cos z = Σ_{n≧0} (-1)^n /(2n)! z^(2n)

　　　　　=　Σ_{n≧1} (-1)^(n-1) /(2n-2)! z^(2n-2)

になるように

　sin z = Σ_{n≧0} (-1)^n /(2n+1)! z^(2n+1)

を操作したければ
Σの下付を n≧0⇒n≧1 にして、(-1)(2n+1)(2n)(2n-1) z^(-3) を
右辺に乗じることになるはずなんですけど、

『　f(z)=Σ_{n≧0} an (z-a)^n

　は収束円板上で正則で

　f'(z)=Σ_{n≧1} n an (z-a)^(n-1)

　となることを用いて』

について、僕は sin の正級数の場合
Σの下付を n≧0⇒n≧1 にして、(2n+1) z^(-1) を右辺に乗じる
としか読めないんです。
実際そんな解釈の仕方で (cos z)' = -sin z は計算できました。
どこが間違えてるんでしょう？