命題
>>86の ≦ は M の順序を定める。

証明
a ＜ b かつ b ＜ c のとき a ＜ c を証明すれば良い。
k = min { i ∈ I；a_i ≠ b_i}
s = min { i ∈ I；b_i ≠ c_i}
とする。
a_k ＜ b_k かつ b_s ＜ c_s である。

I は全順序集合だから以下の３通りの場合がある。

1) k = s の場合：
i ＜ k のとき a_i = b_i = c_i
a_k ＜ b_k ＜ c_k であるから a_k ＜ c_k
よって、a ＜ c

2）k ＜ s の場合：
i ＜ k のとき a_i = b_i = c_i
a_k ＜ b_k = c_k であるから a_k ＜ c_k
よって、a ＜ c

3）s ＜ k の場合：
i ＜ s のとき a_i = b_i = c_i
a_s = b_s ＜ c_s であるから a_s ＜ c_s
よって、a ＜ c
証明終