補題
A を可換環とする。
B を A-線型環（過去スレpart1の97）とする。
B は A-加群として自由とする。
このとき標準写像 ψ：A → B は単射である。

証明
a ∈ A とし、ψ(a) = 0 とする。
a = 0 を示せば良い。
(e_i)、i ∈ I を B の A-加群としての A 上の基底とする。
任意の i ∈ I をとる。
ae_i = ψ(a)e_i = 0
(e_i)、i ∈ I は A 上線型独立であるから a = 0
証明終