定義
A を可換環とする。
B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。
G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
σ ∈ G、f = f(X_1、．．．、X_n) ∈ B のとき σf = f(X_σ(1)、．．．、X_σ(n)) と定義する。
f → σf は B の環としての自己同型である。
よって、準同型 π：G → Aut(B) が得られる。
ここで Aut(B) は B の自己同型群である。
π は明らかに単射である。
よって、B は忠実（過去スレpart5の843）な G-集合（過去スレpart5の77）となる。
Fix(G)（過去スレpart5の770）は A を含む B の部分環である。
Fix(G) を A[X_1、．．．、X_n]_sym と書く。
A[X_1、．．．、X_n]_sym の元を A 係数の n 変数の対称多項式という。