>>40から次の問題が自然に浮かぶ。

[与えられた可換体上のGaloisの逆問題]
有限群 G と可換体 K を任意に与えたときに Galois拡大（過去スレpart4の848）L/K で
G が Aut(L/K)（過去スレpart4の847）と同型になるようなものが存在するか？

この問題は K が素体（過去スレpart4の667）の時が最も重要である。
K が有限体（過去スレpart4の681）であれば後で示すように G としては巡回群しか有りえない。
よって、K が有理数体の場合が問題になる。

この問題は現在のところ未解決であるが種々の結果が知られている。
例えば G が次の場合は上の問題は肯定的である。
・対称群（Hilbert 1892）
・交代群（Hilbert 1892）
・可解群（Shafarevich 1954, 訂正 1989）
・Mathieu 群 M23 を除く25個の散在単純群（Matzat et al 1986, the Monster group Thompson 1984）