(S') の a 軸に 1, 2, 3 を代入：

S'-O1 : (123)
S'-A1 : (132)
S'-A2 : (213)
S'-O2 : (231)
S'-O3 : (312)
S'-A3 : (321)

O (Odd) は b' 軸、c' 軸、d' 軸が等しく、a' 軸が異なる
A (All) は全ての軸が等価

ここで O (Odd) に関しては、d = a' 軸の同定で mod 3 和になる。

O1 = S'-O1 = D-O1 = D'-O1 : a + b + c + 1 = d (mod 3)
O2 = S'-O2 = D-O2 = D'-O2 : a + b + c + 2 = d (mod 3)
O3 = S'-O3 = D-O3 = D'-O3 : a + b + c = d (mod 3)

以上より、数え上げると Odd, Even, S'-All があることが分かりました。