命題
I を有限な整列集合（>>84）とする。
(M_i)、i ∈ I を整列集合の族とする。
M = ΠM_i を族 (M_i)、i ∈ I の直積集合とする。
このとき M は辞書式順序（>>88）により整列集合となる。

証明
I = {1、．．．、n} として一般性を失わない。
各 i ∈ I に対して f_i：M → M_i と g_i：M → (M_1)×．．．×(M_i) を射影とする。
N を M の空でない部分集合とする。
各 i ∈ I に対して M_i の元 a_i を以下のように帰納的に決める。
f_1(N) の最小元を a_1 とする。
a_1、．．．、a_i まで決まったとき
f_(i+1)((g_i)^(-1)(a_1、．．．、a_i) ∩ N) の最小元を a_(i+1) とする。
このとき (a_1、．．．、a_n) が N の最小元である。
証明終