素数が無限に存在する証明

ユークリッド的な証明では最後の素数 p があると仮定して
p 以下の素数の積に 1 を加えた q = 2・3・・・p + 1 が素数だから矛盾だという．
しかし，これに文句を言うやつがいる．q は素数か，p より大な素数で割りきれるかだと．
しかし，私に言わせればこれらは両方だめだ．
正解は「q は p より大きいので合成数だが，どの素数でも割りきれないので矛盾」である．

ああそう

描

>14 名前：１３２人目の素数さん ：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>

なんでスレ立てたの？
ほめてもらいたかったの？

いいや、徹底的に焼いて欲しいんでしょうナ。

描

（定理２）
主張と証明略

参考文献参照

描

>14 名前：１３２人目の素数さん ：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>

（証明３）
略

参考文献参照

描

>14 名前：１３２人目の素数さん ：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>

背理法使わないで>1の証明ってできるの？

背理法嫌いだーって人たちいるでしょ？

描

>14 名前：１３２人目の素数さん ：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>

任意の素数pに対して、pよりも大きい素数を（そのような素数が存在するという仮定を使わずに）具体的に構成できたら、世紀の大発見です

描

>14 名前：１３２人目の素数さん ：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>

勢いで>>15を書いたけど、構成的な証明はあるみたいね

任意の自然数nに対して、nより大きい素数が存在すること

n!+1が素数ならば、それでよし
n!+1が素数でないならば、n!+1の、1でない正の約数のうち最小のものは素数である
しかもこれはnより大きい（n以下の数でn!+1を割った余りは1）

描

>14 名前：１３２人目の素数さん ：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>

>>13

1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...+1/n+...
=(1+1/2+1/4+1/8+...)*(1+1/3+1/9+1/27+...)*(1+1/5+1/25+1/125+...)*...*(1+1/p+1/p^2+1/p^3+...)*...
={1/(1-1/2)} * {1/(1-1/3)} * {1/(1-1/5)} *....* {1/(1-1/p)} *...
=(2/1)*(3/2)*(5/4)*...*(p/(p-1))*...
一行目は発散する量なので、最終行も発散する。つまり、素数は無限にある

描

>14 名前：１３２人目の素数さん ：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>

>>20
これって背理法は使ってないの？

描

>14 名前：１３２人目の素数さん ：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>

>>15
素数列の漸化式ならつまらないものがたくさんある。まあたいてい2以上の自然数nと2nの間に素数が存在することは利用してるけどね。

>>13
ユークリッドのオリジナルの証明は背理法を使っていない。有限個の素数を集めれば、それ以外に必ず素数が見つかるという、いわば素数生成のアルゴリズムを示している。
その手の背理法を使わない、素数をいくらでも見つけられるという方法による「素数が無限に存在することの証明」もいくつか知られている。

って>>17にもあったか。
そもそもユークリッドの時代にはいわゆる実無限の概念は一般的ではないため、可能無限的な証明にならざるを得ない。

描

>14 名前：１３２人目の素数さん ：2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間｡
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>

>>25
チェビシェフの定理の証明には素数が無限にあることは使っていない

素数が有限だったらそれ以上の数はどれかの素数の合成数なので、その素数のどれかでかならず割れる。
全部の素数をかけていちたすとどの素数でも割れない。

2,3,7,43,43^2+43,...
q(q+1)(q(q+1)+1)(q(q+1)(q(q+1)+1)+1)...

>>37
ケアレスミスがあるけどそれはどうでもいいとして、
そのやり方は互いに素な多項式が無限個あることの証明の副産物だね。

最大の素数p_maxが存在すると仮定する。
x=p_1×p_2×・・・×p_max+1と置くと、xは1とx以外では割り切れないので素数であり、かつx>p_maxであるから、仮定と矛盾する。
よって最大の素数は存在しない。

>>42
命題　Pが素数集合であるなら、∃p_max∈P ≧ ∀p∈P　が成り立つ。
対偶　∃p_max∈P ≧ ∀p∈P　が成り立たないなら、Pは素数集合ではない。

対偶法を使う意味は無さそう。

>>44
それって>>1とどこが違うの？

素数が無限にあると仮定すると
そっすうそっすうそっすうそっすうそっすうそっすうそっすうそっす・・・

仮定は嘘っすということで
背理法により素数は有限個しかないことになってしまう。

ここに素数図がアップされている！

http://blogs.yahoo.co.jp/assum3_0

背理法である事をひとまず忘れて、最後の素数ｐが存在する(素数は有限個しかない)為の条件を導き出したら、矛盾する結果となるから、「素数は無限に存在する」という結論が得られる、と考えればどうでしょうか？

それを背理法と云う

ユークリッドのオリジナル証明は背理法じゃなく当時らしい可能無限性を示したもの。

背理法が嫌いな人もいるからな。

>>53
ルート2が無理数の証明はどうだったっけ？

無理数の定義が「有理数ではない」だから、pと仮定すると矛盾だからpでない、という否定導入則は必要。しかし、pでないと仮定すると矛盾だからpが成り立つ、という本来の背理法は必要ない。

ハイリハイリフレハイリホー♪

>>56
ｐとｑの二者があって二者のみ存在するとき、ｐでないと仮定して矛盾が生じれば、「ｑである」と結論する(できる)、というのが背理法、ではないでしょうか？

否定導入則の特殊な場合としてそれも含まれるという意味ならその通り。その場合はq=¬pだから。

そか。
二重否定の除去が要らないんだね。

ｐでないと仮定して矛盾が生じれば、「ｐである」だろｗ

二者のみである必要は無い
何でもいいからある仮定をして矛盾が導かれれば、その仮定が誤りと言える

否定導入則なら直観主義でも成立するが、背理法は直観主義では成立せず、古典論理で成り立つ。

つまらない質問で恐縮なんですけど、
素数に素数を掛けて1を足したものは必ず素数になると聞いたんですが、
それは本当ですか？

3*5+1=16

その命題が真なら、いくらでも巨大素数を生成できるだろ

単に素数だけを生成する式ならいくらでもある。実用的じゃないけど。

>>64
ちょっと違う。
素数に、その素数未満の全ての素数を掛けて+1。
3x2+1=7
5x3x2+1=31
7x5x3x2+1=211

2*3*5*7*11*13+1=59*509

馬鹿ばっか

素数って本当に無限にあるの？

無限じゃなきゃ何個？

>>64
それは間違い。
ただし、素数が有限個であると仮定した場合
それらの素数を全て掛け合わせて1足した数は、どの素数でも割りきれないから素数になる

と同時に、最初に仮定した有限個の素数の何れとも等しくないから素数ではないとも言える
これは矛盾だから、最初の仮定は偽である
というのが背理法での証明の流れ


背理法の証明中に出てくる命題は実際には真とも偽ともなりうるから注意が必要になる
背理法嫌いで有名な某教授も、これが嫌だから背理法は嫌いみたい

最初の仮定が矛盾するから背理法なのか・・・・
対偶とか背理法とか難しいな。

だからかユークリッドは背理法は使ってないんだよな。

背理法で証明した場合
証明中に出てくる論証は正しいこともあるし、正しくないこともある
それを確かめる為には、別途に証明が必要になる

対偶で証明した場合
証明中で出てくる論証は正しいことがいえる

いみふ

あ〜わかんねぇ〜ｗ

Ａが偽の時、Ｂが真であっても偽であってもＡ⇒Ｂは真になる
つまり、偽の前提からは真の命題も偽の命題も導かれてしまう

背理法でＰを証明する時、¬Ｐという偽の命題を仮定しているから
そこから導かれる命題は真にも偽にもなりえてしまう

んで素数は本当に無限に存在するの？

無限じゃないなら何個？

何個あるかわからんから、皆無限個あると思ってるだけ。

最低でも一兆個以上はある

一兆個目の次の数は何？

人間が具体的に挙げられるのは有限個



とかそういう話？

>>87
もしそうしたいのであれば、自然数が全部で10個しかない体系を作って、
そこで好きなようにやってて下さいというのが、普通の数学の立場。

その体系の中では、みんなお金は10円までしか持てない。だってそれ以上あっても数えられないから。
日付を1月1日から1月10日まで数えられたとしても、その後は分からない。
もちろん、年齢も10歳から先は数えられない。
そうなると、「18禁」というような概念が意味を成さなくなる。
それに代わるものを考えようとしても、10までしか数えられない以上は「10禁」にするしかない。
だから、日本では10歳になれば酒もタバコも自由だし、結婚もできる。仮にいかがわしいビデオに出演したとしても咎められない。
……ある意味幸せかもね

有限の中の無限だっけ？亜自然数全体は集合にすらならないという

>>1
＞q は素数か，p より大な素数で割りきれるかだと
pが最大素数という仮定を置いたんだから、その時点で矛盾。よって何も問題無し

素数が無限に存在しない（仮説）とすると、十分に確からしい数学の理論において、矛盾が生じることを示すことで、素数が無限に存在することが真であることを示す。
いいアイデアを見いだしました！

？？

↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑

すでに広く知られている証明をどや顔で記入するバカ
またはくそつまらないネタをどや顔で記入するバカ

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

││││││││││││││││││││││││　 　 ↑
││││││││││││││││││││││││　 ┌┘
└┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴┴─┘

>>93
生温かく見守れ

素数は無限に有ると証明されてたよな。
どんな公式で証明されたんだっけ？

有限だったら、その有限素数全部をかけて1を足したら
また新たな素数が生まれるから

新たな素数もそれに追加でかけて1を足したら
更にまた新しい素数ができるから。

n番目の素数の上界・下界を高校生でも分かるレベルで求める方法あった筈だが忘れた

粗いけどベルトランの仮説ならなんとか高校生レベル。2^n以下というか、nが2以上なら2^nより小さい。

普通に素数×素数×素数×…＋1が素数になるからじゃだめなの？

>>100

一意的とはどういう意味ですか？

ただ一つしか表現や行動の振り幅がないこと

>>100
2×3×5×7×11×13+1=30031

30031=59×509


だから
素数×…×素数+1は必ずしも素数とは限らない

>>88
自然数+1が自然数である証明をしなければならないのでダメだ

自然数の定義から見直すと自然数+1が自然数になることは直ちに分かるが。

>>80

数が無限にあるなら素数も無限だろう

素数が出尽くさない事を証明しなければ
無限に存在するとは言えないんだよ。

馬鹿菌愚は徹底的に処刑するべき。

狸

私全くの素人。
最大素数やπの桁を追及するのはキリがないと思うんだが、
それでもやはり研究する価値があるんでしょうかね？

>>109
最大素数が存在しないことや、πが有限小数でないこと
を証明することは、多くの人にとって意義がある。
巨大素数の例を見つけることや、πの近似値競争を
することには、極々一部の人にとってしか意味がない。

巨大素数は暗号の鍵に使えるのでは？
公表したら意味がないけど

>>110,111
ありがとうございました。

ゴールドバッハの予想は正しい。
対偶が真であることは、
とても簡単に証明できます。

>>104
それは13が最大の素数じゃないから当たり前

実は、48番目のメルセンヌ素数が最大素数でした、という落ちがあったりしてｗ

48番目の偶数完全数が48番目の完全数でなければもっと藁

>>115が素数が無限に存在する証明が理解できないのであればもっと藁

数学的読み物を読んで思ったんだが
今まで見つかってるすべての素数の積に1加えれば
次に大きな素数じゃないかもしれないが、とりえあず巨大な素数が見つかる？

やってみたら？

>>118　それやったら、なんか気が狂いそうな・・・。
素数って、怖いよね。　単純なんだけど、その実態はまったく解析困難だし。

難しいことわかんないけどさ・・。だから、みんな素数に惹かれるのか。

級数 Σ1/p は発散するから素数は無限であるというオイラーの証明がある。
この証明はユークリッドの証明より情報量が多い。
例えばこれから素数は平方数よりある意味【多い】ということが分かる。

>>121
そりゃ千年以上前の証明と比較したら前進してて当然だろ

>>122
君、被害妄想が酷いと言われたことないか？

>>123
どういう意味？

>>124
「この証明はユークリッドの証明より情報量が多い」ことが趣旨ではないのに、何故かそこに反応するところ
何かを貶されたと感じてしまったのではないか？

>>125
そこが主旨でしょ
どう考えても

熊は普通に紹介して所見を述べただけじゃん

>>118
これ間違ってる。素数が有限だという仮定のもとにそれを使って矛盾を導くのは正しいが、
素数を生成するのには使えない。実際、反例がある。

>>128
実用性はないが原理的には間違ってない。

p_1, ..., p_n を今まで見つかった素数の全てとする。
n = (p_1)・・・(p_n) + 1 の素因子の一つを q とする。
n は p_1, ..., p_n のどれでも割り切れないから
q は p_1, ..., p_n のどれとも異なる。

>>129
最後の一行が間違っている。
p_n<x<nを満たす素数xで割り切れる可能性がある。

あ"

>>130
>最後の一行が間違っている。

最後の一行
>q は p_1, ..., p_n のどれとも異なる。

これが間違ってるってことは q = p_i となる i (1 ≦ i ≦ n) があるわけだが、
そうすると n は p_i で割り切れることになる（q は n の素因子だから）。
なわけねえじゃんｗ

>>128
その反例を書けば済む話なのに、何故書かない？

フェルマー数は互いに素ってのも素数が無限個ある証明になってる。

>>133
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/素数が無数に存在することの証明

上手く貼れてなかったらすまん。

>>135
貼ることに上手い下手があるとは知らなかった
クリックさせて上手くウィルス感染させられるかって意味？

>>136
漢字urlだから上手く貼れなかったみたい。
これでどう？
https://goo.gl/g1qXfQ

これ、意外に勘違いしている人が多いんだよなあ。
素数が有限個だと仮定すると、確かにこのやり方でさらに大きな素数を作れる。
でも実際には仮定自体が間違っているから、次の素数は作れない。

>>138
>>118をよく読め
＞次に大きな素数じゃないかもしれないが

>>139
じゃあ、リンク先のを貼るよ。今、13以下のすべての素数が分かっていて、それより
大きな素数を生成したいとする。
件のアルゴリズムを使うと、
2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 59 × 509
となって、素数は出てこない。
まさかここまでやらないと分かってもらえないとは思わなかった。

http://hello.2ch.net/test/read.cgi/bread/1345369840/

>>138
あんた勘違い。
>>118は全ての素数が有限個であるなんて仮定してない。

>今まで見つかってるすべての素数の積に1加えれば

>>118を

今まで見つかってるすべての素数の積に1加えて　素　因　数　分　解　す　れ　ば　、
次に大きな素数じゃないかもしれないが、とりえあず巨大な素数が見つかる？

と書き換えれば、>>118は正しい。>>129が既に指摘してるけどね。

一方で、>>118を

今まで見つかってるすべての素数の積に1加えれば、それは自動的に素数になっていて、
「次に大きな素数」ではないかもしれないが「巨大な素数」になっている

と解釈すると、それには反例がある(>>140)。
>>118はどっちの意味にも取れるので、どうとでも言える。

>>144
どっちの意味にもとれるってのはちょっと無理があるんじゃね？

>>144
> >>118はどっちの意味にも取れるので、どうとでも言える。

【今まで見つかった素数を全部掛けて１を加えたら必ず素数になる】わけねえじゃん。
グデングデンに酔っていても聞いた瞬間に間違いとわかる。

>>143
いや、例えば140の例で言えば、13までの素数しかわかってない状態だよ？
59や509が素数だとは知らないわけだから、それをまず確かめなくてはならない。
だったら、1から数字を増やしていって素因数分解すればいくらでも素数を作れると
言ってるのと同じじゃん。
素数が無限に存在することは分かっているわけだし。

こんなくだらないことで二日がかりで引っ張るとはｗ

>>147
何がいいたい？
>>118の方法は実用性がないと言いたいのか？
そんなの当たり前じゃん。
あんたは>>118の方法では【原理的に】新しい素数は見つからないと言ったんだろ？

>>138
>でも実際には仮定自体が間違っているから、次の素数は作れない。

次の素数を新しい素数と解釈すれば、これは間違い。
新しい素数は見つかる(>>129)。

>>146
なるわけないことを分かってないド素人が
>>118を書いたとも解釈できる、という意味だボケ。

>>150
>>118がとんでもない馬鹿かもしれないという可能性まで考える必要はない。

>>145
実際にID:QDyjV2V9は>>143の意味に解釈しており、
ID:pxjPug1rは>>144の意味に解釈している。

ID:QDyjV2V9が>>144の意味に解釈 し な か っ た 理由は>>146である。すなわち、
「>>144の意味に解釈すると明らかに間違いだから、>>144のわけがない」
という論法である。しかし、「>>118はド素人であって、実際に明らかな間違いを犯している」
という可能性を考慮していない。

逆に、ID:pxjPug1rが>>143の意味に解釈 し な か っ た 理由は>>147である。すなわち、
「>>143の意味に解釈しても実用性がなく、何のメリットもないので、>>143のわけがない」
という論法である。しかし、「実用性を無視すれば>>143の解釈でも問題ない」
という可能性を考慮していない。

てなわけで、結局はどうとでも言える。

素数が無限にあることの証明を

p(1),p(2),p(3),...,p(n)
がすべての素数であったと仮定し、
P=p(1)p(2)p(3)...p(n)+1
とおいて、

『p(1),p(2),p(3),...,p(n)のどれでも割り切れないからPは素数』

なのですべてのはずだったp(1),p(2),p(3),...,p(n)以外の素数が見つかり矛盾。よって素数は有限ではなく無限にある。

という証明が

(1)「素数p(1),p(2),p(3),...,p(n)の積に1を加えたPは素数になるから『』である」

ならよくある間違いだが、

(2)「Pより小さいすべての素数で割り切れないならPは素数なので『』である」

なら正しい証明になる。(2)を一言書いておいて欲しくはあるが。

nから2nまでの間に必ず素数があるから、与えられた素数pに対しその次の素数を見つけるアルゴリズムは存在する。

>>13
ζ(s)=Π(1 - 1/p)^(-1)
使えばできるでしょ

つい先日eが無理数であることを利用した証明を書いたブログも見た。
素数が無限にあることの証明は100ぐらいは見つかってるらしい。ピタゴラスの定理みたいだな。

wikipediaの素数が無数に存在することの証明にあるフィリップ・サイダックによる証明って
どう見ても昔から知られてる証明で全然新たな証明じゃないんだが。

じゃあ編集すればいい

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

>>156
π^2が無理数なのを利用した証明は知ってるけど
(π^2/6=ζ(2)=Π(1 - 1/p^2)^(-1)より )、
eが無理数なのを利用するってどうやるの？

>>176
ヒント：インテジャーズ

>>177
そんなわけのわからんヒントは要らん

S(n)はn番目の素数 , f(x)は任意の整数 , | X(n) |は絶対値
| X(n) |=| 1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/1^f(0)±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/±・・・・・・・±1/S(n)^f(n) } |
| X(n) | < | S(n+1) |^2のときX(n)は素数

S(n)はn番目の素数 , f(x)は任意の整数 , | X(n) |は絶対値
| X(n) |=| 1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/1^f(0)±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/±・・・・・・・±1/S(n)^f(n) } |
| X(n) | < | S(n+1) |^2のときX(n)は素数
| X(n+1) |=| 1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*S(n+1)^f(n+1)*{ ±1/1^f(0)±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/±・・・・・・・±1/S(n)^f(n)±1/S(n+1)^f(n+1) } |
| X(n+1) |=| X(n) |*S(n+1)^f(n+1)±1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)
| X(n+2) |-| X(n+1) |*S(n+2)^f(n+2)=±1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n+1)^f(n+1)
| X(n+1) |-| X(n) |*S(n+1)^f(n+1)=±1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)
| X(n+2) |-| X(n+1) |*S(n+2)^f(n+2)=±{ | X(n+1) |-| X(n) |*S(n+1)^f(n+1) }*S(n+1)^f(n+1)
| X(n+1) |*S(n+2)^f(n+2)±{ | X(n+1) |-| X(n) |*S(n+1)^f(n+1) }*S(n+1)^f(n+1)-| X(n+2) |=0
f(x)=-1のとき
| X(n+1) |=| X(n) |*S(n+1)^(-1)±1/(1*2*3*5*7*・・・・*S(n))≒| X(n) |*S(n+1)^(-1)
| S(n+1) |*| X(n+1) |≒| X(n) | < | S(n+1) |^2
| X(n+1) | < | S(n+1) |
| X(n+1) |/S(n+2)±{ | X(n+1) |-| X(n) |/S(n+1) }/S(n+1)-| X(n+2) |=0

S(n)はn番目の素数 , f(x)は任意の整数 , | X(n) |は絶対値
| X(n) |=| 1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/1^f(0)±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/±・・・・・・・±1/S(n)^f(n) } |
| X(n) | < | S(n+1) |^2のときX(n)は素数
| X(n+1) |=| 1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*S(n+1)^f(n+1)*{ ±1/1^f(0)±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/±・・・・・・・±1/S(n)^f(n)±1/S(n+1)^f(n+1) } |
| X(n+1) |=| X(n) |*S(n+1)^f(n+1)±1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)
| X(n+2) |-| X(n+1) |*S(n+2)^f(n+2)=±1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n+1)^f(n+1)
| X(n+1) |-| X(n) |*S(n+1)^f(n+1)=±1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)
| X(n+2) |-| X(n+1) |*S(n+2)^f(n+2)=±{ | X(n+1) |-| X(n) |*S(n+1)^f(n+1) }*S(n+1)^f(n+1)
| X(n+1) |*S(n+2)^f(n+2)±{ | X(n+1) |-| X(n) |*S(n+1)^f(n+1) }*S(n+1)^f(n+1)-| X(n+2) |=0

f(x)=1のとき
| X(n+1) |=| X(n) |*S(n+1)^(1)±(1*2*3*5*7*・・・・*S(n))
| X(n+1) | < S(n+1)^(3)±(1*2*3*5*7*・・・・*S(n))
| X(n+1) |*S(n+2)±{ | X(n+1) |-| X(n) |*S(n+1) }*S(n+1)-| X(n+2) |=0
| X(n+1) |*S(n+2)±(1*2*3*5*7*・・・・*S(n))*S(n+1)-| X(n+2) |=0
{ (1*2*3*5*7*・・・・*S(n))*S(n+1) }*[ | { ±1/1±1/2±1/3±1/5±・・・・・・・±1/S(n+1) } |*S(n+2)±1-S(n+2)*| { ±1/1±1/2±1/3±1/5±・・・・・・・±1/S(n+2) } |=0

f(x)=-1のとき
| X(n+1) |=| X(n) |*S(n+1)^(-1)±1/(1*2*3*5*7*・・・・*S(n))≒| X(n) |*S(n+1)^(-1)
| S(n+1) |*| X(n+1) |≒| X(n) | < | S(n+1) |^2
| X(n+1) | < | S(n+1) |
| X(n+1) |/S(n+2)±{ | X(n+1) |-| X(n) |/S(n+1) }/S(n+1)-| X(n+2) |=0
| X(n+1) |*S(n+1)^2±{ | X(n+1) |*S(n+1)-| X(n) | }*S(n+2)-| X(n+2) |*S(n+1)^2*S(n+2)=0
|±1±2±3±5±7±・・・・・・・±S(n+1) |*S(n+1)^2±{ |±1±2±3±5±7±・・・・・・・±S(n+1) |*S(n+2)-|±1±2±3±5±7±・・・・・・・±S(n) |*S(n+1)*S(n+2)} -|±1±2±3±5±7±・・・・・・・±S(n+2) |*S(n+1)^2=0

S(n)はn番目の素数 , f(x)は任意の整数 , | X(n) |は絶対値
| X(n) |=| 1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/1^f(0)±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/±・・・・・・・±1/S(n)^f(n) } |
| X(n) |は1^f(0), 2^f(1), 3^f(2), 5^f(3), 7^f(4),・・・・,S(n)^f(n)を因数に持たない
| X(n+1) |=| X(n) |*S(n+1)^f(n+1)±1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)
| X(n+1) |<S(n+1)^(2+f(n+1))±1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)
f(x)=1のとき
| X(n) |は1, 2, 3, 5, 7,・・・・,S(n)を因数に持たない
| X(n+1) |=| X(n) |*S(n+1)±(1*2*3*5*7*・・・・*S(n))
| S(n+1) |^(-1)*| X(n+1) |≒| X(n) |±(1*2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)) < | S(n+1) |^(2)±(1*2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1))
| X(n+1) | < | S(n+1) |^(3)±(1*2*3*5*7*・・・・*S(n))
f(x)=-1のとき
| X(n) |は1/1, 1/2, 1/3, 1/5, 1/7,・・・・・・,1/S(n)を因数に持たない
| X(n+1) |=| X(n) |*S(n+1)^(-1)±1/(1*2*3*5*7*・・・・*S(n))≒| X(n) |*S(n+1)^(-1)
| S(n+1) |*| X(n+1) |≒| X(n) | < 1/| S(n+1) |^2
| X(n+1) | < 1/| S(n+1) |^3
f(x)=iのとき
| X(n) |は1^i, 2^i, 3^i, 5^i, 7^i,・・・・,S(n)^iを因数に持たない
| X(n+1) |=| X(n) |*S(n+1)^(i)±(1*2*3*5*7*・・・・*S(n))^i
| S(n+1) |^(-i)*| X(n+1) |≒| X(n) |±(1*2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1))^i < | S(n+1) |^(2i)±(1*2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1))^i
| X(n+1) | < | S(n+1) |^(3i)±(1*2*3*5*7*・・・・*S(n))^i

S(n)はn番目の素数 , f(x)は任意の整数 , | X(n) |は絶対値
| X(n) |=| 1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/1^f(0)±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/±・・・・・・・±1/S(n)^f(n) } |
| X(n) |は1^f(0), 2^f(1), 3^f(2), 5^f(3), 7^f(4),・・・・,S(n)^f(n)を因数に持たない
| X(n) |<S(n)^2のときX(n)は素数
| X(n+1) |=| X(n) |*S(n+1)^f(n+1)±1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)
| X(n+1) |<S(n)^2*S(n)^f(n+1)±1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)

f(x)=-nのとき
| X(n) |は1/1^x, 1/2^x, 1/3^x, 1/5^x, 1/7^x,・・・・・・,1/S(n)^xを因数に持たない
| X(n+1) |=| X(n) |*S(n+1)^(-x)±(1*2*3*5*7*・・・・*S(n))^(-x)≒| X(n) |*S(n+1)^(-x)
| S(n+1) |*| X(n+1) |≒| X(n) | < 1/| S(n) |^(2x)
| X(n+1) | < 1/(| S(n) |^2*| S(n+1) |)^x
1/| X(n+1) | > (| S(n) |^2*| S(n+1) |)^x
を満たす時1/| X(n+1) |は素数

n^k+1（k=2,3,4,,,)型の素数が無限にあるかどうか証明されていないそうですが
kが大きくなるにつれて素数である確率も減っていくのでどこかで素数が有限個しかないような
ｋが存在するように思えるのですがそういう予想はあるのでしょうか？

>>184
あっkは偶数じゃないと因数分解できちゃうからk=2,4,6,,,,

V.Bouniakowsky による予想 1857
f∈Z[x]が既約で、2以上の定数dについて常にdの倍数にはならず、最高次の係数が正であるとき、fは無限個の素数を与える。

>>186
×常にdの倍数にはならず
○常にはdの倍数にはならず

| X(n) |=| 1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/1^f(0)±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/±・・・・・・・±1/S(n)^f(n) } | < S(n)^(2*f(n))
| X(n) |=| 1*i*2i*3i*5i*7i*・・・・*S(n)i*{ ±1±( ±1/2±1/3±1/5±・・・・・・・±1/S(n) )i } | < S(n)^2
| X(n) |=| 1*i*2i*3i*5i*7i*・・・・*S(n)i*√( 1+( ±1/2±1/3±1/5+・・・・・・・±1/S(n) )^2 )*EXP(i*arccos[1/√( 1+( ±1/2±1/3±1/5+・・・・・・・±1/S(n) )^2 )]) |
| X(n) |=1*2*3*5*7*・・・・*S(n-1)*√( 1+( ±1/2±1/3±1/5+・・・・・・・±1/S(n) )^2 ) < S(n)

S(n)はn番目の素数
| X(n) |=| i^f(x)*0^f(y)*1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/i^f(x)±1/0^f(y)±1/1^f(0)±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/±・・・・・・・±1/S(n)^f(n) } |
| X(n) |はi^f(x),1^f(0), 2^f(1), 3^f(2), 5^f(3), 7^f(4),・・・・,S(n)^f(n)を因数に持たない
x^i=e^(ilogx)
| X(n) |=1*e^(ilog2)*e^(ilog3)*e^(ilog5)*e^(ilog7)*・・・・*e^(ilogS(n))*{ ±1/1±1/e^(ilog2)±1/e^(ilog3)±1/e^(ilog5)±1/±・・・・・・・±1/e^(ilogS(n)) }
| X(n) |=1*e^(ilog(2*3*5*7*・・・・*S(n)))*{ ±1±e^(-ilog2)±e^(-ilog3)±e^(-ilog5)±e^(-ilog7)・・・・・・・±e^(-ilogS(n)) }| <e^(i2*logS(n))のとき
|X(n)|はS(n+m)^i(mは任意の正数)となる

S(n)はn番目の素数
| X(n) |=| i^f(x)*0^f(y)*1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/i^f(x)±1/0^f(y)±1/1^f(0)±1^f(0)/2^f(1)±2^f(1)/3^f(2)±3^f(2)/5^f(3)±5^f(3)/7^f(4)±・・・・・・・±S(n-1)^f(n-1)/S(n)^f(n) } |
| X(n) |はi^f(x),1^f(0), 2^f(1), 3^f(2), 5^f(3), 7^f(4),・・・・,S(n)^f(n)を因数に持たない
| X(n) |=|1*2*(1/1+1/2)|=3 < 2^2
| X(n) |=|1*2*3*(1/1-1/2+2/3)|=7 < 3^2
| X(n) |=|1*2*3*5*(1/1-1/2-2/3-3/5)|=17 < 5^2
| X(n) |=|1*2*3*5*7*(1/1-1/2-2/3-3/5+5/7)|=31 < 7^2
| X(n) |=|1*2*3*5*7*(1/1-1/2-2/3-3/5+5/7-7/11)|=31 < 7^2
x^i=e^(ilogx)
| X(n) |=1*e^(ilog2)*e^(ilog3)*e^(ilog5)*e^(ilog7)*・・・・*e^(ilogS(n))*{ ±1/1±1/e^(ilog2)±e^(ilog2)/e^(ilog3)±e^(ilog3)/e^(ilog5)±e^(ilog5)/e^(ilog7)±・・・・・・・±e^(ilogS(n-1))/e^(ilogS(n)) }
| X(n) |=1*e^(ilog(2*3*5*7*・・・・*S(n)))*{ ±1±e^(-ilog2)±e^(ilog2-ilog3)±e^(ilog3-ilog5)±e^(ilog5-ilog7)・・・・・・・±e^(ilogS(n-1)-ilogS(n)) }| <e^(i2*logS(n))のとき
|X(n)|はS(n+m)^i(mは任意の正数)となる

S(n)はn番目の素数
| X(n) |=| 0^f(y)*1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/0^f(y)±1/1^f(0)±1^f(0)/2^f(1)±2^f(1)/3^f(2)±3^f(2)/5^f(3)±5^f(3)/7^f(4)±・・・・・・・±S(n-1)^f(n-1)/S(n)^f(n) } |
| X(n) |は1^f(0), 2^f(1), 3^f(2), 5^f(3), 7^f(4),・・・・,S(n)^f(n)を因数に持たない
| X(n) |=|1*(1/2)*(±1/2f(a)±2)| < (1/2)^2
| X(n) |=|1*(1/2)*(1/3)*(±1/(2^f(a)*3^f(b))±2/3^f(c)±3/2^f(d))| < (1/3)^2
| X(n) |=|1*(1/2)*(1/3)*(1/5)*(±1/(2^f(a)*3^f(b)*5^f(c))±2/(3^f(d)*5^f(e))±3/(2^f(f)*5^f(g))±5/(2^f(h)*3^f(i)))| < (1/5)^2

| X(n) |=|1*(1/2)*(1/3)*(±1/(2^f(a)*3^f(b))±2/3^f(c)±3/2^f(d))| < (1/3)^2
この解の分子が１になるようにf(a),f(b),f(c),f(d)の値と±の符号を調整し
また解が1/3^2よりも小さな時分母は必ず素数

S(n)はn番目の素数
| X(n) |=| 0^f(y)*1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/0^f(y)±1/1^f(0)±1^f(0)/2^f(1)±2^f(1)/3^f(2)±3^f(2)/5^f(3)±5^f(3)/7^f(4)±・・・・・・・±S(n-1)^f(n-1)/S(n)^f(n) } |
| X(n) |は1^f(0), 2^f(1), 3^f(2), 5^f(3), 7^f(4),・・・・,S(n)^f(n)を因数に持たない
| X(n) |=|1*2*(±1/2f(a)±2)| < (2)^2
| X(n) |=|1*2*3*(±(2^f(a)*3^f(b))±2^f(c)/3±3^f(d)/2)| < (3)^2
| X(n) |=|1*2*3*5*(±(2^f(a)*3^f(b)*5^f(c))±(3^f(d)*5^f(e))/2±(2^f(f)*5^f(g))/3±(2^f(h)*3^f(i))/5)| < (5)^2
なるべく小さな値になるようにf(a),f(b),f(c),・・・の値と±の符号を調整し
また解が式内部の最大素数の２乗よりも小さな時必ず素数

| X(n) |=| 2*3*5*7*・・・・*S(n)*{ ±1/2±1/3±1/5±1/7^i±・・・・・・・±1/S(n)^i } |
e^(i*log| X(n) |)=|e^(i*(log(2*3*5*7*・・・・*S(n)))*{ ±1/2^i±1/3^i±1/5^i±1/7^i±・・・・・・・±1/S(n)^i } | < (S(n)^2)^i
e^(i*log| X(n+1) |)=| e^(i*(log(S(n+1)))*e^(i*log| X(n) |)±e^(i*(log(2*3*5*7*・・・・*S(n))) | < e^(i*2*logS(n))
|e^(i*(S(n+1)*| X(n) |)/S(n)^2)±e^(i*(log(2*3*5*7*・・・・*S(n-2)*S(n-1)/S(n)))| < 1

|e^(i*(S(n+1)*| X(n) |)/S(n)^2)±e^(i*(log(2*3*5*7*・・・・*S(n-2)*S(n-1)/S(n)))| < 1
これを満たすようにX(n)に素数を代入しプラスマイナスの符号をどちらかに確定してやると
| X(n+1) |=( | e^(i*(log(S(n+1)))*e^(i*log| X(n) |)±e^(i*(log(2*3*5*7*・・・・*S(n))) | )^(1/i) < S(n)^2
となるためX(n+1)は必ず素数になる

| X(n) |=| 2*3*5*7*・・・・*S(n)*{ ±1/2±1/3±1/5±1/7±・・・・・・・±1/S(n)} |
| X(n) |^i=| 2*3*5*7*・・・・*S(n)*{ ±1/2±1/3±1/5±1/7±・・・・・・・±1/S(n)} |^i
e^(i*log| X(n) |)=|e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |)*e^(i*log| ±1/2±1/3±1/5±1/7±・・・・・・・±1/S(n) |)| < (S(n)^2)^i
e^(i*log| X(n+1) |)=|e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n+1) |)*e^(i*log| ±1/2±1/3±1/5±1/7±・・・・・・・±1/S(n+1) |)| < (S(n+1)^2)^i
e^(i*log| X(n+1) |)=|±e^(i*log| S(n) |)e^(i*log| X(n) |)±e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |)| < e^(i*log| S(n+1)^2 |)
e^(i*log| X(n+1)/S(n+1)^2 |)=|±e^( i*log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2) )±e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |)| < 1

e^(i*log| X(n+1)/S(n+1)^2 |)=( cos[log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]+cos[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] )^2+( sin[log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]+sin[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] )^2 < 1
e^(i*log| X(n+1)/S(n+1)^2 |)=( cos[log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-cos[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] )^2+( sin[log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-sin[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] )^2 < 1
をみたすように|X(n)|に2からn番目の素数までを因数に含まない数値を入れ条件を見たした時X(n+1)は素数

S(n)はn番目の素数
| X(n) |=| 0^f(y)*1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/0^f(y)±1/1^f(0)±1^f(0)/2^f(1)±2^f(1)/3^f(2)±3^f(2)/5^f(3)±5^f(3)/7^f(4)±・・・・・・・±S(n-1)^f(n-1)/S(n)^f(n) } |
| X(n) |は1^f(0), 2^f(1), 3^f(2), 5^f(3), 7^f(4),・・・・,S(n)^f(n)を因数に持たない

e^(i*log| X(n) |)=|e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |)*(|±1/1^i±1/2^i±1/3^i±1/5^i±1/7^i±・・・・・・・±1/S(n)^i |)| < (S(n)^2)^i
e^(i*log| X(n+1) |)=|e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n+1) |)*e^(| ±1/1^i±1/2^i±1/3^i±1/5^i±1/7^i±・・・・・・・±1/S(n+1)^i |)| < (S(n+1)^2)^i
e^(i*log| X(n+1) |)=|±e^(i*log(| S(n+1) |*| X(n) |))±e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |))| < e^(i*log| S(n+1)^2 |)

e^(i*log| X(n+1)/S(n+1)^2 |)=( cos[log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]+cos[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] )^2+( sin[log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]+sin[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] )^2 < 1
e^(i*log| X(n+1)/S(n+1)^2 |)=( cos[log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-cos[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] )^2+( sin[log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-sin[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] )^2 < 1]
e^(i*log| X(n+1)/S(n+1)^2 |)=2+2*cos{ [log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] }<1
e^(i*log| X(n+1)/S(n+1)^2 |)=2-2*cos{ [log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] }<1
cos{ [log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] < -(1/2) , (1/2) < cos{ [log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |]

cos{ [log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] < -(1/2) , (1/2) < cos{ [log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |]
2Aπ+(2/3)π < [log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |　< 2Aπ+(4/3)π
2Bπ+(-1/3)π < [log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |　< 2Bπ+(1/3)π
X(n)にn番目の素数よりも大きな値を代入し上記の式を満たす時X(n)は素数

S(n)はn番目の素数
| X(n) |=| 0^f(y)*1^f(0)*2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n)*{ ±1/0^f(y)±1/1^f(0)±1^f(0)/2^f(1)±2^f(1)/3^f(2)±3^f(2)/5^f(3)±5^f(3)/7^f(4)±・・・・・・・±S(n-1)^f(n-1)/S(n)^f(n) } |
| X(n) |は1^f(0), 2^f(1), 3^f(2), 5^f(3), 7^f(4),・・・・,S(n)^f(n)を因数に持たない

e^(i*log| X(n) |)=|e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |)*(|±1/1^i±1/2^i±1/3^i±1/5^i±1/7^i±・・・・・・・±1/S(n)^i |)| < (S(n)^2)^i
e^(i*log| X(n+1) |)=|e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n+1) |)*e^(| ±1/1^i±1/2^i±1/3^i±1/5^i±1/7^i±・・・・・・・±1/S(n+1)^i |)| < (S(n+1)^2)^i
e^(i*log| X(n+1) |)=|±e^(i*log(| S(n+1) |*| X(n) |))±e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |))| < e^(i*log| S(n+1)^2 |)

cos{ [log(| X(n) |/S(n+1))]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |] < -(1/2) , (1/2) < cos{ [log(| X(n) |/S(n+1))]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |]

2Aπ+(2/3)π < [log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |　< 2Aπ+(4/3)π
2Bπ+(-1/3)π < [log(| S(n) |*| X(n) |/S(n+1)^2)]-[log| 2*3*5*7*・・・・*S(n)/S(n+1)^2 |　< 2Bπ+(1/3)π

e^[(2A+(2/3))π]*S(n+1)/[2*3*5*7*・・・・*S(n)] < | X(n) | <e^[(2A+(4/3))π]*S(n+1)/[2*3*5*7*・・・・*S(n)]
e^[(2B+(-1/3))π]*S(n+1)/[2*3*5*7*・・・・*S(n)] < | X(n) | <e^[(2B+(1/3))π]*S(n+1)/[2*3*5*7*・・・・*S(n)]
AとBは任意の正数
|X(n)|の領域に2からn番目までの素数を因数に含まない正数が存在する時
｜X(n)|は素数

| X(n) |=|e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |)*(|±1/1^i±1/2^i±1/3^i±1/5^i±1/7^i±・・・・・・・±1/S(n)^i |)|
| X(n+1) |=|e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n+1) |)*(|±1/1^i±1/2^i±1/3^i±1/5^i±1/7^i±・・・・・・・±1/S(n+1)^i |)|
| X(n+1) |=| e^(i*log|S(n+1)|)*| X(n) | ± e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) |
X(n)=X(n)^i
X(n+1)=X(n+1)^iのとき
| X(n+1)^i |=| X(n)^i |=1
| X(n+1)^i |=| e^(i*log|S(n+1)|)*| X(n)^i | ± e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) |=1
| e^(i*log|S(n+1)|)*1 ± e^(i*log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) |=1
| [ cos(log|S(n+1)|) + i*sin(log|S(n+1)|) ] ± [ cos(log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) + i*sin(log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) ] | = 1
{ [ cos(log|S(n+1)|) + cos(log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) ]^2 + [ sin(log|S(n+1)|) + sin(log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) ]^2 } = 1
2 + 2 * [ cos(log|S(n+1)|)*cos(log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) + sin(log|S(n+1)|)*sin(log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) ] = 1
cos(log|S(n+1)|-log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |) = -(1/2)
log|S(n+1)|-log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |=(2A+2/3)*π
log|S(n+1)|-log| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |=(2B+4/3)*π
|S(n+1)|/| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |=e^[ (2A+2/3)*π ]
|S(n+1)|/| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |=e^[ (2B+4/3)*π ]
(A,Bは任意の整数を代入する）
|S(n+1)|=| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |*e^[ (2A+2/3)*π ]　
|S(n+1)|=| 2*3*5*7*・・・・*S(n) |*e^[ (2B+4/3)*π ]
|S(n+1)|が整数になる時素数になる

| X(n) |=|e^(i*log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |)*(|±1/1^i±1/2^f(1)^i±1/3^f(2)^i±1/5^i±1/7^f(4)^i±・・・・・・・±1/S(n)^f(n)^i |)|
| X(n+1) |=|e^(i*log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n+1^f(n+1) |)*(|±1/1^i±1/2^f(1)^i±1/3^f(2)^i±1/5^i±1/7^f(4)^i±・・・・・・・±1/S(n+1)^f(n+1)^i |)|
| X(n+1) |=| e^(i*log|S(n+1)^f(n+1)|)*| X(n) | ± e^(i*log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |) |
X(n)=X(n)^i
X(n+1)=X(n+1)^iのとき
| X(n+1)^i |=| X(n)^i |=1
| X(n+1)^i |=| e^(i*log|S(n+1)^f(n+1)|)*| X(n) | ± e^(i*log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |) |=1
| e^(i*log|S(n+1)^f(n+1)|)*| X(n) | ± e^(i*log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |) |=1
cos(log|S(n+1)^f(n+1)|-log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |) = -(1/2)
log|S(n+1)^f(n+1)|-log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |=(2A+2/3)*π
log|S(n+1)^f(n+1)|-log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |=(2B+4/3)*π
|S(n+1)^f(n+1)|/| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |=e^[ (2A+2/3)*π ]
|S(n+1)^f(n+1)|/| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |=e^[ (2B+4/3)*π ]
(A,Bは任意の整数を代入する）
|S(n+1)|={ | 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |*e^[ (2A+2/3)*π ] }^(1/f(n+1))　
|S(n+1)|={ | 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |*e^[ (2B+4/3)*π ] }^(1/f(n+1))
|S(n+1)|が整数になる時素数になる
|S(2)|=( 2^f(1)|*e^[ (2A+2/3)*π ] )^(1/f(2))　

e^(i*log| X(n) |)=e^(i*log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |)*e^(i*log(|±1/1±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/7^f(4)±・・・・±1/S(n)^f(n)|)) < e^(i*2*log| S(n)^f(n)| )
COS(log| X(n) |) + i*SIN(log| X(n) |)={ COS(log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |) + i*SIN(log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |) }*
{ COS(log|±1/1±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/7^f(4)±・・・・±1/S(n)^f(n)|) + i*SIN(log|±1/1±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/7^f(4)±・・・・±1/S(n)^f(n)|) }
COS(log| X(n) |) = COS(log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |)*COS(log|±1/1±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/7^f(4)±・・・・±1/S(n)^f(n)|) -
SIN(log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |)*SIN(log|±1/1±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/7^f(4)±・・・・±1/S(n)^f(n)|)
A=COS(log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |)
B=COS(log|±1/1±1/2^f(1)±1/3^f(2)±1/5^f(3)±1/7^f(4)±・・・・±1/S(n)^f(n)|)
COS(log| X(n) |) - A*B = - √(1-A^2)*√(1-B^2)
COS(log| X(n) |)^2+(A^2*B^2)-2*A*B*COS(log| X(n) |)=1-A^2-B^2+(A^2*B^2)
B^2-[2*A*COS(log| X(n) |)]*B+[A^2+COS(log| X(n) |)^2-1]=0
B = A*COS(log| X(n) |)±√{ (A^2-1)*(COS(log| X(n) |)^2-1) }
e^[ARCCOS{ COS(log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |)*COS(log| X(n) |)±√{ (COS(log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |)^2-1)*
(COS(log| X(n) |)^2-1) } }] < | S(n)^f(n)|^2/| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |
COS(log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |)*COS(log| X(n) |)±√{ (COS(log| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n)^f(n) |)^2-1)*
(COS(log| X(n) |)^2-1) }　< COS(log[| S(n)^f(n)|/| 2^f(1)*3^f(2)*5^f(3)*7^f(4)*・・・・*S(n-1)^f(n-1) |]

2,3,5,7,11,13,,,,S(n)
１番目からn番目の素数を２つのグループに分け
分けた素数を掛けて２つの整数を求め
得られた２つの整数の差か和の絶対値がn番目の素数の２乗より小さい時素数になる
|2+3|=5<9
|2*5-3|=7<25
|3*2+5|=11<25
|3*5-2|=13<25
|3*7-2*5|=11<49
|3*7+2*5|=31<49
|3*5-2*7|=1<49
|3*5+2*7|=29<49
|2*3*5-7|=23<49
|2*3-5*7|=29<49
|11*3-2*5*7|=37<121

式の中の素数の項を任意の整数乗しても条件を満たす時素数になる
|2^2*5-3|=17<25
|3*7+2^2*5|=41<49
|2^2*3*5-7^2|=11<49
|2^2*3-5*7|=23<49
|11*3-2^2*5*7|=107<121
|11*2^5-3^2*5*7|=37<121
|11^2*2-3^2*5*7|=73<121

真理を発見しました (哲学系)
http://p.booklog.jp/book/106489/read

無料の電子書籍です！

餅尻。素数を数えて落ち着くﾆﾀﾞ

素数の数が有限であることの証明�@

n!+2,…, n!+n はそれぞれ、より小さい 2,…, nで割り切れるので、どれも素数でない。
ここでnを無限に持っていくと、素数ギャップが無限になることがわかる。

素数の数が有限であることの証明�A

2以下の自然数の中にある素数は有限である。
k以下の自然数の中にある素数は有限であると仮定すると、
もちろんk+1以下の自然数の中にある素数は有限である。
数学的帰納法により、全ての自然数の中にある素数は有限であることがわかる。

素数の数が有限であることの証明�B

素数の数は無限個と仮定する。
ここで「（無限個の素数全ての積＋1）…(1)」を考える。
仮定からは、2以上の全ての自然数は無限個ある素数のいずれかで割り切れるはず。
しかし、(1)は割り切れない。
この矛盾より、仮定が誤っていることがわかる。

素数の逆数和が収束する証明

ζ＝1/1^s＋1/2^s＋1/3^s＋…　←(1)を考える。
(1)はs<=1では発散、s>1で収束する。

次に素数の逆数和＝1/2＋1/3＋1/5＋…　←（2）を考える。

(2)は、(1)のs=1の場合より明らかに小さい。（足している項が少ないから）
つまり、(1)=(2)となる場合のsを考えると、sは1より大きい。
(1)はs>1のとき収束するから、(2)も収束することがわかる。

>>205 任意のNに対しても隣り合うN個の数がすべて合成数となる領域が存在するが,
素数が有限個であることを示したことにはならない.
>>206 任意のNに対してもN以下の素数は高々有限個しか存在しないが,
素数が有限個であることを示したことにはならない.
>>207 (1)は数として定義できないので証明は無効.
>>208 s=1のときに(1)>(2)となることは和を有限個(n個)で打ち切り, 最後の項を一致させた場合に
成り立つことしか示していない. この場合s→∞で(1)<(2)となることは自明なので,
中間値の定理より(1)=(2)となるs_0>1が存在するが, n→∞でs_0→1であれば, s>1, n→∞で
(1)が収束しても(2)は発散する.

しかしよく考えるな.

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

いまさらだけど素数の１桁目の数が連続する確率に関して
1が18.5%で3,7が30%で9が22%ってやつ
つまり素数を10進数で表すから偏っているんであって
ひと桁目が均等になる別の進数、無理なら変則進数（各桁の数は素数カウントで繰り上げとか）でできた数学を構築すべきってことじゃね？

平方剰余

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

>>205
nが大きくなるほどn!に対してnは小さくなって行くので無限にならない
>>206
k+1という有限個の自然数の中の素数は有限であると言っているだけなので、どこまでいっても全ての自然数にならない

こういう感じ?
1=0の証明みたいな数学ジョークってやつかしら

恨むの螺旋を画像処理して1600万までの画像でもぼかしてみれば外側ほど色が薄いのが分かる
ちゃんと減って行ってる

√x*π
この計算で素数の近似値が出る
計算発見記念パピコ

近似でいいなら素数定理があるじゃん

S(n)はn番目の素数
X(n)=1/2+1/3+1/5+1/7+・・・+1/S(n)

[X(n)-X(n-1)]=1/S(n)
1/2+1/3+1/5+1/7+・・・+1/S(n)=[X(n)-X(n-1)]+・・・+[X(2)-X(1)]+X(1)=X(n)

1/2^m+1/3^m+1/5^m+1/7^m+・・・+1/S(n)^m=X(1)^m+[X(2)-X(1)]^m+・・・+[X(n)-X(n-1)]^m
2^m*3^m*5^m*・・・*S(n)^m=1/{ X(1)^m*[X(2)-X(1)]^m*・・・*[X(n)-X(n-1)]^m }

Y(m : n) = { 2^m*3^m*5^m*・・・*S(n)^m }*{1/2^m+1/3^m+1/5^m+1/7^m+・・・+1/S(n)^m}
Y(m : n) = { X(1)^m+[X(2)-X(1)]^m+・・・+[X(n)-X(n-1)]^m }/{ X(1)^m*[X(2)-X(1)]^m*・・・*[X(n)-X(n-1)]^m }

0 < |Y(m : n)| <S(n+1)^2
0< |Y(i : n)|=|{ e^(i*m*logX(1))+e^(i*m*log[X(2)-X(1)])+・・・+e^(i*m*log[X(n)-X(n-1)]) }/e^(i*m*log{ X(1)*[X(2)-X(1)]*・・・*[X(n)-X(n-1)] })| < S(n+1)^2
mの値を変化させて|Y(i : m)|が上記の条件を満たす整数になる時|Y(i : m)|は素数になる

この前図書室の数学コーナーで素数定理の本開いたら見つけたゾ

S(n)はn番目の素数

|Y|=√( [cos(m*log2)+cos(m*log3)+cos(m*log5)+・・・cos(m*logS(n))]^2+[sin(m*log2)+sin(m*log3)+sin(m*log5)+・・・sin(m*logS(n))]^2 ) < S(n+1)^2

|Y|=√( [Σcos(m*logS(n))]^2 + [Σsin(m*logS(n))]^2 ) < S(n+1)^2
|Y|が整数になるようにかつ上記の条件を満たすようにmの値を変化させる時
Yはかならず素数になる

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥

￥