ガロア生誕200周年記念スレ part 6

2011年10月25日をもって、エヴァリスト・ガロア生誕200周年となりました
Evariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日

Galois生誕200周年を記念して Kummer ◆g2BU0D6YN2 がGalois理論とそれに関連する話題を
語るスレです。
内容についてわからないことがあったら遠慮なく質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。

過去スレpart5の855と856の修正

命題
K を可換体とする。
L/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
E_1、．．．、E_n を L/K の中間体（過去スレpart4の854）で、
各 E_i/K は正規拡大（過去スレpart4の844）であるとする。
各 i = 1、．．．、n に対して E_1、．．．、E_i の合成体（>>298）を F_i とする。
各 i = 1、．．．、n - 1 に対して E_(i+1) ∩ F_i = K とする。

このとき F_n/K は正規拡大であり、
Aut(F_n/K)（過去スレpart4の847）は Aut(E_1/K)×．．．×Aut(E_n/K) に位相群として同型である。

証明
n に関する帰納法を使う。
過去スレpart5の337より各 F_i/K は正規拡大である。
n = 1 のときは自明である。
n ≧ 2 とする。
帰納法の仮定より Aut(F_(n-1)/K) は Aut(E_1/K)×．．．×Aut(E_(n-1)/K) に位相群として同型である。
一方、過去スレpart5の339より Aut(F_n/K) は Aut(E_n/K)×Aut(F_(n-1)/K) に位相群として同型である。
よって、Aut(F_n/K)は Aut(E_1/K)×．．．×Aut(E_n/K) に位相群として同型である。
証明終

過去スレpart5の855と856の修正

命題
K を可換体とする。
L/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
E_1、．．．、E_n を L/K の中間体（過去スレpart4の854）で、
各 E_i/K は正規拡大（過去スレpart4の844）であるとする。
各 i = 1、．．．、n に対して E_1、．．．、E_i の合成体（過去スレpart5の298）を F_i とする。
各 i = 1、．．．、n - 1 に対して E_(i+1) ∩ F_i = K とする。

このとき F_n/K は正規拡大であり、
Aut(F_n/K)（過去スレpart4の847）は Aut(E_1/K)×．．．×Aut(E_n/K) に位相群として同型である。

証明
n に関する帰納法を使う。
過去スレpart5の337より各 F_i/K は正規拡大である。
n = 1 のときは自明である。
n ≧ 2 とする。
帰納法の仮定より Aut(F_(n-1)/K) は Aut(E_1/K)×．．．×Aut(E_(n-1)/K) に位相群として同型である。
一方、過去スレpart5の339より Aut(F_n/K) は Aut(E_n/K)×Aut(F_(n-1)/K) に位相群として同型である。
よって、Aut(F_n/K)は Aut(E_1/K)×．．．×Aut(E_n/K) に位相群として同型である。
証明終

過去スレpart5の858の修正

命題
K を可換体とする。
L/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
(E_i)、i ∈ I を L/K の中間体（過去スレpart4の854）の族とする。
各 E_i/K は正規拡大（過去スレpart4の844）であるとする。
I の部分集合 J に対して (E_j)、j ∈ J の合成体（過去スレpart4の298）を F_J とする。

以下の条件が成り立つとする。

（1）L = F_I、即ち L は (E_i)、i ∈ I の合成体である。

（2）I の任意の有限部分集合 J と任意の i ∈ I - J に対して E_i ∩ F_J = K

このとき L/K は正規拡大であり、
Aut(L/K)（過去スレpart4の847）は ΠAut(E_i/K) に位相群として同型である。

証明
過去スレpart5の857より、 L/K は正規拡大である。
過去スレpart5の242より、各 i ∈ I に対して Aut(L/K) の各元を E_i に制限することにより
連続準同型 f_i：Aut(L/K) → Aut(E_i/K) が得られる。
よって、族 (f_i)、i ∈ I は連続準同型 f：Aut(L/K) → ΠAut(E_i/K) を定める。
Aut(L/K) はコンパクトであるから過去スレpart5の74より f が全単射であることを示せば良い。
L は (E_i)、i ∈ I の合成体であるから f は単射である。
よって、f が全射であることを示せば良い。

（続く）

>>4の続き

σ = (σ_i) を ΠAut(E_i/K) の任意の元とする。
σ の任意の近傍を U とする。
I の有限部分集合 J があり V_J = {(τ_i) ∈ ΠAut(E_i/K)； 各 j ∈ J に対して τ_j = σ_j} ⊂ U
となる。
>>3より F_J/K は正規拡大であり、 Aut(F_J/K)は Π[j ∈ J] Aut(E_j/K) に位相群として同型である。
よって、τ_J ∈ Aut(F_J/K) で τ_J の各 E_j、j ∈ J への制限が σ_j となるものが存在する。
過去スレpart4の887より τ ∈ Aut(L/K) で τ の F_J への制限が τ_J となるものが存在する。
f(τ) ∈ V_J である。
よって、f(Aut(L/K)) は ΠAut(E_i/K) において密である。
一方、Aut(L/K) は準コンパクト（過去スレpart5の64）であるから
過去スレpart5の71より f(Aut(L/K)) は準コンパクトである。
ΠAut(E_i/K) は Hausdorff であるから過去スレpart5の69より f(Aut(L/K)) は閉集合である。
よって、f(Aut(L/K)) = ΠAut(E_i/K) である。
証明終

定義
S を集合とする。
S から S への全単射全体は写像の合成で群となる。
この群を S 上の対称群と呼び Sym(S) と書く。

定義
S を集合とする。
Sym(S)（>>6）の元を S 上の置換と呼ぶ。
Sym(S) の部分群 G を S 上の置換群と言う。
このとき S は忠実（過去スレpart5の843）な G-集合（過去スレpart5の77）となる。
逆に忠実な G-集合 X は X 上の置換群と見なされる。

定義
K を可換体とする。
L/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。
S を L の部分集合で K 上代数的独立（過去スレpart5の7）であるとする。
L = K(S)（過去スレpart4の539）となるとき L を K 上の純超越拡大体
または L/K は純超越拡大であるとも言う。
このとき L は S を不定元の集合とする K 上の有理関数体とも言う。

S = {X_1、．．．、X_n} のとき
K(S) = K(X_1、．．．、X_n) は K 上の n 変数の有理関数体とも言う。

命題
K を可換体とする。
S を任意の集合とする。
このとき S を不定元の集合とする K 上の有理関数体 K(S)（>>8）が
K-同型（過去スレpart4の514）を除いて一意に存在する。

証明
S を不定元の集合とする K 上の多項式環 K[S] の存在は良く知られている。
K[S] の商体が K(S) である。
K(S) が K-同型を除いて一意であることは K[S] が K-同型を除いて一意であることから明らかである。
証明終

命題
S を集合とする。
G を S 上の置換群（>>7）とする。
K を可換体とする。
このとき G は Aut(K(S)/K) の部分群と見なされる。

証明
K(S) の任意の元 r は r = f(s_1、．．．、s_n)/g(s_1、．．．、s_n) と書ける。
ここで s_1、．．．、s_n は S の元の列であり、
f(s_1、．．．、s_n) と g(s_1、．．．、s_n) は K[s_1、．．．、s_n]（過去スレpart4の539） の元である。σ ∈ G のとき σ(r) = f(σ(s_1)、．．．、σ(s_n))/g(σ(s_1)、．．．、σ(s_n)) と定義すればよい。
この定義が矛盾なく行えることと、
この定義により G が Aut(K(S)/K) の部分群と見なされることは明らかである。
証明終

定義
G を群とする。
G の単位群を e とする。
H = {e} とおく。
G は G の H による左剰余類全体の集合 G/H と同一視される。
よって、過去スレpart5の108より G は推移的（過去スレpart5の107）な G-集合となる。
このとき G は忠実（過去スレpart5の843）な G-集合である。
よって、忠実な表現（過去スレpart5の843）G → Sym(G)（>>6）が得られる。
この表現を G の正則表現と呼ぶ。
このとき G は G 上の置換群（>>7）と見なされる。

>>11
>G の単位群を e とする。

G の単位元を e とする。

命題
(G_i)、i ∈ I を群の族とする。
G = ΠG_i を (G_i)、i ∈ I の直積とする。
各 i ∈ I に対して S_i を (G_i)-集合（過去スレpart5の77）とする。
S = ΣS_i を族 (S_i)、i ∈ I の直和集合とする。
σ = (σ_i) ∈ G と x ∈ S_i に対して σx = (σ_i)x と定義することにより
S は G-集合となる。
このとき、各 S_i が忠実（過去スレpart5の843）な (G_i)-集合であれば S は忠実な G-集合である。

証明
自明である。

>1 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2012/02/23(木) 09:04:21.71
>
>2 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2012/02/23(木) 09:06:11.54

スレ立てから２分後に書き込みか。やはり糞スレ立ててるのは、クマ自身かｗ

何がおかしいのか意味不明

当然俺が今まで全部スレ立てしてる。
そうでないと思ってたのか？
www

話は変わるが逮捕厨はどこ行った？
www

>>16
ただ書き込んでるだけで虚しくないかｗ

自分に引き付けてるなｗ
何かをコピッてるなら空しいだろうが全部再構成してる。
特に今やってるとこ（Galois拡大の構成）は面白い。
このあたり普通の教科書では扱ってない。

補題
K を可換体とする。
L/K をGalois拡大（過去スレpart4の848）とする。
E を L/K の中間体（過去スレpart4の854）とする。
T を Aut(L/K)（過去スレpart4の847）の有限部分集合とする。
任意の σ ∈ Aut(L/K) と任意の x ∈ E に対して σ(x) = τ(x) となる τ ∈ T があるとする。
このとき [E ： K] ≦ |T| である。
ここで |T| は T の要素の個数である。

証明
任意の x ∈ E に対して x の K 上の最小多項式（過去スレpart4の554）を f(X) とする。
f(X) の L における根の集合を S とする。
x ∈ S であるから任意の τ ∈ T に対して τ(x) ∈ S である。
逆に任意の y ∈ S に対して過去スレpart4の613より
K-同型（過去スレpart4の514）ρ：K(x) → K(y) で ρ(x) = y となるものが存在する。
過去スレpart4の887より σ ∈ Aut(L/K) で ρ の拡張であるものが存在する。
仮定より σ(x) = τ(x) となる τ ∈ T がある。
σ(x) = ρ(x) であるから y = τ(x)
よって、S = {τ(x)；τ ∈ T} である。
よって、|S| ≦ |T| である。
よって、f(X) の次数は |T| 以下である。
E/K は分離代数的（過去スレpart4の843）だから過去スレpart1の434より [E ： K] ≦ |T| である。
証明終

次の命題の証明はやや長いのでいくつかのステップに別けて証明する。

命題
(G_i)、i ∈ I を有限群の族とする。
G = ΠG_i を (G_i)、i ∈ I の直積とする。
このとき、ある可換体 K と Galois拡大（過去スレpart4の848）L/K が存在し
G は Aut(L/K)（過去スレpart4の847）と同型になる。
このとき K の標数（過去スレpart4の667）は任意に取れる。

命題
(G_i)、i ∈ I を有限群の族とする。
G = ΠG_i を (G_i)、i ∈ I の直積とする。
各 i に対して忠実（過去スレpart5の843）な (G_i)-集合（過去スレpart5の77）S_i が存在する。
例えば S_i として G_i を取り G_i の正則表現をとればよい（>>11）。
S = ΣS_i を族 (S_i)、i ∈ I の直和集合とする。
>>13より S は忠実な G-集合（過去スレpart5の77）となる。
k を任意の可換体とする。
>>9より S を不定元の集合とする k 上の有理関数体 k(S)（>>8）が存在する。
L = k(S) とおく。
>>10より G は Aut(L/k) の部分群と見なされる。
K = {x ∈ L；各σ ∈ G に対して σ(x) = x } とおく。
このとき L/K はGalois拡大（過去スレpart4の848）である。

証明
L は G-集合と見なされる。
x を L の任意の元とする。
過去スレpart5の848より x の軌道（過去スレpart5の92）O(x) = {σ(x)； σ ∈ G} が
有限集合であることを示せば良い。
各 i ∈ I に対して G_i は G の部分群と見なされる。
I の有限部分集合 J があり x ∈ k(∪{S_j；j ∈ J}) となる。
σ = (σ_i) を G = ΠG_i の任意の元とする。
J = {j_1、．．．、j_n} のとき σ(x) = σ_(j_1)．．．σ_(j_n)(x) となる。
よって、|O(x)| ≦ Π[i ∈ J] |G_j| である。
ここで |O(x)| と各 |G_j| はそれぞれ O(x) と G_j の集合としての濃度を表す（過去スレpart1の180）。
各 G_j は有限群であるから |O(x)| は有限である。
証明終

命題
>>22と同じ状況を仮定する。
x_1、．．．、x_n を L の元とする。
このとき、Aut(L/K) の任意の元 σ に対して
σ(x_1) = τ(x_1)、．．．、σ(x_n) = τ(x_n) となる τ ∈ G が存在する。

証明
Galois理論の基本定理（過去スレpart5の288）より Aut(L/K) = G~ である。
ここで G~ は G の閉包である。
即ち G は Aut(L/K) で密である。
U(σ；x_1、．．．、x_n) = {τ ∈ Aut(L/K)；σ(x_1) = τ(x_1)、．．．、σ(x_n) = τ(x_n)} とおく。
過去スレpart5の216より U(σ；x_1、．．．、x_n) は σ の開近傍である。
G は Aut(L/K) で密であるから
σ(x_1) = τ(x_1)、．．．、σ(x_n) = τ(x_n) となる τ ∈ G が存在する。
証明終

命題
>>22と同じ状況を仮定する。
各 i ∈ I に対して G_i の固定体（過去スレpart4の863）を F_i とする。
即ち F_i = {x ∈ L；各 σ ∈ G_i に対して σ(x) = x }
このとき F_i/K は正規拡大（過去スレpart4の844）である。

証明
過去スレpart4の865と876より、
任意の σ ∈ Aut(L/K) と任意の x ∈ F_i に対して σ(x) ∈ F_i を示せば良い。
各 i ∈ I に対して G_i は G の部分群と見なされる。
このとき i ≠ j なら G_i と G_j の各元は可換であることに注意する。
よって、各 G_i は G の正規部分群である。
>>23から σ(x) = σ’(x) となる σ’∈ G がある。
G_i は G の正規部分群だから任意の τ ∈ G_i に対して τσ’= σ’τ’となる τ’∈ G_i がある。
よって、τσ(x) = τσ’(x) = σ’τ’(x) = σ’(x) = σ(x)
よって、σ(x) ∈ F_i である。
証明終

命題
>>22と同じ状況を仮定する。
各 i ∈ I に対して G_i の固定体（過去スレpart4の863）を F_i とする。
即ち F_i = {x ∈ L；各 σ ∈ G_i に対して σ(x) = x }
各 i ∈ I に対して E_i = ∩{F_j； j ∈ I - {i}} とおく。
このとき [E_i ： K] ≦ |G_i| である。

証明
>>23から任意の σ’∈ Aut(L/K) と任意の x ∈ E_i に対して σ’(x) = σ(x) となる σ ∈ G がある。
σ = (σ_k) ∈ G = ΠG_k とする。
>>22の証明より I の有限部分集合 J = {j_1、．．．、j_n} で i ∈ J となるものがあり
σ(x) = σ_(j_1)．．．σ_(j_n)(x) となる。
仮定より各 j ∈ I - {i} に対して σ_j(x) = x である。
k ≠ j なら G_k と G_j の各元は可換であるから
σ’(x) = σ(x) = σ_(j_1)．．．σ_(j_n)(x) = σ_i(x)
よって、>>20より [E_i ： K] ≦ |G_i| である。
証明終

>>19
>何かをコピッてるなら空しいだろうが全部再構成してる。
それが自慢なのかｗ　誰も気付いてくれないようだが。
しょせん自己満足。虚しいのうｗ

>>27 俺は只の数ヲタなんかとは付き合わンな。

頭が良くて数学が出来てかっこいいヤツ。それが十分条件。
さらに arXiv math に論文だせば必要条件にもなる。
俺､一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
良い論文の出版を遅らせるお馬鹿なヤツ。

命題
>>25と同じ状況を仮定する。
各 i ∈ I に対して E_i/K は正規拡大（過去スレpart4の844）であり、
Aut(E_i/K)（過去スレpart4の847）は G_i に同型である。

証明
各 i ∈ I に対して E_i = ∩{F_j； j ∈ I - {i}} であり、
>>24より各 F_i/K は正規拡大である。
よって、E_i/K は正規拡大である。

過去スレpart5の242より、各 i ∈ I に対して Aut(L/K) の各元を E_i に制限することにより
連続準同型 f_i：Aut(L/K) → Aut(E_i/K) が得られる。
f_i を G_i に制限した写像を g_i：G_i → Aut(E_i/K) とする。
g_i が全単射であることを示せば良い。
過去スレpart4の887より f_i は全射である。
よって、任意の ρ ∈ Aut(E_i/K) に対して σ’∈ Aut(L/K) で σ’の E_i への制限が
ρ と一致するものが存在する。
>>25より E_i/K は有限次拡大である。
L/K は分離的（過去スレpart4の843）だから E_i/K も分離的である。
よって、原始要素の定理(過去スレpart1の335)より E_i = K(θ) となる θ がある。
>>25の証明より σ’(θ) = σ_i(θ) となる σ_i ∈ E_i がある。
一方、σ’(θ) = ρ(θ) だから σ_i(θ) = ρ(θ) である。
よって、σ_i の E_i への制限は ρ と一致する。
即ち、g_i(σ_i) = ρ である。
よって、g_i：G_i → Aut(E_i/K) は全射である。

>>22の記号で S_i の各元は j ≠ i のとき G_j で不変であるから S_i ⊂ E_i である。
τ ≠ 1 を G_i の元とする。
τ ≠ 1 だから S_i の元 s で τ(s) ≠ s となるものが存在する。
よって、g_i(τ) ≠ 1 である。
よって、g_i は単射である。
証明終

補題
X を位相空間とする。
A と B を X の部分集合で B ⊂ A とする。
B の X における閉包を B~ とする。
このとき B~ ∩ A は部分空間 A における B の閉包である。

証明
A における B の閉包を B’とする。
B ⊂ B~ ∩ A であり B~ ∩ A は A の閉集合であるから B’⊂ B~ ∩ A である。
逆の包含関係を示せば良い。
x ∈ B~ ∩ A のとき x ∈ B’を示せば良い。
V を x の A における任意の開近傍とする。
V = U ∩ A となる X の開集合がある。
x ∈ B~ で x ∈ U だから U ∩ B ≠ φ である。
U ∩ B = U ∩ A ∩ B = V ∩ B だから V ∩ B ≠ φ である。
よって、x ∈ B’である。
証明終

命題
>>25と同じ状況を仮定する。
このとき L は (E_i)、i ∈ I の合成体である。

証明
(E_i)、i ∈ I の合成体を E とする。
Galois理論の基本定理（過去スレpart5の288）より Aut(L/E) = {1} を示せば良い。
先ず G ∩ Aut(L/E) = {1} を示す。
σ ∈ G ∩ Aut(L/E) とする。
σ ∈ G = ΠG_i だから σ = (σ_i)、i ∈ I と書ける。
>>25の証明より、各 i ∈ I と任意の x ∈ E_i に対して σ(x) = σ_i(x) となる。
σ ∈ Aut(L/E) だから σ_i(x) = x である。
よって、σ_i の E への制限は E の恒等写像である。
よって、>>30より σ_i = 1 である。
よって、σ = 1 である。
よって、G ∩ Aut(L/E) = {1} である。

Aut(L/K) = G~ だから>>31より G~ ∩ Aut(L/E) = Aut(L/E) は
G ∩ Aut(L/E) = {1} の Aut(L/E) における閉包である。
よって、Aut(L/E) = {1} である。
証明終

命題
>>25と同じ状況を仮定する。
このとき K = ∩{F_i； i ∈ I} である。

証明
任意の σ ∈ G と任意の x ∈ ∩{F_i； i ∈ I} に対して σ(x) = x を示せば良い。
σ ∈ G = ΠG_i だから σ = (σ_i)、i ∈ I と書ける。
ここで、各 σ_i ∈ G_i である。
>>22の証明より I の有限部分集合 J = {j_1、．．．、j_n} があり
σ(x) = σ_(j_1)．．．σ_(j_n)(x) となる。
よって、σ(x) = x である。
証明終

命題
>>25と同じ状況を仮定する。
I の部分集合 J に対して (E_j)、j ∈ J の合成体（過去スレpart4の298）を E_J とする。
このとき I の任意の有限部分集合 J と任意の i ∈ I - J に対して E_i ∩ E_J = K である。

証明
j ∈ J のとき E_j ⊂ F_i である。
よって、E_J ⊂ F_i である。
任意の k ∈ I - {i} に対して E_i ⊂ F_k である。
よって、全ての k ∈ I に対して E_i ∩ E_J ⊂ F_k である。
よって、>>33より E_i ∩ E_J = K である。
証明終

命題
>>22と同じ状況を仮定する。
このとき Aut(L/K) は ΠAut(E_i/K) に位相群として同型である。

証明
>>32と>>34と>>4より明らかである。

命題
(G_i)、i ∈ I を有限群の族とする。
G = ΠG_i を (G_i)、i ∈ I の直積とする。
各 i ∈ I に対して G_i に離散位相を与えて G = ΠG_i を位相群と見なす。
このとき、ある可換体 K と Galois拡大（過去スレpart4の848）L/K が存在し
G は Aut(L/K)（過去スレpart4の847）と位相群として同型になる。
このとき K の標数（過去スレpart4の667）は任意に取れる。

証明
>>35と>>30より明らかである。

命題
>>22と同じ状況を仮定する。
各 i ∈ I に対して G_i に離散位相を与えて G = ΠG_i を位相群と見なす。
このとき Aut(L/K) は G と位相群として一致する。

証明
過去スレpart5の242より、各 i ∈ I に対して Aut(L/K) の各元を E_i に制限することにより
連続準同型 f_i：Aut(L/K) → Aut(E_i/K) が得られる。
族 (f_i)、i ∈ I は連続準同型 f：Aut(L/K) → ΠAut(E_i/K) を引き起こす。
>>35より f は位相群としての同型である。
f を G の制限した写像を g：G → ΠAut(E_i/K) とする。
各 i ∈ I に対して g を G_i に制限した写像を g_i：G_i → ΠAut(E_i/K) とする。
Aut(E_i/K) を ΠAut(E_i/K) の部分群と同一視したとき g_i(G) = Aut(E_i/K) である。
>>30より g_i：G_i → g_i(G) = Aut(E_i/K) は同型である。
よって、g：G → ΠAut(E_i/K) は全単射である。
ι：G → Aut(L/K) を包含写像とする。
fι = g である。
g は全射だから任意の σ ∈ Aut(L/K) に対して f(σ) = g(τ) となる τ ∈ G がある。
fι = g より f(σ) = f(ι(τ)) である。
f は単射だから σ = ι(τ) である。
よって、ι は全射である。
よって、Aut(L/K) = ι(G) = G である。
よって、f = g である。
f = g：G → ΠAut(E_i/K) は位相群としての同型であるから
Aut(L/K) の部分群としての G の位相は (G_i)、i ∈ I の直積としての位相に一致する。
証明終

命題
G を任意の副有限群（過去スレpart5の705）とする。
有限離散群（過去スレpart5の712）の族 (G_i)、i ∈ I があり
G は ΠG_i の閉部分群と位相群として同型である。

証明
G の開正規部分群全体を Ψ とする。
過去スレpart5の706より G = lim[H ∈ Ψ] G/H である。
過去スレpart3の494より G は Π[H ∈ Ψ] G/H の閉部分群と見なされる。
過去スレpart5の711より各 G/H は有限な離散群（過去スレpart5の712）である。
証明終

命題
G を任意の副有限群（過去スレpart5の705）とする。
このとき、ある可換体 K と Galois拡大（過去スレpart4の848）L/K が存在し
G は Aut(L/K)（過去スレpart4の847）と位相群として同型になる。
このとき K の標数（過去スレpart4の667）は任意に取れる。

証明
>>38より、有限離散群（過去スレpart5の712）の族 (G_i)、i ∈ I があり
G は G’= ΠG_i の閉部分群と見なされる。
>>36より、ある可換体 F と Galois拡大 L/F が存在し
G’は Aut(L/F) と位相群として同型になる。
このとき F の標数は任意に取れる。
G’と Aut(L/F) をこの同型で同一視したときの G の固定体（過去スレpart4の863）を K とする。
Galois理論の基本定理（過去スレpart5の288）より Aut(L/K) = G である。
証明終

任意の有限群 G は副有限群であるから>>39より G はあるGalois拡大のGalois群と同型になる。
しかし、この事実は次のように簡単に証明出来る。

命題
G を任意の有限群とする。
このとき、ある可換体 K と Galois拡大（過去スレpart4の848）L/K が存在し
G は Aut(L/K)（過去スレpart4の847）と同型になる。
このとき K の標数（過去スレpart4の667）は任意に取れる。

証明
忠実（過去スレpart5の843）な G-集合（過去スレpart5の77）S を任意にとる。
例えば S として G をとり G の正則表現をとればよい（>>11）。
k を任意の可換体とする。
>>9より S を不定元の集合とする k 上の有理関数体 k(S)（>>8）が存在する。
L = k(S) とおく。
>>10より G は Aut(L/k) の部分群と見なされる。
K = {x ∈ L；各σ ∈ G に対して σ(x) = x } とおく。
Artinの定理（過去スレpart1の438）より L/K はGalois拡大で G = Aut(L/K) である。
証明終

>>40から次の問題が自然に浮かぶ。

[与えられた可換体上のGaloisの逆問題]
有限群 G と可換体 K を任意に与えたときに Galois拡大（過去スレpart4の848）L/K で
G が Aut(L/K)（過去スレpart4の847）と同型になるようなものが存在するか？

この問題は K が素体（過去スレpart4の667）の時が最も重要である。
K が有限体（過去スレpart4の681）であれば後で示すように G としては巡回群しか有りえない。
よって、K が有理数体の場合が問題になる。

この問題は現在のところ未解決であるが種々の結果が知られている。
例えば G が次の場合は上の問題は肯定的である。
・対称群（Hilbert 1892）
・交代群（Hilbert 1892）
・可解群（Shafarevich 1954, 訂正 1989）
・Mathieu 群 M23 を除く25個の散在単純群（Matzat et al 1986, the Monster group Thompson 1984）

>>41
Shafarevichの結果は35年経ってから間違いが訂正された。
これで思い出されるのは有理数体上の任意のアーベル拡大は円分体に含まれるというKronecker-Weberの定理。
これはKroneckerにより1853年に予想されWeberにより1886年に証明された（と思われていた）。
しかし、（100年近く経ってから）1981年にNeumannによりWeberの証明の誤りが指摘され修正された。
因みにHilbertはWeberとは異なる方法により1896年にこの定理を証明している。

>>41の年表を見るとGaloisの逆問題に関してHilbertによる最初の発見から100年近く経ってから
急激な進歩があったことが分かる。
これは有限単純群の分類が1985年頃に完成したことと関係があるだろう。

命題
K を可換体とする。
E/K と F/K を拡大(>>90)とする。
σ：E → F を K-同型（過去スレpart4の514）とする。
E_s と F_s をそれぞれ K の E と F における相対分離的閉包（過去スレpart4の890）とする。
このとき σ は K-同型 σ’：E_s → F_s を引き起こす。

証明
任意の α ∈ E_s に対して α の K 上の最小多項式（過去スレpart4の557）を f(X) とする。
f(α) = 0 だから σ(f(α)) = f(σ(α)) = 0
よって、σ(α) の K 上の最小多項式を g(X) とすれば f(X) は g(X) で割り切れる。
τ：F → E を σ の逆写像とする。
g(σ(α)) = 0 だから τ(g(σ(α))) = g(α) = 0
よって、g(X) は f(X) で割り切れる。
f(X) と g(X) はモニック（過去スレpart1の115）だから f(X) = g(X) である。
よって、f(X) は σ(α) の K 上の最小多項式である。
α は K 上分離的（過去スレpart4の841）だから f(X) は分離的（過去スレpart4の694）である。
よって、σ(α) ∈ F_s である。
よって、σ(E_s) ⊂ F_s である。

τ は K-同型であるから上記と同様に τ(F_s) ⊂ E_s である。
よって、任意の β ∈ F_s に対して α = τ(β) とすれば α ∈ E_s であり σ(α) = β である。
よって、σ(E_s) = F_s となり σ の E_s への制限は K-同型 σ’：E_s → F_s を引き起こす。
証明終

定義
K を可換体とする。
過去スレpart4の636より K は代数的閉包（過去スレpart4の634）K~ を持つ。
K の K~ における相対分離的閉包（過去スレpart4の890）を K の分離代数的閉包と言う。
過去スレpart4の648より K の代数的閉包は K-同型（過去スレpart4の514）を除いて一意に定まる。
よって、>>44より K の分離代数的閉包は K-同型を除いて一意に定まる。

命題
K を可換体とする。
L/K を正規拡大（過去スレpart4の844）とする。
K の L における相対分離的閉包（過去スレpart4の890）を L_s とする。
このとき L_s/K はGalois拡大（過去スレpart4の848）であり Aut(L_s/K)（過去スレpart4の847）は
Aut(L/K) に位相群として同型である。

証明
K の L における相対純非分離閉包（過去スレpart5の334）を K~ とする。
過去スレpart5の361より以下が成り立つ。
（1） L_s/K はGalois拡大（過去スレpart4の848）である。
（2） L は K~ と L_s の合成体（>>298）である。
（3） K = K~ ∩ L_s

よって、過去スレpart5の335より、Aut(L_s/K) は Aut(L/K~) に位相群として同型である。
一方、正規拡大に関するGaloisの基本定理（過去スレpart5の282）より Aut(L/K~) = Aut(L/K) である。
証明終

定義
K を可換体とする。
K の代数的閉包（過去スレpart4の634）を K~ とする。
K の分離代数的閉包（>>45）を K^sep とする。
>>46より K^sep/K はGalois拡大であり G = Aut(K^sep/K) は Aut(K~/K) に位相群として同型である。
K^sep/K を K の絶対Galois拡大と言い、G を K の絶対Galois群と呼ぶ。

K を可換体とする。
K の絶対Galois拡大（>>47）K^sep/K は>>45より K が定まれば K-同型を除いて一意に定まる。
K^sep は K の分離代数的拡大、特にGalois拡大を K-同型を除いて全て含む。
よって、Galois理論の基本定理（過去スレpart5の288）より K の絶対Galois群（>>47）G は
K の分離代数的拡大のほとんど全ての情報を含むと考えられる。
K が与えられたとき G の構造を決定することは可換体論において重要な問題である。
特に有理数体の絶対Galois群の構造を決定することは未解決の非常に重要な問題と考えられている。

命題
K を可換体とする。
L/K をGalois拡大（過去スレpart4の844）とする。
G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。
G に標準位相（過去スレpart5の216）を入れる。
G の開部分群全体を Ψ とする。
L/K の中間体 M で M/K が有限次拡大となるもの全体を Φ とする。
H ∈ Ψ に対して H の固定体（過去スレpart4の863）を k(H) と書く。
M ∈ Φ に対して Aut(L/M) を g(M) と書く。
このとき k(Ψ) ⊂ Φ、g(Φ) ⊂ Ψ であり k：Ψ → Φ と g：Φ → Ψ は互いに逆写像である。

証明
H ∈ Ψ に対して M = k(H) とする。
H は過去スレpart5の249より G の閉部分群である。
よって、Galois理論の基本定理（過去スレpart5の288）より H = g(M)
過去スレpart5の325より [M_s ： K] は有限である。
ここで、M_s は M における K の相対分離的閉包（過去スレpart4の890）である。
L/K はGalois拡大であるから M/K は分離代数的である。
よって、M_s = M である。
よって、M ∈ Φ である。

逆に任意の M ∈ Φ に対して標準位相の定義より g(M) は開部分群である。
よって、g(M) ∈ Ψ

Galois理論の基本定理（過去スレpart5の288）より
k：Ψ → Φ と g：Φ → Ψ は互いに逆写像である。
証明終

命題
K を可換体とする。
L/K をGalois拡大（過去スレpart4の844）とする。
G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。
G に標準位相（過去スレpart5の216）を入れる。
G の開正規部分群全体を Ψ とする。
L/K の中間体 M で M/K が有限次の正規拡大となるもの全体を Φ とする。
H ∈ Ψ に対して H の固定体（過去スレpart4の863）を k(H) と書く。
M ∈ Φ に対して Aut(L/M) を g(M) と書く。
このとき k(Ψ) ⊂ Φ、g(Φ) ⊂ Ψ であり k：Ψ → Φ と g：Φ → Ψ は互いに逆写像である。

証明
H ∈ Ψ に対して M = k(H) とする。
H は過去スレpart5の249より G の閉部分群である。
よって、Galois理論の基本定理（過去スレpart5の288）より H = g(M)
よって、過去スレpart5の308より M/K は正規拡大である。
よって、>>49より M ∈ Φ である。

逆に任意の M ∈ Φ に対して過去スレpart5の308より g(M) は正規部分群である。
標準位相の定義より g(M) は開部分群である。
よって、g(M) ∈ Ψ

Galois理論の基本定理（過去スレpart5の288）より
k：Ψ → Φ と g：Φ → Ψ は互いに逆写像である。
証明終

命題
K を可換体とする。
L/K をGalois拡大（過去スレpart4の844）とする。
G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。
過去スレpart5の231より G は標準位相（過去スレpart5の216）で位相群となる。
L/K の中間体 M で M/K が有限次の正規拡大となるもの全体を Φ とする。
M_1、M_2 ∈ Φ、M_1 ⊂ M_2 とする。
過去スレpart4の876より、任意の σ ∈ Aut(M_2/K) に対して σ(M_1) = M_1 である。
よって、σ の M_1 への制限 σ|M_1 は Aut(M_1/K) の元である。
σ ∈ Aut(M_2/K) に対して σ|M_1 を対応させることにより
準同型 Aut(M_2/K) → Aut(M_1/K) が得られる。
位相群の圏を TopGrp とすれば (Aut(M/K))、M ∈ Φ は
TopGrp における Φ 上の射影系（過去スレpart5の684）である。
ただし、各 Aut(M/K) は離散群（過去スレpart5の712）と見なす。
このとき G は位相群として lim[M ∈ Φ] Aut(M/K) と同型である。

証明
過去スレpart5の727より G は標準位相で副有限群（過去スレpart5の705）となる。
G の開正規部分群全体を Ψ とする。
過去スレpart5の706より G は lim[H ∈ Ψ] G/H に位相群として同型である。
>>50より k：Ψ → Φ と g：Φ → Ψ は互いに逆写像である。
H ∈ Ψ に対して M = k(H) とする。
H = g(M)
よって、過去スレpart5の309より G/H は位相群として Aut(M/K) に同型である。
過去スレpart5の212より G/H は離散群（過去スレpart5の712）である。
よって、G は位相群として lim[M ∈ Φ] Aut(M/K) と同型である。
証明終

命題
K を有限体（過去スレpart4の681）とする。
L/K を有限次拡大とする。
n = [L ： K]（過去スレpart4の560）とする。
過去スレpart4の686より |K| は素数冪 q = p^m である。
このとき L は X^(q^n) - X ∈ K[X] の根全体と一致する。
従って L は X^(q^n) - X の K 上の最小分解体（過去スレpart4の542）である。

証明
|L| = q^n である。
過去スレpart1の332より L の乗法群 L^* は巡回群である。
|L^*| = q^n - 1 である。
よって、L^* の任意の元 α に対して α^(q^n - 1) = 1 である。
よって、α^(q^n) = α である。
即ち α は多項式 X^(q^n) - X の根である。
0 は X^(q^n) - X の根であるから L の全ての元は X^(q^n) - X の根である。
|L| = q^n であるから L は X^(q^n) - X の根全体と一致する。
証明終

命題
K を有限体（過去スレpart4の681）とする。
過去スレpart4の686より |K| は素数冪 q = p^m である。
L/K を有限次拡大とする。
n = [L ： K]（過去スレpart4の560）とする。
ψ：L → L をFrobenius自己準同型（過去スレpart1の220）とする。
このとき L/K はGalois拡大（過去スレpart4の844）であり
Aut(L/K)（過去スレpart4の847）は ψ^m で生成される位数 n の巡回群である。

証明
>>52より L は X^(q^n) - X の K 上の最小分解体（過去スレpart4の542）である。
よって、過去スレpart4の876より L/K は正規拡大（過去スレpart4の844）である。
X^(q^n) - X は分離的（過去スレpart4の694）であるから L/K はGalois拡大である。
φ = ψ^m とおく。
α ∈ L のとき φ(α) = α^(p^m) = α^q である。
φ：L → L は単射であり L は有限集合であるから φ は全単射である。
よって、φ は L の自己同型である。
>>52より K は X^q - X の根全体と一致する。
よって、φ は K の元を動かさない。
よって、φ ∈ Aut(L/K) である。
>>52より L は X^(q^n) - X の根全体と一致する。
よって、φ^n = 1 である。
過去スレpart1の332より L の乗法群 L^* は巡回群である。
α ∈ L^* をその生成元とする。
|L^*| = q^n - 1 である。
φ^r = 1、1 ≦ r ＜ n とする。
α(q^r) = α
よって、α^(q^r - 1) = 1
これは α の位数が q^n - 1 であることに矛盾する。
よって、φ の位数は n である。
|Aut(L/K)| = n であるから Aut(L/K) は φ で生成される巡回群である。
証明終

>>53
φ の位数が n であることは次のように証明したほうが良い。

φ^r = 1、1 ≦ r ＜ n とする。
全ての α ∈ L に対して α(q^r) = α
よって、多項式 X^(q^r) - X が q^n 個の根を持つことになって矛盾する。

命題
有限体（過去スレpart4の681）は完全体（過去スレpart1の222）である。

証明
K を有限体とする。
K の標数（過去スレpart4の667）を p とする。
ψ：K → K をFrobenius自己準同型（過去スレpart1の220）とする。
ψ は単射で K は有限集合だから ψ は全射である。
よって、K = K^p（過去スレpart1の229）である。
よって、過去スレpart1の238より K は完全体（過去スレpart1の222）である。
証明終

命題
K を有限体（過去スレpart4の681）とする。
K~ を K の代数的閉包（過去スレpart4の634）とする。
このとき K~/K はGalois拡大（過去スレpart4の844）である。

証明
K~/K は正規拡大（過去スレpart4の844）である。
>>55より K は完全体（過去スレpart1の222）である。
よって、K~/K は分離代数的（過去スレpart4の843）である。
よって、K~/K はGalois拡大である。
証明終

命題
K を有限体（過去スレpart4の681）とする。
過去スレpart4の686より |K| は素数冪 q = p^m である。
K~ を K の代数的閉包とする。
ψ：K~ → K~ をFrobenius自己準同型（過去スレpart1の220）とする。
φ = ψ^m とおく。
このとき φ ∈ Aut(K~/K)（過去スレpart4の847）である。

証明
α ∈ K~ のとき φ(α) = α^(p^m) = α^q である。
K~ は代数的閉体（過去スレpart4の628）であるから、
任意の β ∈ K~ に対して多項式 X^q - β は K~ において根を持つ。
よって、φ は全射である。
よって、φ は K~ の自己同型である。
>>52より K は多項式 X^q - X の根全体と一致する。
よって、φ は K の元を動かさない。
よって、φ ∈ Aut(K~/K) である。
証明終

命題
K を有限体（過去スレpart4の681）とする。
過去スレpart4の686より |K| は素数冪 q = p^m である。
K~ を K の代数的閉包とする。
ψ：K~ → K~ をFrobenius自己準同型（過去スレpart1の220）とする。
φ = ψ^m とおく。
>>57より φ ∈ Aut(K~/K)（過去スレpart4の847）である。
このとき、任意の整数 n ≧ 1 に対して [L ： K] = n となる K~/K の中間体 L が一意に存在する。
L/K はGalois拡大（過去スレpart4の844）であり
Aut(L/K) は φ|L で生成される位数 n の巡回群である。
ここで φ|L は φ を L に制限したものである。

証明
L = {x ∈ K~；φ^n(x) = x} とおく。
L は K~ の部分体で K を含む。
L は多項式 X^(q^n) - X ∈ K[X] の根全体である。
X^(q^n) - X の導多項式（過去スレpart1の182）は (q^n)X^(q^n - 1) - 1 = -1
よって、過去スレpart4の695より X^(q^n) - X は分離的（過去スレpart4の694）である。
よって、|L| = q^n である。
よって、[L ： K] = n である。

>>52より [L ： K] = n となる K~/K の中間体 L は
X^(q^n) - X ∈ K[X] の根全体と一致するから一意に決まる。

L/K は多項式 X^(q^n) - X の K 上の最小分解体（過去スレpart4の542）である。
よって、過去スレpart4の876より L/K は正規拡大（過去スレpart4の844）である。
X^(q^n) - X は分離的であるから L/K はGalois拡大である。

>>53より Aut(L/K) は φ|L で生成される位数 n の巡回群である。
証明終

命題
K を有限体（過去スレpart4の681）とする。
K~ を K の代数的閉包とする。
このとき Aut(K~/K)（過去スレpart4の847）は Z＾に位相群として同型である。
ここで Z＾は有理整数全体の作るアーベル群 Z に付随する副有限群（過去スレpart5の741）である。

証明
過去スレpart4の686より |K| は素数冪 q = p^m である。
ψ：K~ → K~ をFrobenius自己準同型（過去スレpart1の220）とする。
φ = ψ^m とおく。
>>56より K~/K はGalois拡大（過去スレpart4の844）である。
>>58より各整数 n ≧ 1 に対して [L_n ： K] = n となる K~/K の中間体 L_n で
L_n/K がGalois拡大となるものが一意に存在する。
Aut(L_n/K) は φ|L で生成される位数 n の巡回群である。
>>51より Aut(K~/K) は位相群として lim Aut(L_n/K) と同型である。
これは位相群として Z＾ = lim Z/nZ と同型である。
証明終

>>59で目を引くのは有限体の絶対Galois群（>>47）Aut(K~/K) が
K の標数に無関係に一定の副有限群 Z＾に同型であるということである。

ここで、Galois理論の応用として代数学の基本定理、即ち複素数体が代数的閉体であることを証明しよう。
次の事実を基礎とする。

（1）中間値の定理より実係数の奇数次の多項式は実根を持つ。

（2）複素係数の２次多項式は複素数体において根を持つ。

補題
K を可換体とする。
K 係数の奇数次の多項式は K において常に根を持つとする。
L/K を任意の有限次Galois拡大（過去スレpart4の844）とする。
このとき G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）の位数は 2 の冪である。

証明
L ≠ K と仮定してよい。
原始要素の定理（過去スレpart1の335）より L = K(α) となる α ∈ L がある。
仮定より α の K 上の最小多項式（過去スレpart4の557）の次数は奇数では有り得ない
よって、G の位数は偶数である。
|G| = (2^n)m で m は奇数とする。
過去スレpart5の802より G は位数 2^n の部分群 P を持つ。
P で固定される L の部分体を M とする。
[M ： K] = m は奇数だから上と同様の理由により m = 1 である。
即ち M = K である。
よって Galois理論の基本定理（過去スレpart5の288）より G = P である。
証明終

命題（代数学の基本定理）
複素数体は代数的閉体（過去スレpart4の628）である。

証明
R を実数体とし C を複素数体とする。
過去スレpart4の635より
R 係数の次数 ≧ 1 の任意の多項式 f(X) が C において１次式の積に分解することを証明すればよい。
f(X) の C 上の最小分解体（過去スレpart4の542）を L とする。
L は (X^2 + 1)f(X) の R 上の最小分解体であるから L/R はGalois拡大（過去スレpart4の844）である。
>>61の（1）と>>62より G = Aut(L/R) の位数は 2 の冪である。
よって、H = Aut(L/C) の位数も 2 の冪である。
過去スレpart5の782より H は可解群（過去スレpart1の550）である。
よって、|H| ＞ 1 とすると過去スレpart1の564より H は指数 2 の正規部分群 N を持つ。
N で固定される L の部分体を F とすると [F ： C] = 2 である。
これは>>61の（2）に矛盾する。
よって |H| = 1、即ち L = C となり f(X) は C において１次式の積に分解する。
証明終

定義
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
σ ∈ G、f = f(X_1、．．．、X_n) ∈ B のとき σf = f(X_σ(1)、．．．、X_σ(n)) と定義する。
f → σf は B の環としての自己同型である。
よって、準同型 π：G → Aut(B) が得られる。
ここで Aut(B) は B の自己同型群である。
π は明らかに単射である。
よって、B は忠実（過去スレpart5の843）な G-集合（過去スレpart5の77）となる。
Fix(G)（過去スレpart5の770）は A を含む B の部分環である。
Fix(G) を A[X_1、．．．、X_n]_sym と書く。
A[X_1、．．．、X_n]_sym の元を A 係数の n 変数の対称多項式という。

命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
f ∈ A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）に対して f = Σf_k を同次多項式への分解とする。
このとき、各 f_k ∈ A[X_1、．．．、X_n]_sym である。

証明
自明である。

定義
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
各整数 k、0 ≦ k ≦ n に対して集合 {1、．．．、n} の部分集合 H で
k 個の要素からなるもの全体を P_k とする。
各 k に対して s_k = Σ[H ∈ P_k] Π[i ∈ H] X_i とおく。
s_k は明らかに k 次の同次多項式であり対称多項式（>>64）である。
s_k を次数 k の基本対称多項式と言う。

例
s_0 = 1
s_1 = X_1 + ．．．+ X_n
s_2 = Σ[i ＜ j] X_iX_j

命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
B[U, V] を B 上の２変数の多項式環とする。
このとき
(U + VX_1)．．．(U + VX_n) = Σ[k = 0、．．．、n ] s_k U^(n-k)V^k
ここで、各 s_k は次数 k の基本対称多項式（>>66）である。

証明
自明である。

命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
B[V] を B 上の２変数の多項式環とする。
このとき
(1 + VX_1)．．．(1 + VX_n) = Σ[k = 0、．．．、n ] s_kV^k
ここで、各 s_k は次数 k の基本対称多項式（>>66）である。

証明
>>67において U に 1 を代入すればよい。

>>68
>B[V] を B 上の２変数の多項式環とする。

B[V] を B 上の１変数の多項式環とする。

命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
B[U] を B 上の１変数の多項式環とする。
このとき
(U - X_1)．．．(U - X_n) = Σ[k = 0、．．．、n ] (-1)^(n-k) s_(n-k) U^k
ここで、各 s_k は次数 k の基本対称多項式（>>66）である。

証明
>>67において V に -1 を代入すればよい。

記法
Z を有理整数環とする。
集合 {n ∈ Z； n ≧ 0} を Z+ と書く。

哲也はウンコ

定義
n ≧ 1 を整数とする。
(Z+)^n を Z+（>>71）の n 個の直積集合とする。
a = (a_i) と b = (b_i) を (Z+)^n の元とする。
a ≠ b のとき k = min{i；a_i ≠ b_i} が定まる。
a_k ＜ b_k のとき a ＜ b と書く。
a = b または a ＜ b のとき a ≦ b と書く。

命題
>>73の ≦ により (Z+)^n は全順序集合となる。

証明
自明である。

定義
>>74により ≦ は (Z+)^n の全順序である
これを (Z+)^n の辞書式順序と言う。

定義（代数的整数論021の178）
X を順序集合とする。
X の元 a は a ＜ x となる x ∈ X が存在しないとき X の極大元と言う。

定義（代数的整数論021の179）
X を順序集合とする。
X の元 a は x ＜ a となる x ∈ X が存在しないとき X の極小元と言う。

定義（代数的整数論021の397）
S を順序集合とする。
(1) S の空でない任意の部分集合が極大元（>>76）を持つとき S は極大条件を満たすと言う。
(2) S の空でない任意の部分集合が極小元（>>77）を持つとき S は極小条件を満たすと言う。

(Z+)^n　の順序型は　ω^n
と言ってもクマーにはワカランだろうな

百も承知

>>79
クマが知っていようがいまいが関係ないな
顔文字の意味を覚えた測度厨辺りか

　お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああ！！！！！！

　ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがああああああ！！！！！！！

>>82
ホレ、今夜も頑張れやナ。

猫

定義
極小条件（>>78）を満たす全順序集合を整列集合と呼ぶ。

命題
I を順序集合とする。
I が整列集合（>>84）であるためには I の空でない任意の部分集合が最小元を持つことが必要十分である。

証明
必要性：
I を整列集合とする。
J を I の空でない任意の部分集合とする。
仮定より J は極小元（>>77） a を持つ。
I は全順序集合であるから J の任意の元 x に対して a ≦ x または x ≦ a
x ＜ a では有り得ないから a ≦ x
よって、a は J の最小元である。

十分性：
I の空でない任意の部分集合が最小元を持つとする。
I の任意の２元 a, b に対して {a, b} は最小元をもつ。
よって、a ≦ b または b ≦ a
よって、I は全順序集合である。
I の空でない任意の部分集合の最小元はその集合の極小元でもあるから I は整列集合である。
証明終

定義
I が整列集合（>>84）とする。
(M_i)、i ∈ I を順序集合の族とする。
M = ΠM_i を族 (M_i)、i ∈ I の直積集合とする。
a = (a_i) と b = (b_i) を M の元とする。
I は整列集合だから a ≠ b のとき k = min { i ∈ I；a_i ≠ b_i} が定まる。
a_k ＜ b_k のとき a ＜ b と書く。
a = b または a ＜ b のとき a ≦ b と書く。

命題
>>86の ≦ は M の順序を定める。

証明
a ＜ b かつ b ＜ c のとき a ＜ c を証明すれば良い。
k = min { i ∈ I；a_i ≠ b_i}
s = min { i ∈ I；b_i ≠ c_i}
とする。
a_k ＜ b_k かつ b_s ＜ c_s である。

I は全順序集合だから以下の３通りの場合がある。

1) k = s の場合：
i ＜ k のとき a_i = b_i = c_i
a_k ＜ b_k ＜ c_k であるから a_k ＜ c_k
よって、a ＜ c

2）k ＜ s の場合：
i ＜ k のとき a_i = b_i = c_i
a_k ＜ b_k = c_k であるから a_k ＜ c_k
よって、a ＜ c

3）s ＜ k の場合：
i ＜ s のとき a_i = b_i = c_i
a_s = b_s ＜ c_s であるから a_s ＜ c_s
よって、a ＜ c
証明終

定義
I を整列集合（>>84）とする。
(M_i)、i ∈ I を順序集合の族とする。
M = ΠM_i を族 (M_i)、i ∈ I の直積集合とする。
>>87より>>86の ≦ は M の順序となる
この順序を M の辞書式順序と呼ぶ。

命題
I を整列集合（>>84）とする。
(M_i)、i ∈ I を順序集合の族とする。
各 M_i は空でないとする。
M = ΠM_i を族 (M_i)、i ∈ I の直積集合とする。
このとき M が辞書式順序（>>88）により全順序集合となるためには
各 M_i が全順序集合であることが必要十分である。

証明
必要性：
M が辞書式順序で全順序集合であるとする。
ある k ∈ I に対して M_k が全順序集合でないと仮定して矛盾を導けば良い。
M_k の元 x、y で x ≦ y でも y ≦ x でもないものがある。

1）k が I の最小元の場合：
各 M_i は空でないから選択公理より M の元 a = (a_i) で x = a_k となるものがある。
同様に M の元 b = (b_i) で y = b_k となるものがある。
このとき辞書式順序で a ≦ b でも b ≦ a でもない。
これは M が全順序集合であることに矛盾する。

2）k が I の最小元でない場合：
各 M_i は空でないから選択公理より M の元 a = (a_i) で x = a_k となるものがある。
同様に M の元 b = (b_i) で y = b_k となるものがある。
M の元 c = (c_i) を以下のように定義する。
i ＜ k のとき c_i = a_i
k ≦ i のとき c_i = b_i
このとき辞書式順序で a ≦ c でも c ≦ a でもない。
これは M が全順序集合であることに矛盾する。

十分性：
自明である。
証明終

明らかだろうが

命題
I を有限な整列集合（>>84）とする。
(M_i)、i ∈ I を整列集合の族とする。
M = ΠM_i を族 (M_i)、i ∈ I の直積集合とする。
このとき M は辞書式順序（>>88）により整列集合となる。

証明
I = {1、．．．、n} として一般性を失わない。
各 i ∈ I に対して f_i：M → M_i と g_i：M → (M_1)×．．．×(M_i) を射影とする。
N を M の空でない部分集合とする。
各 i ∈ I に対して M_i の元 a_i を以下のように帰納的に決める。
f_1(N) の最小元を a_1 とする。
a_1、．．．、a_i まで決まったとき
f_(i+1)((g_i)^(-1)(a_1、．．．、a_i) ∩ N) の最小元を a_(i+1) とする。
このとき (a_1、．．．、a_n) が N の最小元である。
証明終

>>90
明らかだと思ったら証明はスルーすればいい。
律儀に全部読む必要はない。

命題
M を整列集合（>>84）とする。
N を M の部分集合とする。
x を M の任意の元とする。
{ y ∈ M； y ＜ x } ⊂ N なら x ∈ N とする。
このとき M = N である。

証明
M ≠ N と仮定する。
M - N は空でないから最小限 a を持つ。
{ y ∈ M； y ＜ a } ⊂ N であるから a ∈ N となって矛盾。
証明終

というか証明は読まずに自分で考えるのがベスト

よく演習問題が欲しいとか甘えたことを言ってるやつがいるが証明を読まずに自分で考えればいい。
それがいい演習問題になる。
または自分で問題を考えればいい。
例が欲しいとか言ってるやつも同様。
自分で例を考えるのがいい演習になる。

かまってもらえて嬉しそうだなｗ

記法
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
B の元 f は f(X_1、．．．、X_n) = Σc_(a_1、．．．、a_n) (X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n)
と書ける。
ここで (a_1、．．．、a_n) は (Z+)^n（>>73）の元であり、
c_(a_1、．．．、a_n) は A の元である。

このとき
a = (a_1、．．．、a_n)
X = (X_1、．．．、X_n)
X^a = (X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n)
c_a = c_(a_1、．．．、a_n)
と略記する。
よって、f = Σc_a X^a である。

記法
a = (a_1、．．．、a_n) と b = (a_1、．．．、a_n) を (Z+)^n（>>73）の元としたとき
a + b = (a_1 + b_1、．．．、a_n + b_n) と書く。

別にそれほどでもない
それより何でも自分に引き付けて考える癖をなんとかしろよ

>>99
何でも自分に引き付けて考えるのは推奨されるべき事。オマエは馬鹿。

猫

定義
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
(Z+)^n（>>73）には辞書式順序（>>75）を入れておく。
f = Σc_a X^a（>>97）を B の 0 でない元とする。
max {a；c_a ≠ 0} ∈ (Z+)^n を f の複次数（multi-degree）と呼び mdeg(f) または mdeg f と書く。

a = mdeg(f) のとき c_a X^a を f の主項（leading term）と呼び lead(f) と書く。
c_a を f の主係数と呼ぶ。

例
mdeg(X_1) = (1、0、．．．、0)
mdeg(X_n) = (0、．．．、0、1)

例
s_k を次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。
このとき lead(s_k) = X_1．．．X_k

命題
a、b、c を (Z+)^n（>>73）の元とする。
(Z+)^n には辞書式順序（>>75）を入れておく。
a ＜ b のとき a + c ＜ b + c である。

証明
自明である。

命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
f ≠ 0 と g ≠ 0 を B の元とする。
c_a と d_b をそれぞれ f と g の主係数（>>101）とする。
(c_a)(d_b) ≠ 0 のとき

mdeg(fg) = mdeg(f) + mdeg(g)
lead(fg) = lead(f)lead(g)

証明
f = c_aX^a + Σ[i ＜ a] c_iX^i
g = d_bX^b + Σ[j ＜ b] d_jX^j
と書ける。

よって、
fg = (c_a)(d_b)X^(a + b) + Σ[j ＜ b] (c_a)(d_j)X^(a + j) + Σ[i ＜ a] (c_i)(d_b)X^(i + b)
+ Σ[i ＜ a、j ＜ b] (c_i)(d_j)X^(i + j)

>>104より
j ＜ b のとき a + j ＜ a + b
i ＜ a のとき i + b ＜ a + b
i ＜ a、j ＜ b のとき i + j ＜ a + j ＜ a + b

よって、
mdeg(fg) = mdeg(f) + mdeg(g)
lead(fg) = lead(f)lead(g)
証明終

命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k（1 ≦ k ≦ n） を次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。
(a_1、．．．、a_n) ∈ (Z+)^n とする。
このとき
mdeg((s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n)) = (a_1 + ．．． + a_n、a_2 + ．．． + a_n、．．．、a_n)

証明
>>103より lead(s_k) = X_1．．．X_k
よって、>>105より lead((s_k)^(a_k)) = (X_1)^(a_k)．．．(X_k)^(a_k)
よって、>>105より
mdeg((s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n)) = (a_1 + ．．． + a_n、a_2 + ．．． + a_n、．．．、a_n)
証明終

命題
A を可換環とする。
f ≠ 0 を A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）の元とする。
mdeg(f) = (a_1、．．．、a_n)（>>101）とする。
このとき a_1 ≧ a_2 ≧ ．．．≧ a_n である。

証明
lead(f) = c(X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) とする。
ここで c ≠ 0 は A の元である。
任意の σ ∈ Sym({1、．．．、n})（>>6）に対して σf = f であるから
c(X_σ(1))^(a_1)．．．(X_σ(n))^(a_n) は f の項である。
よって、σ として互換 (1, 2) をとれば c(X_1)^(a_2)(X_2)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) は f の項である。
よって、a_1 ≧ a_2 である。
同様に σ として互換 (2, 3) をとることにより a_2 ≧ a_3 となる。
以下同様にして a_1 ≧ a_2 ≧ ．．．≧ a_n となる。
証明終

命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
>>64より B は忠実（過去スレpart5の843）な G-集合（過去スレpart5の77）となる。
このとき、任意の f ∈ B に対して h = Σ[g ∈ O(f)] g は対称多項式（>>64）である。
ここで、O(f) = {σ(f)； σ ∈ G} は f の軌道（過去スレpart5の92）である。

証明
H を f の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。
即ち H = {σ ∈ G；σ(f) = f} である。
G/H を G の H による左剰余類全体の集合とする。
σ_1、．．．、σ_m を G/H の完全代表系とする。
O(f) = {σ_1(f)、．．．、σ_m(f)} である。
よって、h = σ_1(f) + ．．．+ σ_m(f) である。
任意の τ ∈ G に対して τσ_1、．．．、τσ_m は G/H の完全代表系である。
よって、τh = τσ_1(f) + ．．．+ τσ_m(f) = σ_1(f) + ．．．+ σ_m(f) = h
よって、h は対称多項式である。
証明終

命題
A を可換環とする。
a_1 ≧ a_2 ≧ ．．．≧ a_n ≧ 0 を整数とする。
このとき mdeg(f) = (a_1、．．．、a_n)（>>101）となる f ∈ A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）がある。

証明
g = (X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) とする。
>>108より f = Σ[h ∈ O(g)] h は対称多項式（>>64）である。
明らかに mdeg(f) = (a_1、．．．、a_n) である。
証明終

命題（超限帰納法）
M を整列集合（>>84）とする。
M の各元 x に関する命題 P(x) があるとする。
P(x) が次の性質（*）を満たすとする。

（*）y ＜ x なら常に P(y) が真であることを仮定すれば P(x) も真である。

このとき M の全ての元 x に対して P(x) は真である。

証明
N = { x ∈ M； P(x) が真} とおく。
（*）より { y ∈ M； y ＜ x } ⊂ N なら x ∈ N である。
よって、>>93より M = N である。
よって、M の全ての元 x に対して P(x) は真である。
証明終

命題
A を可換環とする。
s_k（1 ≦ k ≦ n） を次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。
このとき、A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）= A[s_1、．．．、s_n] である。
即ち、A 係数で n 変数の任意の対称多項式は s_1、．．．、s_n の A 係数の多項式として表される。

証明
>>91より、(Z+)^n （>>73）は整列集合（>>84）である。
M = {(a_1、．．．、a_n) ∈ (Z+)^n； a_1 ≧ a_2 ≧ ．．．≧ a_n} とおく。
M は整列集合の部分集合であるから整列集合である。
各 a ∈ M に対して次の命題 P(a) を考える。

P(a)：a = mdeg(g) となる g ∈ A[X_1、．．．、X_n]_sym は常に g ∈ A[s_1、．．．、s_n] となる。

>>107より g ≠ 0 を A[X_1、．．．、X_n]_sym の元としたとき mdeg(g) ∈ M である。
よって、M の全ての元 a に対して P(a) が真であることを証明すれば良い。
そのため M に関する超限帰納法（>>110）を使う。

（続く）

>>111の続き

f ≠ 0 を A[X_1、．．．、X_n]_sym の元とし e = mdeg(f) とする。
a ＜ e かつ a ∈ M なら P(a) は真であると仮定する。
このとき f ∈ A[s_1、．．．、s_n] を示せば良い。
a_1 = e_1 - e_2、a_2 = e_2 - e_3、．．．、 a_(n-1) = e_(n-1) - e_n、a_n = e_n とおく。
e_1 ≧ e_2 ≧ ．．．≧ e_n であるから (a_1、．．．、a_n) ∈ (Z+)^n である。
>>106より mdeg((s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n)) = (e_1、．．．、e_n) である。
f の主係数（>>101）を c とする。
f = c(s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n) なら f ∈ A[s_1、．．．、s_n] である。
f ≠ c(s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n) なら g = f - c(s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n) とおく。
g ≠ 0 であるから mdeg(g) が定義され mdeg(g) ＜ e である。
>>107より mdeg(g) ∈ M である。
仮定より P(mdeg(g)) は真であるから g ∈ A[s_1、．．．、s_n] である。
よって、f = c(s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n) + g ∈ A[s_1、．．．、s_n] である。
証明終

定義（代数的整数論021の154）
L と M を順序集合とする。
写像 f：L → M を全単射とする。
f と f^(-1) が単調増加（過去スレpart5の783）であるとき f を同型写像または同型と言う。
このとき L と M は同型であるという。

命題
M を無限整列集合（>>84）とし、次の条件（*）を満たすとする。

（*）M の任意の元 a に対して {x ∈ M； x ＜ a} は有限集合である。

このとき M は Z+（>>71）と順序集合として同型（>>113) である。

証明
f：M → Z+ を次のように定義する。
a ∈ M のとき f(a) を {x ∈ M； x ＜ a} の元の個数とする。
f は明らかに単調増加（過去スレpart5の783）である。
a ＜ b なら明らかに f(a) ＜ f(b) であるから f は単射である。
任意の n ∈ Z+ に対して n = f(a) となる a ∈ M があることを n に関する帰納法で証明しよう。
n = 0 のときは a として M の最小元をとれば良い。
n ＞ 0 として n - 1 = f(b) となる b ∈ M があると仮定する。
このとき n = f(a) となる a ∈ M があることを示せば良い。
M は無限集合だから {x ∈ M； x ＞ b} は空でない。
a を {x ∈ M； x ＞ b} の最小元とする。
f(a) = f(b) + 1 = n である。

以上から f：M → Z+ は全単射であることが分かった。
f の逆写像を g：Z+ → M とする。
g が単調増加であることは明らかである。
証明終

命題
(Z+)^n（>>71）に辞書式順序（>>75）を入れて順序集合と見なす。
M = {(a_1、．．．、a_n) ∈ (Z+)^n； a_1 ≧ a_2 ≧ ．．．≧ a_n} とおく。
このとき M は順序集合として Z+ に同型（>>113) である。

証明
>>91より、(Z+)^n （>>73）は整列集合（>>84）である。
M は (Z+)^n の部分集合であるから整列集合である。
明らかに M は無限集合である。
よって、M が>>114の条件（*）を満たすことを証明すれば良い。

M の任意の元 a = (a_1、．．．、a_n) に対して
x = (x_1、．．．、x_n) ∈ M、x ＜ a なら a_1 ≧ x_1 であるから
a_1 ≧ x_1 ≧ x_2 ≧ ．．．≧ x_n である。
よって、集合 {x ∈ M； x ＜ a} の元の個数は (a_1)^n 以下である。
証明終

注意
>>111の証明で M = {(a_1、．．．、a_n) ∈ (Z+)^n； a_1 ≧ a_2 ≧ ．．．≧ a_n} に関する
超限帰納法（>>110）を使った。
しかし、>>115より M は順序集合として Z+ に同型（>>113) であるから
この場合は通常の数学的帰納法と実質同じである。
このことは>>111の証明法が具体的に与えられた対称式を基本対称式の多項式として表すための
実用アルゴリズムとして使えることを意味する。

因みに>>111の証明をここまで丁寧かつ厳密にしている教科書を見たことがない。

命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
C = A[X_1、．．．、X_(n-1)] とする。
s_k（1 ≦ k ≦ n） を B における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。
t_k（1 ≦ k ≦ n - 1） を C における次数 k の基本対称多項式とする。
このとき各 k、1 ≦ k ≦ n - 1 に対して s_k = t_k + t(k-1)X_n となる。

証明
各 k、1 ≦ k ≦ n - 1 に対して
集合 {1、．．．、n} の部分集合 T で k 個の要素からなるもの全体を P_k とする。
集合 {1、．．．、n - 1} の部分集合 S で k 個の要素からなるもの全体を Q_k とする。
R_k = {H ∈ P_k； n ∈ H} とおく。
P_k = Q_k ∪ R_k と直和分割される。
R_k の各元は Q_(k-1) の各元と１対１に対応する。
よって、本命題が得られる。
証明終

定義（過去スレpart5の2の拡張）
A を可換環とする。
A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
C を可換な A-線型環（過去スレpart1の97）とする。
α_1、．．．、α_n を C の元の有限列とする。
過去スレpart4の550より A-線型環としての準同型 ψ：A[X_1、．．．、X_n] → C で
各 i に対して ψ(X_i) = α_i となるものが一意に存在する。
ψ が単射のとき α_1、．．．、α_n は A 上代数的独立であるという。

命題（van der Waerden）
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k（1 ≦ k ≦ n） を B における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。
このとき s_1、．．．、s_n は A 上代数的独立（>>119）である。

証明
n に関する帰納法を使う。
n = 1 のときは s_1 = X_1 であるから本命題は成り立つ。
n ＞ 1 と仮定する。
s_1、．．．、s_n が A 上代数的独立でないとして矛盾を導こう。
B の元 f ≠ 0 で f(s_1、．．．、s_n) = 0 となるものがある。
f として X_n に関する次数 m が最小のものをとる。
f = g_m(X_n)^m + g_(m-1)(X_(m-1))^(m-1) + ．．．+ g_0 とする。
ここで、各 g_i は A[X_1、．．．、X_(n-1)] の元である。
このとき g_0 ≠ 0 である。
何故なら g_0 = 0 なら f は X_n で割れて m の最小性に反するからである。

A-準同型 ψ：A[X_1、．．．、X_n] → A[X_1、．．．、X_(n-1)] を ψ(X_n) = 0 で定義する。

t_k（1 ≦ k ≦ n - 1） を A[X_1、．．．、X_(n-1)] における次数 k の基本対称多項式とする。
>>118より各 k、1 ≦ k ≦ n - 1 に対して s_k = t_k + t(k-1)X_n となる。
よって、ψ(s_k) = t_k である。

f(s_1、．．．、s_n) = 0 だから
g_m(s_1、．．．、s_(n-1))(s_n)^m + ．．．+ g_0(s_1、．．．、s_(n-1)) = 0
この両辺に ψ を適用すると ψ(s_n) = 0、ψ(s_k) = t_k （1 ≦ k ≦ n - 1）より
g_0(t_1、．．．、t_(n-1)) = 0
しかし、g_0 ≠ 0 であったからこれは帰納法の仮定に反する。
証明終

定義
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
B の元 f ≠ 0 は f = Σc_a X^a（>>97）と書ける。
単項式 X^a = (X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) に対して a_1 + ．．． + a_n を X^a の次数と呼び
deg X^a と書く。
max {deg X^a；c_a ≠ 0} を f の次数と呼び deg(f) または deg f と書く。

命題
A を可換環とする。
A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k（1 ≦ k ≦ n） を次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。
f ≠ 0 を A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）の元とする。
>>111より G ∈ A[X_1、．．．、X_n] で f = G(s_1、．．．、s_n) となるものが存在する。
>>120より G は f により一意に定まる。
e = (e_1、．．．、e_n) = mdeg(f) （>>101）とする。
このとき e_1 = deg(G)（>>121）である。

証明
>>111の証明と同様に mdeg(f) に関する超限帰納法（>>110）を使う。
a_1 = e_1 - e_2、a_2 = e_2 - e_3、．．．、 a_(n-1) = e_(n-1) - e_n、a_n = e_n とおく。
>>106より mdeg((s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n)) = (e_1、．．．、e_n) である。
f の主係数（>>101）を c とする。
f = c(s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n) なら G = c(X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) とけば
f = G(s_1、．．．、s_n) となり e_1 = a_1 + ．．． + a_n = deg(G) である。

f ≠ c(s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n) なら h = f - c(s_1)^(a_1)．．．(S_n)^(a_n) とおく。
h ≠ 0 であるから mdeg(h) が定義され mdeg(h) ＜ e である。
mdeg(h) = (d_1、．．．、d_n) とする。
帰納法の仮定より H ∈ A[X_1、．．．、X_n] で h = H(s_1、．．．、s_n) となるものが存在し、
d_1 = deg(H) である。
f = c(s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n) + H(s_1、．．．、s_n)
G = c(X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) + H とおけば
G ∈ A[X_1、．．．、X_n] で f = G(s_1、．．．、s_n) となる。
e_1 = a_1 + ．．． + a_n = deg(c(X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n)) であり e_1 ≧ d_1 = deg(H) である。
mdeg(h) ＜ e であるから H には (X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) の定数（≠ 0）倍の項は現れない。
よって e_1 = deg(G) である。
証明終

>>120の命題は古くから知られていてvan der Waerdenが最初に見つけたというわけではない。
>>120の証明をvan der Waerdenに負っているという意味である。

定義
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
B の元 f ≠ 0 は f = Σc_a X^a（>>97）と書ける。
f の c_a ≠ 0 となる各項 c_a X^a の次数（>>121）が全て等しいとき
f を同次多項式と言う。

定義
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
B の元 f ≠ 0 は f = Σc_a X^a（>>97）と書ける。
c_a ≠ 0 のとき単項式 c_aX^a = c_a(X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) に対して
a_1 + 2a_2 + ．．．+ na_n を c_aX^a の重さ（weight）と言う。
f の c_a ≠ 0 となる各項 c_aX^a の重さの最大値を f の重さと言う。

f の c_a ≠ 0 となる各項 c_aX^a の重さが等しいとき f を同重と言う。

e

命題
A を可換環とする。
A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k（1 ≦ k ≦ n） を次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。
f ≠ 0 を A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）の元で同次多項式（>>124）とする。
>>111より G ∈ A[X_1、．．．、X_n] で f = G(s_1、．．．、s_n) となるものが存在する。
>>120より G は f により一意に定まる。
このとき G は同重（>>125）でその重さ（>>125）は f の次数（>>121）に等しい。

証明
>>111の証明と同様に mdeg(f) に関する超限帰納法（>>110）を使う。
n = deg(f) とする。
e = (e_1、．．．、e_n) = mdeg(f) とする。
n = e_1 + ．．． + e_n である。
a_1 = e_1 - e_2、a_2 = e_2 - e_3、．．．、 a_(n-1) = e_(n-1) - e_n、a_n = e_n とおく。
>>106より
mdeg((s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n))
= (a_1 + ．．． + a_n、a_2 + ．．． + a_n、．．．、a_n)
= (e_1、．．．、e_n)

f の主係数（>>101）を c とする。
f = c(s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n) なら G = c(X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) とおけば
f = G(s_1、．．．、s_n) となり n = e_1 + ．．． + e_n = a_1 + 2a_2 + ．．．+ na_n
これは G の重さに等しい。

（続く）

>>127の続き

f ≠ c(s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n) なら h = f - c(s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n) とおく。
各 s_k（1 ≦ k ≦ n）は同次多項式であるから c(s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n) も同次多項式である。
deg(c(s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n)) = e_1 + ．．． + e_n = n であるから
h も次数 n の同次多項式である。
h ≠ 0 であるから mdeg(h) が定義され mdeg(h) ＜ e である。
帰納法の仮定より H ∈ A[X_1、．．．、X_n] で h = H(s_1、．．．、s_n) となるものが存在し、
n = deg(h) は H の各項の重さに等しい。
f = c(s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n) + H(s_1、．．．、s_n)
G = c(X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) + H とおけば
G ∈ A[X_1、．．．、X_n] で f = G(s_1、．．．、s_n) となる。
G は同重でその重さは f の次数 n に等しい。
証明終

>>124の修正

定義
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
B の任意の元 f は f = Σc_a X^a（>>97）と書ける。
f の c_a ≠ 0 となる各項 c_a X^a の次数（>>121）が全て等しいとき
f を同次多項式と言う。
定数、つまり A の元も同次多項式である。

>>125の修正

定義
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
B の任意の元 f は f = Σc_a X^a（>>97）と書ける。
c_a ≠ 0 のとき単項式 c_aX^a = c_a(X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) に対して
a_1 + 2a_2 + ．．．+ na_n を c_aX^a の重さ（weight）と言う。
f ≠ 0 のとき c_a ≠ 0 となる各項 c_aX^a の重さの最大値を f の重さと言う。

f の c_a ≠ 0 となる各項 c_aX^a の重さが等しいとき f を同重と言う。
f = 0 も同重と見なす。

命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k（1 ≦ k ≦ n） を次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。
f を A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）の任意の元とする。
f = Σc_a X^a（>>97）と書ける。
C を {c_a； c_a ≠ 0} で生成される A の部分環とする。
このとき G ∈ C[X_1、．．．、X_n] で f = G(s_1、．．．、s_n) となるものが一意に存在する。

証明
f ∈ C[X_1、．．．、X_n]_sym であるから
>>111より G ∈ C[X_1、．．．、X_n] で f = G(s_1、．．．、s_n) となるものが存在する。
>>120より G は f により一意に定まる。
証明終

補題
A を可換環とする。
A[X] を 1 変数の多項式環とする。
f ∈ A[X] をモニック（過去スレpart1の115）な多項式とする。
n = deg f とする。
M = A + AX + ．．．+ AX^(n-1) とおく。
このとき A[X] は A-加群として M と fA[X] の直和である。

証明
A[X] の任意の 元 g ≠ 0 に対して g = fq + r、deg r ＜ n となる A[X] の元 q, r が一意に定まる。
これより本命題は明らかである。
証明終

補題
A を可換環とする。
A[X] を 1 変数の多項式環とする。
a ∈ A とする。
A-線型環（過去スレpart1の97）としての準同型 ψ：A[X] → A を ψ(X) = a により定める。
このとき Ker(ψ) = (X - a)A[X] である。

証明
(X - a)A[X] ⊂ Ker(ψ) は明らかであるから逆の包含関係を示せば良い。
f ≠ 0 を Ker(ψ) の元とする。
f = (X - a)q + r、deg r ＜ 1 となる A[X] の元 q, r が一意に定まる。
deg r = 0 だから r ∈ A である。
この等式の両辺に ψ を作用させれば 0 = r
よって、f ∈ (X - a)A[X]
証明終

>>121の修正

定義
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
B の元 f は f = Σc_a X^a（>>97）と書ける。
単項式 X^a = (X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) に対して a_1 + ．．． + a_n を X^a の次数と呼び
deg X^a と書く。
sup {deg X^a；c_a ≠ 0} を f の次数と呼び deg(f) または deg f と書く。
ただし、f = 0 のとき deg f = -∞ とする。

>>132
>A[X] の任意の 元 g ≠ 0 に対して g = fq + r、deg r ＜ n となる A[X] の元 q, r が一意に定まる。

A[X] の任意の 元 g に対して g = fq + r、deg r ＜ n となる A[X] の元 q, r が一意に定まる。

>>133の修正

補題
A を可換環とする。
A[X] を 1 変数の多項式環とする。
a ∈ A とする。
A-線型環（過去スレpart1の97）としての準同型 ψ：A[X] → A を ψ(X) = a により定める。
このとき Ker(ψ) = (X - a)A[X] である。

証明
(X - a)A[X] ⊂ Ker(ψ) は明らかであるから逆の包含関係を示せば良い。
f を Ker(ψ) の任意の元とする。
f = (X - a)q + r、deg r ＜ 1 となる A[X] の元 q, r が一意に定まる。
deg r = 0 または -∞（>>134）だから r ∈ A である。
この等式の両辺に ψ を作用させれば 0 = r
よって、f ∈ (X - a)A[X]
証明終

補題（Bourbaki）
A を可換環とする。
A[X] を 1 変数の多項式環とする。
f ∈ A[X] をモニック（過去スレpart1の115）な多項式とする。
n = deg f とする。
A[T] を 1 変数の多項式環とする。
A-線型環（過去スレpart1の97）としての準同型 ψ：A[T] → A[X] を ψ(T) = f により定める。
ψ により A[X] は A[T]-線型環と見なされる。
このとき 1、X、．．．、X^(n-1) は A[X] の A[T]-加群としての基底である。

証明
A-線型環としての準同型 φ：A[T, X] → A[X] を φ(T) = f、φ(X) = X により定める。
>>133より Ker(φ) = (T - f(X))A[T, X]

f(X) - T ∈ A[T][X] と見て>>132を適用すると
A[T, X] は A[T]-加群として A[T] + A[T]X + ．．．+ A[T]X^(n-1) と (T - f(X))A[T, X] の直和である。

φ は全射だから任意の g ∈ A[X] に対して g = φ(h) となる h ∈ A[T, X] がある。
上記より h ∈ A[T] + A[T]X + ．．．+ A[T]X^(n-1) + Ker(φ) である。
よって、g = φ(h) ∈ ψ(A[T]) + ψ(A[T])X + ．．．+ ψ(A[T])X^(n-1)
よって、A[X] = ψ(A[T]) + ψ(A[T])X + ．．．+ ψ(A[T])X^(n-1)

1、X、．．．、X^(n-1) が ψ(A[T]) 上線型独立であることを示せば良い。
g_0、g(1)、．．．、g_(n-1) を A[T] の元として
ψ(g_0) + ψ(g_1)X + ．．．+ ψ(g_(n-1))X^(n-1) = 0 とする。
φ(g_0 + g_1X + ．．．+ g_(n-1)X^(n-1)) = ψ(g_0) + ψ(g_1)X + ．．．+ ψ(g_(n-1))X^(n-1) = 0
よって、g_0 + g_1X + ．．．+ g_(n-1)X^(n-1) ∈ Ker(φ) = (T - f(X))A[T, X]
A[T, X] は A[T]-加群として A[T] + A[T]X + ．．．+ A[T]X^(n-1) と (T - f(X))A[T, X] の直和だから
g_0 = g_1 = ．．．= g_(n-1) = 0
証明終

補題
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k を B における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。
このとき
(-1)^(n+1) s_n = X^n + Σ[k = 1、．．．、n - 1] (-1)^(n-k) s_(n-k) (X_n)^k

証明
B[U] を B 上の１変数の多項式環とする。
>>70より
(U - X_1)．．．(U - X_n) = Σ[k = 0、．．．、n ] (-1)^(n-k) s_(n-k) U^k

B-線型環（過去スレpart1の97）としての準同型 ψ：B[U] → B を ψ(U) = X_n により定める。
ψ をこの等式の両辺に作用させると

0 = X^n + (-1)^n s_n + Σ[k = 1、．．．、n - 1] (-1)^(n-k) s_(n-k) (X_n)^k

よって、本補題の等式が得られる。
証明終

補題
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
C = A[X_1、．．．、X_(n-1)] とする。
s_k（1 ≦ k ≦ n） を B における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。
t_k（1 ≦ k ≦ n - 1） を C における次数 k の基本対称多項式とする。
このとき各 k、1 ≦ k ≦ n - 1 に対して
t_k = (-1)^k (X_n)^k + Σ[i = 1、．．．、k] (-1)^(k-i) s_i (X_n)^(k-i)

証明
k に関する帰納法を使う。
t_1 = X_1 + ．．．+ X_(n-1) = -X_n + s_1 だから k = 1 のときは成り立つ。

k ＞ 1 として
t_(k-1) = (-1)^(k-1) (X_n)^(k-1) + Σ[i = 1、．．．、k-1] (-1)^(k-i-1) s_i (X_n)^(k-i-1)
を仮定する。

>>118より、s_k = t_k + t_(k-1)X_n
よって、

t_k
= s_k - t_(k-1)X_n
= s_k + (-1)^k (X_n)^k + Σ[i = 1、．．．、k-1] (-1)^(k-i) s_i (X_n)^(k-i)
= (-1)^k (X_n)^k + Σ[i = 1、．．．、k] (-1)^(k-i) s_i (X_n)^(k-i)

証明終

補題
A を可換環とする。
E = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k（1 ≦ k ≦ n）を E における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。
B = A[X_n] とする。
E = B[X_1、．．．、X_(n-1)] である。
R = B[X_1、．．．、X_(n-1)]_sym （>>64）とする。
このとき
R = B[s_1、．．．、s_(n-1)] であり s_1、．．．、s_(n-1) は B 上代数的独立（>>119）である。

証明
t_k（1 ≦ k ≦ n - 1）を A[X_1、．．．、X_(n-1)] における次数 k の基本対称多項式とする。

>>139より、各 k（1 ≦ k ≦ n - 1）に対して

t_k = (-1)^k (X_n)^k + Σ[i = 1、．．．、k] (-1)^(k-i) s_i (X_n)^(k-i)

>>111より、R = B[t_1、．．．、t_(n - 1)] である。
上の等式より t_1、．．．、t_(n - 1) は B[s_1、．．．、s_(n-1)] に含まれる。
よって、R ⊂ B[s_1、．．．、s_(n-1)] である。
他方、s_1、．．．、s_(n-1) は R に含まれるから B[s_1、．．．、s_(n-1)] ⊂ R である。
よって、R = B[s_1、．．．、s_(n-1)] である。

（続く）

>>140の続き

>>120より、t_1、．．．、t_(n - 1) は B 上代数的独立（>>119）である。
よって、B-線型環としての準同型 ψ：R → R で
各 k（1 ≦ k ≦ n - 1）に対して

ψ(t_k) = (-1)^k (X_n)^k + Σ[i = 1、．．．、k] (-1)^(k-i) t_i (X_n)^(k-i)

となるものが一意に存在する。

>>118より、s_k = t_k + t_(k-1)X_n
よって、
ψ(s_k) = ψ(t_k ) + ψ(t_(k-1))X_n = t_k

F ∈ B[X_1、．．．、X_(n-1)] とし、F(s_1、．．．、s_(n-1)) = 0 とする。
ψ(F(s_1、．．．、s_(n-1))) = F(t_1、．．．、t_(n - 1)) = 0
t_1、．．．、t_(n - 1) は B 上代数的独立であるから F = 0 である。
よって、s_1、．．．、s_(n-1) は B 上代数的独立である。
証明終

補題
A を可換環とする。
B を A-線型環（過去スレpart1の97）とする。
B は A-加群として自由とする。
このとき標準写像 ψ：A → B は単射である。

証明
a ∈ A とし、ψ(a) = 0 とする。
a = 0 を示せば良い。
(e_i)、i ∈ I を B の A-加群としての A 上の基底とする。
任意の i ∈ I をとる。
ae_i = ψ(a)e_i = 0
(e_i)、i ∈ I は A 上線型独立であるから a = 0
証明終

補題
A を可換環とする。
E = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
S = A[X_1、．．．、X_n]_sym （>>64）とする。
B = A[X_n] とする。
R = B[X_1、．．．、X_(n-1)]_sym とする。
このとき R は 1、X_n、．．．、(X_n)^(n-1) を S 上の基底とする S-自由加群である。

証明
s_k（1 ≦ k ≦ n）を E における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。
C = A[s_1、．．．、s_(n-1)] とする。
C[X_n] = B[s_1、．．．、s_(n-1)]
よって、>>140より R = C[X_n]
>>138より
(-1)^(n+1) s_n = X^n + Σ[k = 1、．．．、n - 1] (-1)^(n-k) s_(n-k) (X_n)^k
よって、(-1)^(n+1) s_n は C[X_n] におけるモニック（過去スレpart1の115）な多項式である。
C[T] を 1 変数の多項式環とする。
C-線型環（過去スレpart1の97）としての準同型 ψ：C[T] → C[X_n] を ψ(T) = s_n により定める。
ψ により C[X_n] は C[T]-線型環と見なされる。
>>137より 1、X、．．．、X^(n-1) は C[X_n] の C[T]-加群としての基底である。
よって、>>142より ψ は単射である。
ψ(C[T]) = C[s_n] = A[s_1、．．．、s_n]
>>111より S = A[s_1、．．．、s_n] である。
よって、1、X、．．．、X^(n-1) は R = C[X_n] の S-加群としての基底である。
証明終

命題
A を可換環とする。
B を A 上の可換な線型環（過去スレpart1の97）とする。
C を B 上の線型環とする。
(e_i)、i ∈ I を B の A 上の基底とする。
(f_j)、j ∈ J を C の B 上の基底とする。
このとき、((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J は C の A 上の基底である。

証明
過去スレpart4の561の証明と同様である。

命題
A を可換環とする。
E = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k を E における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。
S = A[X_1、．．．、X_n]_sym （>>64）とする。
I = {(a_1、．．．、a_n) ∈ (Z+)^n（>>73）； 0 ≦ a_i ＜ i、(1 ≦ i ≦ n)} とおく。
このとき単項式の族 (X^a)、a ∈ I は E の S-加群としての基底である。
即ち、E は S 上の階数 n！ の自由加群である。

証明
n に関する帰納法を使う。
n = 1 のときは本命題は自明である。
n ＞ 1 とする。
B = A[X_n] とする。
E = B[X_1、．．．、X_(n-1)] である。
R = B[X_1、．．．、X_(n-1)]_sym とする。
t_k（1 ≦ k ≦ n - 1） を A[X_1、．．．、X_(n-1)] における次数 k の基本対称多項式とする。
J = {(a_1、．．．、a_(n-1)) ∈ (Z+)^(n-1)（>>73）； 0 ≦ a_i ＜ i、(1 ≦ i ≦ (n-1))} とおく。
帰納法の仮定より、単項式の族 ((X_1)^(a_1)．．．(X_(n-1))^(a_(n-1)))、a ∈ J は
E の R-加群としての基底である。
一方、>>143より R は 1、X_n、．．．、(X_n)^(n-1) を S 上の基底とする S-自由加群である。
よって、本命題は>>144より得られる。
証明終

522 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/03/08(木) 22:21:13.18
楕円関数は代数関数論の一部として理解しなけりゃ真の意義が分からないだろ。
もっと言うと代数関数論はコンパクトリーマン面、非特異射影代数曲線、１変数代数関数体
この三つを総合して考える必要がある。
これ等は一つの実体の異なる化身と考えられる。
いわば三位一体


523 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/03/08(木) 22:23:11.83
スレを間違えたｗ
まったく無関係というわけじゃないが


524 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/03/08(木) 22:43:09.82
GaussはDisquisitiones Arithmeticaeにおいてレムニスケートの等分理論についてほのめかしている。
Abelはそれに触発されて楕円関数の研究に向かったと思われる。
楕円関数の等分方程式の可解性の問題がAbelの方程式論の背後にある。
Galoisの問題意識も恐らくそこにあったと思われる。

>>74
全順序集合の定義はどこにありますか

>>147
ネット
例えばwikipedia

定義
A を可換環とする。
a を A の元とする。
x ∈ A に ax ∈ A を対応させる写像 λ_a：A → A が単射のとき a を A の正則元と言う。

命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
このとき各 X_i （1 ≦ i ≦ n）は B の正則元（>>149）である。

証明
f ≠ 0 を B の任意の非零元としたとき、(X_i)f ≠ 0 を示せば良い。
f = Σc_a X^a（>>97）と書ける。
a、b ∈ (Z+)^n（>>73）、a ≠ b なら (X_i)X^a ≠ (X_i)X^b である。
よって、(X_i)f = Σc_a (X_i)X^a ≠ 0
証明終

>>111の別証

命題
A を可換環とする。
s_k（1 ≦ k ≦ n） を次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。
f を A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）を任意の元とする。
このとき f = G(s_1、．．．、s_n) となる G ∈ A[X_1、．．．、X_n] が存在する。
さらに G の重さ（>>125）は f の次数（>>121）に等しくなるように G を選べる。

証明
m = deg f（>>134）とする。
n と m に関する２重帰納法を使う。
n ≦ 1 のときは自明である。
n ＞ 1 とする。

A[X_1、．．．、X_(n-1)]-線型環（過去スレpart1の97）としての準同型
ψ：A[X_1、．．．、X_n] → A[X_1、．．．、X_(n-1)] を ψ(X_n) = 0 により定める。
t_k（1 ≦ k ≦ n - 1） を A[X_1、．．．、X_(n-1)] における次数 k の基本対称多項式とする。
>>118より各 k、1 ≦ k ≦ n - 1 に対して s_k = t_k + t_(k-1)X_n
よって、ψ(s_k) = t_k

（続く）

>>151の続き

ψ(f) は対称多項式であるから帰納法の仮定より P ∈ A[X_1、．．．、X_(n-1)] があり
ψ(f) = P(t_1、．．．、t_(n-1)) となる。
P の重さは deg ψ(f) に等しくなるように P を選べる。
ψ(f - P(s_1、．．．、s_(n-1))) = P(t_1、．．．、t_(n-1)) - P(t_1、．．．、t_(n-1)) = 0
よって、>>136より f - P(s_1、．．．、s_(n-1)) は X_n で割れる。
f - P(s_1、．．．、s_(n-1)) は対称多項式であるから各項は X_i （1 ≦ i ≦ n - 1）で割れる。
よって、f - P(s_1、．．．、s_(n-1)) は s_n = (X_1)．．．(X_n) で割れる。
よって、f = P(s_1、．．．、s_(n-1)) + (s_n)h となる h ∈ A[X_1、．．．、X_(n-1)] がある。
任意の σ ∈ Sym({1、．．．、n})（>>6）をこの等式の両辺に作用（>>64）させると
f = P(s_1、．．．、s_(n-1)) + (s_n)σh
よって、(s_n)h = (s_n)σh
>>159より h = σh
よって、h は対称多項式である。

deg P(s_1、．．．、s_(n-1)) = deg P(t_1、．．．、t_(n-1)) = deg ψ(f) ≦ deg f = m
よって、deg (s_n)h = deg(f - P(s_1、．．．、s_(n-1)) ≦ m
deg (s_n)h = n + deg h だから deg h ≦ m - n ＜ m

よって、帰納法の仮定より h = Q(s_1、．．．、s_n) となる Q ∈ A[X_1、．．．、X_n] がある。
Q の重さは deg h に等しくなるように Q を選べる。
G(X_1、．．．、X_n) = P(X_1、．．．、X_(n-1)) + X_nQ(X_1、．．．、X_n) とおけば
G(X_1、．．．、X_n) ∈ A[X_1、．．．、X_n] で f = G(s_1、．．．、s_n) である。
P の重さ = deg ψ(f) ≦ deg f = m
Q の重さ = deg h ≦ m - n
よって、X_nQ の重さ ≦ m
よって、G の重さ ≦ m
G の重さ ＜ m なら deg f ＜ m となって矛盾。
よって、G の重さ = m
証明終

定義
A を必ずしも可換とは限らない環とする。
A = A_0 + A_1 + ．．．とアーベル群 A_n の直和に分解するとする。
(A_n)(A_m) ⊂ A_(n+m) が任意の整数 n、m ≧ 0 に対して成り立つとする。
このとき A を次数付き環（graded ring）と呼ぶ。

：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/03/07(水) 08:30:49.56
一生読まずに積んでおくだけの可能性もあるがｗ

470 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/03/09(金) 10:43:17.39
そりゃ問題の意味がまったく違う。

(略)

472 名前：１３２人目の素数さん ：2012/03/09(金) 11:53:41.41
>>470
議論を発散させて何をごまかしている？

>>155
ちゃんと引用しろよ
それだと472はアホだということがわからない

命題
A = A_0 + A_1 + ．．．を次数付き環（>>153）とする。
このとき A_0 は A の部分環である。

証明
(A_0)(A_0) ⊂ A_0 だから 1 ∈ A_0 を示せば良い。

1 = e_0 + ．．．+ e_n とする（n ≧ 1）。
ここで、各 e_i ∈ A_i である。

e_0 = e_0(e_0 + ．．．+ e_n) = e_0e_0 + e_0e_1 + ．．．+ e_0e_n
e_0e_i ∈ A_i、i = 1、．．．、n
よって、
e_0e_0 = e_0
e_0e_1 = e_0e_2 = ．．．= e_0e_n = 0

e_n = (e_0 + ．．．+ e_n)e_n = e_0e_n + e_1e_n + ．．．+ e_ne_n
上記より e_0e_n = 0
e_ie_n ∈ A_(i+n)、i = 1、．．．、n
よって、e_ie_n = 0、i = 1、．．．、n
よって、e_n = 0

同様に e_1 = ．．．= e_(n-1) = 0
よって、1 = e_0 ∈ A_0
証明終

定義
A を可換環とする。
B を必ずしも可換とは限らない A-線型環（過去スレpart1の97）とする。
B = B_0 + B_1 + ．．．と A-部分加群 B_n の直和に分解するとする。
(B_n)(B_m) ⊂ B_(n+m) が任意の整数 n、m ≧ 0 に対して成り立つとする。
このとき B を次数付き A-線型環（graded A-algebra）と呼ぶ。

定義
A を可換環とする。
B と C を次数付き A-線型環（>>158）とする。
f：B → C を A-線型環としての準同型とする。
各整数 n ≧ 0 n に対して f(B_n) ⊂ C_n となるとき f を次数付き A-線型環としての準同型と言う。

命題
A を可換環とする。
B と C を次数付き A-線型環（>>158）とする。
f：B → C を次数付き A-線型環としての準同型（>>159）とする。
1_B と 1_C をそれぞれ B と C の恒等写像とする。
次数付き A-線型環としての準同型 g：C → B で gf = 1_B、fg = 1_C となるものがあるとき
f を次数付き A-線型環としての同型写像または同型と呼ぶ。
このとき B と C は次数付き A-線型環として同型であると言う。

>>160の修正

定義
A を可換環とする。
B と C を次数付き A-線型環（>>158）とする。
f：B → C を次数付き A-線型環としての準同型（>>159）とする。
1_B と 1_C をそれぞれ B と C の恒等写像とする。
次数付き A-線型環としての準同型 g：C → B で gf = 1_B、fg = 1_C となるものがあるとき
f を次数付き A-線型環としての同型写像または同型と呼ぶ。
このとき B と C は次数付き A-線型環として同型であると言う。

命題
A を可換環とする。
B と C を次数付き A-線型環（>>158）とする。
f：B → C を次数付き A-線型環としての準同型（>>159）とする。
f は全単射であるとする。
このとき f は 次数付き A-線型環としての同型（>>161）である。

証明
各整数 n ≧ 0 に対して f(B_n) = C_n であることを示せば良い。
任意の y_n ∈ C_n をとる。
f は全射だから f(x) = y_n となる x ∈ B がある。
x = x_0 + ．．．+ x_m とする。
ここで m ≧ n である。
f(x) = f(x_0) + ．．．+ f(x_m)
各 i （1 ≦ i ≦ m）に対して f(x_i) ∈ C_i であるから
i = n のとき f(x_i) = y_n
i ≠ n のとき f(x_i) = 0 である。
f は単射だから i ≠ n のとき x_i = 0 である。
よって、x = x_n である。
よって、f(B_n) = C_n である。
証明終

記法
a = (a_1、．．．、a_n) を (Z+)^n（>>73）の元とする。
a_1 + ．．．+ a_n を |a| と書く。
a_1 + 2a_2 + ．．．+ na_n を wt(a) と書く(wt は重さweightの略)。

　お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああ！！！！！！！

　ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがああああああ！！！！！！！

>>164
お前は被災地にいけ！！！！！！！！！！！！！１１＠＠＠＠

命題
a と b を (Z+)^n（>>73）の元とする。
>>98で a + b が定義された。
このとき
（1）|a + b| = |a| + |b|
（2）wt(a + b) = wt(a) + wt(b) である。

証明
a = (a_1、．．．、a_n)、b = (a_1、．．．、a_n) とする。
a + b = (a_1 + b_1、．．．、a_n + b_n) である。

（1）
|a + b|
= (a_1 + b_1) + ．．．+ (a_n + b_n)
= (a_1 + ．．．+ a_n) + (b_1 + ．．．+ b_n)
= |a| + |b|

（2）
wt(a + b)
= (a_1 + b_1) + 2(a_2 + b_2) + ．．．+ n(a_n + b_n)
= (a_1 + 2a_2 + ．．．+ na_n) + (b_1 + 2b_2 + ．．．+ nb_n)
= wt(a) + wt(b)
証明終

定義
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
整数 p ≧ 0 に対して単項式 X^a = (X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) で
p = |a|（>>163）となるもの全体で生成される B の A-部分加群を B_p とする。
B = B_0 + B_1 + ．．．と直和分解される。
>>166より (B_p)(B_q) ⊂ B_(p+q) である。
よって、B は次数付き A-線型環（>>158）となる。
B_p の各元 ≠ 0 は p 次の同次多項式である。
このとき B の次数付けは同次であると言う。

定義
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
整数 p ≧ 0 に対して単項式 X^a = (X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) で
p = wt(a)（>>163）となるもの全体で生成される B の A-部分加群を B_p とする。
B = B_0 + B_1 + ．．．と直和分解される。
>>166の（2）より (B_p)(B_q) ⊂ B_(p+q) である。
よって、B は次数付き A-線型環（>>158）となる。
B_p の各元 ≠ 0 は p 次の同重多項式（>>130）である。
このとき B の次数付けは同重であると言う。

定義
A を可換環とする。
B を次数付き A-線型環（>>158）とする。
C を B の A-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
C が A-部分加群 C ∩ B_n、n = 0、1、．．．の直和であるとき C を B の次数付き A-線型部分環と言う。

定義
A を可換環とする。
B を次数付き A-線型環（>>158）とする。
B の任意の元 x は x = Σx_n と一意に書ける。
ここで x_n ∈ B_n、n = 0、1、．．．である。
このとき、各 x_n を x の n 次の同次成分と呼ぶ。

命題
A を可換環とする。
B を次数付き A-線型環（>>158）とする。
C を B の A-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
C が B の次数付き A-線型部分環（>>169）であるためには
C の任意の元の各同次成分（>>170）が C に属すことが必要十分である。

証明
必要性：
C が B の次数付き A-線型部分環であるとする。
C は A-部分加群 C ∩ B_n、n = 0、1、．．．の直和である。
よって、C の任意の元 x は x = Σy_n と一意に書ける。
ここで y_n ∈ C ∩ B_n、n = 0、1、．．．である。
他方、x = Σx_n と一意に書ける。
ここで x_n ∈ B_n、n = 0、1、．．．である。
よって、y_n = x_n、n = 0、1、．．．である。
よって、各 x_n は C に属す。

十分性：
C の任意の元の各同次成分が C に属すとする。
C の任意の元 x は x = Σx_n と一意に書ける。
ここで x_n ∈ B_n、n = 0、1、．．．である。
仮定より各 x_n は C に属すから x_n ∈ C ∩ B_n、n = 0、1、．．．である。
よって、C は A-部分加群 C ∩ B_n、n = 0、1、．．．の直和である。
よって、C は B の次数付き A-線型部分環である。
証明終

命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
B の次数付けを同次（>>167）として B を次数付き A-線型環（>>158）と見なす。
このとき、A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）は B の次数付き A-線型部分環（>>169）である。

証明
>>65と>>171より明らかである。

定義
A を可換環とする。
B を A-線型環（過去スレpart1の97）とする。
B = B_0 + B_1 + ．．．を A-部分加群 B_n の直和とし、
(B_n)(B_m) ⊂ B_(n+m) が任意の整数 n、m ≧ 0 に対して成り立つとする。
>>158より B は次数付き A-線型環（>>158）となる。
このとき、各 B_n を B の n 次の同次成分と呼ぶ。

命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k（1 ≦ k ≦ n）を B における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。
B の次数付けを同次（>>167）として B を次数付き A-線型環（>>158）と見なす。
>>172より A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）は B の次数付き A-線型部分環（>>169）である。

C = A[Y_1、．．．、Y_n] を n 変数の多項式環とする。
C の次数付けを同重（>>168）として C を次数付き A-線型環と見なす。

A-線型環としての準同型 ψ：C → A[X_1、．．．、X_n]_sym を
ψ(Y_k) = s_k、k = 1、．．．、n で定義する。

このとき ψ は次数付き A-線型環としての同型（>>161）である。

証明
>>111より ψ は全射である。
>>120より ψ は単射である。
各整数 p ≧ 0 に対して C_p を C の p 次の同次成分（>>173）とする。
C_p は単項式 Y^a = (Y_1)^(a_1)．．．(Y_n)^(a_n) で
p = wt(a) （>>163）となるもの全体で生成される C の A-部分加群である。
ψ(Y_a) = (s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n) であるから
deg ψ(Y_a) = a_1 + 2a_2 + ．．．+ na_n = wt(a) = p
よって、ψ(C_p) ⊂ B_p である。
ここで B_p は B の p 次の同次成分である。
よって、ψ は次数付き A-線型環としての準同型（>>159）である。
よって、>>162より ψ は次数付き A-線型環としての同型である。
証明終

注意
>>174より>>127の別証が直ちに得られる。
>>127の証明より>>174の方が明解である。
同様に>>151において重さに関する部分は>>174に任したほうが良い。

>>175を踏まえて>>111の別証

命題
A を可換環とする。
s_k（1 ≦ k ≦ n） を次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。
f を A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）を任意の元とする。
このとき f = G(s_1、．．．、s_n) となる G ∈ A[X_1、．．．、X_n] が存在する。

証明
m = deg f（>>134）とする。
n と m に関する２重帰納法を使う。
n ≦ 1 のときは自明である。
n ＞ 1 とする。

A[X_1、．．．、X_(n-1)]-線型環（過去スレpart1の97）としての準同型
ψ：A[X_1、．．．、X_n] → A[X_1、．．．、X_(n-1)] を ψ(X_n) = 0 により定める。
t_k（1 ≦ k ≦ n - 1） を A[X_1、．．．、X_(n-1)] における次数 k の基本対称多項式とする。
>>118より各 k、1 ≦ k ≦ n - 1 に対して s_k = t_k + t_(k-1)X_n
よって、ψ(s_k) = t_k

（続く）

>>176の続き

ψ(f) は対称多項式であるから帰納法の仮定より P ∈ A[X_1、．．．、X_(n-1)] があり
ψ(f) = P(t_1、．．．、t_(n-1)) となる。
ψ(f - P(s_1、．．．、s_(n-1))) = P(t_1、．．．、t_(n-1)) - P(t_1、．．．、t_(n-1)) = 0
よって、>>136より f - P(s_1、．．．、s_(n-1)) は X_n で割れる。
f - P(s_1、．．．、s_(n-1)) は対称多項式であるから各項は X_i （1 ≦ i ≦ n - 1）で割れる。
よって、f - P(s_1、．．．、s_(n-1)) は s_n = (X_1)．．．(X_n) で割れる。
よって、
f = P(s_1、．．．、s_(n-1)) + (s_n)h となる h ∈ A[X_1、．．．、X_(n-1)] がある。

任意の σ ∈ Sym({1、．．．、n})（>>6）をこの等式の両辺に作用（>>64）させると
f = P(s_1、．．．、s_(n-1)) + (s_n)σh
よって、(s_n)h = (s_n)σh
>>159より h = σh
よって、h は対称多項式である。

deg P(s_1、．．．、s_(n-1)) = deg P(t_1、．．．、t_(n-1)) = deg ψ(f) ≦ deg f = m
よって、deg (s_n)h = deg(f - P(s_1、．．．、s_(n-1)) ≦ m
deg (s_n)h = n + deg h だから deg h ≦ m - n ＜ m

よって、帰納法の仮定より h = H(s_1、．．．、s_n) となる H ∈ A[X_1、．．．、X_n] がある。
G(X_1、．．．、X_n) = P(X_1、．．．、X_(n-1)) + X_nH(X_1、．．．、X_n) とおけば
f = G(s_1、．．．、s_n) である。
証明終

定義
K を可換体とする。
L = K(X_1、．．．、X_n) を K 上の n 変数の有理関数体（>>8）とする。
G を {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
>>10より G は Aut(L/K)（過去スレpart4の847）の部分群と見なされる。
G の固定体（過去スレpart4の863）を K(X_1、．．．、X_n)_sym と書き
K 上の n 変数の対称有理関数体と言う。
K(X_1、．．．、X_n)_sym の元を K 上の n 変数の対称有理関数と呼ぶ。

命題
K を可換体とする。
L = K(X_1、．．．、X_n) を K 上の n 変数の有理関数体（>>8）とする。
K(X_1、．．．、X_n)_sym（>>6）は K[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）の商体である。

証明
A = K[X_1、．．．、X_n]
S = K(X_1、．．．、X_n)_sym
R = K[X_1、．．．、X_n]_sym
とおく。
R の商体を M とする。
R ⊂ S だから M ⊂ S
よって、逆の包含関係を示せば良い。

G を {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
f ∈ S を任意の対称有理関数とする。
f = g/h、g ∈ A、h ∈ A と書ける。
h’= Π[σ ∈ G]σh とおく。
h’∈ R である。
h ≠ 0 だから h’≠ 0 である。
g’= h’f とおく。
g’= h’(g/h) ∈ A
一方、g’は対称有理関数の積だから対称有理関数である。
よって、g’∈ A ∩ S = R
よって、f = g’/h’∈ M
よって、S ⊂ M
証明終

>>179の修正

命題
K を可換体とする。
L = K(X_1、．．．、X_n) を K 上の n 変数の有理関数体（>>8）とする。
K(X_1、．．．、X_n)_sym（>>178）は K[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）の商体である。

証明
A = K[X_1、．．．、X_n]
S = K(X_1、．．．、X_n)_sym
R = K[X_1、．．．、X_n]_sym
とおく。
R の商体を M とする。
R ⊂ S だから M ⊂ S
よって、逆の包含関係を示せば良い。

G を {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
f ∈ S を任意の対称有理関数とする。
f = g/h、g ∈ A、h ∈ A と書ける。
h’= Π[σ ∈ G]σh とおく。
h’∈ R である。
h ≠ 0 だから h’≠ 0 である。
g’= h’f とおく。
g’= h’(g/h) ∈ A
一方、g’は対称有理関数の積だから対称有理関数である。
よって、g’∈ A ∩ S = R
よって、f = g’/h’∈ M
よって、S ⊂ M
証明終

命題
K を可換体とする。
A = K[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k（1 ≦ k ≦ n）を A における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。
L = K(X_1、．．．、X_n) を n 変数の有理関数体（>>8）とする。
このとき、K(X_1、．．．、X_n)_sym（>>178）= K(s_1、．．．、s_n）である。

証明
>>111より K[X_1、．．．、X_n]_sym = K[s_1、．．．、s_n]
よって、>>180より K(X_1、．．．、X_n)_sym = K(s_1、．．．、s_n)
証明終

命題
K を可換体とする。
f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。
L/K を f(X) の最小分解体（過去スレpart4の542）とする。
G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。
f(X) の L における根全体の集合を S とする。
任意の σ ∈ G に対して σ(S) ⊂ S であり S は有限集合であるから σ(S) = S である。
よって、σ は S の置換を引き起こす。
よって S は G-集合（過去スレpart5の77）となる。
このとき S は忠実（過去スレpart5の843）な G-集合である。

証明
σ ∈ G が S の恒等写像を引き起こすとする。
σ = 1 を示せば良い。
S = {α_1、．．．、α_m} とする。
L = K(α_1、．．．、α_m) （過去スレpart4の539）である。
過去スレpart4の609より L = K[α_1、．．．、α_m] である。
よって L の任意の元 x に対して x = G(α_1、．．．、α_m) となる G ∈ K[X_1、．．．、X_m] がある。
σ(x) = σ(G(α_1、．．．、α_m)) = G(σ(α_1)、．．．、σ(α_m)) = G(α_1、．．．、α_m) = x
よって、σ = 1 である。
証明終

命題
K を可換体とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない分離的（過去スレpart4の694）な多項式とする。
L/K を f(X) の最小分解体（過去スレpart4の542）とする。
このとき L/K はGalois拡大（過去スレpart4の848）である。

証明
過去スレpart4の876より L/K は正規拡大（過去スレpart4の844）である。
よって、L/K が分離的（過去スレpart4の843）なことを証明すれば良い。
f(X) の L における根全体の集合を {α_1、．．．、α_n} とする。
L = K(α_1、．．．、α_n)（過去スレpart4の539）である。
各 i （1 ≦ i ≦ n）に対して g_i(X) を α_i の K 上の最小多項式（過去スレpart4の554）とする。
f(α_i) = 0 であるから f(X) は g_i(X) で割れる。
f(X) は分離的であるから g_i(X) も分離的である。
よって、α_i は K 上分離的（過去スレpart4の841）である。
よって、過去スレpart1の271より L/K は分離的である。
証明終

命題
K を可換体とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない分離的（過去スレpart4の694）な多項式とする。
L/K を f(X) の最小分解体（過去スレpart4の542）とする。
f(X) の次数を n とする。
このとき [L ： K] ≦ n！ である。

証明
>>183より L/K はGalois拡大（過去スレpart4の848）である。
G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。
過去スレpart1の317より |G| = [L ： K] であるから |G| ≦ n！ を示せば良い。
f(X) の L における根全体の集合を S = {α_1、．．．、α_n} とする。
>>182より S は忠実な G-集合である。
よって、G は S 上の対称群 Sym(S)（>>6）の部分群と同型である。
|Sym(S)| = n！ であるから |G| ≦ n！ である。
証明終

Galois理論を使って>>181の別証をしよう。

命題
K を可換体とする。
A = K[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k（0 ≦ k ≦ n）を A における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。
L = K(X_1、．．．、X_n) を n 変数の有理関数体（>>8）とする。
このとき、K(X_1、．．．、X_n)_sym（>>178）= K(s_1、．．．、s_n）である。

証明
S = K(X_1、．．．、X_n)_sym とおく。
M = K(s_1、．．．、s_n) とおく。

G を {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
>>10より G は Aut(L/K)（過去スレpart4の847）の部分群と見なされる。
S は G の固定体（過去スレpart4の863）だから
Artinの定理（過去スレpart1の438）より L/S はGalois拡大（過去スレpart4の844）で
G = Aut(L/S) である。
過去スレpart1の317より |G| = [L ： S] であるから [L ： S] = n！ である。

（続く）

>>185の続き

L[Z] を１変数の多項式環とする。
f(Z) = (Z - X_1)．．．(Z - X_n) ∈ L[Z] である。
>>70より
f(Z) = Σ[k = 0、．．．、n ] (-1)^(n-k) s_(n-k) Z^k
よって、f(Z) ∈ M[Z] である。
X_1、．．．、X_n は f(Z) の根であり、L = M(X_1、．．．、X_n) であるから
L/M は f(Z) の最小分解体（過去スレpart4の542）である。
f(Z) は分離的（過去スレpart4の694）であるから>>184より [L ： M] ≦ n！ である。
一方、M ⊂ S だから過去スレpart4の561より [L ： M] = [L ： S] [S ： M]
よって、[L ： S] ≦ [L ： M]
[L ： S] = n！ だから n！ = [L ： S] ≦ [L ： M] ≦ n！
よって、[L ： S] = [L ： M] = n！
よって、[S ： M] = 1
よって、S = M
証明終

くだらん

>>187
下らんのはオマエや。

猫

命題
K を可換体とする。
L = K(α_1、．．．、α_n)（過去スレpart4の539）とする。
このとき α_1、．．．、α_n が K 上代数的独立（>>119）であるためには
n = tr.dim L/K（過去スレpart5の36）となることが必要十分である。

証明
必要性：
自明である。

十分性：
n = tr.dim L/K とする。
α_1、．．．、α_n が K 上代数的独立でないとする。
n = tr.dim L/K であるから α_1、．．．、α_n の中に K 上代数的でないものがある。
よって、過去スレpart5の34より {α_1、．．．、α_n} の部分集合で
L/K の超越基底（過去スレpart5の9）であるものが存在する。
{α_1、．．．、α_n} は L/K の超越基底でないから tr.dim L/K ＜ n となり矛盾である。
証明終

命題
K を可換体とする。
B = K[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k（1 ≦ k ≦ n）を B における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。
このとき s_1、．．．、s_n は K 上代数的独立（>>119）である。

証明
L = K(X_1、．．．、X_n) を n 変数の有理関数体（>>8）とする。
S = K(X_1、．．．、X_n)_sym（>>178）とおく。
M = K(s_1、．．．、s_n）とおく。

>>185より S = M である。
>>185の証明より [L ： S] = n！ である。
よって、L/M = L/S は有限次拡大である。
過去スレpart5の38より
tr.dim L/K = tr.dim L/M + tr.dim M/K

tr.dim L/K = n
L/M = L/S は有限次拡大であるから tr.dim L/M = 0
よって、tr.dim M/K = n
よって、>>189より s_1、．．．、s_n は K 上代数的独立である。
証明終

注意
>>190は>>120において A が体の場合の別証である。

命題
K と L を可換体とする。
ψ： K → L を同型（過去スレpart4の513）とする。
f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。
E/K を f(X) の最小分解体（過去スレpart4の542）とする。
(ψf)(X) を f(X) の各係数にψを作用させた多項式とする。
F/L を (ψf)(X) の最小分解体とする。
このとき、Aut(E/K)（過去スレpart4の847）と Aut(F/L) は同型である。

証明
G = Aut(E/K)
H = Aut(F/L)
とする。
過去スレpart4の622より同型 φ：E → F で ψ の拡張となっているものが存在する。
σ ∈ G に対して φσφ^(-1) ∈ H を対応させる写像を f：G → H とする。
τ ∈ H に対して φ^(-1)τφ ∈ G を対応させる写像を g：G → H とする。
f と g は準同型であり互いに逆写像である。
よって、G と H は同型である。
証明終

つまんね

>>187
>>193
アホは判断力がないから何を言っても見当はずれｗ

は？僻むなｗｗｗ

は？じゃねえよｗ

>>Kummer
くだらねぇカキコをするんじゃねぇ

被災者の方に謝罪はしたのか？

何の謝罪？

>>Kummer
さんざん被災者の方を侮辱したあの日の出来事を、絶対に許さない。

>>197
オマエはド阿呆か。謝罪の必要なんてアラヘン。騒いだら叩くゾ。

猫

>>199
何故被災者を侮辱した事にナルのかを説明せえや。

猫

さんざん人殺しやレイプをしてきたのに懲りないKummerに謝罪要求とか無意味だろｗ

命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
B[U] を B 上の１変数の多項式環とする。
このとき
(U + X_1)．．．(U + X_n) = Σ[k = 0、．．．、n ] s_k U^(n-k)
ここで、各 s_k は次数 k の基本対称多項式（>>66）である。

証明
>>67において V に 1 を代入すればよい。

命題
K を可換体とする。
L = K(a_1、．．．、a_n) を n 変数の有理関数体（>>8）とする。
f(X) = X^n + a_1X^(n-1) + ．．．+ a_(n-1)X + a_n ∈ L[X] の最小分解体（過去スレpart4の542）を
E/L とする。
このとき E/L はGalois拡大（過去スレpart4の844）であり、
Aut(E/L) は集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）と同型である。

証明
A = K[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k（0 ≦ k ≦ n）を A における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。
M = K(X_1、．．．、X_n) を n 変数の有理関数体（>>8）とする。
G を {1、．．．、n} 上の対称群とする。
>>10より G は Aut(M/K)（過去スレpart4の847）の部分群と見なされる。
S = K(s_1、．．．、s_n）とする。
>>185より S = K(X_1、．．．、X_n)_sym（>>178）である。
よって、S は G の固定体（過去スレpart4の863）だから
Artinの定理（過去スレpart1の438）より M/S はGalois拡大（過去スレpart4の844）で
G = Aut(M/S) である。

>>203より
(U + X_1)．．．(U + X_n) = Σ[k = 0、．．．、n ] s_k U^(n-k)
よって、M/S は g(U) = (U + X_1)．．．(U + X_n) ∈ S[U] の最小分解体（過去スレpart4の542）である。

>>189より s_1、．．．、s_n は K 上代数的独立である。
よって、K-同型（過去スレpart4の514）ψ：L → S で各 i （1 ≦ i ≦ n）に対して
ψ(a_i) = s_i となるものがある。
(ψf)(X) を f(X) の各係数にψを作用させた多項式とする。
ψf = g(X) であるから>>192より Aut(E/L) は G = Aut(M/S) に同型である。
証明終

定義
G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
i_1 ＜ i_2 ＜ ．．．＜ i_r を I の元の列とする。
J = {i_1、．．．、i_r} とする。
σ ∈ G で
σ(i_1) = i_2、．．．、σ(i_(r-1)) = i_r、σ(i_r) = i_1 となり
I - J の任意の元 j に対して σ(j) = j となるものを G の巡回置換と呼び、
σ = (i_1、．．．、i_r) と書く。
r を σ の長さと呼ぶ。

>>205
通常の巡廻置換の定義と違うがな
例えば (1324)

定義
G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
σ = (i_1、．．．、i_r) を G の巡回置換（>>205）とする。
集合 {i_1、．．．、i_r} を σ の台と呼ぶ。

>>206
有難うございます
見てる人もいるということでｗ

定義だから自由と云えば自由だが。

>>205の修正

定義
G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
J = {i_1、．．．、i_r} を I の空でない部分集合で |J| = r とする。
σ ∈ G で
σ(i_1) = i_2、．．．、σ(i_(r-1)) = i_r、σ(i_r) = i_1 となり
I - J の各元 j に対して σ(j) = j となるものを G の巡回置換と呼び、
σ = (i_1、．．．、i_r) と書く。
r を σ の長さと呼ぶ。

>>207の修正

定義
G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
σ = (i_1、．．．、i_r) を G の巡回置換（>>210）とする。
集合 {i_1、．．．、i_r} を σ の台と呼ぶ。

>>188
>名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY [age] 投稿日：2012/03/11(日) 06:53:09.90

猫はこんな早朝でも熊のスレに貼りついてるのか？ｗｗ　リアルタイムで追っていたら笑える。

猫と熊って似てるｗ

命題
G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
G の任意の元は台（>>211）が互いに交わらない巡回置換（>>210）の積として一意に表される。

証明
σ を G の任意の元とする。
σ で生成される G の巡回部分群を H とする。
H は I 上の置換群（>>7）と見なされる。
よって、過去スレpart5の92より I は H による軌道により直和分割される。
i を I の任意の元とする。
Z を有理整数環とする。
O(i) = {σ^m(i)； m ∈ Z} を i の H に関する軌道（過去スレpart5の92）とする。
σ^m(i) = i となる最小の整数 m ≧ 1 を r とする。
任意の整数 m に対して m = rq + k、0 ≦ k ＜ r となる整数 q、k が存在する。
σ^m(i) = σ^k(i) である。
よって、O(i) = {i、σ(i)、．．．、σ^(r-1)(i)} となる。
このとき τ = (i、σ(i)、．．．、σ^(r-1)(i)) は長さ r の巡回置換（>>210）であり、
σ は O(i) 上で τ と一致する。
I は軌道により直和分割されるから σ は台が互いに交わらない巡回置換の積として表される。
これが一意であることは明らかである。
証明終

　ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもは、福島原発の作業員となって、

　少しでも、人の役に立て！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

定義
G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
G の長さ 2 の巡回置換（>>210）を互換と言う。

>>Kummer
朝から屑みたいなカキコをしおって…

被災者の方への謝罪はどうなったんだ？

命題
G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
G の任意の元は互換（>>211）の積として表される。

証明
n に関する帰納法による。
n = 1 のときは任意の元は 0 個の互換の積として表される。
n ＞ 1 とする。
σ を G の任意の元とする。
σ(n) = n なら σ は {1、．．．、n - 1} 上の対称群の元と見なされる。
よって、帰納法の仮定より互換の積として表される。
σ(n) = m、n ≠ m とする。
τ を互換 (n, m) とする。
τσ(n) = n だから τσ は {1、．．．、n - 1} 上の対称群の元と見なされる。
よって、帰納法の仮定より τσ は 互換の積として表される。
よって、σ = τ(τσ) は 互換の積として表される。
証明終

>>Kummer
朝から屑みたいなカキコをしおって…

被災者の方への謝罪はどうなったんだ？

>>218
何でKummer氏が被災者に謝罪せなアカンのや？　ソレよりもオマエが低脳税
を納めろや。ソコまで頭が悪いと低脳税が高いゾ。

猫

>>Kummer
オマエだけは許さない。

>>220
でも許さなくても何も変わらない。馬鹿が苛立つだけ。

猫

>>217の修正

命題
G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
G の任意の元は互換（>>215）の積として表される。

証明
n に関する帰納法による。
n = 1 のときは任意の元は 0 個の互換の積として表される。
n ＞ 1 とする。
σ を G の任意の元とする。
σ(n) = n なら σ は {1、．．．、n - 1} 上の対称群の元と見なされる。
よって、帰納法の仮定より互換の積として表される。
σ(n) = m、n ≠ m とする。
τ を互換 (n, m) とする。
τσ(n) = n だから τσ は {1、．．．、n - 1} 上の対称群の元と見なされる。
よって、帰納法の仮定より τσ は 互換の積として表される。
τ^2 = 1 だから σ = (ττ)σ = τ(τσ)
よって、σ は 互換の積として表される。
証明終

命題
G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
G の任意の元は (1, k)、k = 2、．．．、n の形の互換（>>215）の積として表される。

証明
(a, b) を互換とする。
1 ≠ a、1 ≠ b のとき (a, b) = (1, a)(1, b)(1, a)
よって、本命題は>>222より直ちに得られる。
証明終

>>Kummer
俺の怒りのボルテージはとっくに満タンじゃ。

そろそろ突き抜けそうだがな。

命題
G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
G の長さ r の巡回置換（>>210）は r - 1 個の互換（>>215）の積となる。
即ち、(a_1、．．．、a_r) = (a_1, a_r)(a_1, a_(r-1))．．．(a_1, a_2)

証明
自明である。

命題
G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
σ = (a_1、．．．、a_r) を G の巡回置換（>>210）とする。
このとき、任意の τ ∈ G に対して
τστ^(-1) = (τ(a_1)、．．．、τ(a_r))

証明
自明である。

命題
G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
G の任意の元は (k, k + 1)、k = 1、．．．、n - 1 の形の互換（>>215）の積として表される。

証明
>>223より (1, k)、k = 2、．．．、n の形の互換が
(k, k + 1)、k = 1、．．．、n - 1 の形の互換の積となることを証明すれば良い。
n に関する帰納法を使う。
n ≦ 2 のときは自明である。
n ＞ 2 とする。
1 ＜ k ＜ n のとき帰納法の仮定より (1, k) は
(k, k + 1)、k = 1、．．．、n - 2 の形の互換の積となる。

>>226より (1, n) = (n - 1, n)(1, n - 1)(n - 1, n)
ここで (1, n - 1) は上記より (k, k + 1)、k = 1、．．．、n - 2 の形の互換の積となる。
よって、(1, n) は (k, k + 1)、k = 1、．．．、n - 1 の形の互換の積となる。
証明終

定義
G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
σ を G の元とする。
I の元の組 (i, j) ∈ I×I で i ＜ j かつ σ(i) ＞ σ(j) となるものを σ の転移という。
σ の転移の個数を ν(σ) と書く。

命題
G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
Z を有理整数環とする。
A = Z[X_1、．．．、X_n] を Z 係数の n 変数の多項式環とする。
>>64より A は G-集合（過去スレpart5の77）となる。
A の元 Δ = Π[i ＜ k] (X_i - X_k) を考える。
このとき、任意の σ ∈ G に対して σΔ = (-1)^ν(σ) Δ である。
ここで、ν(σ) は σ の転移の個数（>>228）である。

証明
自明である。

定義
G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
σ を G の元とする。
Z を有理整数環とする。
(-1)^ν(σ) ∈ Z を σ の符号と呼び sgn(σ) と書く。
ここで、ν(σ) は σ の転移の個数（>>228）である。

命題
G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
Z を有理整数環とする。
{-1、1} を Z の乗法に関する可逆元からなる群とする。
σ ∈ G に sgn(σ)（>>230）を対応させる写像 sgn：G → {-1、1} は群としての準同型である。

証明
A = Z[X_1、．．．、X_n] を Z 係数の n 変数の多項式環とする。
>>64より A は G-集合（過去スレpart5の77）となる。
A の元 Δ = Π[i ＜ k] (X_i - X_k) を考える。
σ と τ を G の元とする。
>>229より (στ)Δ = σ(τΔ) = σ(sgn(τ)Δ) = sgn(τ)sgn(σ)Δ
一方、(στ)Δ = sgn(στ)Δ
よって、sgn(στ) = sgn(σ)sgn(τ)
証明終

命題
G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
G の任意の互換（>>215）σ に対して sgn(σ) = -1 である。

証明
ρ = (n - 1、n) とする。
ρ の転移（>>228）の個数は 1 である。
よって、sgn(ρ) = -1 である。
>>226より τ ∈ G で σ = τρτ^(-1) となるものがある。
>>231より
sgn(σ) = sgn(τρτ^(-1)) = sgn(τ)sgn(ρ)sgn(τ^(-1)) = sgn(ρ) = -1
証明終

定義
G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
σ を G の元とする。
sgn(σ) = 1 のとき σ を偶置換という。
sgn(σ) = -1 のとき σ を奇置換という。

命題
G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
σ を G の元とする。
>>222より σ は互換（>>215）の積として表される。
このとき、
σ が偶置換（>>233）であるためには σ が偶数個の互換の積となることが必要十分である。
σ が奇置換（>>233）であるためには σ が奇数個の互換の積となることが必要十分である。

証明
>>231と>>232から明らかである。

定義
G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
>>231より sgn：G → {-1、1} は準同型であるから sgn の核 H は G の部分群である。
H を {1、．．．、n} 上の交代群と呼ぶ。
H は G の全ての偶置換（>>233）からなる。

定義
G を集合 I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
H を I 上の交代群（>>235）とする。
このとき H は G の指数 2 の正規部分群である。
よって、H の位数は n！/2 である。

証明
>>232より sgn：G → {-1、1} は全射であるから G/H は {-1、1} と同型である。
証明終

命題
H を集合 {1、．．．、n} 上の交代群（>>235）とする。
H の任意の元は長さ 3 の巡回置換（>>210）の積となる。

証明
n ＜ 3 のときは自明だから n ≧ 3 とする。
>>223と>>234より H の任意の元は (1, k)、k = 2、．．．、n の形の互換（>>215）の偶数個の積として
表される。

3 ≦ a、b ≦ n とする。

>>225より
�@）(1, a)(1, 2) = (1, 2, a)
�A) (1, 2)(1, b) = (1, b, 2)

よって、
�B) (1, a)(1, b) = (1, a)(1, 2)(1, 2)(1, b) = (1, 2, a)(1, b, 2)

(1, k)、k = 2、．．．、n の形の互換の２個の積は同じもの同士の積を除けば上記の場合で尽くされる。
証明終

定義（>>210の拡張）
G を有限集合 I 上の対称群（>>6）とする。
J = {i_1、．．．、i_r} を I の空でない部分集合で |J| = r とする。
σ ∈ G で
σ(i_1) = i_2、．．．、σ(i_(r-1)) = i_r、σ(i_r) = i_1 となり
I - J の各元 j に対して σ(j) = j となるものを G の巡回置換と呼び、
σ = (i_1、．．．、i_r) と書く。
r を σ の長さと呼ぶ。

定義（>>211の拡張）
G を有限集合 I 上の対称群（>>6）とする。
σ = (i_1、．．．、i_r) を G の巡回置換（>>238）とする。
集合 {i_1、．．．、i_r} を σ の台と呼ぶ。

定義（>>215の拡張）
G を有限集合 I 上の対称群（>>6）とする。
G の長さ 2 の巡回置換（>>238）を互換と言う。

命題（>>213の拡張）
G を有限集合 I 上の対称群（>>6）とする。
G の任意の元は台（>>239）が互いに交わらない巡回置換（>>238）の積として一意に表される。

証明
>>213と同様である。

>>208
構ってもらってうれしそうだねｗｗ

>>Kummer
くだらねぇ〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

>>243
『くだらねぇ〜』のはアンタの脳や。そやし腐る前に摘出して貰え。

猫

>>Kummer
オイ、挨拶シロ。

なんでいまさらしょうもないことやってんの
工程表をもう一回くれ。各スレの始めに目次と進み具合を書いてよ
わかりにくくてしょうがないわ

よこから失礼します。
>>246 工程表
ガロア生誕200周年記念スレ part 4
に書き込まれたものが以下。
---------------- ココカラ　--------
158 ：１３２人目の素数さん：2012/01/08(日) 19:23:09.09
>>153
工程表：
無限次Galois理論 → Neukirchの抽象類体論 → 局所類体論 → 大域類体論
---------------- ココマデ　--------

>>247
お前に聞いとらん　失せろ

>>246 わかりにくくてしょうがないわ
ガロア生誕200周年記念スレ part 4 にも　同様の書き込みが。
100 ：１３２人目の素数さん は、Kummerとは別の人とおもわれる
------------------------ ここから　---------
100 ：１３２人目の素数さん：2012/01/08(日) 12:27:28.55
>>94
検索しやすくなるように､索引を適宜つくってほしい
そうしないと､書き込んだ本人しか分からない(事態になってしまうように…)
（杞憂？）
------------------------ ここまで　--------

>>248 あら、スイませーん　〜♪

493 ：１３２人目の素数さん：2012/01/14(土) 16:06:56.49
俺にとってこのスレはほとんど俺個人の勉強ノートなんだよ。

>>251 俺は只の数ヲタなんかとは付き合わンな。

頭が良くて数学が出来てかっこいいヤツ。それが十分条件。
さらに arXiv math に論文だせば必要条件にもなる。
俺､一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
良い論文の出版を遅らせるお馬鹿なヤツ。

保守

保守

保守

保守

保守

保守

保守

保守

保守

>>246
>なんでいまさらしょうもないことやってんの

その質問に答えるからまず質問を明確にしてくれ。

（1）｢しょうもないこと｣ とは具体的に何を指すのか？

（2）それが ｢しょうもない｣ （とあんたが思う）理由は何か？

工程表についてだが無限次Galois理論はいいとして類体論は代数的整数論スレでやることにした。
しかもやる順番は
大域類体論 → 局所類体論
としたほうが初心者には理解しやすいだろう。

このスレでは方程式のGalois理論をもう少しやってからGrothendieckのGalois理論をやる予定。
0 次元の場合はいいとして 1 次元以上のGrothendieckのGalois理論を本格的にやろうとすると
スキーム論をやらなくてはならなくなる。
その場合はスレタイを変えたほうがいいかもしれない。

あぼーん

定義
G を群とする。
X を集合とする。
準同型 f：G → Sym(X)（>>6）を G の X 上の置換表現という（過去スレpart5の77参照）。

あぼーん

定義
G を群とする。
X を集合とする。
f：G → Sym(X) を G の X 上の置換表現（>>267）とする。
f により X は G-集合（過去スレpart5の77）となる。
このとき X は置換表現 f に付随する G-集合という。

あぼーん

定義
G を群とする。
Set を小さい集合（代数的整数論017の321）全体の圏とする。
Set における G-対象（過去スレpart5の75）X とは G-集合（過去スレpart5の77）に他ならない。
このとき標準射（過去スレpart5の75）f：G → Sym(X) を G-集合 X に付随する置換表現（>>267）という。

あぼーん

定義
G を群とする。
X を集合とする。
f：G → Sym(X) を G の X 上の置換表現（>>267）とする。
X の濃度 |X| を f の次数と呼ぶ。

あぼーん

定義
G を群とする。
X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。
f：G → Sym(X) を X に付随する置換表現（>>271）とする。
f の次数（>>273）即ち |X| を X の次数という。

定義
G を群とする。
X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。
f：G → Sym(X) を X に付随する置換表現（>>271）とする。
f の核を G-集合 X の核という。

あぼーん

定義
X を集合とする。
G を X 上の置換群（>>7）とする。
包含写像 f：G → Sym(X) は G の X 上の置換表現（>>267）である。
f を G の標準置換表現という。
f の次数（>>273）即ち |X| を G の次数という。

定義
G を群とする。
過去スレpart5の77より G-集合全体は圏 C をなす。
G-集合の射 f：X → Y は C における同型射のとき同型射または同型写像または同型と呼ぶ。
即ち f は写像として全単射であり、任意の σ ∈ G と任意の x ∈ X に対して f(σx) = σf(x) となる。
このとき X と Y は G-集合として同型であるという。

定義
G を群とする。
集合としての G は G の正則表現（>>11）により G-集合と見なされる。
X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。
X が G-集合として G と 同型（>>279）なとき X を正則（regular）な G-集合という。

定義
G を群とする。
X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。
このとき G は集合 X に作用するという。

X が忠実（過去スレpart5の843）な G-集合のとき G は X に忠実に作用するという。
X が推移的（過去スレpart5の107）な G-集合のとき G は X に推移的に作用するという。
X が正則（>>280）な G-集合のとき G は X に正則に作用するという。

定義
G を群とする。
X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。
x の安定化部分群（過去スレpart5の93）St(x) を Stab_G(x) または Stab(x) とも書く。