である。

これまでで b_a ∈ G_a を

b_a = (c_1 d_1) ... (c_n' d_n')

と表示し、b_a と異なる元 b'_a ∈ を取り積

b_a b'_a

をつくったとき

(*)　b_a b'_a = [i_1, j_1] ... [i_n', j_n']

となることを示した。ここで
[i, j] は (c_i d_j) (c_j d_i) または (c_i c_j) (d_i d_j) を意味し
i1, j_1, ..., i_n', j_n' は n 個の異なる数字である。

最後に (*) の形の表示がどのような i_1, j_1, ..., i_n', j_n' の
並びでも G_a の元であることを示せれば、G_a が群であることが言える。

それには n 個の b ∈

ちょっと混乱。

積を

(*)　b_a b'_a = [i_1, j_1] ... [i_n', j_n']

のする。
２つの任意の数の組 (i, j) の選び方は n(n-1)/2 通りあり、
b'_a の数は n 通りしかないので任意の (i, j) が (*) に入る可能性があるなら
必ずしも群を成さないことになる。

最初クソスレかと思ったけど、段々おもしろくなってきた
ガンバレ

以上より

|S| = n の基数集合 S 上に三角乗法
△ : S × S × S → S を定めたとき、
任意の a ∈ S に対して G_a ∋ b を
b(c) = d ⇔ △(a, b, c) → d
なるものとおけば、G_a は位数 n の群となる

ことが示せました。とくに、単位元と異なる b ∈ G_a は位数２をもち

b = Π (c_i d_i)

と表示できます。

>>95
ありがとう。感激。
まったりとガンバリます

ろくに考えもせずに無駄にレス数嵩んでるだけにしか見えないが。

G_a ∋ b は位数２の元であるため、自分自身が逆元です。
任意の２元の積を

b_s b_t = b_k

とすると

b_k = (b_k)^{-1} = (b_t)^{-1} (b_s)^{-1} = b_t b_s

となります。つまり G_a は可換群です。

いま３つの元 {e, b_1, b_2} をとると
b_3 = b_1 b_2
は {e, b_1, b_2} とは異なり、この４つの元
V = {e, b_1, b_2, b_3}
は部分群を成します。この群はクライン４元群です。
もうひとつ元 b_4 を加えると
V と b_4 V は部分群 {e, b_4} による G_a の類別の
異なる剰余類に属するので、V ∩ b_4 V = φ (空集合) です。
よって V に生成元 b_4 を加えると８元群となり、その元は

b = b_1^{e_0} b_2^{e_1} b_4^{e_2}

と表示できます。ここで指数は e_i = {0, 1} をとるバイナリ表示です。
つぎつぎと生成元を付け加えていくと、16元群、32元群、…となり
最終的に G_a の位数は自然数 k が存在して n = 2^k となります。

＃ この群って何か名前がついているのでしょうか？

ひと息。

G_a が群であることが分かり有限群論の
豊富なツールを使う道筋が開けました。

しかしもし群による統制が強すぎるならば
有限群論で全て説明がついてしまい群論からの
新たな進展はないことになるでしょう。

△に群論を超える何かは含まれるのか？

その答えは有限群論のツールをどんどん適用していけば
明らかになるでしょう。

＃といってもまだ見通しは立っていません
＃カキコみながら考えています

>>100
ねえ、質問なんだけど
昔、Emil Postが群の演算を多項演算に拡張したpolyadic groupとかいうのを研究してた（その内容は知らないから質問しないでね）と思うんだけど
そのPostのpolyadic groupとか言うのとの関連はあるのかな？

n-群ってどんなもんかと思ったら
http://en.wikipedia.org/wiki/N-ary_group
ぜんぜん分かりますん

>>101

Wikipedia >>102 によれば polyadic group の
3-ary operation は

(@): (abc)de = a(bcd)e = ab(cde)

という結合則をもつらしい。
これを三角乗法に適用すると
△(abc) ＞→ x 、△(bcd) ＞→ y
のとき
(*) △(xde) ＞→ z →＜ △(aye)
を満たす必要があるが a と d は任意に選べるので
一般には (*) は成り立たない。

したがって (@) を要求する n-ary group とは同じではない。

しかし研究途中なので何か関連があるのかどうかまでは分かりません
むしろ誰か教えてほしい…

ともかく、情報さんくす

スレ読んでないけど要するに3変数関数のスレだよね？

>>104
ちゃうちゃう、>>1が三角ビキニでオナるスレだよ。

第１章の結論：
>>58 >>59 >>60 で定義されるような三角乗法は
適切な数の割り当てをすると

△(a, b, c) = a (+) b (+) c

で計算される。
ここで (+) は２進数に対するビットごとの排他的理論和 XOR である。

証明は気が向いたら書きます。

…

結局 >>8 >>55 だったか…先見の明

しかしやってみなければ私は分からなかったし
面白かったからまあ良いとします

ところで、定義 >>58 >>59 >>60 を少し変更した
バリエーションはいくつも考えられるけど
それも全て trivial なのでしょうか？

>>104
とりあえず当初の計画が頓挫して
スレはちょうど今から漂流中となりました

ポリンキー♪ ポンリキー♪ 三角形の　秘密はね

ポリンキー♪ ポリンキー♪ 美味しさの　秘密はね


























教えてあげないよ

ちゃん

さんかくけいのひみつ

を並べ替えると…

どうりであのマークに似ていると思ったら！

>>110
ポリンキー♪
ポリンキー♪
三角形の秘密はね
ポリンキー♪
ポリンキー♪
おいしさの秘密はね
教えてあげないよ。ジャン！

秘密を教えてもらえないという状況ほど
知識欲を煽り立てるものは他に無い。

論文が落とせないときの気になり具合といったら…


数学的自然が恥ずかしがり屋さんなので
みんな追求しようと思うんだろう

三角乗法、第２章スタート！

ジョルダン三項積・三変数関数の話題も歓迎です。

三角乗法を考えはじめた目的は
四則演算に次ぐ簡易な性質を持つ新規の演算を見つける
ことでした。

前章の結果は既知の２項演算 bitwise xor ということでした。
新規な演算を見つけることはできませんでしたが
三角乗法が簡易な性質を持つ可能性は示せたと考えます。

>>114 の３つの条件のうち、
定義１
だけならば、最も一般的な３項演算を表わします。
そこに定義２、公理１を付け加えることで
演算の集合が制限され、一意な bitwise xor が残った
ということです。

そこで今後は、定義２、公理１の条件を緩める・変更することで
新規な演算が得られるか探索していきます。

もったいぶってもこんなにワクワクしないスレって……

ふむ。

定義を作っているほうは楽しい。
新しい分野になるんじゃないかと
それなりにワクワクしています。

誤：
右下に 1 歩進むと i が 1 減り j が 1 増える
左下に 1 歩進むと i が 1 減り k が 1 増える

正：
左下に 1 歩進むと i が 1 減り j が 1 増える
右下に 1 歩進むと i が 1 減り k が 1 増える

n 次三角形の (i, j, k) 座標の重複度を (D^{n}_{i, j, k}) とします。
n 次から n+1 次への展開を考えると

(D^{n+1}_{i, j, k}) = (D^{n}_{i-1, j, k} + D^{n}_{i, j-1, k} + D^{n}_{i, j, k-1})

であることが分かります。
この D は

(x + y + z)^{n} = Σ D^{n}_|i, j, k} x^i y^j z^k

であり i + j + k = n に対して

D^{n}_{i, j, k} = n! / (i! j! k!)

であることが分かります。

n 次の頂点を保存する縮約を公理とした場合
４次の場合と同様に考えて

m = gcd( n ! / (i ! j ! k !), i+j+k=n, i ne n, j ne n, k ne n )

の mod m 各桁和が条件を満たす演算となります。
とくに n が素数 p の場合は mod p 各桁和が
条件を満たす演算となります。

この mod m 各桁和は公理を満たす演算のうちの１つですが、
公理を満たす演算がこれ以外にあるか？というのは興味深い問題です。

n = 2 の場合には１章の議論により
mod 2 各桁和のみが公理を満たす演算
だと示されています。

猫の手は借りない。

当然の事です。私は貴方達には一切の手は貸しません。なのでご心配なく。

猫

>>126
いや、何か気付いたことがあったら
ぜひとも手を借りたいです。

いまは三角乗法の表現論が
どこかにないか探しています。

群があれほど力を持つのは
表現を通じて数学分野の各所に働いている
ことが大きいと思うので、
三角乗法でも対応する現象は無いかということです。

いくつかの行列からなる空間 M に通常の行列の積で演算 M×M → M が
定まるにはMに属する行列は正方行列でないといけないが、これを三項にして
M×M×M → M を (A,B,C) → AB^*C で定めれば正方行列でなくてもいける。

猫

>>129
レスありがとう。
なるほど転置させるというのは面白い。
ランクが保存されるのかが気になった。

>>129 をヒントに３次元行列の３角積を考えてみた。

Σ_{xyz} A_{ayz} B_{xbz} C_{xyc}

三角乗法の忠実な表現になっているかな？
対角化とかどうやるんだろう？
固有値・固有ベクトルはあるのかな？

やはり表現と言えば行列だが
図形や関数への作用があるとより面白そう

二項演算子を重ねて三項演算子にするのとどう違うの？
(a, (b, (c, {}))) |-> d

例えば群 G が与えられたとき G ∋ a, b, c に対して

△(abc) = d ⇔ a b c = d

と群演算による積で定義することができます。

このような３角乗法系は本質的に群 G 以上の情報を含まないでしょうから
２項演算を重ねて３項演算子したのと変わりないと言えそうです。

そこで、 >>129 や >>131 のような３項演算が
本質的に２項演算と等しいかどうか、というのが
>>132 の問題ですね。

私は３項演算のほうが広くてシンプルな場合があると考えますが
証明はこれからです。

S = {0, 1} の非退化３角乗法系で簡単な具体例を示します。

△(000)=0 の場合：

a=0｜0　1 =b
――――――
c=0｜0　1
c=1｜1　0

a=1｜0　1 =b
――――――
c=0｜1　0
c=1｜0　1

これは移項定理が成り立ち、
２次の縮約が成り立つ
第１章の xor の系です。

△(000)=1 の場合：

a=0｜0　1 =b
――――――
c=0｜1　0
c=1｜0　1

a=1｜0　1 =b
――――――
c=0｜0　1
c=1｜1　0

２次の縮約を仮定しなければこういう系もあるんですね。

>>134 により、基数 n = |S| の非退化な３角乗法系は
１つの３次元マトリクスにより全ての情報を含めることができる
ことが分かりました。そしてその３次元マトリクスはどの列にも
１からｎまでの数字が並んだ魔方陣ぽい配置になります。

その３次元マトリクスの１断面を >>135 にならって

i ｜ 1 .. n
―＋――――
1 ｜
| ｜ ＊＊＊
n ｜

と書くことにします。
ここで ＊＊＊ の部分はｎ×ｎ行列で、
各行・各列に 1 〜 n の数字が入ります。

この断面図に、奥行きを付加して３次元行列とみなしてみます。
それは、奥行きに 1 〜 n までの座標を与え、
＊＊＊ の行列で 1 と書いてある部分は
１番手前に数字の１が入り、その奥の 2 〜 n はゼロが入る
という具合です。また、＊＊＊ の行列で k となっているところは
手前から k 番目のセルに 1 が入りそれ以外の奥行きのセルは
ゼロとおきます。

このゼロとイチの３次元行列は、有限群の行列表現をモデルに考えてました。
この３次元行列が、>>131 の意味で３角乗法系の表現になっているかなどの
性質を調べていこうと思います。

間違いです(；・∀・)

(I) A左-D左-E右
(II) A右-D右-E左
(III) B左-C右-F右
(IV) B右-C左-F左

ここで３つ組に 1 の断面、2 の断面、3 の断面を割り当てる訳ですが、
その割り当て方が任意だということは、{ 1, 2, 3 } の３つの数字の並べ替えが
自由だということになります。
そこで、(I) と (II)、および (III) と (IV) は 2 と 3 の入れ替えで
等しいため、それぞれ片方でよいことが分かります。

そこで Diagonal を
(D) = (I)
132　213　321
213　321　132
321　132　213

Symmetric を
(S) = (III)
123　312　231
231　123　312
312　231　123

としてこの２つを考えれば良いです。

さて、以上の結果より、
b 軸方向から見たマトリックスと
d 軸方向から見たマトリックスは同じ
ということが言えました。
これは |S| = 3 の非退化３角乗法において
b と d を入れ替えても同じ、ということを意味します。

>>136 のファインマン・ダイアグラムの表現を見ると、
b と d は反応後の２つの粒子となっています。
量子力学では、同種粒子が衝突した後、
どちらがどちらの粒子か区別がつかない
という定理がありますが、上の結果はそれとうまく符合しています。

そう考えると、 a 軸と c 軸の区別も付かないのか？
ということが気になります。

a 軸ですが、まだ 1, 2, 3 の割り当てをしていません。
割り当て方は６通りあります。

>>145 において
E0 : Da=1, Db=2, Dc=3
O1 : Da=1, Db=3, Dc=2

EX : Da=2, Db=3, Dc=1
O3 : Da=2, Db=1, Dc=3

EY : Da=3, Db=1, Dc=2
O2 : Da=3, Db=2, Dc=1

E (Even) のものは、b-d 軸が同じで a-c 軸が同じです
O (Odd) のものは、b-d-a 軸が３つ同じで c 軸が異なります

>>148
あれれ？ばー！

以前出た mod 3 和が >>147 の中にあるはずと
思っていたのですが、見つからないですね。
なにかしくじったかな…？

ほしゅ

島根県、まだ頑張ってるようだな

チョット間があいてしまったので復習（思い出し）ながら…

３角乗法に、「非退化」という１対１条件を付け加えることで
演算子△を、４次元の01成分を持つマトリックスで同定
できることが分かりました [>>134 >>138]
これは有限群において、表を作るのと同じような操作です。

次に、このマトリックスを使って S = {1, 2, 3} の場合に
可能な非退化３角乗法系を全て数え上げることを目指しました。

マトリックスの魔方陣的性質より、断面図は >>140 の
１２通りだと数え上げられます。
もう１度、魔方陣的性質を使うと、断面図のつなぎ合わせは
>>141 に限ることが分かります。

Diagonal を (D) = >>141 の (I)
Symmetric を (S) = >>141 の (III)
とし、断面図の 2 と 3 が入れ替わったものを
(D') = >>141 の (II)
(S') = >>141 の (IV)
とします。

考察：

(D) に関しては、d' 軸と b' 軸の入れ替えに関して対称
(S) に関しては、c' 軸と b' 軸の入れ替えに関して対称
(D) と (S) は c' 軸と d' 軸の入れ替えに関して互いに移り合い同型

一方
(D') に関しては、c' 軸と d' 軸の入れ替えに関して対称
なのに対し
(S') に関しては、b' 軸、c' 軸、d' 軸、どの入れ替えに関しても対称
となっている。

以下、(D)、(D')、(S') について a 軸も交えて観賞します。

気のせいだか左から右へ斜めに上がってるように見える

>>158
kwsk 教えてちょ

なるほど

a 軸の (N1, N2, N3) に 1, 2, 3 を割り当てます。
(D) に関しては >>147 の通りに

D-E0 : (123), D-O1 : (132)
D-EX : (231), D-O3 : (213)
D-EY : (312), D-O2 : (321)

E (Even) のものは、b'-d' 軸が同じで a'-c' 軸が同じです
O (Odd) のものは、b'-d'-a' 軸が３つ同じで c' 軸が異なります

そして O (Odd) のものが mod 3 和になっていました！
ただし、軸の割り当ては a = a', b = b', c = d', d = c' として

D-O1: a + b + c + 1 = d (mod 3)
D-O2: a + b + c + 2 = d (mod 3)
D-O3: a + b + c = d (mod 3)

です。

せっかく公開するんだから、そのうち数学日記としてブログにでもまとめられるようにしておくといいんじゃないか。

(D') の a 軸への割り当て

D'-O1 : (123)
D'-E0 : (132)
D'-EX : (213)
D'-O3 : (231)
D'-O2 : (312)
D'-EY : (321)

O (Odd) のものは、d' 軸、c' 軸、a' 軸が等しく、b' 軸が異なる
E (Even) のものは、d' 軸と c' 軸が等しく、b' 軸と a' 軸が等しい

O (Odd) のものは、d = b' の割り当てでまたまた mod 3 和になる

D'-O1 : a + b + c + 1 = d (mod 3)
D'-O2 : a + b + c + 2 = d (mod 3)
D'-O3 : a + b + c = d (mod 3)

よく見ると、(D') は N2, N3 の入れ替えと b' 軸、c' 軸の入れ替え
を行うと同じになります。したがって

D-E0 = D'-E0
D-EX = D'-EX
D-EY = D'-EY

は適当な軸をとれば等しくなります。
あとは (S') を考えれば数え上げが終わります。

>>163
サンクス！反応あってウレシ
まだ 165 レスなのでまとめはこれからの発展しだいかな〜

(S') の a 軸に 1, 2, 3 を代入：

S'-O1 : (123)
S'-A1 : (132)
S'-A2 : (213)
S'-O2 : (231)
S'-O3 : (312)
S'-A3 : (321)

O (Odd) は b' 軸、c' 軸、d' 軸が等しく、a' 軸が異なる
A (All) は全ての軸が等価

ここで O (Odd) に関しては、d = a' 軸の同定で mod 3 和になる。

O1 = S'-O1 = D-O1 = D'-O1 : a + b + c + 1 = d (mod 3)
O2 = S'-O2 = D-O2 = D'-O2 : a + b + c + 2 = d (mod 3)
O3 = S'-O3 = D-O3 = D'-O3 : a + b + c = d (mod 3)

以上より、数え上げると Odd, Even, S'-All があることが分かりました。

ほしゅ

おひさです。
現状、表は書いたけどチョット分からなくなっています。

とりあえず具体性と今後の再利用性のために、
三角乗法の記号△、□を使って数え上げた系を明記していきます。

まず S'-All に関してですが、全ての軸が等価であるという性質より
４項関係 □(abcd) を使って書きます。

【S'-A1】

□(1111)
□(1123)
□(1222)
□(1333)
□(2233)

たったこれだけで全て尽くされている、かな？

【S'-A2】

□(1112)
□(1133)
□(1223)
□(2222)
□(2333)


【S'-A3】

□(1113)
□(1122)
□(1233)
□(2223)
□(3333)


これで全て？

S'-All に関しては５つの４項関係でできていることが分かりました。

また、
(12) の入れ替えで【S'-A1】から【S'-A2】に移り、
(13) の入れ替えで【S'-A1】から【S'-A3】に移ります。
(23) の入れ替えで【S'-A1】は不変です。

D-Even に関しては軸の等価性より
(ac)-(bd)
という書き方をすることにします。

【D-E0】
(11)-(11)
(11)-(23)
(12)-(12)
(12)-(33)
(13)-(13)
(13)-(22)
(22)-(13)
(22)-(22)
(23)-(11)
(23)-(23)
(33)-(12)
(33)-(33)

これを見ると、右と左を入れ替えても同じになっています
(ac)-(bd)
(bd)-(ac)

【D-EX】
(11)-(13)
(11)-(22)
(12)-(11)
(12)-(23)
(13)-(12)
(13)-(33)
(22)-(12)
(22)-(33)
(23)-(13)
(23)-(22)
(33)-(11)
(33)-(23)

こんどは左右非対称になっています。

【D-EY】

(11)-(12)
(11)-(33)
(12)-(13)
(12)-(22)
(13)-(11)
(13)-(23)
(22)-(11)
(22)-(23)
(23)-(12)
(23)-(33)
(33)-(13)
(33)-(22)

今度も左右非対称です。
【D-E0】、【D-EX】、【D-EY】を定義する割り当ての個数は
どれも１２個になっています。

さてこの６系統（実質的には３系統くらいか？）の中に
四則演算に次ぐような第五の演算の萌芽が見られるだろうか…？

まったくわからーんｗ

今>>1から読んでて気になったんだけど、
「任意のa,b,c∈Sに対して△(abx)=cを満たすx∈Sが一意的に存在する」と仮定してるの？
そうでないと>>12あたりからあやしいんだけど。

>>178に追記
もし>>178のような仮定をしなければ、e∈Sを適当に固定し、任意のa,b,c∈Sに対し△(a,b,c)=eと定めれば、
この演算は>>58-60を満たし、|S|=2^nの反例となる。

>>178, >>179 さん

確かにその通り。ご指摘ありがとうございます。

確かに 58-60 の定義では不完全なので、
定義 >>25 を追加します。

当時、書いたときは 58-60 に 25 が含まれているような気がしていたが思い違いをしたようだ

>>62 の証明で k_i が存在することを使ってるね

>>25より
任意のa,b,c∈Sに対して
△(xab)=c、△(ayb)=c、△(zab)=c
を満たすx,y,z∈Sが一意的に存在する。
の方がシンプルでよくないか？
この仮定から>>25も従うし。

というかそもそも>>25を追加しただけでは>>12も>>62もまだ正しいとは言えない。
どちらも△(abc)=△(a'bc)⇒a=a'という単射性を利用している。

>>185
△(x,a,b) が x になるわけではないので、
普通の三角形の縮約の意味では、
上側の式も成り立っていないかな

普通の縮約の記号 ＞→ と
２次の縮約 >>60 の記号を分けた方が良かったかもしれない
２次の縮約を ≫→ と書くなら
≫→ と →≪ は同値で良いと思う
＃ >>183 で指摘されたように
＃ △(△(x,a,b),△(y,c,a),△(z,b,c)) として同値

一方、普通の縮約では、>>182 のように
各三角形を縮約したと考える

>>186
大体分かった。つまり>>25は、
「任意のa,b,c∈Sと、△(d,e,f)=a,△(e,g,h)=bを満たすような任意のd,e,f,g,h∈Sに対して、あるx∈Sが存在して△(f,h,x)=cを満たす」
ってわけだな。

改めて>>100あたりまで読んでみて思ったこと
・>>74の|S|=4の場合の演算は△(a,b,c)=6-(a+b+c)と表せる。
・>>75の|S|=8の場合も、5と7を入れ替えればそれっぽくなりそうだけど思いつかない。
・>>83で全射性を示していない。Sが有限集合ならいいけど、無限集合の場合も全射性は容易に示せる。
・>>89で'を書き忘れてる。
・>>94でb''はs,tに依存している。

> ・>>74の|S|=4の場合の演算は△(a,b,c)=6-(a+b+c)と表せる。

□(0,1,2,3)の組に関しては確かにそうなってる。

>・>>89で'を書き忘れてる。

ありゃりゃ、すいません。

・>>94でb''はs,tに依存している。

これは問題アリかもしれませんね。考えてみます。

じゃんけんみたくすればいいんじゃネ？

>>189 あんでぃさん
|S| = 3 の場合かな？
手の数が |S| = n 通りある場合のじゃんけんはどう定義すればよいだろう？

>>190
> みたいな10個以上の場合の厳密な定義をしといたほうがいいと思う。

第１章の mod 2 和の場合には、
10個の縮約を consistent に定義するのが難しかった記憶があります。
なので１章では２次の連合までかな。
そうすると、associative になりにくいから、
あまりうれしくないかもしれないけど。

それは、１次縮約するとして、
重みで考えると >>119 のように奇数の重み (3) になってしまい、
mod 2 と整合しないから。

豊かな公理系を作るには
連合をうまく定義することが重要だという気がしているので、
確かに３次、…、ｎ次の連合をうまく定義できたらよいと思う。

平面上に三角形を次々と展開していけたら面白いと考えているが
うまくいく定義があるかどうか模索している。

３人 a, b, c のじゃんけんで考えると

>>176 【S'-A1】 はあいこの場合 △(abc) = 1
>>176 【S'-A2】 はあいこの場合 △(abc) = 2
>>176 【S'-A3】 はあいこの場合 △(abc) = 3

に確かになっている。おもしろいかも。

ポリンキーさんヘ
3ということで1番に思いついたのが
じゃんけんでした
記号の意味を教えてもらえませんか？
またこの分野の基礎体力を養うために読んだ方がいい本はありますか？

>>193
> 3ということで1番に思いついたのが
> じゃんけんでした

さすがあんでぃさんです。
数学は科学の女王と呼ばれるだけのことはあります。


> 記号の意味を教えてもらえませんか？

記号はこのスレ内で定義したもので、まだ発展途中ですが、
重要かもしれないレスをいくつか、 >>195-196 くらいでピックアップします。


> またこの分野の基礎体力を養うために読んだ方がいい本はありますか？

当面は「有限群」論の結果を多く使うかも。
現在模索中でどう発展するか（あるいはしないか）分かりませんが、
もしかしたら将来的には「リー代数」などの方向に発展するかもしれません。

また、関連あるかもしれない分野は
* Jordan triple system (ジョルダン３項積)
* Lie triple system
* Steiner triple system
* polyadic group by Emil Post
などです。

これまでのまとめ

[まず目的]
>>57

[第１章：三角乗法バージョン１（２次の縮約をもつ三角乗法）]
定義： >>58 >>59 >>60 >>178-180 >>181-182 >>183-184 >>185-186 >>187
定理（等項定理と移項定理）： >>66 >>70 >>71 >>72
証明（群論的性質、途中まで）： >>83 >>84 >>85 >>87 >>89 >>90 >>91
結論： >>114 >>116 (ただし証明の過程にミスがありそう >>188 なので暫定的)

[第２章：ｎ次の縮約]
>>115 >>117 >>118 >>119 >>123 >>124 >>125

[第２章：三角乗法バージョン２]
定義： >>134 >>138
|S|=3 の場合の数え上げ： >>152 >>153 >>156-157 >>162 >>164 >>166 >>169 >>173 >>176

[発展]
>>128-129 >>131 >>132-133 >>136-137 >>191

以上です

ほしゆ

干湯

これは良スレ

なんかすごいことやってるな。

ageてまで何か言うほどの内容は無い。むしろトンデモ一直線。

力強く復興するぞ！！！

>>202
おう。

あんでぃ

おれ10年以上前に似たようなこと考えたことある

テンソルとか使って法則を探しに片端から計算しまくってみたけど
結局何も見つからなくて今はやってない

物理とかで応用があるといいんだけどな

正確に言うと「何も」ってことはなかったんだけど
トートロジーみたいなことか、2変数が3変数になった
程度のことしか見つからなかった

3変数といっても実際は3の3乗=27変数だったけどね
不等式をいくつか証明したけど、それで何かを発展
させるところまでは行かなかった

上のほうで群の構造について触れてるけど、群自体が
2項演算をベースにしている関係でそのきまりごとに
拘束されてしまうから、何か見つかるとしたら全然違う
概念を使った構造を用いる必要があると思う

>>204-205
おお、先達の方がいらっしゃいましたか。
よろしくっす。

テンソルで３＾３ということは
３つ添え字があってそれぞれの次元が３という感じ？

テンソルの間の演算とかはどのように入れました？

群とは異なる構造かあ。なるほど。
２変数だとでたらめに見えるような構造で
３変数になると意味を持つようなものがあるといいのかな

これ大昔ｎ項演算での考察を読んだことがあるけど
パターニングで結局２項に縮約されるって結論だった覚えがある。

バラモンの塔の解法と同じで解（塔の具体的な移動法）を全てをいちいち記述するの
計算量が莫大で不可能だけどある繰り返しのパターンで移動はできることが照明できる
ってイメージだった記憶。

アーメン。

でた
>>208
こいつ規制解除されたバカオツだからみんな無視するように
特徴は規制前のバカオツと一緒で
・自分で「かえるさん、○○」と書き込み自分で答える自演をしている
・朝6:10に書き込み開始、24:10に就寝
・相変わらず意味のない短文ばかり

お、クソキチガイきたw
引用
反応すんなよキチガイwww
バカオツケー（＾∇＾）
いつから名前がバカオツなんだかw
規制されてねぇwwww
本当にアホだなw
クソキチガイ帰れよw
悔しくて反応か？w

スレの行く末をワクワクして見守る猫。

猫

キチガイがたくさんw

147 名前：１３２人目の素数さん ：2011/07/30(土) 17:14:54.97

いつから名前がバカオツなんだかwww
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れよクソキチガイ
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れ！クソキチガイ！
顔真っ赤にしてクソキチガイ反応

148 名前： ◆osMsTqWzXY ：2011/07/30(土) 17:16:45.20
>>147
いつから名前がバカオツなんだかwww
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れよクソキチガイ
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？

>>213
いつから名前がバカオツなんだかwww
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れよクソキチガイ
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れ！クソキチガイ！
顔真っ赤にしてクソキチガイ反応




さっきから必死に頑張ってます！

ｂｙ>>213

>>211
ワクワク☆

とりあえず、上がったついでに
>>195 >>196
どうぞ

［２３４８］
ＡＢ
ＳＢＲ
ＥＭＰＣ
ＳＰＥＣＩＵＭ
ＡＰＬＷＪＫＳＪ
基本２
スポ３
受験４
標準５
回答7
キャラ８
［２３４８］
生物
弁護士
教育費
増税10%
背筋を伸ばすジャケット
幅広
センター試験
二次試験
実教出版センター倫理

［２３４８］
ＡＢ
ＳＢＲ
ＥＭＰＣ
ＳＰＥＣＩＵＭ
ＡＰＬＷＪＫＳＪ
基本２
スポ３
受験４
標準５
回答7
キャラ８
［２３４８］
生物
弁護士
教育費
増税10%
背筋を伸ばすジャケット
幅広
センター試験
二次試験
実教出版センター倫理

あんでぃ終わりかよwwwwww

俺たちのあんでぃはまだまだこれからだぜ

あんでぃ終わり？

never ending aaandyyyyy ♪

チューリングの計算可能の定義からすれば、
演算命令は1個でも全ての計算可能な関数が実現できるらしい。

トンテンカンカントンテンカン

>>223
くるまのとんてんかん
http://www.geocities.co.jp/HeartLand-Hanamizuki/5064/file/game/kurumano.htm

>>222
そですね。
NAND演算だけで任意のビット演算が行えますね。

新しい演算を見つけると言っても、
四則演算は２変数関数の一種と考えられるので
四則演算を特別だと見なす理由をはっきりしないと
問題設定があいまいになると思た

２変数関数には指数関数とかもあるし
特殊関数にも面白い性質のものがたくさんある

整数の間の写像でも
組み合わせ論的で豊富な計算例があるもんな

どうしようかな

もうネタ切れかい？

ほかにやることが山積みというのもあるが

３変数特殊関数を３項演算と見なせるので
すでに豊富な実例があるなあ
という気がしてきたというのが大きい

四則演算がなぜ特別なのか理由は特に見当たらないし
そのため、どのような３項演算が第５の演算になるか不明だ

なぜ２変数でなく３変数を考えたかと言うと
リー代数の対称性から２変数の素直な実数演算は
おおむね抽出されていると思ったから

あと３角形のような図形を平面に並べることで
文字列からでは思いつきにくい何らかのインスピレーションが
あると期待したから

何か思いついたことがあったらそのうちまた書きます

>>226
まさか3元数を探してるわけではないよね？

最初からネタなんかなかったじゃないか。

ポリンスキーって　ノニ　なんですか？

もしノニが出たら私が執拗かつ徹底的に撲滅します。絶対に許さないので。

猫

ノニさんへ、

ちょっと出て来ませんかね？　真っ二つに割って差し上げますのでね。
アンタみたいな屑を潰すのはストレス解消には最適なのでナ。

猫

>>229
ノニって何だよ！

>>229
オラァ、ちゃんと説明したれや。ワシかて『その説明』っちゅうんを見た
いしやね。ほんで「もしソレがアカン」っちゅうんなら本人が出て来て自
分で説明してもエエのや。本人が出たらワシかて作業をスルさかいナ。

猫

猫さんには私は用なぞありません

>>234
そやけどワシはアンタに用がアルのや。撲滅の対象としてナ。

猫

>>234
感情的に逆上して、ほんでもっとアホなカキコをせえや。

猫

>>234
おノニ様や、

そろそろ返事をしたらどないや。但し細心の注意を払ってカキコしろや。
そやないとワシが足元を思いっきりすくうさかいナ。エエな。

猫

ポランスキー

低脳なノニはバカンスキー。

猫

無能なノニはクズンスキー。

猫

馬鹿なノニはアホンスキー。

猫

白痴なノニはボケンスキー

猫

これはヒドイ

【XTM】
[X]
？個人単位？あとからできるから◯◯？冷静さが大事？他人に見せびらかさない？言葉に惑わされない
[T]
TS10漆原慎太郎小倉弘英数物化センター国語模試奨学金6236ためちかうるし大宮週間石川福間家計鉄製大数系カンビアッソ
[M]
文2シラバス小幡道昭柴田孝之伊藤真ハイエクマルクスフリードマン塾講師のバイト司法試験心理学社会心理学マネーゲームマセマ東京大学経済学部卒JEL分類コード弁護士
[]
東京捨便苦痛研究経済思想四季分類春夏秋冬防犯道具実戦家事旅行荷物
[]
イイものに触れ続けろ！！母親介護英数物化女の子に付ける名前経済学部必修七科目
[]

?:

臭いものにお札

コレハ

レハコ

ハコレ

チビタ

電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250〜700台数中国工作員3〜7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索

魂は幾何学

誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器
無差別で猥褻、日本は危険失敗例作


テロ資料忘れずに

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

あぼーん

とりあえず、三項演算が、二項演算の組合せで
△(a,b,c) = (a□b)◇c と表現されない条件を
しるぶぷれ。

[a|b|c]=a^をb回繰り返し、そのあとcがくる
例:[2|3|4]=2^2^2^4=2^2^16=2^65536=約2万桁

>>246
△(a,b,c) は n^(n^3) ,
(a□b)◇c, a□(b◇c) は高々 4*n^(n^2)
もっとも (a□b)◇(b☆c) 等があるから、はっきりした事は云えないが、
三項演算の方が多いっぽい。Hilbert の問題とも関連がある。
馬鹿猫には分からんだろうが。

[O]
[TGXE]
[RS4332]
[HK531]
[OH]
[GRKN]
[BB]
[294B]
[996A]

全くカビほど怖いモノは無い、焼き払うしかなかろう。

カビにも意志があるのか？？
全く分からん。ただ無意味に広がる様じゃ。

オレンジ色だったみかんが
ふと見てみたら緑色になっていた

すみません、質問です
約数は割り算で出るものなのにそれを足し合わせることに何の意味がありますか

描

>14 名前：１３２人目の素数さん ：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>

3

良スレ

どうしても三項演算子が必要な状況ってあるのかな。

化学反応は3項演算だよね
3つのものを同時に混ぜなきゃいけない

一項演算子で充分

シェファーズストロークってのが論理学の分野で議論されたことがある。

化学反応を演算と見なしたところでシステマチックに扱えるわけじゃないから、あまり意味がないと思う
代数というものは形式に着目して機械的に計算、あるいは構造を分解して単純化するためのものだから