>>111の別証

命題
A を可換環とする。
s_k（1 ≦ k ≦ n） を次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。
f を A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）を任意の元とする。
このとき f = G(s_1、．．．、s_n) となる G ∈ A[X_1、．．．、X_n] が存在する。
さらに G の重さ（>>125）は f の次数（>>121）に等しくなるように G を選べる。

証明
m = deg f（>>134）とする。
n と m に関する２重帰納法を使う。
n ≦ 1 のときは自明である。
n ＞ 1 とする。

A[X_1、．．．、X_(n-1)]-線型環（過去スレpart1の97）としての準同型
ψ：A[X_1、．．．、X_n] → A[X_1、．．．、X_(n-1)] を ψ(X_n) = 0 により定める。
t_k（1 ≦ k ≦ n - 1） を A[X_1、．．．、X_(n-1)] における次数 k の基本対称多項式とする。
>>118より各 k、1 ≦ k ≦ n - 1 に対して s_k = t_k + t_(k-1)X_n
よって、ψ(s_k) = t_k

（続く）