命題
A を可換環とする。
n ≧ 1 を整数とする。
A^n を A 上の n 次の列ベクトルの集合と見なす。
GL(n, A)（>>444）は A^n の A-加群としての自己同型群と見なされる。
σ ∈ GL(n, A) と α ∈ A^n に対して写像 f：A^n → A^n を f(x) = σx + α で定義する。
この写像を φ(σ, α) と書く。
このとき、φ(σ, α) ∈ Sym(A^n)（>>6）である。
写像 φ：GL(n, A)×A^n → Sym(A^n) は単射であり、
φ(GL(n, A)×A^n) は Sym(A^n) の部分群である。

証明
φ(σ, α) = φ(1, α)φ(σ, 0) である。
φ(σ, 0) と φ(1, α) はそれぞれ全単射であるから φ(σ, α) も全単射である。
よって、φ(σ, α) ∈ Sym(A^n) である。

各 i （1 ≦ i ≦ n）に対して e_i を第 i 成分が 1 である単位ベクトルとする。
φ(σ, α)(e_i) = σ_i + α である。
ここで σ_i は σ の第 i 列である。
よって、σ_i = φ(σ, α)(e_i) - φ(σ, α)(0)
α = φ(σ, α)(0)
よって、σ と α は写像 φ(σ, α) により一意に決まる。
よって、φ：GL(n, A)×A^n → Sym(A^n) は単射である。

(σ, α)、(τ, β) ∈ GL(n, A)×A^n のとき
φ(σ, α)φ(τ, β)（x） = σ(τx + β) + α = στx + σβ + α
よって、φ(σ, α)φ(τ, β) = φ(στ, σβ + α) である。
よって、φ(σ, α)φ(σ^(-1), -(σ^(-1))α) = φ(1, 0)
φ(1, 0) は A^n の恒等写像であるから φ(σ^(-1), -(σ^(-1))α) は φ(σ, α) の逆写像である。
以上から φ(GL(n, A)×A^n) は Sym(A^n) の部分群である。
証明終