不等式への招待　第７章

・不等式の埋蔵地
[1]　RGMIA　http://rgmia.vu.edu.au/
[2]　Crux Mathematicorum Synopses　http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/
[3]　Maths problems　http://www.kalva.demon.co.uk/
[4]　Mathematical Inequalities & Applications　http://www.ele-math.com/
[5]　American Mathematical Monthly　http://www.maa.org/pubs/monthly.html
[6]　Problems in the points contest of KöMaL　http://www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml
[7]　IMO リンク集　http://imo.math.ca/
[9]　Mathematical Olympiads Correspondence Program　http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/
[10]　Mathematical Excalibur　http://www.math.ust.hk/excalibur/
[11]　MathLinks Contest　http://www.mathlinks.ro/Forum/contest.html
[12]　MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE　http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_s... (要自動登録)
[13]　Wolfram MathWorld　http://mathworld.wolfram.com/
[14]　GRA20 Problem Solving Group　http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.htm...
[15]　American Mathematical Monthly Problems　http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/AMM/amm.html
[16]　Journal of Inequalities and Applications http://www.hindawi.com/journals/jia/
[17]　すうじあむ http://suseum.jp/gd/all_berry_list/3504

・海外不等式ヲタの生息地
[1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics　http://jipam.vu.edu.au/
[2] MIA Journal　http://www.mia-journal.com/
[3] MathLinks Math Forum　http://www.mathlinks.ro/Forum/forum-55.html

〔問題〕
a,b,c>0, (r=2/3 または r=1 または r≦0) のとき
　{2a/(b+c)}^r + {2b/(c+a)}^r + {2c/(a+b)}^r ≧ 3.
を示せ。

　casphy - 高校数学 - 不等式２ - 032-035, 042-043
　USAMO ?

円周率をπと書く. 223/71 < π < 22/7. Archimedes の時代から知られていたらしい.

不等式大好きでつ！

>>5
そういえば、東大の入試で円周率の不等式が出て話題になったな。
簡単と思いきや、出来が悪かったそうだ。


問題．円周率 π は、３．０５ より大きいことを証明せよ。

最近不等式の証明の世界を知りました高一です
学校ではn=2の場合においてのAM-GM不等式しか習いませんでした

ですが、最近とある人から数オリクラスの不等式の証明もある事を聞き興味を持ってます
まずこのスレに出てくるような問題を解くために勉強すべき事はなんでしょうか
現時点で三角関数までしかやってないです

>>11
あらゆる問題に触れる

何をおいてもまずは微分積分を身に着けてから
数�Vの教科書を取り寄せて勉強するべし

>>9
2003年の東大理系の問題だったんだよね。

当時は小学校で円周率がおよそ３で済ます、ということになり、それでは数学教育として余りにも酷い、
というメッセージを世間に送る意味で出題させれたという時代背景があった。

一応日本の最高学府のしかも理系の問題でそれを提示することで、当時の数学教育に反論するのが狙い。
東大ともなると、単に難しい問題を出すだけでなく、高校数学界への影響も考慮してと意外と大変ですね。

今年の入試問題
http://nyushi.yomiuri.co.jp/13/sokuho/hokkaido/koki/sugaku/images/mon1_1.gif

>>17
円周率の評価の証明で、弧度法を使ったらダメだろうが！

証明すべきこと（１周=2π）を使っているんだから、全然証明になってない。

１周=2πはsinの周期（あるいはexpの周期）からわかることです
問題ありません

証明すべきことは
＞問題．円周率 π は、３．０５ より大きいことを証明せよ。
なんだが

>>20
円周率の定義を知らないのか？

>>21
教えて

>>16
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…してもよろしいでしょうか？

>>15
円周率が3となっていたのは日能研の電車の吊り広告での話
実際の教科書見たらそうじゃないってのはすぐにわかるのに
メディアが円周率3って大きく取り上げた
それだけのこと

>>16 (1)

t≠1 のとき、f(x) = t^x は下に凸。
　{f(c)-f(0)}/(c-0) ≧ f '(0) ≧ {f(0)-f(-b)}/{0-(-b)},

>>16 (2)
重み付き相加相乗平均より、
　(a/(a+b+c))s + (b/(a+b+c))t + (c/(a+b+c))u ≧ s^(a/(a+b+c)) t^(b/(a+b+c)) u^(c/(a+b+c)).
上式に、 s = x^(a+b+c), t = y^(a+b+c), u = 1 を代入して整理。

>>16 (1)
上式に、 a=0, s>0, t=T^(b+c), u=1 を代入して整理。

今年の入試問題
http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/13/kb2-21p/5.gif

x_i(1≦i≦n+1)は正の実数でx_1+x_2+……+x_n=1, x_(n+1)=0を満たす時
Σ[k=1_n]{√(Σ[p=1_k]x_k)×√(1+Σ[q=k+1_n+1]x_q)×x_k}＞π/4

>>30
半径1の四分円を幅がx_iになるようにスライスして面積を考える

>>29
どこの入試問題ですか？

問題の表記や文字から神戸大

〔問題〕
　√(1+xx) − |x| = F(x) とおくとき、次を示せ。

(1)　|xy|≦1/2　⇒　F(x) + F(y) ≧ 1,

(2)　|xyz| ≦ (4/3)^3　⇒　F(x) + F(y) + F(z) ≧ 1,

(3)　|xy| ≧ (3/4)^2　⇒　F(x) + F(y) ≦ 1,

　[元スレ.414, 459, 482]
　casphy - 高校数学 - 不等式スレ [1-919]

実数x,y,zがx^2+y^2+z^2=1 を満たすとき
xy^2 + yz^2 + zx^2 のとり得る値の範囲はどうもとめればいいでしょｙか

x≦y≦zとしてあげたらいいんじゃない？

a,b,c∈R
(a^2+b^2+c^2)^2 ≧ 3(ab^3+bc^3+ca^3)

〔類題〕
a,b,c ≧ 0 のとき
　(a^2 +b^2 +c^2)^2 ≧ 3{a^(4/3)･b^(8/3) + b^(4/3)･c^(8/3) + c^(4/3)･a^(8/3)},

(略解)
相加･相乗平均により
　(ab)^2 + (ab)^2 + b^4 = (a^2 +a^2 +b^2)b^2 ≧ 3a^(4/3)･b^(8/3),
　循環的にたす。

第５章とはどの書物のことでしょうか

スレタイをよく読め

ああああああそうか
すみません

〔問題〕
n∈N のとき、
　1/{2n + 4/(n+3)} < ∫[0,π/4] {tan(x)}^n dx < 1/(2n),
を示せ。（ﾌﾞﾘｼﾞｯﾀ）

　casphy - 高校数学 - ∫積分∫ - 046

>>52

　g(t) は t≦20 で下に凸。

(略証)
・t>0 のとき
　g(t) = cos(√t),
　g '(t) = -sin(√t)/(2√t),
　g "(t) = {sin(√t) - (√t)cos(√t)}/(4t√t),
　そこで sinθ - θ･cosθ = 0, θ>0 となる最小のθを求める。
　1/θ = 1/tanθ = tan((3/2)π - θ) > (3/2)π - θ,
　1/θ + θ > (3/2)π > (20 + 1)/(√20),
　θ > √20 ≧ √t,

・t≦0 のとき
　マクローリン展開
　g(-t) = 1 + (1/2!)t + (1/4!)tt + ････ + {1/(2k)!}t^k + ････
　の係数がすべて正。

成程

〔類題〕
|xyz| ≦1 のとき、次を示せ。
　√(1+xx) + √(1+yy) + √(1+zz) -|x| -|y| -|z| ≧ 1,

[前スレ.414、459、482]

a, b, c>0, (1/ab)+(1/bc)+(1/ca)=1 のとき.

(a-1)(b-1)(c-1)>=2(3√3-5)を示せ。

昨日行ったファミレス。席に着くなり「ただいま○○フェアで
○○○○がお勧めです」と言うので「じゃあそれを」と頼んだら
「申し訳ありません、本日は完売となっております」って。
じゃあ勧めるなよおい。完売でもとにかく言わないといけないという
決まりでもあるのかね。

mixi招待してください

log(x+√1+x^2)>sinx (x>0)

ピーター・フランクルの本より出題

任意の実数xについて、
sinx+sin√2x≦2-1/(100*(1+x^2))
が成立することを示せ

あんまし美しいと思えないなあその不等式

>>64
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

|x| < π/2 のとき、｜tan(x)| > |x|

　(d/dx)log(x+√(1+x^2)) = 1/√(1+x^2),
　(d/dx)sin(x) = cos(x) = 1/√{1+tan(x)^2},
から出る。

|x| > sinh(1) = 1.1752 のとき
　(左辺) = arcsinh(x) > 1 ≧ (右辺).

〔問題17〕
非負値の多項式、たとえば
　f(x,y,z) = (x^4)(y^2) + (x^2)(y^4) + (z^6) - 3(xyz)^2,
は
　{xy(x-y)}^2 + (2|xy| + z^2)(|xy| - z^2)^2,

のように、|xy| と z^2 の多項式によって表わせますが、

x, y, z の多項式の平方の和では表わせないでしょうか？


　(参) ヒルベルト「数学の問題」 No.17

自然数 n≧2 に対して次を示せ。

(1) 　Σ_[k=1]^n (-1)^{k+1} n_C_k (1/n^2 )^k < 1/n

(2) 　Σ_[k=1]^n n_C_k { 1/(n^2-1) }^k > 1/n

(3) 　Σ_[k=1]^{2n} {2n}_C_k { 1/(n^2-1) }^k > 2/(n-1)


ただし、n_C_k　= n ! /( k! (n-k)! )　は二項係数とする。

>>69
それ数セミ10月号の問題じゃん

最近「不等式」のレベルを格段に押しげる本が出ると聞いた
いまこそ、学問の)いち分い地一分野になれるかどうか
ともきいやた。

がんばれ不等式
俺は創業以あなた方ファンです。

狢

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私は真摯な数学ファンのあなた方のファンです。がんばってください、

安藤さんは数オリの問題を何問も解いた天才だな

>>77 ご用ですか？
ところで，3変数4次巡回不等式
f(x,y,z) = Σx^4 + A Σx^3 y + B Σ x y^3 + C Σ x^2 y^2 + D Σ x^2 y z
が任意の非負整数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための
A, B, C, D についての必要十分条件を求めました．
複雑でここに書けないので，以下のプレプリの
Theorem 3.5, Theorem 3.6をご覧下さい．
(2ch制限でLinkが貼れないので，
[安藤哲哉] → 論文・プレプリコーナー → 論文[9] で探して下さい)

(直前の続き ---- 長すぎで2chで拒否されるので)
日本語で読みたい方は以下の正誤表の補遺(系2.3.9b, 系2.3.9c)をご覧ください．
(Linkを貼ろうとすると2chから怒られるので，
[安藤哲哉] → 「不等式」正誤表 で探して下さい)
ここで，S_4=Σx^4, S_{3,1}=Σx^3 y, S_{1,3}=Σ x y^3, S_{2,2}=Σ x^2 y^2, US_1 = Σ x^2 y z です．

すいません。>78 でタイプミスしました。
> が任意の非負整数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための
が任意の非負実数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための

証明の肝が不等式であることは実際多いんだよ。
君が何を証明したいにしてもね。

〔問題〕
0 < A,B,C ≦ π/2（△ABCは鈍角△でない）とき、
　cos(A)cos(A)cos(B) + cos(B)cos(B)cos(C) + cos(C)cos(C)cos(A) ≦ 2/(3√3),
　等号成立は (cosA, cosB, cosC) = (0, √（2/3), √(1/3)）またはその rotation.
を示せ。

　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 095

>>78

〔定理2.3.9d.〕
　f(x,y,z) = S_4 + A･S_{3,1} + B･S_{1,3} + C･S_{2,2} + D･U･S_1,
は
　f(1,1,1) = 3(1+A+B+C+D) = 0,
を満たすとする。任意の非負実数 x,y,z に対して f(x,y,z)≧0 が成り立つための条件は、
以下の(1)〜(6)のいずれかが成立することである。

>>78 （続き)

(1)　C+2≧0, A+B≧0, A≦-2√(C+2), φ(A,B,C)≦0.
(2)　C+2≧0, A+B≧0, B≦-2√(C+2), φ(A,B,C)≦0.
(3)　C+2≧0, -√(C+4) ≦ A+B ≦ 0, A≧-2√(C+2), B≧-2√(C+2), φ(A,B,C)≧0.
(4)　C+2≧0, A+B≧0, A≧-2√(C+2), B≧-2√(C+2).
(5)　C≧0, AA+AB+BB ≦ 3C+3.
(6)　C+2≦0, A+B≧0, φ(A,B,C)≦0.
ここに、φ(A,B,C) = (ABC)^2 -4(AB)^3 +18(AA+BB)ABC -4(AA+BB)C^3 -(27A^4 +6AABB +27B^4) +16C^4 -80ABCC +144(AA+BB)C -192AB -128CC +256

　//www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/alg_ineq.pdf

>> 87
その話で，f(1,1,1)=0という条件をはずした場合はどうなるのかというと，
実はかなり難しいのです。
「不等式」正誤表の末尾に，その話を追加しておきました。
長くて難しい話ですので，そちらをご覧下さい。
Linkは>>87の通りです。

>>86-87

　(A,B,C,D) = (0,-3,2,0）　の場合が >>41-42

>>41
　和書[8], p.74-75 例題2.3.10 (3)


〔類題〕
a,b,c∈R のとき
　(a^2+b^2+c^2)^2 + (8/√7)(aaab+bbbc+ccca) ≧ 0,

　和書[8], p.77-78 例題2.3.13 (2)

〔問題〕　次式を代数的に示せ。

(1) x≧y≧1 のとき、
　1/(1+x^n) + (n-1)/(1+y^n) ≧ n/(1+x･y^(n-1)),

(2) a_1, a_2, ････, a_n ≧ 1 のとき、
　1/(1+a_1) + 1/(1+a_2) + ･･･････ + 1/(1+a_n) ≧ n/(1+G),
　ここに、G = (a_1･a_2･･････a_n)^(1/n),
　和書[8]、p.170 例題3.3.9 (10)

確率関連の不等式（Markovの不等式とか，Hoeffdingの不等式とか）が充実してる本やサイトってない？

どの本にも載ってなさげなんだが．．．

stochastic inequalities とか probability inequalities でAmazon検索すればいっぱい出てくる

>>64
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

　|t| > ｜tanh(t)|

　(d/dt)arcsin(t) = 1/√(1-tt),
　(d/dt)sinh(t) = cosh(t) = 1/√{1-tanh(t)^2},
から |t|≦1 のとき
　arcsin(t) > sinh(t) > 0,
が出る。
　t > sin(sinh(t)) > 0,

|t| ≧ 1 でもこの式が成立つことは明らか。

　sinh(t) = x とおくと
　arcsinh(x) > sin(x) > 0,

ｷｬｽﾌｨｰから....

〔問題〕
A,B,C>0, ABC ≧1 のとき
　(A+1)/(A+B+1) + (B+1)/(B+C+1) + (C+1)/(C+A+1) ≦ 2,
　B/(A+B+1) + C/(B+C+1) + A/(C+A+1) ≧ 1,
　等号成立は A=B=C=1.

casphy - 高校数学 - 不等式２ - 028(5), 112

幾何的な不等式でもよければ
幾何学大辞典にもけっこう載ってるよね
著者本人が見つけたやつもいっぱい出てるからチェックしてみるといいよ

ｷｬｽﾌｨｰ! 不等式２ の じゅー さんへ。
　まづはWEBで....

「一般化固有値問題」（明治大）
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/generalized-eigenvalue-problem/generalized-eigenvalue-problem.html

「極値としての固有値」（東京大）
http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~murota/lect-kisosuri/eigenmax070918.pdf

「§１固有値問題」（早稲田大）
http://www.waseda.jp/ocw/ComputerScience/17-1004345-01NumericalComputationsSpring2003/StudyMaterials/lec6.pdf

「Rayleigh商と2次形式の最大値,最小値」 - Quod Erat Demonstrandum
http://deepwave.web.fc2.com/rayleigh.pdf

同スレから....

(2) a,b,c >0 のとき
　(ab+bc+ca){1/(a+b)^2 + 1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2} ≧ 9/4,
　等号成立は a=b=c


(6) x,y,z >0 のとき
　xxx(yy+zz)^2 + yyy(zz+xx)^2 + zzz(xx+yy)^2
　- xyz{xy(x+y)^2 + yz(y+z)^2 + zx(z+x)^2} ≧ 0,

ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 126〜133

ここで聞くのはスレチだとは思うがわかる人がいたら教えてほしい
以前は Live2ch で ｷｬｽﾌｨ! を見れていたのだが
いつからか読み込めなくなった
同じ症状の人いない？

>>99

〔Schur不等式の拡張〕
x,y,z≧0 で、x,y,z が△の三辺をなすとき
　x(a-b)(a-c) + y(b-c)(b-a) + z(c-a)(c-b) ≧0,
　（じゅー）

　ｷｬｽﾌｨ！ - 高校数学 - 不等式２ - 131〜132