任意の有限群 G は副有限群であるから>>39より G はあるGalois拡大のGalois群と同型になる。
しかし、この事実は次のように簡単に証明出来る。

命題
G を任意の有限群とする。
このとき、ある可換体 K と Galois拡大（過去スレpart4の848）L/K が存在し
G は Aut(L/K)（過去スレpart4の847）と同型になる。
このとき K の標数（過去スレpart4の667）は任意に取れる。

証明
忠実（過去スレpart5の843）な G-集合（過去スレpart5の77）S を任意にとる。
例えば S として G をとり G の正則表現をとればよい（>>11）。
k を任意の可換体とする。
>>9より S を不定元の集合とする k 上の有理関数体 k(S)（>>8）が存在する。
L = k(S) とおく。
>>10より G は Aut(L/k) の部分群と見なされる。
K = {x ∈ L；各σ ∈ G に対して σ(x) = x } とおく。
Artinの定理（過去スレpart1の438）より L/K はGalois拡大で G = Aut(L/K) である。
証明終