f_{ab} は |S| = n 文字の置換なので、巡回置換を使って

f_{ab} = (x_1 ... x_k) (x_{k+1} ... x_l) ... (x_m ... x_n)

と書けます。

いま a, b を異なる S の元とし、任意の c_i ∈ S に対して

△(ab c_i) = d_i

とします。 a と b が異なるので、c_i と d_i も S の異なる元です。
また

△(ab d_i) = c_i

も成り立つので f_{ab} は c_i と d_i を入れ替えます。
よって、f_{ab} は文字の被らない n'個の互換の積

f_{ab} = (c_1 d_1) (c_2 d_2) ... (c_n', d_n')

であることが分かります。

とくに基数 n は偶数で n = 2n' です。

一方、a = b の場合を考えます。
すると等項定理より

△(aa c_i) = c_i

であるので、f_{aa} は恒等置換です。