>>27
>>34

どうせ返信なんて期待しませんが一応書いておきます

kを自然数, g^k (n) = 2nとなる写像 g: Z \to Zを次のように構成する：

任意の0でない整数mに対してm= m' 2^l
となる奇数m'と0以上の整数lが一意的に存在する.
奇数全体の集合は自然数全体の集合Nと同じ濃度なので
a:{奇数全体} \to N
なる全単射を一つ固定する.
このとき,
Z = {0} \cup ({奇数全体}×N) = {0} \cup (N×N)
という全単射が存在する（aに依存している)

上の同一視があるので,
写像G : N×N \to N×N
で, G^k (m,l) = (m, l+1)
を満たすものを構成すればよいことがわかる.
m = dk + j (dは0以上の整数, 0≦j <k)
と一意的に表したとき,

G(m,l)=
(m+1, l) (jがk-1でないとき)
(m, l+1) (j= k-1のとき)

で定義すればよい.

わからないのは、「必要十分性」と、「一意性」です。


(1)gは上で書いた全単射
a :{奇数全体} = N
の取り方に依存している.
この全単射は非常にたくさん存在する.
さらにはgはGの構成に依存して、Gが一意的である保証がない.
したがって, 明らかに一意的ではない.


(2)上で構成したg : Z \to Zは確かにg^k(n) = 2nを満たすことはわかる.
しかし, どんなgでg^k(n) =2nを満たすものも上のような構成によって得られるという保証は全くない